Дзета-функция Римана

Дзета-функция Римана ζ ( z ) , построенная с раскраской области .

Полюс в $z=1$ и два нуля на критической линии.

Дзета -функция Римана или дзета-функция Эйлера–Римана , обозначаемая греческой буквой ζ ( дзета ), представляет собой математическую функцию , комплексной переменной определяемой как

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots$$

для $\operatorname {Re} (s)>1$и его аналитическое продолжение в другом месте.

Дзета-функция Римана играет ключевую роль в аналитической теории чисел и имеет приложения в физике , теории вероятностей и прикладной статистике .

Леонард Эйлер впервые ввел и изучил функцию над действительными числами в первой половине восемнадцатого века. Статья Бернхарда Римана 1859 года « О числе простых чисел, меньших заданной величины » распространила определение Эйлера на комплексную переменную, доказала ее мероморфное продолжение и функциональное уравнение , а также установила связь между ее нулями и распределением простых чисел . Эта статья также содержала гипотезу Римана , гипотезу о распределении комплексных нулей дзета-функции Римана, которую многие математики считают наиболее важной нерешенной проблемой чистой математики .

Значения дзета-функции Римана в четных положительных целых числах были вычислены Эйлером. Первый из них, ζ (2) , дает решение Базельской проблемы . В 1979 году Роджер Апери доказал иррациональность ζ (3) . Значения в отрицательных целочисленных точках, также найденные Эйлером, являются рациональными числами и играют важную роль в теории модулярных форм . многие обобщения дзета-функции Римана, такие как ряды Дирихле , Дирихле L -функции и L -функции Известны .

Определение

Статья Бернхарда Римана О количестве простых чисел ниже заданной величины

Дзета-функция Римана ζ ( s ) — это функция комплексной переменной s = σ + it , где σ и t — действительные числа. (Обозначения s , σ и t традиционно используются при изучении дзета-функции вслед за Риманом.) Когда Re( s ) = σ > 1 , функцию можно записать в виде сходящегося суммирования или в виде интеграла:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x\,,$

где

$\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\,e^{-x}\,\mathrm {d} x$

это гамма-функция . Дзета-функция Римана определяется для других комплексных значений посредством аналитического продолжения функции, определенной для σ > 1 .

Леонард Эйлер рассмотрел приведенный выше ряд в 1740 году для целых положительных значений s , а позже Чебышев расширил определение до $\operatorname {Re} (s)>1.$

Вышеупомянутый ряд представляет собой прототип ряда Дирихле , который абсолютно сходится к аналитической функции для s такого , что σ > 1 , и расходится для всех остальных значений s . Риман показал, что функция, определяемая рядом на полуплоскости сходимости, может быть аналитически продолжена до всех комплексных значений s ≠ 1 . Для s = 1 эта серия является гармонической серией , которая расходится к +∞ , и

$$\lim _{s\to 1}(s-1)\zeta (s)=1.$$

Таким образом, дзета-функция Римана является мероморфной функцией на всей комплексной плоскости, которая голоморфна всюду, за исключением простого полюса в точке s = 1 с вычетом 1 .

Формула произведения Эйлера

В 1737 году связь между дзета-функцией и простыми числами открыл Эйлер, доказав тождество

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},$

где по определению левая часть равна ζ ( s ) , а бесконечное произведение в правой части распространяется на все простые числа p (такие выражения называются произведениями Эйлера ):

$\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-11^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-s}}}\cdots$

Обе части формулы произведения Эйлера сходятся при Re( s ) > 1 . Доказательство тождества Эйлера использует только формулу геометрической прогрессии и основную теорему арифметики . Поскольку гармонический ряд , полученный при s = 1 , расходится, формула Эйлера (которая становится Π _p p / p −1 ) подразумевает, что существует бесконечно много простых чисел . Поскольку логарифм p / p − 1 примерно 1 / p формула также может быть использована для доказательства более сильного результата о том, что сумма обратных простых чисел бесконечна. С другой стороны, объединение этого с решетом Эратосфена показывает, что плотность множества простых чисел внутри множества натуральных чисел равна нулю.

Формулу произведения Эйлера можно использовать для вычисления асимптотической вероятности того, что случайно выбранные целые числа являются взаимно простыми . Интуитивно понятно, что вероятность того, что любое одно число делится на простое (или любое целое) p , равна 1 / п . Следовательно, вероятность того, что все s чисел делятся на это простое число, равна 1 / п ^с , и вероятность того, что хотя бы один из них нет , равна 1 — 1 / п ^с . Теперь, для различных простых чисел, эти события делимости взаимно независимы, потому что кандидаты на делители являются взаимно простыми (число делится на взаимно простые делители n и m тогда и только тогда, когда оно делится на nm , событие, которое происходит с вероятностью 1 / нм ). Таким образом, асимптотическая вероятность того, что числа s взаимно просты, определяется произведением всех простых чисел:

$\prod _{p{\text{ prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\left(\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)^{-1}={\frac {1}{\zeta (s)}}.$

Функциональное уравнение Римана

Эта дзета-функция удовлетворяет функциональному уравнению

$$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s),$$

где Γ( s ) — гамма-функция . Это равенство мероморфных функций, справедливое на всей комплексной плоскости . Уравнение связывает значения дзета-функции Римана в точках s и 1 − s , в частности, связывая четные положительные целые числа с нечетными отрицательными целыми числами. Из-за нулей синусоидальной функции функциональное уравнение подразумевает, что ( s ) имеет простой нуль в каждом четном отрицательном целом числе s = −2 n , известный как тривиальные нули ζ ( ζ s ) . Когда s — четное положительное целое число, произведение sin( πs / 2 )Γ(1 − s ) справа не равно нулю, поскольку Γ(1 − s ) имеет простой полюс , который отменяет простой нуль синусоидального множителя.

Доказательство функционального уравнения Римана

Доказательство функционального уравнения проводится следующим образом: Мы наблюдаем, что если $\sigma >0$, затем

$$\int _{0}^{\infty }x^{{1 \over 2}{s}-1}e^{-n^{2}\pi x}\,dx={\Gamma \left({s \over 2}\right) \over {n^{s}\pi ^{s \over 2}}}.$$

В результате, если $\sigma >1$ затем

$${\frac {\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}{\pi ^{s/2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}e^{-n^{2}\pi x}\,dx=\int _{0}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}\,dx,$$

с обращением предельных процессов, оправданным абсолютной сходимостью (отсюда ужесточение требований к $\sigma$).

Для удобства пусть

$$\psi (x):=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}$$

что является частным случаем тэта -функции . Затем

$$\zeta (s)={\pi ^{s \over 2} \over \Gamma ({s \over 2})}\int _{0}^{\infty }x^{{1 \over 2}{s}-1}\psi (x)\,dx.$$

По формуле суммирования Пуассона имеем

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-n^{2}\pi x}}={1 \over {\sqrt {x}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-n^{2}\pi \over x}},$$

так что

$$2\psi (x)+1={1 \over {\sqrt {x}}}\left\{2\psi \left({1 \over x}\right)+1\right\}.$$

Следовательно

$$\pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=\int _{0}^{1}x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx+\int _{1}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx.$$

Это эквивалентно

$$\int _{0}^{1}x^{{s \over 2}-1}\left\{{1 \over {\sqrt {x}}}\psi \left({1 \over x}\right)+{1 \over 2{\sqrt {x}}}-{1 \over 2}\right\}\,dx+\int _{1}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx$$

или

$${1 \over {s-1}}-{1 \over s}+\int _{0}^{1}x^{{s \over 2}-{3 \over 2}}\psi \left({1 \over x}\right)\,dx+\int _{1}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\,dx.$$

Так

$$\pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)={1 \over {s({s-1})}}+\int _{1}^{\infty }\left({x^{-{{s} \over 2}-{1 \over 2}}+x^{{{s} \over 2}-1}}\right)\psi (x)\,dx$$

которое сходится для всех s , поэтому оно справедливо в силу аналитического продолжения. Более того, правая шкала не изменится, если s изменить на 1 - s . Следовательно

$$\pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{1 \over 2}+{s \over 2}}\Gamma \left({1 \over 2}-{s \over 2}\right)\zeta (1-s)$$

что является функциональным уравнением. ЕС Титчмарш (1986). Теория дзета-функции Римана (2-е изд.). Оксфорд : Оксфордские научные публикации. стр. 100-1 21–22. ISBN  0-19-853369-1 . Приписывается Бернхарду Риману .

Функциональное уравнение было установлено Риманом в его статье 1859 года « О числе простых чисел, меньших заданной величины » и в первую очередь использовалось для построения аналитического продолжения. Эквивалентное соотношение было предположено Эйлером более ста лет назад, в 1749 году, для эта-функции Дирихле (перемежающаяся дзета-функция):

$$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}=\left(1-{2^{1-s}}\right)\zeta (s).$$

Кстати, это соотношение дает уравнение для расчета ζ ( s ) в области 0 < Re( s ) < 1, т.е.

$$\zeta (s)={\frac {1}{1-{2^{1-s}}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}$$

где η -ряд сходится (хотя и не абсолютно ) в большей полуплоскости s > 0 (более подробный обзор истории функционального уравнения см., например, у Благушина ).

Риман также нашел симметричную версию функционального уравнения, применимого к xi-функции:

$$\xi (s)={\frac {1}{2}}\pi ^{-{\frac {s}{2}}}s(s-1)\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s),$$

который удовлетворяет:

$$\xi (s)=\xi (1-s).$$

Римана ( Исходное значение ξ ( t ) было немного другим.)

The $\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)$ Фактор не был хорошо понят во времена Римана, пока не Джона Тейта (1950) появилась диссертация , в которой было показано, что этот так называемый «гамма-фактор» на самом деле является локальным L-фактором, соответствующим архимедову месту . другими факторами разложения произведения Эйлера являются локальные L-факторы неархимедовых мест.

, критическая линия и

Основная статья: гипотеза Римана

Дзета-спираль Римана вдоль критической линии от высоты 999000 до миллиона (от красного до фиолетового)

Дзета-функция Римана не имеет нулей справа от σ = 1 или (кроме тривиальных нулей) слева от σ = 0 (при этом нули не могут лежать слишком близко к этим линиям). При этом нетривиальные нули симметричны относительно вещественной оси и прямой σ = 1/2 и , , согласно гипотезе Римана все они лежат на прямой σ = 1 / 2 .

На этом изображении показан график дзета-функции Римана вдоль критической линии для реальных значений t от 0 до 34. Первые пять нулей на критической полосе ясно видны как место, где спирали проходят через начало координат.

Действительная часть (красный) и мнимая часть (синий) дзета-функции Римана вдоль критической линии Re( s ) = 1/2. Первые нетривиальные нули можно увидеть при Im( s ) = ±14,135, ±21,022 и ±25,011.

Функциональное уравнение показывает, что дзета-функция Римана имеет нули в точках −2, −4,... . Они называются тривиальными нулями . Они тривиальны в том смысле, что их существование сравнительно легко доказать, например, от греха π s / 2 равно 0 в функциональном уравнении. Нетривиальные нули привлекли гораздо больше внимания, потому что их распределение не только гораздо менее изучено, но, что более важно, их исследование дает важные результаты, касающиеся простых чисел и связанных с ними объектов теории чисел. Известно, что любой нетривиальный нуль лежит в открытой полосе $\{s\in \mathbb {C} :0<\operatorname {Re} (s)<1\}$, которая называется критической полосой . Набор $\{s\in \mathbb {C} :\operatorname {Re} (s)=1/2\}$называется критической линией . Гипотеза Римана , считающаяся одной из величайших нерешённых проблем математики, утверждает, что все нетривиальные нули находятся на критической прямой. В 1989 году Конри доказал, что более 40% нетривиальных нулей дзета-функции Римана находятся на критической линии.

О дзета-функции Римана на критической линии см. Z -функцию .

Первые несколько нетривиальных нулей

Нуль
1/2 ± 14,134725 я
1/2 ± 21.022040 г.
1/2 ± 25,010858 я
1/2 ± 30,424876 я
1/2 ± 32,935062 я
1/2 ± 37,586178 я
1/2 ± 40,918719 я

Количество нулей в критической полосе

Позволять $N(T)$ быть числом нулей $\zeta (s)$ в критической полосе $0<\operatorname {Re} (s)<1$, мнимые части которого лежат в интервале $0<\operatorname {Im} (s)<T$. Труджиан доказал, что если $T>e$, затем

$\left|N(T)-{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi e}}\right|\leq 0.112\log T+0.278\log \log T+3.385+{\frac {0.2}{T}}$.

Харди

В 1914 году Годфри Гарольд Харди доказал, что ζ ( 1/2 имеет бесконечно много + it ) вещественных нулей.

Харди и Джон Эденсор Литтлвуд сформулировали две гипотезы о плотности и расстоянии между нулями ζ ( 1/2 . на интервалах + it ) больших положительных действительных чисел Далее N ( T ) — общее количество действительных нулей, а N ₀ ( T ) — общее количество нулей нечетного порядка функции ζ ( 1/2 , лежащие + it ) в интервале (0, T ] .

1. Для любого ε > 0 существует T ₀ ( ε ) > 0 такое, что при

   $T\geq T_{0}(\varepsilon )\quad {\text{ and }}\quad H=T^{{\frac {1}{4}}+\varepsilon },$

   интервал ( T , T + H ] содержит нуль нечетного порядка.
2. Для любого ε > 0 существуют T ₀ ( ε ) > 0 и c _ε > 0 такие, что выполняется неравенство

   $N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq c_{\varepsilon }H$

   держится, когда

   $T\geq T_{0}(\varepsilon )\quad {\text{ and }}\quad H=T^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }.$

Эти две гипотезы открыли новые направления в исследовании дзета-функции Римана.

Область без нуля

Расположение нулей дзета-функции Римана имеет большое значение в теории чисел. Теорема о простых числах нет нулей дзета-функции эквивалентна тому, что на прямой Re( s ) = 1 . Лучший результат Из эффективной формы теоремы Виноградова о среднем значении следует , что ζ ( σ + it ) ≠ 0 всякий раз, когда $\sigma \geq 1-{\frac {1}{57.54(\log {|t|})^{\frac {2}{3}}(\log {\log {|t|}})^{\frac {1}{3}}}}$и | т | ≥ 3 .

В 2015 году Моссингхофф и Трудджиан доказали что у дзеты нет нулей в области

$\sigma \geq 1-{\frac {1}{5.573412\log |t|}}$

для | т | ≥ 2 . Это самая большая известная область без нуля в критической полосе для $3.06\cdot 10^{10}<|t|<\exp(10151.5)\approx 5.5\cdot 10^{4408}$.

Самый сильный результат такого рода, на который можно надеяться, — это истинность гипотезы Римана, которая будет иметь множество глубоких последствий в теории чисел.

Другие результаты

Известно, что на критической прямой имеется бесконечно много нулей. Литтлвуд показал, что если последовательность ( γ _n ) содержит мнимые части всех нулей в верхней полуплоскости в порядке возрастания, то

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\gamma _{n+1}-\gamma _{n}\right)=0.$

Теорема о критической линии утверждает, что положительная доля нетривиальных нулей лежит на критической линии. (Гипотеза Римана предполагает, что эта пропорция равна 1.)

В критической полосе ноль с наименьшей неотрицательной мнимой частью равен 1/2 я ... + 14.13472514 ( OEIS : A058303 ) . Дело в том, что

$\zeta (s)={\overline {\zeta ({\overline {s}})}}$

для всех комплексных s ≠ 1 означает, что нули дзета-функции Римана симметричны относительно вещественной оси. Кроме того, объединяя эту симметрию с функциональным уравнением, можно увидеть, что нетривиальные нули симметричны относительно критической линии Re( s ) = 1 / 2 .

Также известно, что на строке с вещественной частью 1 нули не лежат.

Конкретные значения

Основная статья: Частные значения дзета-функции Римана

Для любого положительного четного целого числа 2 n ,

$$\zeta (2n)={\frac {|{B_{2n}}|(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}},$$

где B _{2 n} — 2 n -е число Бернулли . Для нечетных положительных целых чисел такое простое выражение неизвестно, хотя считается, что эти значения связаны с алгебраической K -теорией целых чисел; см. Специальные значения L -функций .

Для неположительных целых чисел имеется

$$\zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}$$

для n ≥ 0 (используя соглашение, что B ₁ = 1/2 ​ ) . В частности, ζ обращается в нуль при четных отрицательных целых числах, поскольку B _m = 0 для всех нечетных m , отличных от 1. Это так называемые «тривиальные нули» дзета-функции.

Путем аналитического продолжения можно показать, что

$$\zeta (-1)=-{\tfrac {1}{12}}$$

Это дает предлог для присвоения конечного значения расходящемуся ряду 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ , который использовался в определенных контекстах ( суммирование Рамануджана ), таких как теория струн . Аналогично, частное значение

$$\zeta (0)=-{\tfrac {1}{2}}$$

можно рассматривать как присвоение конечного результата расходящемуся ряду 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ .

Значение

$$\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}=-1.46035450880958681288\ldots$$

используется при расчете кинетических задач пограничного слоя линейных кинетических уравнений.

Хотя

$$\zeta (1)=1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\cdots$$

расходится, его главное значение Коши

$$\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon )+\zeta (1-\varepsilon )}{2}}$$

существует и равен константе Эйлера–Машерони γ = 0,5772... .

Демонстрация особой ценности

$$\zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$$

известна как Базельская проблема . Обратная величина этой суммы отвечает на вопрос: какова вероятность того, что два случайно выбранных числа окажутся относительно простыми ? Значение

$$\zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots =1.202056903159594285399...$$

— постоянная Апери .

Принимая предел $s\rightarrow +\infty$ через действительные числа можно получить $\zeta (+\infty )=1$. Но на комплексной бесконечности на сфере Римана дзета-функция имеет существенную особенность .

Различные свойства

О суммах, включающих дзета-функцию в целых и полуцелых значениях, см. рациональный дзета-ряд .

Взаимный

Обратная величина дзета-функции может быть выражена в виде ряда Дирихле по функции Мёбиуса µ ( n ) : .

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$

для любого комплексного числа s с действительной частью больше 1. Существует ряд подобных отношений с участием различных известных мультипликативных функций ; они приведены в статье о серии Дирихле .

Гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что это выражение справедливо, когда действительная часть s больше, чем 1 / 2 .

Универсальность

Критическая полоса дзета-функции Римана обладает замечательным свойством универсальности . Эта универсальность дзета-функции утверждает, что существует некоторое место на критической полосе, которое сколь угодно хорошо аппроксимирует любую голоморфную функцию . Поскольку голоморфные функции очень общие, это свойство весьма примечательно. Первое доказательство универсальности было предоставлено Сергеем Михайловичем Ворониным в 1975 году. Более поздние работы включали эффективные версии теоремы Воронина. и распространив его на L-функции Дирихле .

Оценки максимума модуля дзета-функции

Пусть функции F ( T ; H ) и G ( s ₀ ;Δ) определены равенствами

$F(T;H)=\max _{|t-T|\leq H}\left|\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)\right|,\qquad G(s_{0};\Delta )=\max _{|s-s_{0}|\leq \Delta }|\zeta (s)|.$

Здесь T — достаточно большое положительное число, < ≪ log log T , s0 _σ0 = , _iT + H 0 1/2 0 < Δ ≤ 0 σ _≤ 1 , < 1 / 3 . Оценка значений F и G снизу показывает, насколько большие (по модулю) значения ζ ( s ) могут принимать на коротких интервалах критической линии или в малых окрестностях точек, лежащих в критической полосе 0 ≤ Re( s ) ≤ 1 .

Случай H ≫ log log T изучал Канаканахалли Рамачандра ; случай ∆ > c , где c — достаточно большая константа, тривиален.

Anatolii Karatsuba proved, в частности, что если значения H и ∆ превосходят некоторые достаточно малые константы, то оценки

$F(T;H)\geq T^{-c_{1}},\qquad G(s_{0};\Delta )\geq T^{-c_{2}},$

где c ₁ и c ₂ — некоторые абсолютные константы.

Аргумент дзета-функции Римана

Функция

$S(t)={\frac {1}{\pi }}\arg {\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$

называется аргументом дзета-функции Римана. Здесь arg ζ ( 1/2 точки it + it ) — приращение произвольной непрерывной ветви arg ζ ( s ) вдоль ломаной, соединяющей , 2 + и 2 1/2 ​ ​ + оно .

Имеются некоторые теоремы о свойствах функции S ( t ) . Среди этих результатов являются теоремами о среднем значении для S ( t ) и его первого интеграла

$S_{1}(t)=\int _{0}^{t}S(u)\,\mathrm {d} u$

об интервалах вещественной прямой, а также теорема, утверждающая, что каждый интервал ( T , T + H ] для

$H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }$

содержит как минимум

$H{\sqrt[{3}]{\ln T}}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}$

точки, в которых функция S ( t ) меняет знак. Ранее аналогичные результаты были получены Атле Сельбергом для случая

$H\geq T^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }.$

Представления

Серия Дирихле

Расширение области сходимости можно получить, переставляя исходный ряд. Сериал

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {n}{(n+1)^{s}}}-{\frac {n-s}{n^{s}}}\right)$

сходится при Re( s ) > 0 , а

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n(n+1)}{2}}\left({\frac {2n+3+s}{(n+1)^{s+2}}}-{\frac {2n-1-s}{n^{s+2}}}\right)$

сходятся даже при Re( s ) > −1 . Таким образом, область сходимости может быть расширена до Re( s ) > − k для любого отрицательного целого числа − k .

Рекуррентная связь хорошо видна из выражения, справедливого для Re( s ) > −2 , позволяющего дальнейшее разложение путем интегрирования по частям.

${\begin{aligned}\zeta (s)=&1+{\frac {1}{s-1}}-{\frac {s}{2!}}[\zeta (s+1)-1]\\-&{\frac {s(s+1)}{3!}}[\zeta (s+2)-1]\\&-{\frac {s(s+1)(s+2)}{3!}}\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {t^{3}dt}{(n+t)^{s+3}}}\end{aligned}}$

Интегралы типа Меллина

Преобразование Меллина функции f ( x ) определяется как

$\int _{0}^{\infty }f(x)x^{s}\,{\frac {\mathrm {d} x}{x}}$

в области определения интеграла. Существуют различные выражения для дзета-функции в виде интегралов, подобных преобразованию Меллина. Если действительная часть s больше единицы, мы имеем

$\Gamma (s)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x\quad$ и $\quad \Gamma (s)\zeta (s)={\frac {1}{2s}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\cosh(x)-1}}\,\mathrm {d} x$,

где Γ обозначает гамма-функцию . Модифицируя контур , Риман показал, что

$2\sin(\pi s)\Gamma (s)\zeta (s)=i\oint _{H}{\frac {(-x)^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x$

для всех s (где H обозначает контур Ганкеля ).

Мы также можем найти выражения, относящиеся к простым числам и теореме о простых числах . Если π ( x ) — функция, считающая простые числа , то

$\ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{s}-1)}}\,\mathrm {d} x,$

для значений с Re( s ) > 1 .

Аналогичное преобразование Меллина включает функцию Римана J ( x ) , которая считает степени простых чисел p ^н с весом 1 / n , так что

$J(x)=\sum {\frac {\pi \left(x^{\frac {1}{n}}\right)}{n}}.$

Сейчас

$\ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }J(x)x^{-s-1}\,\mathrm {d} x.$

Эти выражения можно использовать для доказательства теоремы о простых числах с помощью обратного преобразования Меллина. Римана С функцией подсчета простых чисел легче работать, и π ( x ) можно восстановить из нее путем обращения Мёбиуса .

Тета-функции

Дзета-функция Римана может быть задана преобразованием Меллина

$2\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\theta (it)-1{\bigr )}t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t,$

в терминах тета-функции Якоби

$\theta (\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau }.$

Однако этот интеграл сходится только в том случае, если действительная часть s больше 1, но его можно регуляризовать. Это дает следующее выражение для дзета-функции, которое четко определено для всех s , кроме 0 и 1:

$\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s}}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\theta (it)-t^{-{\frac {1}{2}}}\right)t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t+{\frac {1}{2}}\int _{1}^{\infty }{\bigl (}\theta (it)-1{\bigr )}t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t.$

Лорановский сериал

Дзета-функция Римана мероморфна с единственным полюсом первого порядка при s = 1 . Поэтому его можно разложить в ряд Лорана относительно s = 1 ; тогда разработка сериала

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\gamma _{n}}{n!}}(1-s)^{n}.$

Константы γ _n здесь называются константами Стилтьеса и могут быть определены пределом

$\gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left(\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}\right)-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right)}.$

Постоянный член γ ₀ представляет собой постоянную Эйлера–Машерони .

Интеграл

Для всех s ∈ C , s ≠ 1 , интегральное соотношение (ср. формулу Абеля–Планы )

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t)}{\left(1+t^{2}\right)^{s/2}\left(e^{2\pi t}-1\right)}}\,\mathrm {d} t$

верно, что можно использовать для числовой оценки дзета-функции.

Восходящий факториал

Другое развитие ряда с использованием возрастающего факториала , действительного для всей комплексной плоскости:

$\zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (s+n)-1{\bigr )}{\frac {s(s+1)\cdots (s+n-1)}{(n+1)!}}.$

Это можно использовать рекурсивно для расширения определения ряда Дирихле на все комплексные числа.

Дзета-функция Римана также появляется в форме, аналогичной преобразованию Меллина в интеграле по оператору Гаусса–Кузьмина–Вирсинга, действующего на x ^{с - 1} ; этот контекст приводит к расширению ряда с точки зрения падающего факториала .

Произведение Адамара

На основе факторизационной теоремы Вейерштрасса . Адамар дал по бесконечному произведению разложение

$\zeta (s)={\frac {e^{\left(\log(2\pi )-1-{\frac {\gamma }{2}}\right)s}}{2(s-1)\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)e^{\frac {s}{\rho }},$

где произведение находится по нетривиальным нулям ρ функции ζ , а буква γ снова обозначает константу Эйлера – Маскерони . Более простое бесконечное расширение продукта :

$\zeta (s)=\pi ^{\frac {s}{2}}{\frac {\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)}{2(s-1)\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}.$

Эта форма ясно отображает простой полюс в точке s = 1 , тривиальные нули в точках −2, −4,... из-за члена гамма-функции в знаменателе и нетривиальные нули в точке s = ρ . (Чтобы обеспечить сходимость в последней формуле, произведение следует брать по «совпадающим парам» нулей, т.е. множители для пары нулей вида ρ и 1 − ρ следует объединить.)

Глобально

Глобально сходящийся ряд для дзета-функции, действительный для всех комплексных чисел s, кроме s = 1 + 2π i / ln 2 n для некоторого целого числа n было высказано Конрадом Кноппом в 1926 году. и доказано Гельмутом Хассе в 1930 году. (см. суммирование Эйлера ):

$\zeta (s)={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s}}}.$

Эта серия появилась в приложении к статье Хассе и была опубликована во второй раз Джонатаном Сондоу в 1994 году.

Хассе также доказал глобально сходящийся ряд

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s-1}}}$

в том же издании. Research by Iaroslav Blagouchine обнаружил, что аналогичная, эквивалентная серия была опубликована Джозефом Сером в 1926 году.

В 1997 году К. Масланка дал еще один глобально сходящийся (кроме s = 1 ) ряд для дзета-функции Римана:

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\biggl (}\prod _{i=1}^{k}(i-{\frac {s}{2}}){\biggl )}{\frac {A_{k}}{k!}}={\frac {1}{s-1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\biggl (}1-{\frac {s}{2}}{\biggl )}_{k}{\frac {A_{k}}{k!}}$

где действительные коэффициенты $A_{k}$ даны:

$A_{k}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}(2j+1)\zeta (2j+2)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {B_{2j+2}\pi ^{2j+2}}{\left(2\right)_{j}\left({\frac {1}{2}}\right)_{j}}}$

Здесь $B_{n}$ числа Бернулли и $(x)_{k}$ обозначает символ Поххаммера.

Обратите внимание, что это представление дзета-функции по сути представляет собой интерполяцию с узлами, где узлами являются точки. $s=2,4,6,\ldots$, то есть именно те, где значения дзета точно известны, как показал Эйлер. Элегантное и очень краткое доказательство этого представления дзета-функции, основанное на теореме Карлсона, было представлено Филиппом Флажоле в 2006 году.

Асимптотическое поведение коэффициентов $A_{k}$ довольно любопытно: для выращивания $k$ значений мы наблюдаем регулярные колебания с почти экспоненциально убывающей амплитудой и медленно убывающей частотой (примерно как $k^{-2/3}$). Используя метод перевала, мы можем показать, что

$A_{k}\sim {\frac {4\pi ^{3/2}}{\sqrt {3\kappa }}}\exp {\biggl (}-{\frac {3\kappa }{2}}+{\frac {\pi ^{2}}{4\kappa }}{\biggl )}\cos {\biggl (}{\frac {4\pi }{3}}-{\frac {3{\sqrt {3}}\kappa }{2}}+{\frac {{\sqrt {3}}\pi ^{2}}{4\kappa }}{\biggl )}$

где $\kappa$ означает:

$\kappa :={\sqrt[{3}]{\pi ^{2}k}}$

(видеть подробности).

На основе этого представления в 2003 году Луис Баес-Дуарте предложил новый критерий гипотезы Римана. А именно, если мы определим коэффициенты $c_{k}$ как

$c_{k}:=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}{\frac {1}{\zeta (2j+2)}}$

то гипотеза Римана эквивалентна

$c_{k}={\mathcal {O}}{\biggl (}k^{-3/4+\varepsilon }{\biggl )}\qquad (\forall \varepsilon >0)$

Быстро сходящийся ряд

Питер Борвейн разработал алгоритм, который применяет полиномы Чебышева к эта-функции Дирихле для получения очень быстро сходящегося ряда, подходящего для высокоточных численных расчетов .

Представление ряда в положительных целых числах через первоначальный

$\zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}}\qquad k=2,3,\ldots .$

Здесь p _n # — исходная последовательность, а J _k — тотент-функция Жордана .

поличислами

Функция ζ при Re( s ) > 1 может быть представлена ​​бесконечным рядом

$\zeta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\geq 2}^{(s)}{\frac {(W_{k}(-1))^{n}}{n!}},$

где k ∈ {−1, 0} , W _k — k- я ветвь Ламберта W -функции , а B ^{( м )}
_{n , ≥2} — неполное полибернуллиевское число.

Энгеля

Функция $g(x)=x\left(1+\left\lfloor x^{-1}\right\rfloor \right)-1$ повторяется для поиска коэффициентов, входящих в разложения Энгеля .

Меллина Преобразование карты $g(x)$ связана с дзета-функцией Римана формулой

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}g(x)x^{s-1}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}(x(n+1)-1)x^{s-1}\,dx\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{-s}(s-1)+(n+1)^{-s-1}(n^{2}+2n+1)+n^{-s-1}s-n^{1-s}}{(s+1)s(n+1)}}\\[6pt]&={\frac {\zeta (s+1)}{s+1}}-{\frac {1}{s(s+1)}}\end{aligned}}$

Последовательность Туэ-Морса

Определенные линейные комбинации рядов Дирихле, коэффициенты которых являются членами последовательности Туэ-Морса, приводят к тождествам, включающим дзета-функцию Римана (Tóth, 2022). ). Например:

${\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {5t_{n-1}+3t_{n}}{n^{2}}}&=4\zeta (2)={\frac {2\pi ^{2}}{3}},\\\sum _{n\geq 1}{\frac {9t_{n-1}+7t_{n}}{n^{3}}}&=8\zeta (3),\end{aligned}}$

где $(t_{n})_{n\geq 0}$ это $n^{\rm {th}}$член последовательности Туэ-Морса. Фактически для всех $s$ с действительной частью больше, чем $1$, у нас есть

$(2^{s}+1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n-1}}{n^{s}}}+(2^{s}-1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n}}{n^{s}}}=2^{s}\zeta (s).$

Численные алгоритмы

Классический алгоритм, использовавшийся примерно до 1930 года, основан на применении формулы Эйлера-Маклорена для получения для n и m положительных целых чисел:

$\zeta (s)=\sum _{j=1}^{n-1}j^{-s}+{\tfrac {1}{2}}n^{-s}+{\frac {n^{1-s}}{s-1}}+\sum _{k=1}^{m}T_{k,n}(s)+E_{m,n}(s)$

где, позволяя $B_{2k}$ обозначим указанное число Бернулли ,

$T_{k,n}(s)={\frac {B_{2k}}{(2k)!}}n^{1-s-2k}\prod _{j=0}^{2k-2}(s+j)$

и ошибка удовлетворяет

$|E_{m,n}(s)|<\left|{\frac {s+2m+1}{\sigma +2m+1}}T_{m+1,n}(s)\right|,$

с σ = Re( s ).

Современный численный алгоритм — алгоритм Одлыцко–Шенхаге .

Приложения

Дзета-функция встречается в прикладной статистике (см. закон Ципфа и закон Ципфа – Мандельброта ).

Регуляризация дзета-функции используется как один из возможных способов регуляризации расходящихся рядов и расходящихся интегралов в квантовой теории поля . В одном примечательном примере дзета-функция Римана явно проявляется в одном методе расчета эффекта Казимира . Дзета-функция также полезна для анализа динамических систем .

Музыкальный тюнинг

В теории музыкальных строев дзета-функция может использоваться для нахождения равных долей октавы (EDO), которые точно приближаются к интервалам гармонического ряда . Для увеличения значений $t\in \mathbb {R}$, значение

$\left\vert \zeta \left({\frac {1}{2}}+{\frac {2\pi {i}}{\ln {(2)}}}t\right)\right\vert$

пики вблизи целых чисел, соответствующих таким EDO. Примеры включают популярные варианты, такие как 12, 19 и 53.

Бесконечная серия

Дзета-функция, вычисляемая как равноотстоящие положительные целые числа, появляется в представлениях бесконечной серии ряда констант.

• $\sum _{n=2}^{\infty }{\bigl (}\zeta (n)-1{\bigr )}=1$

Фактически четные и нечетные члены дают две суммы

• $\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (2n)-1{\bigr )}={\frac {3}{4}}$

и

• $\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (2n+1)-1{\bigr )}={\frac {1}{4}}$

Параметризованные версии вышеуказанных сумм имеют вид

• $\sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n)-1)\,t^{2n}={\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}+{\frac {1}{2}}\left(1-\pi t\cot(t\pi )\right)$

и

• $\sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n+1)-1)\,t^{2n}={\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}-{\frac {1}{2}}\left(\psi ^{0}(t)+\psi ^{0}(-t)\right)-\gamma$

с $|t|<2$ и где $\psi$ и $\gamma$ – полигамма-функция и константа Эйлера соответственно, а также

• $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\,t^{2n}=\log \left({\dfrac {1-t^{2}}{\operatorname {sinc} (\pi \,t)}}\right)$

все из которых непрерывны в $t=1$. Другие суммы включают

• $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}=1-\gamma$
• $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}\left(\left({\tfrac {3}{2}}\right)^{n-1}-1\right)={\frac {1}{3}}\ln \pi$
• $\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (4n)-1{\bigr )}={\frac {7}{8}}-{\frac {\pi }{4}}\left({\frac {e^{2\pi }+1}{e^{2\pi }-1}}\right).$
• $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}\operatorname {Im} {\bigl (}(1+i)^{n}-(1+i)^{n}{\bigr )}={\frac {\pi }{4}}$

где Im обозначает мнимую часть комплексного числа.

Еще больше формул есть в статье « Гармоническое число».

Обобщения

Существует ряд связанных дзета-функций , которые можно рассматривать как обобщения дзета-функции Римана. К ним относится дзета-функция Гурвица.

$\zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+q)^{s}}}$

(представление сходящимся рядом было дано Гельмутом Хассе в 1930 году, ср. дзета-функция Гурвица ), которая совпадает с дзета-функцией Римана при q = 1 (нижний предел суммирования в дзета-функции Гурвица равен 0, а не 1), Дирихле L -функции и дзета-функция Дедекинда . связанные функции см. в статьях дзета-функция и L -функция. Другие

Полилогарифм выражением определяется

$\operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{s}}}$

которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 . Функция Клаузена Cl _s ( θ ) может быть выбрана как действительная или мнимая часть Li _s ( e ^iθ ) .

задается Трансцендент Лерха формулой

$\Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}$

которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 и q = 1 (нижний предел суммирования в трансценденте Лерха равен 0, а не 1).

Множественные дзета-функции определяются формулой

$\zeta (s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})=\sum _{k_{1}>k_{2}>\cdots >k_{n}>0}{k_{1}}^{-s_{1}}{k_{2}}^{-s_{2}}\cdots {k_{n}}^{-s_{n}}.$

Эти функции можно аналитически продолжить в n -мерное комплексное пространство. Специальные значения, принимаемые этими функциями при целочисленных положительных аргументах, теоретики чисел называют кратными дзета-значениями и связаны со многими различными разделами математики и физики.

См. также

• 1 + 2 + 3 + 4 + ···
• Арифметическая дзета-функция
• Обобщенная гипотеза Римана
• Пара Лемера
• Простая дзета-функция
• Функция Римана Си
• Перенормировка
• Тета-функция Римана – Зигеля
• ЗетаГрид

Ссылки

• Апостол, ТМ (2010). «Дзета и родственные функции» . В Олвере, Фрэнк У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.). Справочник NIST по математическим функциям . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-19225-5 . МР   2723248 . .
• Борвейн, Джонатан ; Брэдли, Дэвид М.; Крэндалл, Ричард (2000). «Вычислительные стратегии для дзета-функции Римана» (PDF) . Дж. Компьютер. Прил. Математика . 121 (1–2): 247–296. Бибкод : 2000JCoAM.121..247B . дои : 10.1016/S0377-0427(00)00336-8 . Архивировано из оригинала (PDF) 13 декабря 2013 года.
• Цвийович, Джурдже; Клиновски, Яцек (2002). «Интегральные представления дзета-функции Римана для нечетно-целых аргументов» . Дж. Компьютер. Прил. Математика . 142 (2): 435–439. Бибкод : 2002JCoAM.142..435C . дои : 10.1016/S0377-0427(02)00358-8 . МР   1906742 .
• Цвийович, Джурдже; Клиновски, Яцек (1997). «Разложения в непрерывные дроби для дзета-функции Римана и полилогарифмов» . Учеб. амер. Математика. Соц . 125 (9): 2543–2550. дои : 10.1090/S0002-9939-97-04102-6 .
• Эдвардс, HM (1974). Дзета-функция Римана . Академическая пресса. ISBN  0-486-41740-9 . Имеет английский перевод статьи Римана.
• Адамар, Жак (1896). «О распределении нулей функции ζ ( s ) и его арифметических следствиях» . Бюллетень Математического общества Франции . 14 : 199–220. дои : 10.24033/bsmf.545 .
• Харди, GH (1949). Дивергентный сериал . Кларендон Пресс, Оксфорд.
• Хассе, Гельмут (1930). -ряда Римана «Метод суммирования ζ ». Математика . 32 : 458-464. дои : 10.1007/BF01194645 . МР1545177   . S2CID   120392534 . (Выражение глобально сходящегося ряда.)
• Ивич, А. (1985). Дзета-функция Римана . Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-80634-Х .
• Мотохаси, Ю. (1997). Спектральная теория дзета-функции Римана . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0521445205 .
• Карацуба, А.А. ; Воронин, С.М. (1992). Дзета-функция Римана . Берлин: В. де Грюйтер.
• Мезё, Иштван; Дил, Айхан (2010). «Гипергармонический ряд с участием дзета-функции Гурвица». Журнал теории чисел . 130 (2): 360–369. дои : 10.1016/j.jnt.2009.08.005 . HDL : 2437/90539 . МР   2564902 . S2CID   122707401 .
• Монтгомери, Хью Л .; Воан, Роберт С. (2007). Мультипликативная теория чисел. I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Том. 97. Издательство Кембриджского университета. Ч. 10. ISBN  978-0-521-84903-6 .
• Ньюман, Дональд Дж. (1998). Аналитическая теория чисел . Тексты для аспирантов по математике . Том. 177. Шпрингер-Верлаг. Ч. 6. ISBN  0-387-98308-2 .
• Рао, Го (1996). «Распределение логарифмической производной дзета-функции Римана». Труды Лондонского математического общества . с3–72: 1–27. дои : 10.1112/plms/s3-72.1.1 .
• Риман, Бернхард (1859). «О количестве простых чисел данного размера» . Ежемесячные отчеты Берлинской академии . . В собрании сочинений Тойбнера, Лейпциг (1892 г.), перепечатано Дувром, Нью-Йорк (1953 г.).
• Сондоу, Джонатан (1994). «Аналитическое продолжение дзета-функции Римана и значений отрицательных целых чисел посредством преобразования рядов Эйлера» (PDF) . Учеб. амер. Математика. Соц . 120 (2): 421–424. дои : 10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7 .
• Титчмарш, EC (1986). Хит-Браун (ред.). Теория дзета-функции Римана (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета.
• Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж.Н. (1927). Курс современного анализа (4-е изд.). Издательство Кембриджского университета. Ч. 13.
• Чжао, Цзяньцян (1999). «Аналитическое продолжение нескольких дзета-функций» . Учеб. амер. Математика. Соц . 128 (5): 1275–1283. дои : 10.1090/S0002-9939-99-05398-8 . МР   1670846 .

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с дзета-функцией Римана, на Викискладе?
• «Дзета-функция» . Энциклопедия математики . ЭМС Пресс . 2001 [1994].
• Дзета-функция Римана в Wolfram Mathworld - объяснение с более математическим подходом
• Таблицы выбранных нулей. Архивировано 17 мая 2009 г. на Wayback Machine.
• Простые числа запутываются Общее, нетехническое описание значения дзета-функции по отношению к простым числам.
• Рентгеновский снимок дзета-функции Визуально ориентированное исследование того, где дзета реальна, а где чисто воображаема.
• Формулы и тождества для дзета-функции Римана function.wolfram.com
• Дзета-функция Римана и другие суммы обратных степеней , раздел 23.2 Абрамовица и Стегуна
• Френкель, Эдвард . «Математическая задача на миллион долларов» (видео) . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 года . Проверено 11 марта 2014 г.
• Преобразование Меллина и функциональное уравнение дзета-функции Римана. Вычислительные примеры методов преобразования Меллина, включающих дзета-функцию Римана.
• Визуализация дзета-функции Римана и аналитическое продолжение видео от 3Blue1Brown