Теорема Бора – Моллерупа

В математическом анализе теорема Бора – Моллерупа ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} — теорема, доказанная датскими математиками Харальдом Бором и Йоханнесом Моллерупом . ^{[ 3 ]} Теорема характеризует гамма -функцию , определенную при $x > 0$ выражением

\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t

как единственная положительная функция $f$ с областью определения на интервале $x > 0$ , которая одновременно обладает следующими тремя свойствами:

$f (1) = 1$ и
$f (x + 1) = x f (x)$ для $x > 0$ и
$f$ выпукла логарифмически .

Трактовка этой теоремы содержится в Артина книге «Гамма-функция» . ^{[ 4 ]} который был переиздан AMS в сборнике сочинений Артина. ^{[ 5 ]}

Теорема была впервые опубликована в учебнике по комплексному анализу , поскольку Бор и Моллерап считали, что она уже доказана. ^{[ 3 ]}

Теорема допускает далеко идущее обобщение на широкий круг функций (обладающих свойствами выпуклости или вогнутости любого порядка). ^{[ 6 ]}

Заявление

Теорема Бора–Моллерапа.

Γ(x)

— единственная функция, которая удовлетворяет условию

f (x + 1) = x f (x)

с

log(f (x))

выпуклым, а также с

f (1) = 1

.

Доказательство

Пусть $Γ(x)$ — функция с предполагаемыми свойствами, установленными выше: $Γ(x + 1) = x Γ(x)$ и $log(Γ(x))$ выпуклая и $Γ(1) = 1$ . Из $Γ(x + 1) = x Γ(x)$ мы можем установить

\Gamma (x+n)=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots (x+1)x\Gamma (x)

Цель условия, согласно которому $Γ(1) = 1,$ заставляет $свойство Γ(x + 1) = x Γ(x)$ дублировать факториалы целых чисел, поэтому теперь мы можем заключить, что $Γ(n) = (n - 1) !$ если $n \in N$ и если $Γ(x)$ вообще существует. Благодаря нашему соотношению для $Γ(x + n)$ , если мы можем полностью понять $Γ(x)$ для $0 < x \leq 1$ , то мы понимаем $Γ(x)$ для всех значений $x$ .

Для $x 1$ , $x 2$ наклон $S (x 1, x 2)$ отрезка, соединяющего точки $(x 1, log(Γ (x 1)))$ и $(x 2, log(Γ (x 2)) )$ монотонно возрастает по каждому аргументу при $x 1 < x 2,$ так как мы оговорили, что $log(Γ(x))$ выпукло. Таким образом, мы знаем, что

S(n-1,n)\leq S(n,n+x)\leq S(n,n+1)\quad {\text{for all }}x\in (0,1].

После упрощения с использованием различных свойств логарифма и последующего возведения в степень (что сохраняет неравенства, поскольку показательная функция монотонно возрастает) получаем

(n-1)^{x}(n-1)!\leq \Gamma (n+x)\leq n^{x}(n-1)!.

Судя по предыдущей работе, это расширяется до

(n-1)^{x}(n-1)!\leq (x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x\Gamma (x)\leq n^{x}(n-1)!,

и так

{\frac {(n-1)^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}}\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right).

Последняя строка – сильное заявление. В частности, это верно для всех значений $n$ . То есть $Γ(x)$ не больше правой части для любого выбора $n$ , и аналогично $Γ(x)$ не меньше левой части для любого другого выбора $n$ . Каждое отдельное неравенство стоит отдельно и может интерпретироваться как независимое утверждение. По этой причине мы можем выбирать разные значения $n$ для правой и левой частей. В частности, если мы оставим $n$ для правой части и выберем $n + 1$ для левой, мы получим:

{\begin{aligned}{\frac {((n+1)-1)^{x}((n+1)-1)!}{(x+(n+1)-1)(x+(n+1)-2)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\\{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\end{aligned}}

Из этой последней строки видно, что функция помещается между двумя выражениями — распространенный метод анализа для доказательства различных вещей, таких как существование предела или сходимости. Пусть $n \to \infty$ :

\lim _{n\to \infty }{\frac {n+x}{n}}=1

поэтому левая часть последнего неравенства в пределе равна правой части и

{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}

находится между ними. Это может означать только то, что

\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}=\Gamma (x).

В контексте данного доказательства это означает, что

\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}

имеет три указанных свойства, принадлежащих $Γ(x)$ . Кроме того, доказательство дает конкретное выражение для $Γ(x)$ . И последняя важная часть доказательства — помнить, что предел последовательности уникален. Это означает, что для любого выбора $0 < x \leq 1$ может существовать только одно возможное число $Γ(x)$ . Следовательно, не существует другой функции со всеми свойствами, присущими $Γ(x)$ .

Остающийся незавершенным вопрос — это вопрос доказательства того, что $Γ(x)$ имеет смысл для всех $x$ , где

\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}

существует. Проблема в том, что наше первое двойное неравенство

S(n-1,n)\leq S(n+x,n)\leq S(n+1,n)

был построен с ограничением $0 < x \leq 1$ . Если, скажем, $x > 1$ , то тот факт, что $S$ монотонно возрастает, приведет к тому, что $S (n + 1, n) < S (n + x, n)$ , что противоречит неравенству, на котором построено все доказательство. Однако,

{\begin{aligned}\Gamma (x+1)&=\lim _{n\to \infty }x\cdot \left({\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\right){\frac {n}{n+x+1}}\\\Gamma (x)&=\left({\frac {1}{x}}\right)\Gamma (x+1)\end{aligned}}

который демонстрирует, как загрузить $Γ(x)$ для всех значений $x$ , где определен предел.

См. также

Теорема Виланда

Ссылки

^ «Теорема Бора – Моллерупа» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
^ Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Бора – Моллерупа» . Математический мир .
^ Перейти обратно: ^а ^б Моллерап Дж., Бор Х. (1922). Учебник по комплексному анализу, том. III, Копенгаген . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Артин, Эмиль (1964). Гамма-функция . Холт, Райнхарт, Уинстон.
^ Розен, Майкл (2006). Экспозиция Эмиля Артина: Выбор . Американское математическое общество.
^ Ж.-Л. Маришаль; Н. Зенаиди (2022). Обобщение теоремы Бора-Моллерупа для выпуклых функций высшего порядка . Развитие математики. Том. 70. Развитие математики, Том. 70. Шпрингер, Шам, Швейцария. дои : 10.1007/978-3-030-95088-0 . ISBN 978-3-030-95087-3 .

[1] «Теорема Бора – Моллерупа» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Бора – Моллерупа» . Математический мир .

[BM-3] Перейти обратно: ^а ^б Моллерап Дж., Бор Х. (1922). Учебник по комплексному анализу, том. III, Копенгаген . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[4] Артин, Эмиль (1964). Гамма-функция . Холт, Райнхарт, Уинстон.

[5] Розен, Майкл (2006). Экспозиция Эмиля Артина: Выбор . Американское математическое общество.

[6] Ж.-Л. Маришаль; Н. Зенаиди (2022). Обобщение теоремы Бора-Моллерупа для выпуклых функций высшего порядка . Развитие математики. Том. 70. Развитие математики, Том. 70. Шпрингер, Шам, Швейцария. дои : 10.1007/978-3-030-95088-0 . ISBN 978-3-030-95087-3 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]