Конформная теория поля

Конформная теория поля ( КТП ) — это квантовая теория поля , инвариантная относительно конформных преобразований . В двух измерениях существует бесконечномерная алгебра локальных конформных преобразований, и конформные теории поля иногда могут быть точно решены или классифицированы.

Конформная теория поля имеет важные приложения. к физике конденсированного состояния , статистической механике , квантовой статистической механике и теории струн . Статистические и конденсированные системы действительно часто конформно инвариантны в своих термодинамических или квантовых критических точках .

инвариантности

В квантовой теории поля масштабная инвариантность является обычной и естественной симметрией, поскольку любая фиксированная точка ренормгруппы по определению масштабно-инвариантна. Конформная симметрия сильнее масштабной инвариантности, и нужны дополнительные предположения. утверждать, что оно должно появиться в природе. Основная идея, лежащая в основе ее правдоподобия, заключается в том, что течения инвариантных теорий локального масштаба определяются выражением $T_{\mu \nu }\xi ^{\nu }$ где $\xi ^{\nu }$ является вектором Киллинга и $T_{\mu \nu }$ является сохраняющимся оператором (тензором напряжений) размерности ровно $d$. Чтобы связанные симметрии включали масштаб, но не конформные преобразования, трасса $T_{\mu }^{\mu }$ должна быть ненулевой полной производной, что означает, что существует несохраняющийся оператор размерности точно $d-1$.

При некоторых предположениях можно полностью исключить этот тип неперенормировки и, следовательно, доказать, что масштабная инвариантность влечет за собой конформную инвариантность в квантовой теории поля, например, в унитарных компактных конформных теориях поля в двух измерениях.

может Хотя квантовая теория поля быть масштабно-инвариантной, но не конформно-инвариантной, примеры редки. По этой причине эти термины часто используются как взаимозаменяемые в контексте квантовой теории поля.

Два измерения

Число независимых конформных преобразований бесконечно в двух измерениях и конечно в более высоких измерениях. Это делает конформную симметрию гораздо более ограничивающей в двух измерениях. Все конформные теории поля разделяют идеи и методы конформного бутстрапа . Но полученные уравнения более эффективны в двух измерениях, где они иногда могут быть точно решены (например, в случае минимальных моделей ), в отличие от более высоких измерений, где доминируют численные подходы.

Развитие конформной теории поля в двумерном случае произошло раньше и глубже, в частности после статьи Белавина, Полякова и Замолодчикова 1983 года. Термин конформная теория поля иногда использовался в значении двумерной конформной теории поля , как в названии учебника 1997 года. Конформные теории поля более высокой размерности стали более популярными благодаря соответствию AdS/CFT в конце 1990-х годов и развитию численных методов конформного бутстрепа в 2000-х годах.

Глобальная и локальная конформная симметрия

Глобальная конформная группа сферы Римана — это группа преобразований Мёбиуса. $PSL_{2}(\mathbb {C} )$, который конечномерен. С другой стороны, бесконечно малые конформные преобразования образуют бесконечномерную алгебру Витта : конформные уравнения Киллинга в двух измерениях, $\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }=\partial \cdot \xi \eta _{\mu \nu },~$ свести к уравнениям Коши-Римана, $\partial _{\bar {z}}\xi (z)=0=\partial _{z}\xi ({\bar {z}})$, бесконечность мод произвольных аналитических преобразований координат $\xi (z)$ дают бесконечность векторных полей Киллинга $z^{n}\partial _{z}$.

Строго говоря, двумерная конформная теория поля может быть локальной (в смысле наличия тензора напряжений), но при этом проявлять лишь инвариантность относительно глобальной $PSL_{2}(\mathbb {C} )$. Оказывается, это уникально для неунитарных теорий; примером является бигармонический скаляр. Это свойство следует рассматривать как даже более специальное, чем масштаб без конформной инвариантности, поскольку оно требует $T_{\mu }^{\mu }$ быть полной второй производной.

Глобальная конформная симметрия в двух измерениях является частным случаем конформной симметрии в более высоких измерениях и изучается с помощью тех же методов. Это делается не только в теориях, которые имеют глобальную, но не локальную конформную симметрию, но также и в теориях, которые имеют локальную конформную симметрию, с целью проверки методов или идей многомерной КТМ. В частности, методы численного бутстрапа можно протестировать, применив их к минимальным моделям и сравнив результаты с известными аналитическими результатами, которые следуют из локальной конформной симметрии.

Вирасоро

Основная статья: Двумерная конформная теория поля

В конформно-инвариантной двумерной квантовой теории алгебра Витта бесконечно малых конформных преобразований должна быть центрально расширена . Таким образом, алгебра квантовой симметрии — это алгебра Вирасоро , которая зависит от числа, называемого центральным зарядом . Это центральное расширение также можно понимать в терминах конформной аномалии .

показал, Александр Замолодчиков что существует функция, которая монотонно убывает под действием ренормгруппового потока двумерной квантовой теории поля и равна центральному заряду для двумерной конформной теории поля. Это известно как C-теорема Замолодчикова и говорит нам, что поток ренормгруппы в двух измерениях необратим.

Алгебра симметрий конформно-инвариантной квантовой теории не только центрально расширена, но и комплексуется, в результате чего возникают две копии алгебры Вирасоро. В евклидовой КТМ эти копии называются голоморфными и антиголоморфными. В лоренцевой КТМ их называют левосторонними и праводвижущими. Обе копии имеют один и тот же центральный заряд.

Пространство состояний теории является представлением произведения двух алгебр Вирасоро. Это пространство является гильбертовым, если теория унитарна. Это пространство может содержать состояние вакуума или, в статистической механике, тепловое состояние. Если центральный заряд не исчезнет, ​​не может существовать состояние, в котором вся бесконечномерная конформная симметрия не будет нарушена. Лучшее, что мы можем иметь, — это состояние, инвариантное относительно генераторов. $L_{n\geq -1}$ алгебры Вирасоро, базой которой является $(L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$. Здесь находятся генераторы $L_{-1},L_{0},L_{1}$глобальных конформных преобразований. Остальная часть конформной группы спонтанно разрушается.

Конформная симметрия

Основная статья: Конформная симметрия

и

Для данного пространства-времени и метрики конформное преобразование — это преобразование, сохраняющее углы. Мы сосредоточимся на конформных преобразованиях квартиры. $d$-мерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{d}$ или пространства Минковского $\mathbb {R} ^{1,d-1}$.

Если $x\to f(x)$ является конформным преобразованием, якобиан $J_{\nu }^{\mu }(x)={\frac {\partial f^{\mu }(x)}{\partial x^{\nu }}}$ имеет форму

$J_{\nu }^{\mu }(x)=\Omega (x)R_{\nu }^{\mu }(x),$

где $\Omega (x)$ масштабный коэффициент, а $R_{\nu }^{\mu }(x)$ представляет собой вращение (т.е. ортогональную матрицу) или преобразование Лоренца.

Конформная группа

Конформная группа локально изоморфна $SO(1,d+1)$ (евклидово) или $SO(2,d)$(Минковский). Сюда входят сдвиги, повороты (Евклидовы) или преобразования Лоренца (Минковский), а также расширения, т.е. масштабные преобразования.

$x^{\mu }\to \lambda x^{\mu }.$

Сюда же относятся специальные конформные преобразования. Для любого перевода $T_{a}(x)=x+a$, существует специальное конформное преобразование

$S_{a}=I\circ T_{a}\circ I,$

где $I$ является ли инверсия такой, что

$I\left(x^{\mu }\right)={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}.$

В сфере $S^{d}=\mathbb {R} ^{d}\cup \{\infty \}$, инверсия меняется $0$ с $\infty$. Переводы оставляют $\infty$ фиксированным, а специальные конформные преобразования оставляют $0$ зафиксированный.

Конформная

Коммутационные соотношения соответствующей алгебры Ли имеют вид

${\begin{aligned}[][P_{\mu },P_{\nu }]&=0,\\[][D,K_{\mu }]&=-K_{\mu },\\[][D,P_{\mu }]&=P_{\mu },\\[][K_{\mu },K_{\nu }]&=0,\\[][K_{\mu },P_{\nu }]&=\eta _{\mu \nu }D-iM_{\mu \nu },\end{aligned}}$

где $P$ создавать переводы , $D$ вызывает расширения, $K_{\mu }$ генерировать специальные конформные преобразования и $M_{\mu \nu }$генерировать вращения или преобразования Лоренца. Тензор $\eta _{\mu \nu }$ — плоская метрика.

Глобальные проблемы

В пространстве Минковского конформная группа не сохраняет причинность . Наблюдаемые, такие как корреляционные функции, инвариантны относительно конформной алгебры, но не относительно конформной группы. Как показали Люшер и Мак, можно восстановить инвариантность относительно конформной группы, расширив плоское пространство Минковского до лоренцева цилиндра. Исходное пространство Минковского конформно эквивалентно области цилиндра, называемой заплаткой Пуанкаре. В цилиндре глобальные конформные преобразования не нарушают причинность: вместо этого они могут перемещать точки за пределы пятна Пуанкаре.

Корреляционные функции и конформный бутстрап

В подходе конформного бутстрепа конформная теория поля представляет собой набор корреляционных функций, которые подчиняются ряду аксиом.

The $n$-точечная корреляционная функция $\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle$ является функцией позиций $x_{i}$ и другие параметры полей $O_{1},\dots ,O_{n}$. В бутстрап-подходе сами поля имеют смысл только в контексте корреляционных функций и могут рассматриваться как эффективные обозначения для записи аксиом корреляционных функций. Корреляционные функции линейно зависят от полей, в частности $\partial _{x_{1}}\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle =\left\langle \partial _{x_{1}}O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle$.

Мы ориентируемся на ЦФТ в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{d}$. В данном случае корреляционные функции являются функциями Швингера . Они определены для $x_{i}\neq x_{j}$, и не зависят от порядка полей. В пространстве Минковского корреляционные функции являются функциями Вайтмана . Они могут зависеть от порядка полей, поскольку поля коммутируют, только если они разделены пространственно. Евклидова КТМ может быть связана с КТМ Минковского вращением Вика , например, благодаря теореме Остервальдера-Шредера . В таких случаях корреляционные функции Минковского получаются из евклидовых корреляционных функций аналитическим продолжением, зависящим от порядка полей.

Поведение

Любое конформное преобразование $x\to f(x)$ действует линейно на полях $O(x)\to \pi _{f}(O)(x)$, такой, что $f\to \pi _{f}$ является представлением конформной группы, а корреляционные функции инвариантны:

$\left\langle \pi _{f}(O_{1})(x_{1})\cdots \pi _{f}(O_{n})(x_{n})\right\rangle =\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle .$

Первичные поля — это поля, которые преобразуются в себя посредством $\pi _{f}$. Поведение первичного поля характеризуется рядом $\Delta$ называется его конформной размерностью , а представление $\rho$вращения или группы Лоренца. Тогда для основного поля мы имеем

$\pi _{f}(O)(x)=\Omega (x')^{-\Delta }\rho (R(x'))O(x'),\quad {\text{where}}\ x'=f^{-1}(x).$

Здесь $\Omega (x)$ и $R(x)$ масштабный коэффициент и вращение, связанные с конформным преобразованием $f$. Представительство $\rho$ тривиально в случае скалярных полей, которые преобразуются как $\pi _{f}(O)(x)=\Omega (x')^{-\Delta }O(x')$. Для векторных полей представление $\rho$ является фундаментальным представлением, и мы имели бы $\pi _{f}(O_{\mu })(x)=\Omega (x')^{-\Delta }R_{\mu }^{\nu }(x')O_{\nu }(x')$.

Первичное поле, характеризующееся конформной размерностью. $\Delta$ и представительство $\rho$ведет себя как вектор с наибольшим весом в индуцированном представлении конформной группы из подгруппы, порожденной расширениями и вращениями. В частности, конформная размерность $\Delta$характеризует представление подгруппы расширений. В двух измерениях тот факт, что это индуцированное представление является модулем Верма, упоминается во всей литературе. Для многомерных CFT (в которых максимально компактная подалгебра больше, чем подалгебра Картана ) недавно было оценено, что это представление представляет собой параболический или обобщенный модуль Верма .

Производные (любого порядка) первичных полей называются полями-потомками . Их поведение при конформных преобразованиях более сложное. Например, если $O$ является основным полем, то $\pi _{f}(\partial _{\mu }O)(x)=\partial _{\mu }\left(\pi _{f}(O)(x)\right)$ представляет собой линейную комбинацию $\partial _{\mu }O$ и $O$. Корреляционные функции полей-потомков можно вывести из корреляционных функций первичных полей. Однако даже в общем случае, когда все поля являются либо первичными, либо их потомками, поля-потомки играют важную роль, поскольку конформные блоки и разложения продуктов операторов включают суммы по всем полям-потомкам.

Коллекция всех основных полей $O_{p}$, характеризующиеся своими масштабными размерами $\Delta _{p}$ и представления $\rho _{p}$, называется спектром теории.

Зависимость от позиций полей

Инвариантность корреляционных функций относительно конформных преобразований существенно ограничивает их зависимость от положения полей. В случае двух- и трехточечных функций эта зависимость определяется с точностью до конечного числа постоянных коэффициентов. Функции высших точек обладают большей свободой и определяются только с точностью до функций конформно-инвариантных комбинаций позиций.

Двухточечная функция двух первичных полей обращается в нуль, если их конформные размерности различны.

$\Delta _{1}\neq \Delta _{2}\implies \left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})\right\rangle =0.$

Если оператор растяжения диагонализуем (т.е. если теория не логарифмична), существует базис примарных полей такой, что двухточечные функции диагональны, т.е. $i\neq j\implies \left\langle O_{i}O_{j}\right\rangle =0$. В этом случае двухточечная функция скалярного первичного поля равна

$\left\langle O(x_{1})O(x_{2})\right\rangle ={\frac {1}{|x_{1}-x_{2}|^{2\Delta }}},$

где мы выбираем нормировку поля такую, чтобы постоянный коэффициент, не определяемый конформной симметрией, был равен единице. Аналогично определяются двухточечные функции нескалярных первичных полей с точностью до коэффициента, который можно принять равным единице. В случае симметричного бесследового тензора ранга $\ell$, двухточечная функция

$\left\langle O_{\mu _{1},\dots ,\mu _{\ell }}(x_{1})O_{\nu _{1},\dots ,\nu _{\ell }}(x_{2})\right\rangle ={\frac {\prod _{i=1}^{\ell }I_{\mu _{i},\nu _{i}}(x_{1}-x_{2})-{\text{traces}}}{|x_{1}-x_{2}|^{2\Delta }}},$

где тензор $I_{\mu ,\nu }(x)$ определяется как

$I_{\mu ,\nu }(x)=\eta _{\mu \nu }-{\frac {2x_{\mu }x_{\nu }}{x^{2}}}.$

Трехточечная функция трех скалярных первичных полей равна

$\left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})O_{3}(x_{3})\right\rangle ={\frac {C_{123}}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}-\Delta _{3}}|x_{13}|^{\Delta _{1}+\Delta _{3}-\Delta _{2}}|x_{23}|^{\Delta _{2}+\Delta _{3}-\Delta _{1}}}},$

где $x_{ij}=x_{i}-x_{j}$, и $C_{123}$— трехточечная структурная константа . Поскольку первичные поля не обязательно являются скалярами, конформная симметрия допускает конечное число тензорных структур, и для каждой тензорной структуры существует структурная константа. В случае двух скалярных полей и симметричного бесследового тензора ранга $\ell$, существует только одна тензорная структура, а трехточечная функция равна

$\left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})O_{\mu _{1},\dots ,\mu _{\ell }}(x_{3})\right\rangle ={\frac {C_{123}\left(\prod _{i=1}^{\ell }V_{\mu _{i}}-{\text{traces}}\right)}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}-\Delta _{3}}|x_{13}|^{\Delta _{1}+\Delta _{3}-\Delta _{2}}|x_{23}|^{\Delta _{2}+\Delta _{3}-\Delta _{1}}}},$

где мы вводим вектор

$V_{\mu }={\frac {x_{13}^{\mu }x_{23}^{2}-x_{23}^{\mu }x_{13}^{2}}{|x_{12}||x_{13}||x_{23}|}}.$

Четырехточечные функции скалярных примарных полей определяются с точностью до произвольных функций $g(u,v)$ из двух перекрестных отношений

$u={\frac {x_{12}^{2}x_{34}^{2}}{x_{13}^{2}x_{24}^{2}}}\ ,\ v={\frac {x_{14}^{2}x_{23}^{2}}{x_{13}^{2}x_{24}^{2}}}.$

Тогда четырехточечная функция будет

$\left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle ={\frac {\left({\frac {|x_{24}|}{|x_{14}|}}\right)^{\Delta _{1}-\Delta _{2}}\left({\frac {|x_{14}|}{|x_{13}|}}\right)^{\Delta _{3}-\Delta _{4}}}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}}|x_{34}|^{\Delta _{3}+\Delta _{4}}}}g(u,v).$

Расширение продукта оператора

( Расширение произведения оператора ОПЕ) более эффективно в конформной теории поля, чем в более общих квантовых теориях поля. Это связано с тем, что в конформной теории поля радиус сходимости операторного произведения конечен (т. е. он не равен нулю). Предусмотрены позиции $x_{1},x_{2}$ Если из двух полей достаточно близки, оператор разложения произведения переписывает произведение этих двух полей как линейную комбинацию полей в данной точке, которую можно выбрать как $x_{2}$ для технического удобства.

Разложение операторского продукта двух полей имеет вид

$O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=\sum _{k}c_{12k}(x_{1}-x_{2})O_{k}(x_{2}),$

где $c_{12k}(x)$— это некоторая коэффициентная функция, и сумма в принципе охватывает все поля теории. (Аналогично, согласно соотношению состояние-поле, сумма пробегает все состояния в пространстве состояний.) Некоторые поля могут фактически отсутствовать, в частности, из-за ограничений симметрии: конформной симметрии или дополнительных симметрий.

Если все поля являются первичными или дочерними, сумму по полям можно свести к сумме по первичным полям, переписав вклад любого потомка через вклад соответствующего первичного поля:

$O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=\sum _{p}C_{12p}P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})O_{p}(x_{2}),$

где поля $O_{p}$ все являются первичными, и $C_{12p}$— трехточечная структурная константа (которая по этой причине также называется коэффициентом OPE ). Дифференциальный оператор $P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})$ представляет собой бесконечный ряд по производным, который определяется конформной симметрией и поэтому в принципе известен.

Рассмотрение ОПЭ как связи между корреляционными функциями показывает, что ОПЭ должно быть ассоциативным. Более того, если пространство евклидово, ОПЭ должно быть коммутативным, потому что корреляционные функции не зависят от порядка полей, т.е. $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=O_{2}(x_{2})O_{1}(x_{1})$.

Существование расширения продукта оператора является фундаментальной аксиомой конформного бутстрапа. Однако обычно нет необходимости вычислять разложения операторов и, в частности, дифференциальные операторы. $P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})$. Скорее, необходимо разложение корреляционных функций на структурные константы и конформные блоки. OPE в принципе можно использовать для вычисления конформных блоков, но на практике существуют более эффективные методы.

Конформные блоки

Использование ОПЕ $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})$, четырехточечная функция может быть записана как комбинация трехточечных структурных констант и конформных блоков s-канала ,

$\left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle =\sum _{p}C_{12p}C_{p34}G_{p}^{(s)}(x_{i}).$

Конформный блок $G_{p}^{(s)}(x_{i})$ представляет собой сумму вкладов первичного поля $O_{p}$и его потомки. Это зависит от полей $O_{i}$и их позиции. Если трехточечные функции $\left\langle O_{1}O_{2}O_{p}\right\rangle$ или $\left\langle O_{3}O_{4}O_{p}\right\rangle$ включают несколько независимых тензорных структур, структурные константы и конформные блоки зависят от этих тензорных структур, а первичное поле $O_{p}$вносит несколько независимых блоков. Конформные блоки определяются конформной симметрией и в принципе известны. Для их вычисления существуют рекурсивные соотношения и интегрируемые методы.

Использование ОПЕ $O_{1}(x_{1})O_{4}(x_{4})$ или $O_{1}(x_{1})O_{3}(x_{3})$, та же четырехточечная функция записывается в терминах конформных блоков t-канала или конформных блоков u-канала ,

$\left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle =\sum _{p}C_{14p}C_{p23}G_{p}^{(t)}(x_{i})=\sum _{p}C_{13p}C_{p24}G_{p}^{(u)}(x_{i}).$

Равенство разложений s-, t- и u-каналов называется перекрестной симметрией : ограничение на спектр первичных полей и на константы трехточечной структуры.

Конформные блоки подчиняются тем же ограничениям конформной симметрии, что и четырехточечные функции. В частности, конформные блоки s-канала можно записать в терминах функций $g_{p}^{(s)}(u,v)$перекрестных отношений. В то время как ОПЕ $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})$ сходится только в том случае, если $|x_{12}|<\min(|x_{23}|,|x_{24}|)$, конформные блоки могут быть аналитически продолжены до всех (не попарно совпадающих) значений позиций. В евклидовом пространстве конформные блоки представляют собой однозначные вещественно-аналитические функции позиций, за исключением случаев, когда четыре точки $x_{i}$ лежат на окружности, но в однократно транспонированном циклическом порядке [1324], и только в этих исключительных случаях разложение на конформные блоки не сходится.

Конформная теория поля в плоском евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{d}$ таким образом, определяется его спектром $\{(\Delta _{p},\rho _{p})\}$ и коэффициенты OPE (или трехточечные структурные константы) $\{C_{pp'p''}\}$, удовлетворяющее ограничению, заключающемуся в том, что все четырехточечные функции перекрестно-симметричны. Из спектра и коэффициентов OPE (совместно называемых данными CFT ) можно вычислить корреляционные функции произвольного порядка.

Особенности конформных теорий поля

Унитарность

Конформная теория поля унитарна, если ее пространство состояний имеет положительно определенное скалярное произведение такое, что оператор расширения самосопряженный. Тогда скалярное произведение наделяет пространство состояний структурой гильбертова пространства .

В евклидовых конформных теориях поля унитарность эквивалентна отражению положительности корреляционных функций: одна из аксиом Остервальдера-Шредера .

Унитарность подразумевает, что конформные размерности первичных полей вещественны и ограничены снизу. Нижняя граница зависит от размерности пространства-времени $d$и о представлении вращения или группы Лоренца, в которой преобразуется первичное поле. Для скалярных полей граница унитарности равна

$\Delta \geq {\frac {1}{2}}(d-2).$

В унитарной теории трехточечные структурные константы должны быть действительными, что, в свою очередь, означает, что четырехточечные функции подчиняются определенным неравенствам. Мощные численные методы начальной загрузки основаны на использовании этих неравенств.

Компактность

Конформная теория поля компактна , если она удовлетворяет трем условиям:

• Все конформные измерения действительны.
• Для любого $\Delta \in \mathbb {R}$ существует конечное число состояний, размеры которых меньше $\Delta$.
• Существует уникальное состояние размерностью $\Delta =0$, и это состояние вакуума , т.е. соответствующее поле является тождественным полем .

(Поле идентичности – это поле, вставка которого в корреляционные функции не изменяет их, т.е. $\left\langle I(x)\cdots \right\rangle =\left\langle \cdots \right\rangle$.) Название происходит от того факта, что если двумерная конформная теория поля также является сигма-моделью , она будет удовлетворять этим условиям тогда и только тогда, когда ее целевое пространство компактно.

Считается, что все унитарные конформные теории поля компактны по размерности. $d>2$. С другой стороны, без унитарности можно найти ЦФТ в четвертом измерении. и в размерности $4-\epsilon$ которые имеют непрерывный спектр. А во втором измерении теория Лиувилля унитарна, но не компактна.

Дополнительные симметрии

Конформная теория поля может иметь дополнительные симметрии помимо конформной симметрии. Например, модель Изинга имеет $\mathbb {Z} _{2}$ симметрия, а суперконформные теории поля обладают суперсимметрией.

Примеры

поля

Обобщенное свободное поле — это поле, корреляционные функции которого выводятся из его двухточечной функции по теореме Вика . Например, если $\phi$ является скалярным первичным полем размерности $\Delta$, его четырехточечная функция читается

$\left\langle \prod _{i=1}^{4}\phi (x_{i})\right\rangle ={\frac {1}{|x_{12}|^{2\Delta }|x_{34}|^{2\Delta }}}+{\frac {1}{|x_{13}|^{2\Delta }|x_{24}|^{2\Delta }}}+{\frac {1}{|x_{14}|^{2\Delta }|x_{23}|^{2\Delta }}}.$

Например, если $\phi _{1},\phi _{2}$ два скалярных первичных поля такие, что $\langle \phi _{1}\phi _{2}\rangle =0$ (что, в частности, имеет место, если $\Delta _{1}\neq \Delta _{2}$), мы имеем четырехточечную функцию

${\Big \langle }\phi _{1}(x_{1})\phi _{1}(x_{2})\phi _{2}(x_{3})\phi _{2}(x_{4}){\Big \rangle }={\frac {1}{|x_{12}|^{2\Delta _{1}}|x_{34}|^{2\Delta _{2}}}}.$

Теория среднего поля — это общее название конформных теорий поля, построенных на основе обобщенных свободных полей. Например, теория среднего поля может быть построена на основе одного скалярного первичного поля. $\phi$. Тогда эта теория содержит $\phi$, его дочерние поля и поля, которые появляются в OPE $\phi \phi$. Основные поля, которые появляются в $\phi \phi$ можно определить путем разложения четырехточечной функции $\langle \phi \phi \phi \phi \rangle$ в конформных блоках: их конформные размерности принадлежат $2\Delta +2\mathbb {N}$: в теории среднего поля конформная размерность сохраняется по модулю целых чисел.

Аналогично можно построить теории среднего поля, исходя из поля с нетривиальным лоренцевым спином. Например, 4d- теория Максвелла (в отсутствие полей заряженной материи) представляет собой теорию среднего поля, построенную на основе антисимметричного тензорного поля. $F_{\mu \nu }$ с масштабным размером $\Delta =2$.

Теории среднего поля имеют лагранжево описание в терминах квадратичного действия, включающего лапласиан, возведенный в произвольную действительную степень (которая определяет масштабную размерность поля). Для общего масштабного измерения степень лапласиана нецелая. Соответствующая теория среднего поля в этом случае является нелокальной (например, она не имеет сохраняющегося оператора тензора напряжений).

Критическая

Критическая модель Изинга — это критическая точка модели Изинга на гиперкубической решетке в двух или трех измерениях. Оно имеет $\mathbb {Z} _{2}$глобальная симметрия, соответствующая переворачиванию всех спинов. Двумерная критическая модель Изинга включает ${\mathcal {M}}(4,3)$ Минимальная модель Вирасоро , которую можно решить точно. В стране нет Ising CFT. $d\geq 4$ размеры.

Поттса

Критическая модель Поттса с $q=2,3,4,\cdots$ цвета — это унитарная CFT, инвариантная относительно группы перестановок. $S_{q}$. Это обобщение критической модели Изинга, соответствующее $q=2$. Критическая модель Поттса существует в различных измерениях в зависимости от $q$.

Критическая модель Поттса может быть построена как континуальный предел модели Поттса на d -мерной гиперкубической решетке. В переформулировке Фортюина-Кастеляна в терминах кластеров модель Поттса может быть определена для $q\in \mathbb {C}$, но оно не унитарно, если $q$ не является целым числом.

O(N

Критическая модель O(N) является инвариантом CFT относительно ортогональной группы . Для любого целого числа $N$, он существует как взаимодействующая, унитарная и компактная КТМ в $d=3$ размеры (и для $N=1$также в двух измерениях). Это обобщение критической модели Изинга, которая соответствует O(N) CFT при $N=1$.

O(N) CFT может быть построена как континуальный предел решеточной модели со спинами, которые являются N -векторами, обсуждаемыми здесь .

Альтернативно, критический $O(N)$ модель может быть построена как $\varepsilon \to 1$ предел фиксированной точки Вильсона-Фишера в $d=4-\varepsilon$размеры. В $\varepsilon =0$, фиксированная точка Вильсона-Фишера становится тензорным произведением $N$ свободные скаляры с размерностью $\Delta =1$. Для $0<\varepsilon <1$ рассматриваемая модель не унитарна.

Когда N велико, модель O(N) можно решить пертурбативно в разложении 1/N с помощью преобразования Хаббарда – Стратоновича . В частности, $N\to \infty$ предел критической модели O(N) хорошо понятен.

Конформные

Некоторые конформные теории поля в трех и четырех измерениях допускают лагранжево описание в форме калибровочной теории , как абелевой, так и неабелевой. Примерами таких КТМ являются конформная КЭД с достаточно большим количеством заряженных полей в $d=3$ или фиксированная точка Бэнкса-Закса в $d=4$.

Приложения

Непрерывные фазовые переходы

Основная статья: Фазовый переход

Непрерывные фазовые переходы (критические точки) систем классической статистической физики с пространственными размерностями D часто описываются евклидовыми конформными теориями поля. Необходимым условием для этого является то, что критическая точка должна быть инвариантной относительно пространственных вращений и перемещений. Однако этого условия недостаточно: некоторые исключительные критические точки описываются масштабно-инвариантными, но не конформно-инвариантными теориями. Если система классической статистической физики является положительной по отражению, соответствующая евклидова КТФ, описывающая ее критическую точку, будет унитарной.

Непрерывные квантовые фазовые переходы в системах конденсированного вещества с D пространственными измерениями могут быть описаны лоренцевыми D+1- мерными конформными теориями поля (связанными вращением Вика с евклидовыми КТМ в D+1 измерениях). Помимо трансляционной и вращательной инвариантности, дополнительным необходимым условием для этого является то, что динамический критический показатель z должен быть равен 1. КТП, описывающие такие квантовые фазовые переходы (в отсутствие закаленного беспорядка), всегда унитарны.

Теория струн

Основная статья: Теория струн

Мировое описание теории струн включает двумерную CFT, связанную с динамической двумерной квантовой гравитацией (или супергравитацией, в случае теории суперструн). Согласованность моделей теории струн накладывает ограничения на центральный заряд этой CFT, который должен составлять c = 26 в теории бозонных струн и c = 10 в теории суперструн. Координаты пространства-времени, в котором живет теория струн, соответствуют бозонным полям этой КТМ.

Переписка AdS/CFT

Основная статья: Переписка AdS/CFT

Конформные теории поля играют заметную роль в соответствии AdS/CFT , в котором теория гравитации в антидеситтеровском пространстве (AdS) эквивалентна конформной теории поля на границе AdS. Яркими примерами являются d = 4, суперсимметричная теория Янга – Миллса с N = 4 , которая двойственна теории струн типа IIB на AdS ₅ × S. ⁵ , и d = 3, N = 6 супер- теория Черна–Саймонса , двойственная M-теории на AdS ₄ × S ⁷ . (Приставка «супер» обозначает суперсимметрию , N обозначает степень расширенной суперсимметрии , которой обладает теория, а d — количество измерений пространства-времени на границе.)

См. также

• Логарифмическая конформная теория поля
• Переписка AdS/CFT
• Расширение продукта оператора
• Критическая точка
• Граничная конформная теория поля
• Основное поле
• Суперконформная алгебра
• Конформная алгебра
• Конформный бутстрап
• История конформной теории поля

Дальнейшее чтение

• Рычков, Слава (2016). «Лекции EPFL по конформной теории поля в D ≥ 3 измерениях». SpringerBriefs по физике . arXiv : 1601.05000 . дои : 10.1007/978-3-319-43626-5 . ISBN  978-3-319-43625-8 . S2CID   119192484 .
• Мартин Шоттенлохер, Математическое введение в конформную теорию поля , Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг, 1997. ISBN   3-540-61753-1 , 2-е издание, 2008 г., ISBN   978-3-540-68625-5 .

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с конформной теорией поля, на Викискладе?