Математический анализ

Странный аттрактор , возникающий из дифференциального уравнения . Дифференциальные уравнения — важная область математического анализа, имеющая множество приложений в науке и технике.

Анализ — это раздел математики, занимающийся непрерывными функциями , пределами и связанными с ними теориями, такими как дифференцирование , интегрирование , мера , бесконечные последовательности , ряды и аналитические функции .

Эти теории обычно изучаются в контексте действительных и комплексных чисел и функций . Анализ развился из исчисления , которое включает в себя элементарные понятия и методы анализа. Анализ можно отличить от геометрии ; однако его можно применить к любому пространству математических объектов , имеющему определение близости ( топологическое пространство ) или определенных расстояний между объектами ( метрическое пространство ).

История

Архимед использовал метод исчерпания , чтобы вычислить площадь внутри круга, находя площадь правильных многоугольников с все большим и большим количеством сторон. Это был ранний, но неформальный пример предела , одного из самых основных понятий математического анализа.

Древний

Математический анализ формально был разработан в 17 веке во время научной революции . но многие из его идей восходят к более ранним математикам. Ранние результаты анализа неявно присутствовали на заре древнегреческой математики . Например, бесконечная геометрическая сумма подразумевается в Зенона парадоксе дихотомии . (Строго говоря, суть парадокса заключается в отрицании существования бесконечной суммы.) Позже греческие математики, такие как Евдокс и Архимед, стали более явно, но неформально использовать концепции пределов и сходимости, когда они использовали метод исчерпания. вычислять площадь и объём областей и тел. Явное использование бесконечно малых чисел » Архимеда появляется в « Методе механических теорем , работе, заново открытой в 20 веке. В Азии китайский математик Лю Хуэй в III веке нашей эры использовал метод истощения, чтобы найти площадь круга. Судя по джайнской литературе, индуисты владели формулами суммы арифметических и геометрических рядов еще в IV веке до нашей эры. Ачарья Бхадрабаху в своей Кальпасутре в 433 г. до н.э. использует сумму геометрической прогрессии

Средневековый

Цзу Чунчжи разработал метод позже будет назван принципом Кавальери . определения объема сферы, который в V веке В XII веке индийский математик Бхаскара II использовал бесконечно малые числа и применил то, что сейчас известно как теорема Ролля .

В 14 веке Мадхава из Сангамаграмы разработал бесконечные разложения в ряды, теперь называемые рядами Тейлора , таких функций, как синус , косинус , тангенс и арктангенс . Наряду с разработкой рядов Тейлора для тригонометрических функций он также оценил величину погрешностей, возникающих в результате усечения этих рядов, и дал рациональное приближение некоторых бесконечных рядов. Его последователи из Школы астрономии и математики Кералы еще больше расширили его работы до 16 века.

Современный

Фундаменты

Современные основы математического анализа были заложены в Европе 17 века. Это началось, когда Ферма и Декарт разработали аналитическую геометрию , которая является предшественником современного исчисления. Ферма Метод адекватности позволил ему определить максимумы и минимумы функций, а также касательные кривых. Публикация Декарта «Геометрии» в 1637 году, в которой была введена декартова система координат , считается установлением математического анализа. Несколько десятилетий спустя Ньютон и Лейбниц независимо друг от друга разработали исчисление бесконечно малых , которое, благодаря стимулированию прикладных работ, продолжавшихся в XVIII веке, переросло в такие темы анализа, как вариационное исчисление , обыкновенные и дифференциальные уравнения уравнения в частных производных , анализ Фурье. , и производящие функции . В этот период методы исчисления применялись для аппроксимации дискретных задач непрерывными.

Модернизация

В 18 веке Эйлер ввёл понятие математической функции . Настоящий анализ начал проявляться как самостоятельный предмет, когда Бернар Больцано в 1816 году представил современное определение непрерывности. но работы Больцано не стали широко известны до 1870-х годов. В 1821 году Коши начал ставить исчисление на прочную логическую основу, отвергнув принцип общности алгебры, широко использовавшийся в более ранних работах, особенно Эйлера. Вместо этого Коши сформулировал исчисление в терминах геометрических идей и бесконечно малых . Таким образом, его определение непрерывности требовало, чтобы бесконечно малое изменение x соответствовало бесконечно малому изменению y . Он также ввел понятие последовательности Коши и положил начало формальной теории комплексного анализа . Пуассон , Лиувилл , Фурье и другие изучали уравнения в частных производных и гармонический анализ . Вклад этих и других математиков, таких как Вейерштрасс , развил подход (ε, δ)-определения предела , тем самым основав современную область математического анализа. Примерно в то же время Риман представил свою теорию интеграции и добился значительных успехов в комплексном анализе.

К концу 19 в. ^й века математики начали беспокоиться о том, что они предполагают существование континуума действительных чисел без доказательств. Затем Дедекинд сконструировал действительные числа с помощью дедекиндовых разрезов , в которых формально определены иррациональные числа, которые служат для заполнения «промежутков» между рациональными числами, создавая тем самым полный набор: континуум действительных чисел, который уже был разработан Саймоном Стевином. с точки зрения десятичных разложений . Примерно в это же время попытки уточнить теоремы привели интегрирования Римана к изучению «размера» множества разрывов действительных функций.

Также различные патологические объекты (такие как нигде не непрерывные функции , непрерывные, но нигде не дифференцируемые функции и кривые, заполняющие пространство начали исследовать ), широко известные как «монстры». В этом контексте Джордан разработал свою теорию меры , Кантор разработал то, что сейчас называется наивной теорией множеств , а Бэр доказал теорему Бэра о категориях . В начале 20 века исчисление было формализовано с использованием аксиоматической теории множеств . Лебег значительно усовершенствовал теорию меры и представил свою собственную теорию интегрирования, теперь известную как интеграция Лебега , которая оказалась большим улучшением по сравнению с теорией Римана. Гильберт ввел гильбертовы пространства для решения интегральных уравнений . Идея нормированного векторного пространства витала в воздухе, и в 1920-х годах Банах создал функциональный анализ .

Важные понятия

Метрические пространства

Основная статья: Метрическое пространство

В математике метрическое пространство — это набор , в котором определено понятие расстояния (называемого метрикой ) между элементами набора.

Большая часть анализа происходит в некотором метрическом пространстве; наиболее часто используемыми являются действительная линия , комплексная плоскость , евклидово пространство , другие векторные пространства и целые числа . Примеры анализа без метрики включают теорию меры (которая описывает размер, а не расстояние) и функциональный анализ (который изучает топологические векторные пространства , которые не обязательно должны иметь какое-либо чувство расстояния).

Формально метрическое пространство представляет собой упорядоченную пару $(M,d)$ где $M$ представляет собой набор и $d$ является показателем ​ $M$, т. е. функция

$d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$

такой, что для любого $x,y,z\in M$, имеет место следующее:

1. $d(x,y)\geq 0$, с равенством тогда и только тогда, когда $x=y$ ( идентичность неразличимых ),
2. $d(x,y)=d(y,x)$ ( симметрия ) и
3. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ ( неравенство треугольника ).

Взяв третье имущество и сдав $z=x$, можно показать, что $d(x,y)\geq 0$ ( неотрицательный ).

Последовательности и ограничения

Основная статья: Последовательность

См. Также: Предел последовательности.

Последовательность представляет собой упорядоченный список. Подобно набору , он содержит члены (также называемые элементами или терминами ). В отличие от набора, порядок имеет значение, и одни и те же элементы могут появляться несколько раз в разных позициях последовательности. Точнее, последовательность можно определить как функцию , областью определения которой является счетное полностью упорядоченное множество, например натуральные числа .

Одним из наиболее важных свойств последовательности является сходимость . Неформально последовательность сходится, если она имеет предел . Продолжая неформально, ( единственно бесконечная ) последовательность имеет предел, если она приближается к некоторой точке x , называемой пределом, когда n становится очень большим. То есть для абстрактной последовательности ( a _n ) (где n принимается от 1 до бесконечности) расстояние между n _{приближается к} и x 0 при n → ∞, что обозначается

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=x.$

Основные отрасли

Исчисление

Основная статья: Исчисление

Реальный

Основная статья: Реальный анализ

Реальный анализ (традиционно «теория функций действительной переменной») — раздел математического анализа, изучающий действительные числа и вещественнозначные функции действительной переменной. В частности, он касается аналитических свойств действительных функций и последовательностей , включая сходимость и пределы последовательностей и действительных чисел, исчисление действительных чисел, а также гладкость непрерывность, связанные с ними свойства вещественных функций.

Комплексный анализ

Основная статья: Комплексный анализ

Комплексный анализ (традиционно известный как «теория функций комплексной переменной») — раздел математического анализа, изучающий функции комплексных чисел . Он полезен во многих разделах математики, включая алгебраическую геометрию , теорию чисел , прикладную математику ; а также в физике , включая гидродинамику , термодинамику , машиностроение , электротехнику и особенно, квантовую теорию поля .

Комплексный анализ особенно касается аналитических функций комплексных переменных (или, в более общем плане, мероморфных функций ). Поскольку отдельные действительные и мнимые части любой аналитической функции должны удовлетворять уравнению Лапласа , комплексный анализ широко применим к двумерным задачам физики .

Функциональный анализ

Основная статья: Функциональный анализ

Функциональный анализ — это раздел математического анализа, ядро ​​которого составляет изучение векторных пространств , наделенных некоторой предельной структурой (например, скалярным произведением , нормой , топологией и т. д.) и линейными операторами , действующими на эти пространства. и уважать эти структуры в должном смысле. Исторические корни функционального анализа лежат в изучении пространств функций и формулировке свойств преобразований функций, таких как преобразование Фурье, как преобразований, определяющих непрерывные , унитарные и т. д. операторы между функциональными пространствами. Эта точка зрения оказалась особенно полезной при изучении дифференциальных и интегральных уравнений .

Гармонический анализ

Основная статья: Гармонический анализ

Гармонический анализ — это раздел математического анализа, занимающийся представлением функций и сигналов в виде суперпозиции основных волн . Сюда входит изучение понятий рядов Фурье и преобразований Фурье ( анализ Фурье ), а также их обобщений. Гармонический анализ находит применение в таких разнообразных областях, как теория музыки , теория чисел , теория представлений , обработка сигналов , квантовая механика , приливной анализ и нейробиология .

Дифференциальные уравнения

Основная статья: Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение — математическое уравнение для неизвестной функции одной или нескольких переменных , связывающее значения самой функции и ее производных различных порядков . Дифференциальные уравнения играют заметную роль в технике , физике , экономике , биологии и других дисциплинах.

Дифференциальные уравнения возникают во многих областях науки и техники, особенно всякий раз, когда известно или постулируется детерминированное соотношение, включающее некоторые непрерывно меняющиеся величины (моделируемые функциями) и скорости их изменения в пространстве или времени (выраженные как производные). Это иллюстрируется классической механикой , где движение тела описывается его положением и скоростью при изменении значения времени. Законы Ньютона позволяют (с учетом положения, скорости, ускорения и различных сил, действующих на тело) динамически выражать эти переменные в виде дифференциального уравнения для неизвестного положения тела как функции времени. В некоторых случаях это дифференциальное уравнение (называемое уравнением движения ) можно решить явно.

Теория меры

Основная статья: Мера (математика)

Мера набора — это систематический способ присвоения числа каждому подходящему подмножеству этого набора, что интуитивно интерпретируется как его размер. В этом смысле мера является обобщением понятий длины, площади и объема. Особенно важным примером является мера Лебега в евклидовом пространстве , которая присваивает обычные длину , площадь и объём евклидовой геометрии подходящим подмножествам евклидовой геометрии. $n$-мерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$. Например, мера Лебега интервала $\left[0,1\right]$ в действительных числах – это его длина в обычном смысле слова – конкретно, 1.

Технически мера — это функция, которая присваивает неотрицательное действительное число или +∞ (определенным) подмножествам набора. $X$. Он должен присваивать 0 пустому множеству и быть ( счетно ) аддитивным: мера «большого» подмножества, которое можно разложить на конечное (или счетное) число «меньших» непересекающихся подмножеств, представляет собой сумму мер «меньшие» подмножества. В общем, если кто-то хочет связать согласованный размер с каждым подмножеством данного набора, удовлетворяя при этом другие аксиомы меры, можно найти только тривиальные примеры, такие как считающая мера . Эта проблема была решена путем определения меры только для подмножества всех подмножеств; так называемые измеримые подмножества, которые необходимы для формирования $\sigma$-алгебра . Это означает, что пустое множество, счетные объединения , счетные пересечения и дополнения измеримых подмножеств измеримы. Неизмеримые множества в евклидовом пространстве, на которых мера Лебега не может быть непротиворечиво определена, обязательно сложны в том смысле, что они сильно перемешаны со своим дополнением. Действительно, их существование является нетривиальным следствием аксиомы выбора .

Численный анализ

Основная статья: Численный анализ

Численный анализ — это исследование алгоритмов , использующих численную аппроксимацию (в отличие от общих символьных манипуляций ) для задач математического анализа (в отличие от дискретной математики ).

Современный численный анализ не ищет точных ответов, потому что точные ответы часто невозможно получить на практике. Вместо этого большая часть численного анализа связана с получением приближенных решений при сохранении разумных границ ошибок.

Численный анализ, естественно, находит применение во всех областях техники и физических наук, но в 21 веке науки о жизни и даже искусство переняли элементы научных вычислений. Обыкновенные дифференциальные уравнения возникают в небесной механике (планеты, звезды и галактики); численная линейная алгебра важна для анализа данных; стохастические дифференциальные уравнения и цепи Маркова необходимы при моделировании живых клеток в медицине и биологии.

Векторный

Основная статья: Вектор (математика и физика)

См. Также: История векторного анализа и векторного анализа.

Векторный анализ — это раздел математического анализа, изучающий значения, которые имеют как величину, так и направление. Некоторые примеры векторов включают скорость, силу и смещение. Векторы обычно ассоциируются со скалярами, значениями, которые описывают величину.

Скалярный анализ

Основная статья: Скаляр (математика)

Скалярный анализ — это раздел математического анализа, изучающий значения, связанные с масштабом, а не с направлением. Такие значения, как температура, являются скалярными, поскольку они описывают величину значения без учета направления, силы или смещения, которое это значение может иметь или не иметь.

Тензорный анализ

Основная статья: Тензорное поле

Другие темы

• Вариационное исчисление имеет дело с экстремизацией функционалов , в отличие от обычного исчисления , которое имеет дело с функциями .
• Гармонический анализ имеет дело с представлением функций или сигналов в виде суперпозиции основных волн .
• Геометрический анализ предполагает использование геометрических методов при изучении уравнений в частных производных и применение теории уравнений в частных производных к геометрии.
• Анализ Клиффорда , исследование функций со значениями Клиффорда, которые аннулируются операторами Дирака или Дирака, обычно называемыми моногенными или аналитическими функциями Клиффорда.
• p -адический анализ , изучение анализа в контексте p -адических чисел , которое некоторым интересным и удивительным образом отличается от своих реальных и сложных аналогов.
• Нестандартный анализ , который исследует гипердействительные числа и их функции и дает строгую трактовку бесконечно малых и бесконечно больших чисел.
• Вычислимый анализ — изучение тех частей анализа, которые могут быть выполнены вычислимым способом.
• Стохастическое исчисление – аналитические понятия, разработанные для случайных процессов .
• Многозначный анализ - применяет идеи анализа и топологии к многозначным функциям.
• Выпуклый анализ , исследование выпуклых множеств и функций.
• Идемпотентный анализ – анализ в контексте идемпотентного полукольца , где отсутствие аддитивного обратного несколько компенсируется идемпотентным правилом A + A = A.
  • Тропический анализ - анализ идемпотентного полукольца, называемого тропическим полукольцом (или алгеброй макс-плюс / алгеброй мин-плюс ).
• Конструктивный анализ , построенный на основе конструктивной , а не классической логики и теории множеств.
• Интуиционистский анализ , который развивается на основе конструктивной логики, такой как конструктивный анализ, но также включает в себя последовательности выбора .
• Паранепротиворечивый анализ , построенный на основе паранепротиворечивой , а не классической логики и теории множеств.
• Гладкий бесконечно малый анализ , который развивается в гладком топосе.

Приложения

Методы анализа также встречаются в других областях, таких как:

Физические науки

Подавляющее большинство классической механики , теории относительности и квантовой механики основано на прикладном анализе, и на дифференциальных уравнениях в частности . Примеры важных дифференциальных уравнений включают второй закон Ньютона , уравнение Шредингера и уравнения поля Эйнштейна .

Функциональный анализ также является важным фактором в квантовой механике .

Обработка сигналов

При обработке сигналов, таких как звук , радиоволны , световые волны, сейсмические волны и даже изображения, анализ Фурье может изолировать отдельные компоненты составного сигнала, концентрируя их для облегчения обнаружения или удаления. Большое семейство методов обработки сигналов состоит из преобразования Фурье сигнала, простого манипулирования преобразованными Фурье данными и обратного преобразования.

Другие области математики

Методы анализа используются во многих областях математики, в том числе:

• Аналитическая теория чисел
• Аналитическая комбинаторика
• Непрерывная вероятность
• Дифференциальная энтропия в теории информации
• Дифференциальные игры
• Дифференциальная геометрия , применение исчисления к конкретным математическим пространствам, известным как многообразия , которые обладают сложной внутренней структурой, но локально ведут себя просто.
• Дифференцируемые многообразия
• Дифференциальная топология
• Уравнения в частных производных

Знаменитые

• Основы анализа: арифметика целых рациональных, иррациональных и комплексных чисел, Эдмунд Ландау
• Introductory Real Analysis, by Andrey Kolmogorov , Sergei Fomin
• Дифференциальное и интегральное исчисление (3 тома), Григорий Фихтенгольц
• Основы математического анализа (2 тома), Григорий Фихтенгольц
• Курс математического анализа (2 тома) Сергея Никольского
• Математический анализ (2 тома) Владимира Зорича.
• Курс высшей математики (5 томов, 6 частей) Владимира Смирнова
• Дифференциальное и интегральное исчисление, Николай Пискунов.
• Курс математического анализа Александра Хинчина
• Математический анализ: специальный курс, Георгий Шилов
• Теория функций действительной переменной (2 тома), Исидор Натансон
• Задачи математического анализа Бориса Демидовича.
• Проблемы и теоремы анализа (2 тома), Джордж Пойя , Габор Сегё
• Математический анализ: современный подход к углубленному исчислению, Том Апостол
• Принципы математического анализа, Вальтер Рудин
• Реальный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертовые пространства, Элиас Штайн
• Комплексный анализ: введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной, Ларс Альфорс
• Комплексный анализ, Элиас Штайн
• Функциональный анализ: введение в дополнительные темы анализа, Элиас Штайн
• Анализ (2 тома), Теренс Тао
• Анализ (3 тома), Герберт Аманн, Иоахим Эшер
• Real and Functional Analysis, by Vladimir Bogachev, Oleg Smolyanov
• Реальный и функциональный анализ, Серж Ланг.

См. также

• Конструктивный анализ
• История исчисления
• Гиперкомплексный анализ
• Множественные проблемы, основанные на правилах
• Многомерное исчисление
• Паранепротиворечивая логика
• Гладкий бесконечно малый анализ
• Хронология исчисления и математического анализа

Дальнейшее чтение

• Александров, А.Д. ; Колмогоров А.Н. ; Лаврентьев М.А. , ред. (март 1969 г.). Математика: ее содержание, методы и значение . Том. 1–3. Перевод Гулда С.Х. (2-е изд.). Кембридж, Массачусетс: MIT Press / Американское математическое общество .
• Апостол, Том М. (1974). Математический анализ (2-е изд.). Аддисон-Уэсли . ISBN  978-0201002881 .
• Бинмор, Кеннет Джордж (1981) [1981]. Основы анализа: простое введение . Издательство Кембриджского университета .
• Джонсонбо, Ричард ; Пфаффенбергер, Уильям Элмер (1981). Основы математического анализа . Нью-Йорк: М. Деккер .
• Nikol'skiĭ [Нико́льский], Sergey Mikhailovich [Серге́й Миха́йлович] (2002). "Mathematical analysis" . In Hazewinkel, Michiel (ed.). Encyclopaedia of Mathematics . Springer-Verlag . ISBN  978-1402006098 .
• Фуско, Никола ; Марчеллини, Паоло ; Сбордоне, Карло (1996). Математический анализ два (на итальянском языке). Liguori Editore . ISBN  978-8820726751 .
• Ромбальди, Жан-Этьен (2004). Элементы реального анализа: CAPES и внутренняя математическая агрегация (на французском языке). ЭДП наук . ISBN  978-2868836816 .
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . ISBN  978-0070542358 .
• Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . ISBN  978-0070542341 .
• Уиттакер, Эдмунд Тейлор ; Уотсон, Джордж Невилл (2 января 1927 г.). Курс современного анализа: введение в общую теорию бесконечных процессов и аналитических функций; с описанием основных трансцендентных функций (4-е изд.). Кембридж: в University Press . ISBN  0521067944 . (vi+608 страниц) (переиздано: 1935, 1940, 1946, 1950, 1952, 1958, 1962, 1963, 1992)
• «Реальный анализ – конспекты курса» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 19 апреля 2007 г.

Внешние ссылки

• Самые ранние известные варианты использования некоторых слов математики: исчисление и анализ
• Базовый анализ: введение в реальный анализ, Иржи Лебл ( Creative Commons BY-NC-SA )
• Математический анализ - Британская энциклопедия
• Исчисление и анализ