Классическая теория поля

Классическая теория поля — это физическая теория , которая предсказывает, как одно или несколько полей в физике взаимодействуют с материей посредством уравнений поля , без учета эффектов квантования ; Теории, включающие в себя квантовую механику, называются квантовыми теориями поля . В большинстве случаев «классическая теория поля» специально предназначена для описания электромагнетизма и гравитации , двух фундаментальных сил природы.

Физическое поле можно рассматривать как задание физической величины в каждой точке пространства и времени . Например, в прогнозе погоды скорость ветра над страной в течение дня описывается путем присвоения вектора каждой точке пространства. Каждый вектор представляет направление движения воздуха в этой точке, поэтому набор всех векторов ветра на территории в данный момент времени представляет собой векторное поле . В течение дня направления векторов меняются по мере изменения направления ветра.

Первые теории поля, ньютоновская гравитация и уравнения электромагнитных полей Максвелла были разработаны в классической физике до появления теории относительности в 1905 году, и их пришлось пересмотреть, чтобы они соответствовали этой теории. Следовательно, классические теории поля обычно делятся на нерелятивистские и релятивистские . Современные теории поля обычно выражаются с использованием математики тензорного исчисления . Более поздний альтернативный математический формализм описывает классические поля как части математических объектов, называемых расслоениями .

Нерелятивистские теории поля

Некоторые из простейших физических полей являются векторными силовыми полями. Исторически впервые поля были восприняты всерьез при описании Фарадея силовых линий при описании электрического поля . Затем аналогичным образом было описано гравитационное поле .

Ньютоновская гравитация

Первой полевой теорией гравитации была теория гравитации Ньютона, в которой взаимное взаимодействие двух масс подчиняется закону обратных квадратов . Это было очень полезно для предсказания движения планет вокруг Солнца.

Любое массивное тело М имеет гравитационное поле g , описывающее его влияние на другие массивные тела. Гравитационное поле M в точке r в пространстве находится путем определения силы F , которую M оказывает на небольшую пробную массу m, расположенную в точке r , и последующего деления ее на m :

$$\mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}.$$

Условие, что m намного меньше, чем M, гарантирует, что присутствие m оказывает незначительное влияние на поведение M .

Согласно закону всемирного тяготения Ньютона , F ( r ) определяется выражением

$$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},$$

где ${\hat {\mathbf {r} }}$— единичный вектор , указывающий вдоль линии от M до m , а G Ньютона — гравитационная постоянная . Следовательно, гравитационное поле M равно

$$\mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.$$

Экспериментальное наблюдение того, что инертная масса и гравитационная масса равны с беспрецедентным уровнем точности, приводит к идентификации напряженности гравитационного поля как идентичной ускорению, испытываемому частицей. Это отправная точка принципа эквивалентности , который ведет к общей теории относительности .

Для дискретного набора масс Mi _, расположенных в точках r _i , гравитационное поле в точке r, обусловленное массами, равно

$$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\sum _{i}{\frac {M_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {r_{i}} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}}\,,$$

Если вместо этого у нас есть непрерывное распределение массы ρ , сумма заменяется интегралом:

$$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\iiint _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x} )d^{3}\mathbf {x} (\mathbf {r} -\mathbf {x} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {x} |^{3}}}\,,$$

Обратите внимание, что направление поля указывает от положения r к положению масс r _i ; это обеспечивается знаком минус. Короче говоря, это означает, что все массы притягиваются.

В интегральной форме закон гравитации Гаусса имеет вид

$$\iint \mathbf {g} \cdot d\mathbf {S} =-4\pi GM$$

в то время как в дифференциальной форме это

$$\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho _{m}$$

Следовательно, гравитационное поле g можно записать через градиент гравитационного потенциала φ ( r ) :

$$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \phi (\mathbf {r} ).$$

следствие F. консервативности гравитационной силы Это

Электромагнетизм

Электростатика

Основная статья: Электростатика

с На заряженную пробную частицу зарядом q действует сила F , основанная исключительно на ее заряде. Мы можем аналогичным образом описать электрическое поле E , создаваемое зарядом источника Q, что F = qE так :

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{q}}.$$

Используя этот закон и закон Кулона, электрическое поле, создаваемое одной заряженной частицей, равно

$$\mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\,.$$

Электрическое поле консервативно и, следовательно, определяется градиентом скалярного потенциала V ( r )

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} )\,.$$

Закон Гаусса для электричества имеет интегральную форму.

$$\iint \mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$$

в дифференциальной форме

$$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{e}}{\varepsilon _{0}}}\,.$$

Магнитостатика

Основная статья: Магнитостатика

Постоянный ток I, текущий по пути ℓ, будет оказывать на близлежащие заряженные частицы силу, количественно отличающуюся от силы электрического поля, описанной выше. Сила, действующая со стороны I на близлежащий заряд q со скоростью v , равна

$$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ),$$

где B ( r ) — магнитное поле , которое определяется из I по закону Био–Савара :

$$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int {\frac {d{\boldsymbol {\ell }}\times d{\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.$$

Магнитное поле вообще не консервативно и, следовательно, обычно не может быть записано в терминах скалярного потенциала. Однако его можно записать через векторный потенциал : A ( r )

$$\mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )$$

Закон Гаусса для магнетизма в интегральной форме:

$$\iint \mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0,$$

в то время как в дифференциальной форме это

$$\nabla \cdot \mathbf {B} =0.$$

Физическая интерпретация состоит в том, что магнитных монополей не существует .

Электродинамика

Основная статья: Электродинамика

В общем, при наличии как плотности заряда ρ ( r , t ), так и плотности тока J ( r , t ), будет существовать как электрическое, так и магнитное поле, и оба будут меняться во времени. Они определяются уравнениями Максвелла , набором дифференциальных уравнений, которые напрямую связывают и B с плотностью электрического заряда (заряд на единицу объема) ρ и плотностью тока (электрический ток на единицу площади) J. E

Альтернативно можно описать систему через ее скалярный и векторный V и A. потенциалы Набор интегральных уравнений, известных как запаздывающие потенциалы, позволяет рассчитать V и A по ρ и J , и оттуда электрические и магнитные поля определяются соотношениями

$$\mathbf {E} =-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$$

$$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .$$

Механика сплошных сред

Гидродинамика

Основная статья: Гидродинамика

В гидродинамике есть поля давления, плотности и скорости потока, которые связаны законами сохранения энергии и импульса. Уравнение неразрывности массы — это уравнение неразрывности, представляющее сохранение массы.

$${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$$

а уравнения Навье – Стокса представляют сохранение импульса в жидкости, найденное на основе законов Ньютона, примененных к жидкости:

$${\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \mathbf {b}$$

плотность ρ , давление p , тензор девиаторных напряжений τ жидкости, а также внешние объемные силы b если заданы u . Поле скорости — это векторное поле, которое необходимо найти.

Другие примеры

В 1839 году Джеймс МакКаллах представил уравнения поля для описания отражения и преломления в «Очерке динамической теории кристаллического отражения и преломления».

теория

Термин « теория потенциала » возник из-за того, что в физике XIX века считалось, что фундаментальные силы природы возникают из скалярных потенциалов , которые удовлетворяют уравнению Лапласа . Пуассон обратился к вопросу устойчивости планетных орбит , который уже был решен Лагранжем в первой степени приближения от сил возмущения, и вывел уравнение Пуассона , названное в его честь. Общий вид этого уравнения:

$$\nabla ^{2}\phi =\sigma$$

где σ — функция источника (как плотность, количество на единицу объема), а ø — скалярный потенциал, который необходимо найти.

В ньютоновской гравитации; массы являются источниками поля, поэтому силовые линии заканчиваются на объектах, имеющих массу. Точно так же заряды являются источниками и стоками электростатических полей: положительные заряды испускают линии электрического поля, а силовые линии оканчиваются отрицательными зарядами. Эти концепции поля также проиллюстрированы в общей теореме о дивергенции , в частности, в законе Гаусса для гравитации и электричества. В случаях не зависящей от времени гравитации и электромагнетизма поля представляют собой градиенты соответствующих потенциалов.

$$\mathbf {g} =-\nabla \phi _{g}\,,\quad \mathbf {E} =-\nabla \phi _{e}$$

поэтому подстановка их в закон Гаусса для каждого случая дает

$$\nabla ^{2}\phi _{g}=4\pi G\rho _{g}\,,\quad \nabla ^{2}\phi _{e}=4\pi k_{e}\rho _{e}=-{\rho _{e} \over \varepsilon _{0}}$$

где ρ _g — плотность массы , ρ _{e —} плотность заряда , G — гравитационная постоянная и k _e = 1/4πε _{0 —} электрическая силовая константа.

Между прочим, это сходство возникает из-за сходства закона тяготения Ньютона и закона Кулона .

В случае, когда нет исходного члена (например, вакуума или парных зарядов), эти потенциалы подчиняются уравнению Лапласа :

$$\nabla ^{2}\phi =0.$$

Для распределения массы (или заряда) потенциал можно разложить в ряд сферических гармоник , причем n- й член ряда можно рассматривать как потенциал, возникающий из-за 2 ^н -моменты (см. мультипольное разложение ). Для многих целей в расчетах необходимы только монопольные, дипольные и квадрупольные члены.

Релятивистская теория поля

Основная статья: Ковариантная классическая теория поля

Современные формулировки классических теорий поля обычно требуют лоренц-ковариации, поскольку теперь она признана фундаментальным аспектом природы. Теория поля имеет тенденцию выражаться математически с использованием лагранжианов . Это функция, которая, будучи подчинена принципу действия , приводит к уравнениям поля и закону сохранения теории. Действие представляет собой скаляр Лоренца, из которого можно легко вывести уравнения поля и симметрии.

Всюду мы используем такие единицы, что скорость света в вакууме равна 1, т. е. c = 1.

динамика

Основная статья: Лагранжиан (теория поля)

Учитывая тензор поля $\phi$, скаляр, называемый плотностью Лагранжа

$${\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,\partial \partial \phi ,\ldots ,x)$$

может быть построен из $\phi$и его производные. Из этой плотности можно построить функционал действия путем интегрирования по пространству-времени:

$${\mathcal {S}}=\int {{\mathcal {L}}{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}.$$

Где ${\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x$ — это форма объема в искривленном пространстве-времени. $(g\equiv \det(g_{\mu \nu }))$

Следовательно, сам лагранжиан равен интегралу от плотности лагранжиана по всему пространству.

Тогда, применяя принцип действия , получаются уравнения Эйлера – Лагранжа

$${\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)+\cdots +(-1)^{m}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\phi )}}\right)=0.$$

Релятивистские поля

Ниже описаны две наиболее известные лоренц-ковариантные классические теории поля.

Электромагнетизм

Основные статьи: Электромагнитное поле и электромагнетизм

Исторически первыми (классическими) теориями поля были теории, описывающие электрическое и магнитное поля (отдельно). После многочисленных экспериментов было установлено, что эти два поля связаны между собой, или, по сути, являются двумя аспектами одного и того же поля: электромагнитного поля . взаимодействие Теория электромагнетизма Максвелла описывает заряженной материи с электромагнитным полем. Первая формулировка этой теории поля использовала векторные поля для описания электрических и магнитных полей. С появлением специальной теории относительности более полная формулировка с использованием тензорных была найдена полей. Вместо использования двух векторных полей, описывающих электрическое и магнитное поля, используется тензорное поле, представляющее эти два поля вместе.

Электромагнитный четырехпотенциал определяется как A _a = (− φ , A ) и электромагнитный четырехток j _a = (− ρ , j ) . Электромагнитное поле в любой точке пространства-времени описывается антисимметричным тензором электромагнитного поля (0,2)-ранга.

$$F_{ab}=\partial _{a}A_{b}-\partial _{b}A_{a}.$$

Лагранжиан

Чтобы получить динамику этого поля, мы пытаемся построить скаляр из поля. В вакууме мы имеем

$${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}\,.$$

Мы можем использовать теорию калибровочного поля, чтобы получить член взаимодействия, и это дает нам

$${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}-j^{a}A_{a}\,.$$

Уравнения

Чтобы получить уравнения поля, электромагнитный тензор в лагранжевой плотности необходимо заменить его определением в терминах 4-потенциала A , и именно этот потенциал входит в уравнения Эйлера-Лагранжа. ЭМ поле F в уравнениях ЭЛ не меняется. Поэтому,

$$\partial _{b}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{b}A_{a}\right)}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}\,.$$

Вычисление производной плотности Лагранжа по компонентам поля

$${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}=\mu _{0}j^{a}\,,$$

и производные компонент поля

$${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{b}A_{a})}}=F^{ab}\,,$$

получает уравнения Максвелла в вакууме. Исходные уравнения (закон Гаусса для электричества и закон Максвелла-Ампера) имеют вид

$$\partial _{b}F^{ab}=\mu _{0}j^{a}\,.$$

в то время как два других (закон Гаусса для магнетизма и закон Фарадея) получены из того факта, что F является 4-витком A , или, другими словами, из того факта, что тождество Бьянки справедливо для тензора электромагнитного поля.

$$6F_{[ab,c]}\,=F_{ab,c}+F_{ca,b}+F_{bc,a}=0.$$

где запятая указывает на частную производную .

Гравитация

Основная статья: Гравитация

Дополнительная информация: Общая теория относительности и уравнение поля Эйнштейна.

После того, как ньютоновская гравитация оказалась несовместимой со специальной теорией относительности , Альберт Эйнштейн сформулировал новую теорию гравитации, названную общей теорией относительности . Здесь гравитация рассматривается как геометрическое явление («искривленное пространство-время »), вызванное массами, и представляет гравитационное поле математически в виде тензорного поля , называемого метрическим тензором . Уравнения поля Эйнштейна описывают, как возникает эта кривизна. Ньютоновская гравитация Эйнштейна теперь заменена общей теорией относительности , в которой гравитация рассматривается как результат искривления пространства-времени , вызванного массами. Уравнения поля Эйнштейна,

$$G_{ab}=\kappa T_{ab}$$

описать, как эта кривизна создается материей и излучением, где G _ab — тензор Эйнштейна ,

$$G_{ab}\,=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}$$

записанный через тензор Риччи R _ab и скаляр Риччи R = R _ab g ^аб , T _ab — тензор энергии-импульса и κ = 8 πG / c ⁴ является константой. В отсутствие материи и излучения (включая источники) вакуумного поля уравнения

$$G_{ab}=0$$

может быть получено путем варьирования действия Эйнштейна – Гильберта ,

$$S=\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x$$

относительно метрики, где g — определитель метрического тензора g ^аб . Решения уравнений вакуумного поля называются вакуумными решениями . Альтернативная интерпретация, предложенная Артуром Эддингтоном , заключается в том, что $R$ является фундаментальным, $T$ является лишь одним из аспектов $R$, и $\kappa$ обусловлен выбором единиц измерения.

Дальнейшие примеры

Дальнейшие примеры лоренц-ковариантных классических теорий поля:

• Теория Клейна-Гордона для действительных или комплексных скалярных полей
• Теория Дирака для спинорного поля Дирака
• Теория Янга–Миллса для неабелева калибровочного поля

Попытки объединения

Основная статья: Классические единые теории поля

Попытки создать единую теорию поля на основе классической физики — это классические единые теории поля. В годы между двумя мировыми войнами идею объединения гравитации с электромагнетизмом активно продвигали несколько математиков и физиков, таких как Альберт Эйнштейн , Теодор Калуца , Герман Вейль , Артур Эддингтон , Густав Мие и Эрнст Райхенбахер.

Ранние попытки создания такой теории были основаны на включении электромагнитных полей в геометрию общей теории относительности . В 1918 году аргументы в пользу первой геометризации электромагнитного поля были предложены Германом Вейлем. В 1919 году идею пятимерного подхода предложил Теодор Калуца . теория под названием « Теория Калуцы-Клейна» На основе этого была разработана . Он пытается объединить гравитацию и электромагнетизм в пятимерном пространстве-времени . Существует несколько способов расширения репрезентативной структуры единой теории поля, которые рассматривались Эйнштейном и другими исследователями. Эти расширения в целом основаны на двух вариантах. Первый вариант основан на смягчении условий, наложенных на исходную формулировку, второй — на введении в теорию других математических объектов. Примером первого варианта является ослабление ограничений на четырехмерное пространство-время за счет рассмотрения многомерных представлений. Это используется в теории Калуцы-Клейна . Во-вторых, наиболее ярким примером является концепция аффинной связи , которая была введена в общую теорию относительности главным образом благодаря работам Туллио Леви-Чивита и Германа Вейля .

Дальнейшее развитие квантовой теории поля изменило фокус поиска единой теории поля с классического описания на квантовое. Из-за этого многие физики-теоретики отказались от поисков классической единой теории поля. Квантовая теория поля предполагает объединение двух других фундаментальных сил природы : сильного и слабого ядерного взаимодействия , действующих на субатомном уровне.

См. также

• Релятивистские волновые уравнения
• Квантовая теория поля
• Классические единые теории поля
• Вариационные методы в общей теории относительности
• Поле Хиггса (классическое)
• Лагранжиан (теория поля)
• Гамильтонова теория поля
• Ковариантная гамильтонова теория поля

Ссылки

Источники

• Трусделл, К. ; Тупин, Р.А. (1960). «Классические теории поля». Во Флюгге, Зигфрид (ред.). Основы классической механики и теории поля/Принципы классической механики и теории поля . Справочник по физике (Энциклопедия физики). Том III/1. Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 226–793. Збл   0118.39702 .

Внешние ссылки

• Тиде, Бо . «Теория электромагнитного поля» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 17 сентября 2003 г. Проверено 14 февраля 2006 г.
• Кэрролл, Шон М. (1997). «Конспекты лекций по общей теории относительности». arXiv : gr-qc/9712019 . Бибкод : 1997gr.qc....12019C . {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )
• Бинни, Джеймс Дж. «Конспекты лекций по классическим областям» (PDF) . Проверено 30 апреля 2007 г.
• Сарданашвили, Г. (ноябрь 2008 г.). «Передовая классическая теория поля». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 5 (7): 1163–1189. arXiv : 0811.0331 . Бибкод : 2008IJGMM..05.1163S . дои : 10.1142/S0219887808003247 . ISBN  978-981-283-895-7 . S2CID   13884729 .