класс Сельберга

В математике класс Сельберга — аксиоматическое определение класса L -функций . Членами этого класса являются ряды Дирихле , которые подчиняются четырем аксиомам, которые, по-видимому, отражают основные свойства, которым удовлетворяет большинство функций, обычно называемых L -функциями или дзета-функциями . Хотя точная природа класса является предположительной, есть надежда, что определение класса приведет к классификации его содержания и выяснению его свойств, включая понимание их связи с автоморфными формами и гипотезой Римана . Этот класс был определен Атле Сельбергом ( Selberg 1992 ), который предпочел не использовать слово «аксиома», которое использовали более поздние авторы.

Определение

Формальное определение класса S — это множество всех рядов Дирихле.

$F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$

абсолютно сходящиеся для Re( s ) > 1, которые удовлетворяют четырем аксиомам (или предположениям, как их называет Сельберг):

1. Аналитика : $F(s)$ имеет мероморфное продолжение на всю комплексную плоскость с единственным возможным полюсом (если он есть), когда s равно 1.
2. Гипотеза Рамануджана : а ₁ = 1 и $a_{n}\ll _{\varepsilon }n^{\varepsilon }$ для любого ε > 0;
3. Функциональное уравнение : существует гамма-фактор вида

   $\gamma (s)=Q^{s}\prod _{i=1}^{k}\Gamma (\omega _{i}s+\mu _{i})$

   где Q действительное и положительное, Γ гамма-функция , ω _i вещественное и положительное, и комплекс µ _i с неотрицательной вещественной частью, а также так называемое корневое число

   $\alpha \in \mathbb {C} ,\;|\alpha |=1$,

   такая, что функция

   $\Phi (s)=\gamma (s)F(s)\,$

   удовлетворяет

   $\Phi (s)=\alpha \,{\overline {\Phi (1-{\overline {s}})}};$

4. Произведение Эйлера : для Re( s ) > 1 F ( s ) можно записать как произведение простых чисел:

   $F(s)=\prod _{p}F_{p}(s)$

   с

   $F_{p}(s)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{p^{n}}}{p^{ns}}}\right)$

   и для некоторого θ < 1/2

   $b_{p^{n}}=O(p^{n\theta }).\,$

Комментарии к определению

Условие того, что действительная часть µ _i неотрицательна, заключается в том, что существуют известные L -функции, которые не удовлетворяют гипотезе Римана, когда µ _i отрицательна. В частности, существуют формы Мааса, связанные с исключительными собственными значениями, для которых справедлива гипотеза Рамануяна-Петерсена и которые имеют функциональное уравнение, но не удовлетворяют гипотезе Римана.

Условие θ < 1/2 важно, поскольку случай θ = 1 включает $(1-2^{-s})(1-2^{1-s})$ нули которого не лежат на критической прямой.

Без условия $a_{n}\ll _{\varepsilon }n^{\varepsilon }$ было бы $L(s+1/3,\chi _{4})L(s-1/3,\chi _{4})$ что противоречит гипотезе Римана.

Следствием 4. является то, мультипликативны _n и что что

$F_{p}(s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{p^{n}}}{p^{ns}}}{\text{ for Re}}(s)>0.$

Примеры

Прототипическим примером элемента в S является дзета-функция Римана . Другой пример — L -функция модулярного дискриминанта ∆

$L(s,\Delta )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$

где $a_{n}=\tau (n)/n^{11/2}$ и τ( n ) — тау-функция Рамануджана .

Все известные примеры являются автоморфными L -функциями , а обратные к F _p ( s ) полиномами от p ^{− с} ограниченной степени.

Наилучшие результаты по структуре класса Сельберга принадлежат Качоровскому и Перелли, которые показали, что L -функции Дирихле (включая дзета-функцию Римана) являются единственными примерами со степенью меньше 2.

Основные свойства

Как и в случае с дзета-функцией Римана, элемент F из S имеет тривиальные нули , которые возникают из полюсов гамма-фактора γ( s ). Остальные нули называются нетривиальными F нулями . Все они будут расположены в некоторой полосе 1 − A ≤ Re( s ≤ A. ) Обозначая количество нетривиальных нулей F с 0 ⩽ Im( s ) ⩽ T через N _F ( T ), Сельберг показал, что

$N_{F}(T)=d_{F}{\frac {T\log(T+C)}{2\pi }}+O(\log T).$

Здесь d _F называется степенью (или размерностью ) F . Это дано

$d_{F}=2\sum _{i=1}^{k}\omega _{i}.$

Можно показать, что F = 1 — единственная функция из S , степень которой меньше 1.

Если F и G принадлежат классу Сельберга, то и их произведение тоже принадлежит классу Сельберга.

$d_{FG}=d_{F}+d_{G}.$

Функция F ≠ 1 в S называется примитивной, если всякий раз, когда она записывается как F = F ₁ F ₂ , где F _i находится в S , то F = F ₁ или F = F ₂ . Если d _F = 1, то F примитивен. Каждую функцию F ≠ 1 из S можно записать как произведение примитивных функций. Гипотезы Сельберга, описанные ниже, подразумевают, что факторизация на примитивные функции уникальна.

Примеры примитивных функций включают дзета-функцию Римана и Дирихле L -функции примитивных характеров Дирихле. Предполагая нижеприведенные гипотезы 1 и 2, L -функции неприводимых каспидальных автоморфных представлений , удовлетворяющие гипотезе Рамануджана, примитивны.

Гипотезы Сельберга

В ( Selberg 1992 ) Сельберг выдвинул гипотезы относительно функций из S :

• Гипотеза 1. Для всех F из S существует целое число n _F такое, что
  $$\sum _{p\leq x}{\frac {|a_{p}|^{2}}{p}}=n_{F}\log \log x+O(1)$$
  и n _F = 1, если F примитивен.
• Гипотеза 2: Для различных примитивных F , F ′ ∈ S ,
  $$\sum _{p\leq x}{\frac {a_{p}{\overline {a_{p}^{\prime }}}}{p}}=O(1).$$
• Гипотеза 3: если F находится в S с примитивной факторизацией
  $$F=\prod _{i=1}^{m}F_{i},$$
  χ — примитивный характер Дирихле, а функция
  $$F^{\chi }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)a_{n}}{n^{s}}}$$
  также находится в S , то функции F _i ^час являются примитивными элементами S (и, следовательно, они образуют примитивную факторизацию F ^час ).
• Гипотеза Римана для S : для всех F в S все нетривиальные нули F лежат на прямой Re( s ) = 1/2.

Последствия домыслов

Из гипотез 1 и 2 следует, что если F имеет полюс порядка m в точке s = 1, то F ( s )/ζ( s ) ^м целый. В частности, они подразумевают гипотезу Дедекинда.

М. Рам Мурти показал в ( Murty 1994 ), что гипотезы 1 и 2 влекут за собой гипотезу Артина . Фактически, Мурти показал, что Артина, L -функции соответствующие неприводимым представлениям группы Галуа разрешимого расширения рациональных чисел, автоморфны, как предсказывают гипотезы Ленглендса .

Функции из S также удовлетворяют аналогу теоремы о простых числах : F ( s ) не имеет нулей на прямой Re( s ) = 1. Как упоминалось выше, гипотезы 1 и 2 предполагают однозначное разложение функций из S на примитивные функции. . Другое следствие состоит в том, что примитивность F эквивалентна n _F = 1.

См. также

• Список дзета-функций

Ссылки

• Сельберг, Атле (1992), «Старые и новые гипотезы и результаты об одном классе рядов Дирихле», Труды Амальфианской конференции по аналитической теории чисел (Майори, 1989) , Салерно: Univ. Салерно, стр. 367–385, MR   1220477 , Zbl   0787.11037 Перепечатано в Сборнике статей, том 2 , Springer-Verlag, Берлин (1991).
• Конри, Дж. Брайан ; Гош, Амит (1993), «О классе Сельберга ряда Дирихле: малые степени», Duke Mathematical Journal , 72 (3): 673–693, arXiv : math.NT/9204217 , doi : 10.1215/s0012-7094-93 -07225-0 , МР   1253620 , Збл   0796.11037

• Мурти, М. Рэм (1994), «Гипотезы Сельберга и L -функции Артина», Бюллетень Американского математического общества , New Series, 31 (1): 1–14, arXiv : math/9407219 , doi : 10.1090/s0273- 0979-1994-00479-3 , МР   1242382 , С2КИД   265909 , Збл   0805.11062

• Мурти, М. Рам (2008), Проблемы аналитической теории чисел , Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике, том. 206 (второе изд.), Springer-Verlag , глава 8, номер документа : 10.1007/978-0-387-72350-1 , ISBN  978-0-387-72349-5 , МР   2376618 , Збл   1190.11001