Функциональное уравнение

В математике уравнение функциональное ^[1]^[2]^{[ неуместная цитата ]}В самом широком смысле это уравнение , в котором одна или несколько функций являются неизвестными . Итак, дифференциальные уравнения и интегральные уравнения являются функциональными уравнениями. Однако часто используется более ограниченное значение, когда функциональное уравнение — это уравнение, связывающее несколько значений одной и той же функции. Например, функции логарифмирования логарифмическим по существу характеризуются функциональным уравнением $\log(xy)=\log(x)+\log(y).$

Если предполагается, что областью определения неизвестной функции являются натуральные числа , функцию обычно рассматривают как последовательность , и в этом случае функциональное уравнение (в более узком смысле) называется рекуррентным соотношением . Таким образом, термин «функциональное уравнение» используется в основном для вещественных и комплексных функций . Более того, для решений часто предполагается условие гладкости , поскольку без такого условия большинство функциональных уравнений имеют очень нерегулярные решения. Например, гамма-функция — это функция, удовлетворяющая функциональному уравнению $f(x+1)=xf(x)$ и начальное значение $f(1)=1.$ Существует множество функций, удовлетворяющих этим условиям, но гамма-функция является единственной, которая мероморфна во всей комплексной плоскости и логарифмически выпукла для $x$ действительных и положительных значений ( теорема Бора – Моллерупа ).

Примеры [ править ]

Рекуррентные отношения можно рассматривать как функциональные уравнения в функциях над целыми или натуральными числами, в которых различия между индексами термов можно рассматривать как применение оператора сдвига . Например, рекуррентное соотношение, определяющее числа Фибоначчи , $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ , где $F_{0}=0$ и $F_{1}=1$

$f(x+P)=f(x)$ , характеризующее периодические функции

$f(x)=f(-x)$ , характеризующее четные функции , а также $f(x)=-f(-x)$ , характеризующее нечетные функции

$f(f(x))=g(x)$ , характеризующий функциональные квадратные корни функции g

$f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!$ ( функциональное уравнение Коши ), удовлетворяемое линейными отображениями . Уравнение может, в зависимости от выбранной аксиомы , также иметь другие патологические нелинейные решения, существование которых можно доказать с помощью базиса Гамеля для действительных чисел.
$f(x+y)=f(x)f(y),\,\!$ удовлетворяются все показательные функции . Как и аддитивное функциональное уравнение Коши, оно также может иметь патологические разрывные решения.
$f(xy)=f(x)+f(y)\,\!$ , удовлетворяемый всеми логарифмическими функциями и, по взаимно простым целым аргументам, аддитивными функциями
$f(xy)=f(x)f(y)\,\!$ , удовлетворяемый всеми степенными функциями и, по взаимно простым целым аргументам, мультипликативными функциями
$f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]\,\!$ (квадратное уравнение или закон параллелограмма )
$f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!$ ( Функциональное уравнение Дженсена )
$g(x+y)+g(x-y)=2[g(x)g(y)]\,\!$ ( функциональное уравнение Даламбера )
$f(h(x))=h(x+1)\,\!$ ( уравнение Абеля )
$f(h(x))=cf(x)\,\!$ ( уравнение Шредера ).
$f(h(x))=(f(x))^{c}\,\!$ ( уравнение Бетчера ).
$f(h(x))=h'(x)f(x)\,\!$ ( уравнение Джулии ).
$f(xy)=\sum g_{l}(x)h_{l}(y)\,\!$ (Леви-Чивита),
$f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)\,\!$ ( формула сложения синуса и формула сложения гиперболического синуса ),
$g(x+y)=g(x)g(y)-f(y)f(x)\,\!$ ( формула сложения косинусов ),
$g(x+y)=g(x)g(y)+f(y)f(x)\,\!$ ( формула сложения гиперболических косинусов ).
Коммутативные и представляют ассоциативные законы собой функциональные уравнения. В привычной форме закон ассоциативности выражается записью бинарной операции в инфиксной записи : $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)~,$ но если мы напишем f ( a , b ) вместо $a ○ b$ , то ассоциативный закон будет больше похож на обычное функциональное уравнение, $f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)).\,\!$

Функциональное уравнение $f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)$ удовлетворяется дзета-функцией Римана , как доказано здесь . Заглавная буква $Γ$ обозначает гамма-функцию .

Гамма-функция является единственным решением следующей системы трех уравнений: ^{[ нужна цитата ]}
- $f(x)={f(x+1) \over x}$
- $f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)$
- $f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}$ ( Эйлера формула отражения )
Функциональное уравнение $f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)$ где $a, b, c, d$ — целые числа , удовлетворяющие $ad-bc=1$ , то есть ${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}$ = 1, определяет $f$ как модулярную форму порядка $k$ .

Одна особенность, которой обладают все приведенные выше примеры ^{[ нужны разъяснения ]} Общим является то, что в каждом случае две или более известные функции (иногда умножение на константу, иногда сложение двух переменных, иногда тождественная функция ) находятся внутри аргумента неизвестных функций, которые необходимо решить. ^{[ нужна цитата ]}

Когда дело доходит до поиска всех решений, возможно, условия математического анализа следует применить ; например, в случае упомянутого выше уравнения Коши решения, которые являются непрерывными функциями, являются «разумными», в то время как другие решения, которые вряд ли будут иметь практическое применение, могут быть построены (с использованием базиса Гамеля для действительных чисел как векторное пространство над рациональными числами ). Теорема Бора – Моллерупа — еще один хорошо известный пример.

Инволюции [ править ]

Инволюции уравнением характеризуются функциональным $f(f(x))=x$ . Они появляются в функциональном уравнении Бэббиджа (1820 г.): ^[3]

f(f(x))=1-(1-x)=x\,.

Другие инволюции и решения уравнения включают

$f(x)=a-x\,,$
$f(x)={\frac {a}{x}}\,,$ и
$f(x)={\frac {b-x}{1+cx}}~,$

который включает предыдущие три как особые случаи или ограничения.

Решение [ править ]

Одним из методов решения элементарных функциональных уравнений является замена. ^{[ нужна цитата ]}

Некоторые решения функциональных уравнений используют сюръективность , инъективность , нечетность и четность . ^{[ нужна цитата ]}

Некоторые функциональные уравнения решены с использованием анзацев , математической индукции . ^{[ нужна цитата ]}

Некоторые классы функциональных уравнений можно решать с помощью компьютерных методов. ^{[ нечеткий ]}^[4]

В динамическом программировании разнообразные методы последовательного приближения. ^[5]^[6] используются для решения функционального уравнения Беллмана , включая методы, основанные на итерациях с фиксированной точкой .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Рассиас, Фемистокл М. (2000). Функциональные уравнения и неравенства . 3300 AA Дордрехт, Нидерланды: Kluwer Academic Publishers . п. 335. ИСБН 0-7923-6484-8 . {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )
^ Червик, Стивен (2002). Функциональные уравнения и неравенства с несколькими переменными . PO Box 128, Farrer Road, Сингапур 912805: World Scientific Publishing Co. п. 410 . ISBN 981-02-4837-7 . {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )
^ Ритт, Дж. Ф. (1916). «О некоторых действительных решениях функционального уравнения Бэббиджа». Анналы математики . 17 (3): 113–122. дои : 10.2307/2007270 . JSTOR 2007270 .
^ Хази, Аттила (1 марта 2004 г.). «Решение линейных функциональных уравнений с двумя переменными на компьютере». уравнения Математические 67 (1): 47–62. дои : 10.1007/s00010-003-2703-9 . ISSN 1420-8903 . S2CID 118563768 .
^ Беллман, Р. (1957). Динамическое программирование, Издательство Принстонского университета .
^ Снедович, М. (2010). Динамическое программирование: основы и принципы, Тейлор и Фрэнсис .

Ссылки [ править ]

Янош Ачель , Лекции по функциональным уравнениям и их приложениям , Academic Press , 1966, перепечатано Dover Publications, ISBN 0486445232 .
Янош Ачель и Дж. Домбрес, Функциональные уравнения с несколькими переменными , Cambridge University Press , 1989.
К. Эфтимиу, Введение в функциональные уравнения , AMS, 2011, ISBN 978-0-8218-5314-6 ; В сети .
Пл. Каннаппан, Функциональные уравнения и неравенства с приложениями , Springer, 2009.
Марек Кучма , Введение в теорию функциональных уравнений и неравенств , второе издание, Биркхойзер, 2009.
Хенрик Стеткер, Функциональные уравнения групп , первое издание, World Scientific Publishing, 2013.
Кристофер Г. Смолл (3 апреля 2007 г.). Функциональные уравнения и способы их решения . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48901-8 .

Внешние ссылки [ править ]

Функциональные уравнения: точные решения на EqWorld: мир математических уравнений.
Функциональные уравнения: индекс EqWorld: мир математических уравнений.
Текст сборника ИМО (в архиве) по функциональным уравнениям при решении задач.

[rassias-1] Рассиас, Фемистокл М. (2000). Функциональные уравнения и неравенства . 3300 AA Дордрехт, Нидерланды: Kluwer Academic Publishers . п. 335. ИСБН 0-7923-6484-8 . {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )

[rassias4-2] Червик, Стивен (2002). Функциональные уравнения и неравенства с несколькими переменными . PO Box 128, Farrer Road, Сингапур 912805: World Scientific Publishing Co. п. 410 . ISBN 981-02-4837-7 . {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )

[3] Ритт, Дж. Ф. (1916). «О некоторых действительных решениях функционального уравнения Бэббиджа». Анналы математики . 17 (3): 113–122. дои : 10.2307/2007270 . JSTOR 2007270 .

[4] Хази, Аттила (1 марта 2004 г.). «Решение линейных функциональных уравнений с двумя переменными на компьютере». уравнения Математические 67 (1): 47–62. дои : 10.1007/s00010-003-2703-9 . ISSN 1420-8903 . S2CID 118563768 .

[5] Беллман, Р. (1957). Динамическое программирование, Издательство Принстонского университета .

[6] Снедович, М. (2010). Динамическое программирование: основы и принципы, Тейлор и Фрэнсис .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]