Серия Дирихле

В математике рядом Дирихле называется любой ряд вида

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},$$

где s комплексный и , $a_{n}$ представляет собой сложную последовательность . Это частный случай общего ряда Дирихле .

Ряды Дирихле играют множество важных ролей в аналитической теории чисел . Наиболее часто встречающееся определение дзета-функции Римана представляет собой ряд Дирихле, как и L-функции Дирихле . Высказано предположение, что Сельберга класс рядов подчиняется обобщенной гипотезе Римана . Сериал назван в честь Питера Густава Лежена Дирихле .

Комбинаторная значимость

Ряды Дирихле можно использовать как порождающие ряды для подсчета взвешенных наборов объектов относительно веса, который мультипликативно объединяется при декартовых произведениях.

Предположим, что A — это множество, в котором функция w : A → N присваивает вес каждому элементу A , и предположим, что слой над любым натуральным числом под этим весом является конечным множеством. (Мы называем такое расположение ( A , w ) взвешенным множеством.) Предположим дополнительно, что — _n это количество элементов A с весом n . Затем мы определяем формальный производящий ряд Дирихле для A относительно w следующим образом:

${\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)=\sum _{a\in A}{\frac {1}{w(a)^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$

Обратите внимание, что если A и B являются непересекающимися подмножествами некоторого взвешенного множества ( U , w ), то ряд Дирихле для их (дизъюнктного) объединения равен сумме их рядов Дирихле:

${\mathfrak {D}}_{w}^{A\uplus B}(s)={\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)+{\mathfrak {D}}_{w}^{B}(s).$

Более того, если ( A , u ) и ( B , v ) являются двумя взвешенными множествами, и мы определяем весовую функцию w : A × B → N по формуле

$w(a,b)=u(a)v(b),$

для всех a в A и b в B мы имеем следующее разложение ряда Дирихле декартова произведения:

${\mathfrak {D}}_{w}^{A\times B}(s)={\mathfrak {D}}_{u}^{A}(s)\cdot {\mathfrak {D}}_{v}^{B}(s).$

В конечном итоге это следует из того простого факта, что $n^{-s}\cdot m^{-s}=(nm)^{-s}.$

Примеры

Самый известный пример серии Дирихле.

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},$

чье аналитическое продолжение к $\mathbb {C}$ (кроме простого шеста на $s=1$) — дзета-функция Римана .

При условии, что f имеет действительное значение для всех натуральных чисел n , соответствующие действительные и мнимые части ряда Дирихле F имеют известные формулы, в которых мы пишем $s\equiv \sigma +it$:

${\begin{aligned}\Re [F(s)]&=\sum _{n\geq 1}{\frac {~f(n)\,\cos(t\log n)~}{n^{\sigma }}}\\\Im [F(s)]&=\sum _{n\geq 1}{\frac {~f(n)\,\sin(t\log n)~}{n^{\sigma }}}\,.\end{aligned}}$

Рассматривая их пока как формальные ряды Дирихле, чтобы иметь возможность игнорировать вопросы сходимости, обратите внимание, что мы имеем:

${\begin{aligned}\zeta (s)&={\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\mathbb {N} }(s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\{p^{n}:n\in \mathbb {N} \}}(s)=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\{p^{n}\}}(s)\\&=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{(p^{n})^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }\left({\frac {1}{p^{s}}}\right)^{n}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\end{aligned}}$

поскольку каждое натуральное число имеет уникальное мультипликативное разложение на степени простых чисел. Именно этот кусочек комбинаторики лег в основу формулы произведения Эйлера .

Другой:

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$

где µ ( n ) – функция Мёбиуса . Этот и многие из следующих рядов можно получить, применив обращение Мёбиуса и свертку Дирихле к известным рядам. Например, для характера Дирихле χ ( n ) имеем

${\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}$

где L ( χ , s ) — L-функция Дирихле .

Если арифметическая функция f имеет Дирихле обратную функцию $f^{-1}(n)$, т. е. если существует обратная функция такая, что свертка Дирихле функции f с ее обратной функцией дает мультипликативное тождество ${\textstyle \sum _{d|n}f(d)f^{-1}(n/d)=\delta _{n,1}}$, то DGF обратной функции определяется обратной величиной F :

$\sum _{n\geq 1}{\frac {f^{-1}(n)}{n^{s}}}=\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right)^{-1}.$

Другие личности включают в себя

${\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}$

где $\varphi (n)$ это функция тотента ,

${\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}$

где J _k — функция Жордана , а

${\begin{aligned}&\zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}\\[6pt]&{\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-2a)}{\zeta (2s-2a)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n^{2})}{n^{s}}}\\[6pt]&{\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}\end{aligned}}$

где σa _{функция} ( n ) — делителя . Специализируясь на функции делителя d = σ0 _, имеем

${\begin{aligned}\zeta ^{2}(s)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}\\[6pt]{\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}\\[6pt]{\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}.\end{aligned}}$

Логарифм дзета-функции определяется выражением

$\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}{\frac {1}{n^{s}}},\qquad \Re (s)>1.$

Аналогично, у нас есть это

$-\zeta '(s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\log(n)}{n^{s}}},\qquad \Re (s)>1.$

Здесь Λ( n ) — функция фон Мангольдта . Логарифмическая производная тогда равна

${\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.$

Эти последние три являются частными случаями более общего соотношения для производных ряда Дирихле, приведенного ниже.

Учитывая функцию Лиувилля λ ( n ), имеем

${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.$

Еще один пример касается суммы Рамануджана :

${\frac {\sigma _{1-s}(m)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}(m)}{n^{s}}}.$

Другая пара примеров включает функцию Мёбиуса и простую омега-функцию :

${\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}\equiv \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu ^{2}(n)}{n^{s}}}.$

${\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}.$

Мы имеем, что ряд Дирихле для простой дзета-функции , который является аналогом дзета-функции Римана, суммируемой только по индексам n, которые являются простыми, задается суммой по функции Мебиуса и логарифмам дзета-функции:

$P(s):=\sum _{p{\text{ prime}}}p^{-s}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns).$

Большой табличный каталог со списком других примеров сумм, соответствующих известным представлениям рядов Дирихле, можно найти здесь .

примеры ДФР ряда Дирихле, соответствующих аддитивным (а не мультипликативным) f приведены Здесь для простых омега-функций. $\omega (n)$ и $\Omega (n)$, которые соответственно подсчитывают количество различных простых делителей n (с кратностью или без). Например, ДФР первой из этих функций выражается как произведение дзета-функции Римана и простой дзета-функции для любого комплекса s с $\Re (s)>1$:

$\sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\cdot P(s),\Re (s)>1.$

Если f — мультипликативная функция такая, что ее DGF F сходится абсолютно для всех $\Re (s)>\sigma _{a,f}$, и если p — любое простое число , мы имеем, что

$\left(1+f(p)p^{-s}\right)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)\mu (n)}{n^{s}}}=\left(1-f(p)p^{-s}\right)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)\mu (n)\mu (\gcd(p,n))}{n^{s}}},\forall \Re (s)>\sigma _{a,f},$

где $\mu (n)$ это функция Мебиуса . Еще одно уникальное тождество ряда Дирихле генерирует суммирующую функцию некоторой арифметики f, вычисляемой на входах НОД , заданной формулой

$\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}f(\gcd(k,n))\right){\frac {1}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}},\forall \Re (s)>\sigma _{a,f}+1.$

У нас также есть формула между DGF двух арифметических функций f и g, связанных инверсией Мебиуса . В частности, если $g(n)=(f\ast 1)(n)$, то, используя инверсию Мебиуса, мы получаем, что $f(n)=(g\ast \mu )(n)$. Следовательно, если F и G являются двумя соответствующими DGF для f и g , то мы можем связать эти два DGF по формулам:

$F(s)={\frac {G(s)}{\zeta (s)}},\Re (s)>\max(\sigma _{a,f},\sigma _{a,g}).$

Известна формула экспоненты ряда Дирихле. Если $F(s)=\exp(G(s))$ является DGF некоторой арифметики f с $f(1)\neq 0$, то ДФР G выражается суммой

$G(s)=\log(f(1))+\sum _{n\geq 2}{\frac {(f^{\prime }\ast f^{-1})(n)}{\log(n)\cdot n^{s}}},$

где $f^{-1}(n)$ является обратной функцией Дирихле функции , f а арифметическая производная функции f определяется формулой $f^{\prime }(n)=\log(n)\cdot f(n)$ для всех натуральных чисел $n\geq 2$.

Аналитические свойства

Учитывая последовательность $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ комплексных чисел мы пытаемся рассмотреть значение

$f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$

как функция комплексной переменной s . Чтобы это имело смысл, нам нужно рассмотреть свойства сходимости приведенного выше бесконечного ряда:

Если $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ является ограниченной последовательностью комплексных чисел, то соответствующий ряд Дирихле f сходится абсолютно на открытой полуплоскости Re( s ) > 1. В общем случае, если a _n = O( n ^к ), ряд абсолютно сходится в полуплоскости Re( s ) > k + 1.

Если множество сумм

$a_{n}+a_{n+1}+\cdots +a_{n+k}$

ограничен при n и k ≥ 0, то указанный выше бесконечный ряд сходится на открытой полуплоскости s такой, что Re( s ) > 0.

В обоих случаях f является аналитической функцией на соответствующей открытой полуплоскости.

В общем $\sigma$ — абсцисса сходимости ряда Дирихле, если он сходится при $\Re (s)>\sigma$ и расходится по $\Re (s)<\sigma .$ Это аналог радиуса сходимости рядов Дирихле для степенных рядов . Однако случай ряда Дирихле более сложен: абсолютная и равномерная сходимость могут происходить в различных полуплоскостях.

Во многих случаях аналитическая функция, связанная с рядом Дирихле, имеет аналитическое расширение на более широкую область.

Абсцисса конвергенции

Предполагать

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}$

сходится для некоторых $s_{0}\in \mathbb {C} ,\Re (s_{0})>0.$

Предложение 1. $A(N):=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=o(N^{s_{0}}).$

Доказательство. Обратите внимание, что:

$(n+1)^{s}-n^{s}=\int _{n}^{n+1}sx^{s-1}\,dx={\mathcal {O}}(n^{s-1}).$

и определить

$B(N)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}=\ell +o(1)$

где

$\ell =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}.$

Суммируя по частям, имеем

${\begin{aligned}A(N)&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}n^{s_{0}}\\&=B(N)N^{s_{0}}+\sum _{n=1}^{N-1}B(n)\left(n^{s_{0}}-(n+1)^{s_{0}}\right)\\&=(B(N)-\ell )N^{s_{0}}+\sum _{n=1}^{N-1}(B(n)-\ell )\left(n^{s_{0}}-(n+1)^{s_{0}}\right)\\&=o(N^{s_{0}})+\sum _{n=1}^{N-1}{\mathcal {o}}(n^{s_{0}-1})\\&=o(N^{s_{0}})\end{aligned}}$

Предложение 2. Определите

$L={\begin{cases}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}&{\text{If convergent}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Затем:

$\sigma =\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {\ln |A(N)-L|}{\ln N}}=\inf _{\sigma }\left\{A(N)-L={\mathcal {O}}(N^{\sigma })\right\}$

— абсцисса сходимости ряда Дирихле.

Доказательство. Из определения

$\forall \varepsilon >0\qquad A(N)-L={\mathcal {O}}(N^{\sigma +\varepsilon })$

так что

${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}&=A(N)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}A(n)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\&=(A(N)-L)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}(A(n)-L)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\&={\mathcal {O}}(N^{\sigma +\varepsilon -s})+\sum _{n=1}^{N-1}{\mathcal {O}}(n^{\sigma +\varepsilon -s-1})\end{aligned}}$

который сходится как $N\to \infty$ в любое время $\Re (s)>\sigma .$ Следовательно, для каждого $s$ такой, что ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}$ расходится, мы имеем $\sigma \geq \Re (s),$ и это завершает доказательство.

Предложение 3. Если $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ тогда сходится $f(\sigma +it)=o\left({\tfrac {1}{\sigma }}\right)$ как $\sigma \to 0^{+}$ и где он мероморфен ( $f(s)$ не имеет полюсов $\Re (s)=0$).

Доказательство. Обратите внимание, что

$n^{-s}-(n+1)^{-s}=sn^{-s-1}+O(n^{-s-2})$

и $A(N)-f(0)\to 0$ имеем суммированием по частям, ибо $\Re (s)>0$

${\begin{aligned}f(s)&=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}\\&=\lim _{N\to \infty }A(N)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}A(n)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\&=s\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-1}+\underbrace {{\mathcal {O}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-2}\right)} _{={\mathcal {O}}(1)}\end{aligned}}$

Теперь найдите N такое, что для n > N , $|A(n)-f(0)|<\varepsilon$

$s\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-1}=\underbrace {sf(0)\zeta (s+1)+s\sum _{n=1}^{N}(A(n)-f(0))n^{-s-1}} _{={\mathcal {O}}(1)}+\underbrace {s\sum _{n=N+1}^{\infty }(A(n)-f(0))n^{-s-1}} _{<\varepsilon |s|\int _{N}^{\infty }x^{-\Re (s)-1}\,dx}$

и, следовательно, для каждого $\varepsilon >0$ есть $C$ такой, что для $\sigma >0$:

$|f(\sigma +it)|<C+\varepsilon |\sigma +it|{\frac {1}{\sigma }}.$

серия

Формальному ряду Дирихле над кольцом R соответствует функция a от натуральных чисел до R.

$D(a,s)=\sum _{n=1}^{\infty }a(n)n^{-s}\$

со сложением и умножением, определяемым формулой

$D(a,s)+D(b,s)=\sum _{n=1}^{\infty }(a+b)(n)n^{-s}\$

$D(a,s)\cdot D(b,s)=\sum _{n=1}^{\infty }(a*b)(n)n^{-s}\$

где

$(a+b)(n)=a(n)+b(n)\$

представляет собой поточечную сумму и

$(a*b)(n)=\sum _{k\mid n}a(k)b(n/k)\$

является сверткой Дирихле a и b .

Формальный ряд Дирихле образует кольцо Ω, фактически R -алгебру, с нулевой функцией как аддитивным нулевым элементом и функцией δ, определяемой формулами δ (1) = 1, δ ( n ) = 0 для n > 1 как мультипликативное тождество. Элемент этого кольца обратим, если a (1) обратим в R . Если R коммутативен, то и Ω коммутативен; если R является областью целостности , то и Ω тоже. Ненулевые мультипликативные функции образуют подгруппу группы единиц Ω.

Кольцо формальных рядов Дирихле над C изоморфно кольцу формальных степенных рядов от счетного числа переменных.

Производные

Данный

$F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$

это можно показать

$F'(s)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\log(n)}{n^{s}}}$

при условии, что правая часть сходится. Для полностью мультипликативной функции ƒ( n ) и предполагая, что ряд сходится при Re( s ) > σ ₀ , тогда имеем

${\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}$

сходится при Re( s ) > _σ0 . Здесь Λ( n ) — функция фон Мангольдта .

Продукты

Предполагать

$F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}$

и

$G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}.$

Если оба F ( s ) и G ( s ) абсолютно сходятся при s > a и s > b, то мы имеем

${\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}\,F(a+it)G(b-it)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}{\text{ as }}T\sim \infty .$

Если a = b и ƒ ( n ) = g ( n ), мы имеем

${\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}|F(a+it)|^{2}\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}{\text{ as }}T\sim \infty .$

Инверсия коэффициентов (

Основная статья: обращение ряда Дирихле

Для всех положительных целых чисел $x\geq 1$, функция f в точке x , $f(x)$, может быть восстановлено из производящей функции Дирихле (DGF) F функции f (или ряда Дирихле по f ), используя следующую интегральную формулу всякий раз, когда $\sigma >\sigma _{a,f}$, абсцисса абсолютной сходимости ДГФ F

$f(x)=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x^{\sigma +it}F(\sigma +it)dt.$

Также возможно инвертировать преобразование Меллина суммирующей функции f , которое определяет DGF F f , чтобы получить коэффициенты ряда Дирихле (см. раздел ниже). В этом случае мы приходим к сложной контурной интегральной формуле, связанной с теоремой Перрона . Практически говоря, скорость сходимости приведенной выше формулы как функции T является переменной, и если ряд Дирихле F чувствителен к смене знака как медленно сходящийся ряд, может потребоваться очень большое T для аппроксимации коэффициентов F с использованием этого формулу без формального предела.

Другой вариант предыдущей формулы, изложенный в книге Апостола, дает интегральную формулу для альтернативной суммы в следующем виде: $c,x>0$ и любой настоящий $\Re (s)\equiv \sigma >\sigma _{a,f}-c$ где мы обозначаем $\Re (s):=\sigma$:

${\sum _{n\leq x}}^{\prime }{\frac {f(n)}{n^{s}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }D_{f}(s+z){\frac {x^{z}}{z}}dz.$

Интегральные и рядовые преобразования

Обратное преобразование Меллина ряда Дирихле, разделенного на s, определяется формулой Перрона . Кроме того, если ${\textstyle F(z):=\sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}}$ является (формальной) обычной производящей функцией последовательности $\{f_{n}\}_{n\geq 0}$, то интегральное представление ряда Дирихле последовательности производящих функций, $\{f_{n}z^{n}\}_{n\geq 0}$, определяется

$\sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}z^{n}}{(n+1)^{s}}}={\frac {(-1)^{s-1}}{(s-1)!}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)\,dt,\ s\geq 1.$

на основе производной и рядной функции Другой класс связанных преобразований производящей функции обычной производящей функции последовательности, которая эффективно производит левостороннее разложение в предыдущем уравнении, соответственно определен в .

со

Последовательность a _n, порожденная производящей функцией ряда Дирихле, соответствующей:

$\zeta (s)^{m}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$

где ζ ( s ) — дзета-функция Римана , имеет обычную производящую функцию:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}=x+{m \choose 1}\sum _{a=2}^{\infty }x^{a}+{m \choose 2}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }x^{ab}+{m \choose 3}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }x^{abc}+{m \choose 4}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{d=2}^{\infty }x^{abcd}+\cdots$

функцией арифметической функции через

Если f — арифметическая функция с соответствующим DGF F , а суммирующая функция f определяется формулой

$S_{f}(x):={\begin{cases}\sum _{n\leq x}f(n),&x\geq 1;\\0,&0<x<1,\end{cases}}$

тогда мы можем выразить F через преобразование Меллина суммирующей функции при $-s$. А именно, у нас есть это

$F(s)=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {S_{f}(x)}{x^{s+1}}}dx,\Re (s)>\sigma _{a,f}.$

Для $\sigma :=\Re (s)>0$ и любые натуральные числа $N\geq 1$, у нас также есть приближение к DGF F функции f, заданное выражением

$F(s)=\sum _{n\leq N}f(n)n^{-s}-{\frac {S_{f}(N)}{N^{s}}}+s\cdot \int _{N}^{\infty }{\frac {S_{f}(y)}{y^{s+1}}}dy.$

См. также

• Серия «Генерал Дирихле»
• Регуляризация дзета-функции
• произведение Эйлера
• Свертка Дирихле

Ссылки

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3 , МР   0434929 , Збл   0335.10001
• Харди, штат Джорджия ; Рисс, Марсель (1915). Общая теория рядов Дирихле . Кембриджские трактаты по математике. Том. 18. Издательство Кембриджского университета.
• Общая теория рядов Дирихле Г.Х. Харди. Монографии по исторической математике библиотеки Корнельского университета. {Перепечатано} Цифровые коллекции библиотеки Корнелльского университета
• Гулд, Генри В.; Шонхива, Темба (2008). "Каталог интересных серий Дирихле" . Мисс Дж. Математика. Наука . 20 (1). Архивировано из оригинала 2 октября 2011 г.
• Матар, Ричард Дж. (2011). «Обзор рядов Дирихле мультипликативных арифметических функций». arXiv : 1106.4038 [ math.NT ].
• Тененбаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 46. ​​Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-41261-7 . Збл   0831.11001 .
• «Серия Дирихле» . ПланетаМатематика .