Иерархия ББГКИ

В статистической физике иерархия ББГКИ ( иерархия Боголюбова–Борна–Грина–Кирквуда–Ивона , иногда называемая иерархией Боголюбова ) — совокупность уравнений, описывающих динамику системы большого числа взаимодействующих частиц. Уравнение для s -частиц функции распределения (функции плотности вероятности) в иерархии ББГКИ включает в себя функцию распределения ( s + 1)-частиц, образуя таким образом связанную цепочку уравнений. Этот формальный теоретический результат назван в честь Николая Боголюбова , Макса Борна , Герберта С. Грина , Джона Гэмбла Кирквуда и Жака Ивона .

Формулировка

Эволюция N -частичной системы в отсутствие квантовых флуктуаций описывается уравнением Лиувилля для функции плотности вероятности $f_{N}=f_{N}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{N},t)$ в 6 N -мерном фазовом пространстве (3 пространственные и 3 координаты импульса на частицу)

${\frac {\partial f_{N}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m}}{\frac {\partial f_{N}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}+\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}{\frac {\partial f_{N}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=0,$

где $\mathbf {q} _{i},\mathbf {p} _{i}$ координаты и импульс для $i$-я частица с массой $m$, а результирующая сила, действующая на $i$-я частица

$\mathbf {F} _{i}=-\sum _{j=1\neq i}^{N}{\frac {\partial \Phi _{ij}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}-{\frac {\partial \Phi _{i}^{\text{ext}}}{\partial \mathbf {q} _{i}}},$

где $\Phi _{ij}(\mathbf {q} _{i},\mathbf {q} _{j})$ – парный потенциал взаимодействия между частицами, а $\Phi ^{\text{ext}}(\mathbf {q} _{i})$ – потенциал внешнего поля. Путем интегрирования по части переменных уравнение Лиувилля можно преобразовать в цепочку уравнений, где первое уравнение связывает эволюцию одночастичной функции плотности вероятности с двухчастичной функцией плотности вероятности, второе уравнение связывает двухчастичную функцию плотности вероятности. функция плотности с функцией плотности вероятности трех частиц, и, как правило, s -е уравнение связывает s функцию плотности вероятности -частиц

$f_{s}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{s},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{s},t)=\int f_{N}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{N},t)\,d\mathbf {q} _{s+1}\dots d\mathbf {q} _{N}\,d\mathbf {p} _{s+1}\dots d\mathbf {p} _{N}$

с функцией плотности вероятности ( s + 1)-частиц:

${\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{s}{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m}}{\frac {\partial f_{s}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}-\sum _{i=1}^{s}\left(\sum _{j=1\neq i}^{s}{\frac {\partial \Phi _{ij}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}+{\frac {\partial \Phi _{i}^{ext}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}\right){\frac {\partial f_{s}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=(N-s)\sum _{i=1}^{s}\int {\frac {\partial \Phi _{i\,s+1}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}{\frac {\partial f_{s+1}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\,d\mathbf {q} _{s+1}\,d\mathbf {p} _{s+1}.$

Приведенное выше уравнение для функции распределения s -частиц получается путем интегрирования уравнения Лиувилля по переменным $\mathbf {q} _{s+1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{s+1}\dots \mathbf {p} _{N}$. Проблема с приведенным выше уравнением заключается в том, что оно не замкнуто. Решить $f_{s}$, нужно знать $f_{s+1}$, что, в свою очередь, требует решения $f_{s+2}$ и обратно к полному уравнению Лиувилля. Однако можно решить $f_{s}$, если $f_{s+1}$ можно было смоделировать. Одним из таких случаев является уравнение Больцмана для $f_{1}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {p} _{1},t)$, где $f_{2}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},t)$ моделируется на основе гипотезы молекулярного хаоса ( Stosszahlansatz ). Действительно, в уравнении Больцмана $f_{2}=f_{2}(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p_{2}} ,t)$ – интеграл столкновений. Этот предельный процесс получения уравнения Больцмана из уравнения Лиувилля известен как предел Больцмана – Града .

Физическая интерпретация и приложения

Схематически уравнение Лиувилля дает нам временную эволюцию для всего $N$-система частиц в виде $Df_{N}=0$, выражающее несжимаемый поток плотности вероятности в фазовом пространстве. Затем мы постепенно определяем приведенные функции распределения, интегрируя степени свободы другой частицы. ${\textstyle f_{s}\sim \int f_{s+1}}$. Уравнение в иерархии BBGKY говорит нам, что эволюция во времени для такого $f_{s}$ следовательно, задается уравнением типа Лиувилля, но с поправочным членом, который представляет силовое влияние $N-s$ подавленные частицы

$Df_{s}\propto {\text{div}}_{\mathbf {p} }\langle {\text{grad}}_{\mathbf {q} }\Phi _{i,s+1}\rangle _{f_{s+1}}.$

Проблема решения иерархии уравнений ББГКИ так же сложна, как и решение исходного уравнения Лиувилля, но можно легко сделать аппроксимации иерархии ББГКИ (которые допускают усечение цепочки до конечной системы уравнений). Достоинство этих уравнений состоит в том, что высшие функции распределения $f_{s+2},f_{s+3},\dots$ влиять на временную эволюцию $f_{s}$ только неявно через $f_{s+1}.$ Усечение цепи ББГКИ является общей отправной точкой для многих приложений кинетической теории, которые можно использовать для вывода классических или квантовый кинетические уравнения. В частности, усечение первого уравнения или первых двух уравнений можно использовать для вывода классических и квантовых уравнений Больцмана и поправок первого порядка к уравнениям Больцмана. Другие приближения, такие как предположение о том, что функция вероятности плотности зависит только от относительного расстояния между частицами или предположение о гидродинамическом режиме, также могут сделать цепочку ББГКИ доступной для решения.

Библиография

s -функции распределения частиц были введены в классическую статистическую механику Дж. Ивоном в 1935 году. Иерархия уравнений ББГКИ для функций распределения s -частиц была выписана и применена к выводу кинетических уравнений Боголюбовым в статье, полученной в июле 1945 г. и опубликованной в 1946 г. на русском языке. и на английском языке. Кинетическая теория переноса была рассмотрена Кирквудом в статье получено в октябре 1945 г. и опубликовано в марте 1946 г., как и в последующих статьях. Первая статья Борна и Грина, посвященная общей кинетической теории жидкостей, была получена в феврале 1946 г. и опубликована 31 декабря 1946 г.

См. также

• Уравнение Фоккера – Планка
• уравнение Власова
• Подход к расширению кластера