Функциональное уравнение

Не путать с функциональной моделью .

В математике функциональное уравнение В самом широком смысле это уравнение , в котором одна или несколько функций являются неизвестными . Итак, дифференциальные уравнения и интегральные уравнения являются функциональными уравнениями. Однако часто используется более ограниченное значение, когда функциональное уравнение — это уравнение, связывающее несколько значений одной и той же функции. Например, функции логарифмирования логарифмическим по существу характеризуются функциональным уравнением $\log(xy)=\log(x)+\log(y).$

Если предполагается, что областью определения неизвестной функции являются натуральные числа , функцию обычно рассматривают как последовательность , и в этом случае функциональное уравнение (в более узком смысле) называется рекуррентным соотношением . Таким образом, термин «функциональное уравнение» используется в основном для вещественных и комплексных функций . Более того, для решений часто предполагается условие гладкости , поскольку без такого условия большинство функциональных уравнений имеют очень нерегулярные решения. Например, гамма-функция — это функция, удовлетворяющая функциональному уравнению $f(x+1)=xf(x)$ и начальное значение $f(1)=1.$ Существует множество функций, удовлетворяющих этим условиям, но гамма-функция является единственной, которая мероморфна во всей комплексной плоскости и логарифмически выпукла для x действительных и положительных значений ( теорема Бора – Моллерупа ).

Примеры

• Рекуррентные отношения можно рассматривать как функциональные уравнения в функциях над целыми или натуральными числами, в которых различия между индексами термов можно рассматривать как применение оператора сдвига . Например, рекуррентное соотношение, определяющее числа Фибоначчи , $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$, где $F_{0}=0$ и $F_{1}=1$

• $f(x+P)=f(x)$, характеризующее периодические функции

• $f(x)=f(-x)$, характеризующее четные функции , а также $f(x)=-f(-x)$, характеризующее нечетные функции

• $f(f(x))=g(x)$, характеризующий функциональные квадратные корни функции g

• $f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!$ ( функциональное уравнение Коши ), удовлетворяемое линейными отображениями . Уравнение может, в зависимости от выбранной аксиомы , также иметь другие патологические нелинейные решения, существование которых можно доказать с помощью базиса Гамеля для действительных чисел.
• $f(x+y)=f(x)f(y),\,\!$ удовлетворяются все показательные функции . Как и аддитивное функциональное уравнение Коши, оно также может иметь патологические разрывные решения.
• $f(xy)=f(x)+f(y)\,\!$, удовлетворяемый всеми логарифмическими функциями и, по взаимно простым целым аргументам, аддитивными функциями
• $f(xy)=f(x)f(y)\,\!$, удовлетворяемый всеми степенными функциями и, по взаимно простым целым аргументам, мультипликативными функциями
• $f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]\,\!$ (квадратное уравнение или закон параллелограмма )
• $f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!$ ( Функциональное уравнение Дженсена )
• $g(x+y)+g(x-y)=2[g(x)g(y)]\,\!$ ( функциональное уравнение Даламбера )
• $f(h(x))=h(x+1)\,\!$ ( уравнение Абеля )
• $f(h(x))=cf(x)\,\!$ ( уравнение Шредера ).
• $f(h(x))=(f(x))^{c}\,\!$ ( уравнение Бетчера ).
• $f(h(x))=h'(x)f(x)\,\!$ ( уравнение Джулии ).
• $f(xy)=\sum g_{l}(x)h_{l}(y)\,\!$ (Леви-Чивита),
• $f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)\,\!$ ( формула сложения синуса и формула сложения гиперболического синуса ),
• $g(x+y)=g(x)g(y)-f(y)f(x)\,\!$ ( формула сложения косинусов ),
• $g(x+y)=g(x)g(y)+f(y)f(x)\,\!$ ( формула сложения гиперболических косинусов ).
• Коммутативные представляют и ассоциативные законы собой функциональные уравнения. В привычной форме закон ассоциативности выражается записью бинарной операции в инфиксной записи :
  $$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)~,$$
  но если мы напишем f ( a , b ) вместо a ○ b , то ассоциативный закон будет больше похож на обычное функциональное уравнение,
  $$f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)).\,\!$$

• Функциональное уравнение
  $$f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)$$
  удовлетворяется дзета-функцией Римана , как доказано здесь . Заглавная буква Γ обозначает гамма-функцию .

• Гамма-функция является единственным решением следующей системы трех уравнений:
  • $f(x)={f(x+1) \over x}$
  • $f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)$
  • $f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}$          ( Эйлера формула отражения )
• Функциональное уравнение
  $$f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)$$
  где a , b , c , d — целые числа, удовлетворяющие $ad-bc=1$, то есть ${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}$ = 1, определяет f как модулярную форму порядка k .

Одна особенность, которой обладают все приведенные выше примеры. Общим является то, что в каждом случае две или более известные функции (иногда умножение на константу, иногда сложение двух переменных, иногда тождественная функция ) находятся внутри аргумента неизвестных функций, которые необходимо решить.

Когда дело доходит до поиска всех решений, возможно, условия математического анализа следует применить ; например, в случае упомянутого выше уравнения Коши решения, которые являются непрерывными функциями , являются «разумными», в то время как другие решения, которые вряд ли будут иметь практическое применение, могут быть построены (с использованием базиса Гамеля для действительных чисел как векторное пространство над рациональными числами ). Теорема Бора – Моллерупа — еще один хорошо известный пример.

Инволюции

Инволюции уравнением характеризуются функциональным $f(f(x))=x$. Они появляются в функциональном уравнении Бэббиджа (1820 г.):

$f(f(x))=1-(1-x)=x\,.$

Другие инволюции и решения уравнения включают

• $f(x)=a-x\,,$
• $f(x)={\frac {a}{x}}\,,$ и
• $f(x)={\frac {b-x}{1+cx}}~,$

который включает предыдущие три как особые случаи или ограничения.

Решение

Одним из методов решения элементарных функциональных уравнений является замена.

Некоторые решения функциональных уравнений используют сюръективность , инъективность , нечетность и четность .

Некоторые функциональные уравнения решены с использованием анзацев , математической индукции .

Некоторые классы функциональных уравнений можно решать с помощью компьютерных методов.

В динамическом программировании используются различные методы последовательного приближения. используются для решения функционального уравнения Беллмана , включая методы, основанные на итерациях с фиксированной точкой .

См. также

• Функциональное уравнение (L-функция)
• уравнение Беллмана
• Динамическое программирование
• Неявная функция
• Функционально-дифференциальное уравнение

Ссылки

• Янош Ачель , Лекции по функциональным уравнениям и их приложениям , Academic Press , 1966, перепечатано Dover Publications, ISBN   0486445232 .
• Янош Ачель и Дж. Домбрес, Функциональные уравнения с несколькими переменными , Cambridge University Press , 1989.
• К. Эфтимиу, Введение в функциональные уравнения , AMS, 2011, ISBN   978-0-8218-5314-6 ; онлайн .
• Пл. Каннаппан, Функциональные уравнения и неравенства с приложениями , Springer, 2009.
• Марек Кучма , Введение в теорию функциональных уравнений и неравенств , второе издание, Биркхойзер, 2009.
• Хенрик Стеткер, Функциональные уравнения групп , первое издание, World Scientific Publishing, 2013.
• Кристофер Г. Смолл (3 апреля 2007 г.). Функциональные уравнения и способы их решения . Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-48901-8 .

Внешние ссылки

• Функциональные уравнения: точные решения на EqWorld: мир математических уравнений.
• Функциональные уравнения: индекс EqWorld: мир математических уравнений.
• Текст сборника ИМО (в архиве) по функциональным уравнениям при решении задач.