Энтропия Цаллиса

В физике энтропия Тсаллиса является обобщением стандартной энтропии Больцмана-Гиббса . Он пропорционален математическому ожиданию q-логарифма распределения.

История

Концепция была представлена в 1988 году Константино Цаллисом. ^[1] как основа для обобщения стандартной статистической механики и по форме идентична структурной α-энтропии Гаврды–Чарвата , ^[2] введен в 1967 году в рамках теории информации .

Определение

Учитывая дискретный набор вероятностей $\{p_{i}\}$ с условием $\sum _{i}p_{i}=1$ , и $q$ любое действительное число, энтропия Тсаллиса определяется как

S_{q}({p_{i}})=k\cdot {\frac {1}{q-1}}\left(1-\sum _{i}p_{i}^{q}\right),

где $q$ это реальный параметр, который иногда называют энтропийным индексом и $k$ положительная константа.

В пределе как $q\to 1$ , восстанавливается обычная энтропия Больцмана–Гиббса, а именно

S_{\text{BG}}=S_{1}(p)=-k\sum _{i}p_{i}\ln p_{i},

где человек идентифицирует $k$ с постоянной Больцмана $k_{B}$ .

Для непрерывных распределений вероятностей мы определяем энтропию как

S_{q}[p]={1 \over q-1}\left(1-\int (p(x))^{q}\,dx\right),

где $p(x)$ представляет собой функцию плотности вероятности .

Перекрестная энтропия

Кулон перекрестной энтропии - это ожидание отрицательного q-логарифма относительно второго распределения, $r$ . Так ${\tfrac {1}{q-1}}(1-{\textstyle \sum _{i}}p_{i}^{q}\cdot {\tfrac {r_{i}}{p_{i}}})$ .

С использованием $t=q-1$ , это можно написать $(1-E_{r}[p^{t}])/t$ . Для меньшего $t$ , ценности $p_{i}^{t}$ все склонны к $1$ .

Предел $q\to 1$ вычисляет отрицательный наклон $E_{r}[p^{t}]$ в $t=0$ и один выздоравливает $-{\textstyle \sum _{i}}r_{i}\ln p_{i}$ . Итак, для фиксированного малого $t$ повышение этого ожидания связано с максимизацией логарифмического правдоподобия .

Характеристики

Личности

Логарифм можно выразить через наклон через ${\tfrac {d}{dx}}p^{x}=p^{x}\ln p$ в результате чего получается следующая формула для стандартной энтропии:

S=-\lim _{x\rightarrow 1}{\tfrac {d}{dx}}\sum _{i}p_{i}^{x}=-{\textstyle \sum _{i}}p_{i}\ln p_{i}

Аналогично, дискретная энтропия Тсаллиса удовлетворяет условию

S_{q}=-\lim _{x\rightarrow 1}D_{q}\sum _{i}p_{i}^{x}

где D _q — q-производная по x .

Неаддитивность

Даны две независимые системы A и B , для которых совместная плотность вероятности удовлетворяет

p(A,B)=p(A)p(B),\,

энтропия Цаллиса этой системы удовлетворяет

S_{q}(A,B)=S_{q}(A)+S_{q}(B)+(1-q)S_{q}(A)S_{q}(B).\,

Из этого результата видно, что параметр $|1-q|$ является мерой отклонения от аддитивности. В пределе, когда q = 1,

S(A,B)=S(A)+S(B),\,

это то, что ожидается от аддитивной системы. Это свойство иногда называют «псевдоаддитивностью».

Экспоненциальные семьи

Многие распространенные распределения, такие как нормальное распределение, принадлежат к статистическим экспоненциальным семействам .Энтропию Цаллиса для экспоненциального семейства можно записать ^[3] как

H_{q}^{T}(p_{F}(x;\theta ))={\frac {1}{1-q}}\left((e^{F(q\theta )-qF(\theta )})E_{p}[e^{(q-1)k(x)}]-1\right)

где F — логарифмический нормализатор, а k — член, указывающий меру несущей.Для многомерного нормального члена k равен нулю, и поэтому энтропия Тсаллиса находится в замкнутой форме.

Приложения

Энтропия Тсаллиса использовалась вместе с принципом максимальной энтропии для получения распределения Тсаллиса .

В научной литературе обсуждается физическая значимость энтропии Цаллиса. ^[4]^[5]^[6] Однако, начиная с 2000 года, все более широкий спектр природных, искусственных и социальных сложных систем , которые подтверждают предсказания и последствия, вытекающие из этой неаддитивной энтропии, такие как неэкстенсивная статистическая механика, был выявлен ^[7] что обобщает теорию Больцмана–Гиббса.

Среди различных экспериментальных подтверждений и приложений, имеющихся в настоящее время в литературе, особого упоминания заслуживают следующие:

Распределение, характеризующее движение холодных атомов в диссипативных оптических решетках , предсказанное в 2003 г. ^[8] и наблюдалось в 2006 г. ^[9]
Флуктуации магнитного поля солнечного ветра позволили рассчитать q-триплет (или триплет Цаллиса). ^[10]
Распределение скоростей в индуцированной диссипативной пылевой плазме . ^[11]
Релаксация спинового стекла . ^[12]
Захваченный ион взаимодействует с классическим буферным газом . ^[13]
Столкновительные эксперименты при высоких энергиях на LHC/CERN (детекторы CMS, ATLAS и ALICE) ^[14]^[15] и RHIC/Brookhaven (детекторы STAR и PHENIX). ^[16]

Среди различных доступных теоретических результатов, которые проясняют физические условия, при которых применима энтропия Тсаллиса и связанная с ней статистика, можно выбрать следующие:

Аномальная диффузия . ^[17]^[18]
Теорема единственности . ^[19]
Чувствительность к начальным условиям и производство энтропии на грани хаоса. ^[20]^[21]
Наборы вероятностей , которые делают неаддитивную энтропию Тсаллиса экстенсивной в термодинамическом смысле. ^[22]
Сильно квантово запутанные системы и термодинамика. ^[23]
Термостатистика задемпфированного движения взаимодействующих частиц. ^[24]^[25]
Нелинейные обобщения уравнений Шрёдингера, Клейна–Гордона и Дирака . ^[26]
Расчет энтропии черной дыры. ^[27]

Более подробную информацию можно найти по адресу http://tsallis.cat.cbpf.br/biblio.htm.

Обобщенная энтропия

Несколько интересных физических систем ^[28] соблюдать энтропийные функционалы , которые являются более общими, чем стандартная энтропия Тсаллиса. Поэтому было введено несколько физически значимых обобщений. Двумя наиболее общими из них являются: Суперстатистика , представленная К. Беком и EGD Коэном в 2003 году. ^[29] и Спектральная статистика , представленная Г. А. Цекурасом и Константино Цаллисом в 2005 году. ^[30] Обе эти энтропийные формы имеют статистику Тсаллиса и Больцмана – Гиббса как особые случаи; Было доказано, что спектральная статистика, по крайней мере, содержит суперстатистику, и предполагалось, что она также охватывает некоторые дополнительные случаи. ^{[ нужна ссылка ]}

См. также

Ссылки

^ Цаллис, К. (1988). «Возможное обобщение статистики Больцмана-Гиббса». Журнал статистической физики . 52 (1–2): 479–487. Бибкод : 1988JSP....52..479T . дои : 10.1007/BF01016429 . hdl : 10338.dmlcz/142811 . S2CID 16385640 .
^ Хаврда, Дж.; Чарват, Ф. (1967). «Количественный метод классификации процессов. Понятие структурной α-энтропии» (PDF) . Кибернетика . 3 (1): 30–35.
^ Нильсен, Ф.; Нок, Р. (2012). «Выражение в замкнутой форме для энтропии Шармы – Миттала экспоненциальных семейств». Физический журнал A: Математический и теоретический . 45 (3): 032003. arXiv : 1112.4221 . Бибкод : 2012JPhA...45c2003N . дои : 10.1088/1751-8113/45/3/032003 . S2CID 8653096 .
^ Чо, А. (2002). «Свежий взгляд на беспорядок или беспорядочная наука?». Наука . 297 (5585): 1268–1269. дои : 10.1126/science.297.5585.1268 . ПМИД 12193769 . S2CID 5441957 .
^ Абэ, С.; Раджагопал, АК (2003). «Возвращение к беспорядку и статистике Цаллиса». Наука . 300 (5617): 249–251. дои : 10.1126/science.300.5617.249d . ПМИД 12690173 . S2CID 39719500 .
^ Прессе, С.; Гош, К.; Ли, Дж.; Дилл, К. (2013). «Неаддитивные энтропии дают распределения вероятностей со смещениями, не подтвержденными данными». Физ. Преподобный Летт . 111 (18): 180604. arXiv : 1312.1186 . Бибкод : 2013PhRvL.111r0604P . doi : 10.1103/PhysRevLett.111.180604 . ПМИД 24237501 . S2CID 2577710 .
^ Цаллис, Константино (2009). Введение в неэкстенсивную статистическую механику: подход к сложному миру (онлайн-авторское издание). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-85358-1 .
^ Лутц, Э. (2003). «Аномальная диффузия и статистика Тсаллиса в оптической решетке». Физический обзор А. 67 (5): 051402. arXiv : cond-mat/0210022 . Бибкод : 2003PhRvA..67e1402L . дои : 10.1103/PhysRevA.67.051402 . S2CID 119403353 .
^ Дуглас, П.; Бергамини, С.; Ренцони, Ф. (2006). «Настраиваемые распределения Цаллиса в диссипативных оптических решетках» (PDF) . Письма о физических отзывах . 96 (11): 110601. Бибкод : 2006PhRvL..96k0601D . doi : 10.1103/PhysRevLett.96.110601 . ПМИД 16605807 .
^ Бурлага, ЛФ; - Виньяс, А.Ф. (2005). «Треугольник энтропийного индекса q неэкстенсивной статистической механики, наблюдаемый «Вояджером-1» в далекой гелиосфере». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 356 (2–4): 375. arXiv : Physics/0507212 . Бибкод : 2005PhyA..356..375B . дои : 10.1016/j.physa.2005.06.065 . S2CID 18823047 .
^ Лю, Б.; Гори, Дж. (2008). «Супердиффузия и негауссова статистика в управляемо-диссипативной двумерной пылевой плазме». Письма о физических отзывах . 100 (5): 055003. arXiv : 0801.3991 . Бибкод : 2008PhRvL.100e5003L . doi : 10.1103/PhysRevLett.100.055003 . ПМИД 18352381 . S2CID 2022402 .
^ Пикап, Р.; Цивински, Р.; Паппас, К.; Фараго, Б.; Фуке, П. (2009). «Обобщенная спин-стеклянная релаксация». Письма о физических отзывах . 102 (9): 097202. arXiv : 0902.4183 . Бибкод : 2009PhRvL.102i7202P . doi : 10.1103/PhysRevLett.102.097202 . ПМИД 19392558 . S2CID 6454082 .
^ Дево, Р. (2009). «Степенное распределение захваченного иона, взаимодействующего с классическим буферным газом». Письма о физических отзывах . 102 (6): 063001. arXiv : 0903.0637 . Бибкод : 2009PhRvL.102f3001D . doi : 10.1103/PhysRevLett.102.063001 . ПМИД 19257583 . S2CID 15945382 .
^ Хачатрян В.; Сирунян А.; Тумасян А.; Адам, В.; Бергауэр, Т.; Драгичевич, М.; Эро, Дж.; Фабьян, К.; Фридл, М.; Фрювирт, Р.; Гете, В.М.; Хаммер, Дж.; Гензель, С.; Хох, М.; Хёрманн, Н.; Грубец, Дж.; Джейтлер, М.; Касечка, Г.; Кизенхофер, В.; Краммер, М.; Лико, Д.; Микулек, И.; Перницка, М.; Рорингер, Х.; Шефбек, Р.; Штраус, Дж.; Таурок, А.; Тайшингер, Ф.; Вальтенбергер, В.; и др. (2010). «Распределение поперечного импульса и псевдобыстроты заряженных адронов в pp-столкновениях при √ s = 7 ТэВ». Письма о физических отзывах . 105 (2): 022002. arXiv : 1005.3299 . Бибкод : 2010PhRvL.105b2002K . doi : 10.1103/PhysRevLett.105.022002 . ПМИД 20867699 . S2CID 119196941 .
^ Чатрчян С.; Хачатрян В.; Сирунян А.М.; Тумасян А.; Адам, В.; Бергауэр, Т.; Драгичевич, М.; Эро, Дж.; Фабьян, К.; Фридл, М.; Фрювирт, Р.; Гете, В.М.; Хаммер, Дж.; Гензель, С.; Хох, М.; Хёрманн, Н.; Грубец, Дж.; Джейтлер, М.; Кизенхофер, В.; Краммер, М.; Лико, Д.; Микулек, И.; Перницка, М.; Рорингер, Х.; Шефбек, Р.; Штраус, Дж.; Таурок, А.; Тайшингер, Ф.; Вагнер, П.; и др. (2011). «Спектры поперечного импульса заряженных частиц в pp-столкновениях при $ √ s = 0,9 и 7 ТэВ». Журнал физики высоких энергий . 2011 (8): 86. arXiv : 1104.3547 . Бибкод : 2011JHEP...08..086C . дои : 10.1007/JHEP08(2011)086 . S2CID 122835798 .
^ Адэр, А.; Афанасьев С.; Айдала, К.; Аджитананд, Н.; Акиба, Ю.; Аль-Батайне, Х.; Александр, Дж.; Аоки, К.; Афечетч, Л.; Армендарис, Р.; Аронсон, Ш.; Асаи, Дж.; Атомсса, ET; Авербек, Р.; Авес, TC; Азмун, Б.; Бабинцев В.; Бай, М.; Баксай, Г.; Баксай, Л.; Балдиссери, А.; Бариш, КН; Барнс, PD; Бассаллек, Б.; Бэйси, AT; Бат, С.; Бацули, С.; Баублис, В.; Бауманн, К.; и др. (2011). «Измерение нейтральных мезонов в p + p -столкновениях при √ s = 200 ГэВ и масштабирующие свойства образования адронов». Физический обзор D . 83 (5): 052004. arXiv : 1005.3674 . Бибкод : 2011PhRvD..83e2004A . doi : 10.1103/PhysRevD.83.052004 . S2CID 85560021 .
^ Пластино, Арканзас; Пластино, А. (1995). «Нерасширенная статистическая механика и обобщенное уравнение Фоккера-Планка». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 222 (1–4): 347–354. Бибкод : 1995PhyA..222..347P . дои : 10.1016/0378-4371(95)00211-1 .
^ Цаллис, К.; Букман, Д. (1996). «Аномальная диффузия в присутствии внешних сил: точные нестационарные решения и их термостатическая основа». Физический обзор E . 54 (3): 2197–2200 рандов. arXiv : cond-mat/9511007 . Бибкод : 1996PhRvE..54.2197T . дои : 10.1103/PhysRevE.54.R2197 . ПМИД 9965440 . S2CID 16272548 .
^ Абэ, С. (2000). «Аксиомы и теорема единственности энтропии Цаллиса». Буквы по физике А. 271 (1–2): 74–79. arXiv : cond-mat/0005538 . Бибкод : 2000PhLA..271...74A . дои : 10.1016/S0375-9601(00)00337-6 . S2CID 119513564 .
^ Лира, М.; Цаллис, К. (1998). «Нерасширенность и мультифрактальность в маломерных диссипативных системах». Письма о физических отзывах . 80 (1): 53–56. arXiv : cond-mat/9709226 . Бибкод : 1998PhRvL..80...53L . doi : 10.1103/PhysRevLett.80.53 . S2CID 15039078 .
^ Балдовин Ф.; Робледо, А. (2004). «Неэкстенсивная идентичность Пезина: точные аналитические результаты ренормгруппы для динамики на краю хаоса логистической карты». Физический обзор E . 69 (4): 045202. arXiv : cond-mat/0304410 . Бибкод : 2004PhRvE..69d5202B . дои : 10.1103/PhysRevE.69.045202 . ПМИД 15169059 . S2CID 30277614 .
^ Цаллис, К.; Гелл-Манн, М.; Сато, Ю. (2005). «Асимптотически масштабно-инвариантная заселенность фазового пространства делает энтропию Sq обширной» . Труды Национальной академии наук . 102 (43): 15377–82. arXiv : cond-mat/0502274 . Бибкод : 2005PNAS..10215377T . дои : 10.1073/pnas.0503807102 . ПМК 1266086 . ПМИД 16230624 .
^ Карузо, Ф.; Цаллис, К. (2008). «Неаддитивная энтропия согласовывает закон площади в квантовых системах с классической термодинамикой». Физический обзор E . 78 (2): 021102. arXiv : cond-mat/0612032 . Бибкод : 2008PhRvE..78b1102C . дои : 10.1103/PhysRevE.78.021102 . ПМИД 18850781 . S2CID 18006627 .
^ Андраде, Дж.; Да Силва, Г.; Морейра, А.; Нобре, Ф.; Курадо, Э. (2010). «Термостатистика затухающего движения взаимодействующих частиц». Письма о физических отзывах . 105 (26): 260601. arXiv : 1008.1421 . Бибкод : 2010PhRvL.105z0601A . doi : 10.1103/PhysRevLett.105.260601 . ПМИД 21231636 . S2CID 14831948 .
^ Рибейро, М.; Нобре, Ф.; Курадо, ЭМ (2012). «Временная эволюция взаимодействующих вихрей при перезатухающем движении» (PDF) . Физический обзор E . 85 (2): 021146. Бибкод : 2012PhRvE..85b1146R . дои : 10.1103/PhysRevE.85.021146 . ПМИД 22463191 . S2CID 25200027 .
^ Нобре, Ф.; Рего-Монтейро, М.; Цаллис, К. (2011). «Нелинейные релятивистские и квантовые уравнения с общим типом решения». Письма о физических отзывах . 106 (14): 140601. arXiv : 1104.5461 . Бибкод : 2011PhRvL.106n0601N . doi : 10.1103/PhysRevLett.106.140601 . ПМИД 21561176 . S2CID 12679518 .
^ Маджи, Абхишек (2017). «Неэкстенсивная статистическая механика и энтропия черной дыры из квантовой геометрии». Буквы по физике Б. 775 : 32–36. arXiv : 1703.09355 . Бибкод : 2017PhLB..775...32M . дои : 10.1016/j.physletb.2017.10.043 . S2CID 119397503 .
^ Гарсиа-Моралес, В.; Кришер, К. (2011). «Суперстатистика в наноразмерных электрохимических системах» . Труды Национальной академии наук . 108 (49): 19535–19539. Бибкод : 2011PNAS..10819535G . дои : 10.1073/pnas.1109844108 . ПМК 3241754 . ПМИД 22106266 .
^ Бек, К.; Коэн, EGD (2003). «Суперстатистика». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 322 : 267–275. arXiv : cond-mat/0205097 . Бибкод : 2003PhyA..322..267B . дои : 10.1016/S0378-4371(03)00019-0 . S2CID 261331784 .
^ Цекоурас, Джорджия; Цаллис, К. (2005). «Обобщенная энтропия, возникающая в результате распределения индексов q». Физический обзор E . 71 (4): 046144. arXiv : cond-mat/0412329 . Бибкод : 2005PhRvE..71d6144T . дои : 10.1103/PhysRevE.71.046144 . ПМИД 15903763 . S2CID 16663654 .

Дальнейшее чтение

Фуруичи, Сигэру; Митрой-Симеонидис, Флавия-Корина; Симеонидис, Элевтерий (2014). «О некоторых свойствах гипоэнтропии и гиподивергенции Цаллиса» . Энтропия . 16 (10): 5377–5399. arXiv : 1410.4903 . Бибкод : 2014Entrp..16.5377F . дои : 10.3390/e16105377 .
Фуруичи, Сигэру; Митрой, Флавия-Корина (2012). «Математические неравенства для некоторых расхождений». Физика А. 391 (1–2): 388–400. arXiv : 1104.5603 . Бибкод : 2012PhyA..391..388F . дои : 10.1016/j.physa.2011.07.052 . S2CID 92394 .
Фуруичи, Сигэру; Минкулете, Никушор; Митрой, Флавия-Корина (2012). «Некоторые неравенства на обобщенной энтропии» . Журнал неравенств и приложений . 2012 : 226. arXiv : 1104.0360 . дои : 10.1186/1029-242X-2012-226 .

Внешние ссылки

Статистика Цаллиса, статистическая механика неэкстенсивных систем и дальних взаимодействий

[tsallis1988-1] Цаллис, К. (1988). «Возможное обобщение статистики Больцмана-Гиббса». Журнал статистической физики . 52 (1–2): 479–487. Бибкод : 1988JSP....52..479T . дои : 10.1007/BF01016429 . hdl : 10338.dmlcz/142811 . S2CID 16385640 .

[havrda1967-2] Хаврда, Дж.; Чарват, Ф. (1967). «Количественный метод классификации процессов. Понятие структурной α-энтропии» (PDF) . Кибернетика . 3 (1): 30–35.

[nielsennock-3] Нильсен, Ф.; Нок, Р. (2012). «Выражение в замкнутой форме для энтропии Шармы – Миттала экспоненциальных семейств». Физический журнал A: Математический и теоретический . 45 (3): 032003. arXiv : 1112.4221 . Бибкод : 2012JPhA...45c2003N . дои : 10.1088/1751-8113/45/3/032003 . S2CID 8653096 .

[Cho1268-4] Чо, А. (2002). «Свежий взгляд на беспорядок или беспорядочная наука?». Наука . 297 (5585): 1268–1269. дои : 10.1126/science.297.5585.1268 . ПМИД 12193769 . S2CID 5441957 .

[Abe249-5] Абэ, С.; Раджагопал, АК (2003). «Возвращение к беспорядку и статистике Цаллиса». Наука . 300 (5617): 249–251. дои : 10.1126/science.300.5617.249d . ПМИД 12690173 . S2CID 39719500 .

[Presse2013-6] Прессе, С.; Гош, К.; Ли, Дж.; Дилл, К. (2013). «Неаддитивные энтропии дают распределения вероятностей со смещениями, не подтвержденными данными». Физ. Преподобный Летт . 111 (18): 180604. arXiv : 1312.1186 . Бибкод : 2013PhRvL.111r0604P . doi : 10.1103/PhysRevLett.111.180604 . ПМИД 24237501 . S2CID 2577710 .

[book2009-7] Цаллис, Константино (2009). Введение в неэкстенсивную статистическую механику: подход к сложному миру (онлайн-авторское издание). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-85358-1 .

[8] Лутц, Э. (2003). «Аномальная диффузия и статистика Тсаллиса в оптической решетке». Физический обзор А. 67 (5): 051402. arXiv : cond-mat/0210022 . Бибкод : 2003PhRvA..67e1402L . дои : 10.1103/PhysRevA.67.051402 . S2CID 119403353 .

[9] Дуглас, П.; Бергамини, С.; Ренцони, Ф. (2006). «Настраиваемые распределения Цаллиса в диссипативных оптических решетках» (PDF) . Письма о физических отзывах . 96 (11): 110601. Бибкод : 2006PhRvL..96k0601D . doi : 10.1103/PhysRevLett.96.110601 . ПМИД 16605807 .

[10] Бурлага, ЛФ; - Виньяс, А.Ф. (2005). «Треугольник энтропийного индекса q неэкстенсивной статистической механики, наблюдаемый «Вояджером-1» в далекой гелиосфере». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 356 (2–4): 375. arXiv : Physics/0507212 . Бибкод : 2005PhyA..356..375B . дои : 10.1016/j.physa.2005.06.065 . S2CID 18823047 .

[11] Лю, Б.; Гори, Дж. (2008). «Супердиффузия и негауссова статистика в управляемо-диссипативной двумерной пылевой плазме». Письма о физических отзывах . 100 (5): 055003. arXiv : 0801.3991 . Бибкод : 2008PhRvL.100e5003L . doi : 10.1103/PhysRevLett.100.055003 . ПМИД 18352381 . S2CID 2022402 .

[12] Пикап, Р.; Цивински, Р.; Паппас, К.; Фараго, Б.; Фуке, П. (2009). «Обобщенная спин-стеклянная релаксация». Письма о физических отзывах . 102 (9): 097202. arXiv : 0902.4183 . Бибкод : 2009PhRvL.102i7202P . doi : 10.1103/PhysRevLett.102.097202 . ПМИД 19392558 . S2CID 6454082 .

[13] Дево, Р. (2009). «Степенное распределение захваченного иона, взаимодействующего с классическим буферным газом». Письма о физических отзывах . 102 (6): 063001. arXiv : 0903.0637 . Бибкод : 2009PhRvL.102f3001D . doi : 10.1103/PhysRevLett.102.063001 . ПМИД 19257583 . S2CID 15945382 .

[14] Хачатрян В.; Сирунян А.; Тумасян А.; Адам, В.; Бергауэр, Т.; Драгичевич, М.; Эро, Дж.; Фабьян, К.; Фридл, М.; Фрювирт, Р.; Гете, В.М.; Хаммер, Дж.; Гензель, С.; Хох, М.; Хёрманн, Н.; Грубец, Дж.; Джейтлер, М.; Касечка, Г.; Кизенхофер, В.; Краммер, М.; Лико, Д.; Микулек, И.; Перницка, М.; Рорингер, Х.; Шефбек, Р.; Штраус, Дж.; Таурок, А.; Тайшингер, Ф.; Вальтенбергер, В.; и др. (2010). «Распределение поперечного импульса и псевдобыстроты заряженных адронов в pp-столкновениях при √ s = 7 ТэВ». Письма о физических отзывах . 105 (2): 022002. arXiv : 1005.3299 . Бибкод : 2010PhRvL.105b2002K . doi : 10.1103/PhysRevLett.105.022002 . ПМИД 20867699 . S2CID 119196941 .

[15] Чатрчян С.; Хачатрян В.; Сирунян А.М.; Тумасян А.; Адам, В.; Бергауэр, Т.; Драгичевич, М.; Эро, Дж.; Фабьян, К.; Фридл, М.; Фрювирт, Р.; Гете, В.М.; Хаммер, Дж.; Гензель, С.; Хох, М.; Хёрманн, Н.; Грубец, Дж.; Джейтлер, М.; Кизенхофер, В.; Краммер, М.; Лико, Д.; Микулек, И.; Перницка, М.; Рорингер, Х.; Шефбек, Р.; Штраус, Дж.; Таурок, А.; Тайшингер, Ф.; Вагнер, П.; и др. (2011). «Спектры поперечного импульса заряженных частиц в pp-столкновениях при $ √ s = 0,9 и 7 ТэВ». Журнал физики высоких энергий . 2011 (8): 86. arXiv : 1104.3547 . Бибкод : 2011JHEP...08..086C . дои : 10.1007/JHEP08(2011)086 . S2CID 122835798 .

[16] Адэр, А.; Афанасьев С.; Айдала, К.; Аджитананд, Н.; Акиба, Ю.; Аль-Батайне, Х.; Александр, Дж.; Аоки, К.; Афечетч, Л.; Армендарис, Р.; Аронсон, Ш.; Асаи, Дж.; Атомсса, ET; Авербек, Р.; Авес, TC; Азмун, Б.; Бабинцев В.; Бай, М.; Баксай, Г.; Баксай, Л.; Балдиссери, А.; Бариш, КН; Барнс, PD; Бассаллек, Б.; Бэйси, AT; Бат, С.; Бацули, С.; Баублис, В.; Бауманн, К.; и др. (2011). «Измерение нейтральных мезонов в p + p -столкновениях при √ s = 200 ГэВ и масштабирующие свойства образования адронов». Физический обзор D . 83 (5): 052004. arXiv : 1005.3674 . Бибкод : 2011PhRvD..83e2004A . doi : 10.1103/PhysRevD.83.052004 . S2CID 85560021 .

[17] Пластино, Арканзас; Пластино, А. (1995). «Нерасширенная статистическая механика и обобщенное уравнение Фоккера-Планка». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 222 (1–4): 347–354. Бибкод : 1995PhyA..222..347P . дои : 10.1016/0378-4371(95)00211-1 .

[18] Цаллис, К.; Букман, Д. (1996). «Аномальная диффузия в присутствии внешних сил: точные нестационарные решения и их термостатическая основа». Физический обзор E . 54 (3): 2197–2200 рандов. arXiv : cond-mat/9511007 . Бибкод : 1996PhRvE..54.2197T . дои : 10.1103/PhysRevE.54.R2197 . ПМИД 9965440 . S2CID 16272548 .

[19] Абэ, С. (2000). «Аксиомы и теорема единственности энтропии Цаллиса». Буквы по физике А. 271 (1–2): 74–79. arXiv : cond-mat/0005538 . Бибкод : 2000PhLA..271...74A . дои : 10.1016/S0375-9601(00)00337-6 . S2CID 119513564 .

[20] Лира, М.; Цаллис, К. (1998). «Нерасширенность и мультифрактальность в маломерных диссипативных системах». Письма о физических отзывах . 80 (1): 53–56. arXiv : cond-mat/9709226 . Бибкод : 1998PhRvL..80...53L . doi : 10.1103/PhysRevLett.80.53 . S2CID 15039078 .

[21] Балдовин Ф.; Робледо, А. (2004). «Неэкстенсивная идентичность Пезина: точные аналитические результаты ренормгруппы для динамики на краю хаоса логистической карты». Физический обзор E . 69 (4): 045202. arXiv : cond-mat/0304410 . Бибкод : 2004PhRvE..69d5202B . дои : 10.1103/PhysRevE.69.045202 . ПМИД 15169059 . S2CID 30277614 .

[22] Цаллис, К.; Гелл-Манн, М.; Сато, Ю. (2005). «Асимптотически масштабно-инвариантная заселенность фазового пространства делает энтропию Sq обширной» . Труды Национальной академии наук . 102 (43): 15377–82. arXiv : cond-mat/0502274 . Бибкод : 2005PNAS..10215377T . дои : 10.1073/pnas.0503807102 . ПМК 1266086 . ПМИД 16230624 .

[23] Карузо, Ф.; Цаллис, К. (2008). «Неаддитивная энтропия согласовывает закон площади в квантовых системах с классической термодинамикой». Физический обзор E . 78 (2): 021102. arXiv : cond-mat/0612032 . Бибкод : 2008PhRvE..78b1102C . дои : 10.1103/PhysRevE.78.021102 . ПМИД 18850781 . S2CID 18006627 .

[24] Андраде, Дж.; Да Силва, Г.; Морейра, А.; Нобре, Ф.; Курадо, Э. (2010). «Термостатистика затухающего движения взаимодействующих частиц». Письма о физических отзывах . 105 (26): 260601. arXiv : 1008.1421 . Бибкод : 2010PhRvL.105z0601A . doi : 10.1103/PhysRevLett.105.260601 . ПМИД 21231636 . S2CID 14831948 .

[25] Рибейро, М.; Нобре, Ф.; Курадо, ЭМ (2012). «Временная эволюция взаимодействующих вихрей при перезатухающем движении» (PDF) . Физический обзор E . 85 (2): 021146. Бибкод : 2012PhRvE..85b1146R . дои : 10.1103/PhysRevE.85.021146 . ПМИД 22463191 . S2CID 25200027 .

[26] Нобре, Ф.; Рего-Монтейро, М.; Цаллис, К. (2011). «Нелинейные релятивистские и квантовые уравнения с общим типом решения». Письма о физических отзывах . 106 (14): 140601. arXiv : 1104.5461 . Бибкод : 2011PhRvL.106n0601N . doi : 10.1103/PhysRevLett.106.140601 . ПМИД 21561176 . S2CID 12679518 .

[27] Маджи, Абхишек (2017). «Неэкстенсивная статистическая механика и энтропия черной дыры из квантовой геометрии». Буквы по физике Б. 775 : 32–36. arXiv : 1703.09355 . Бибкод : 2017PhLB..775...32M . дои : 10.1016/j.physletb.2017.10.043 . S2CID 119397503 .

[pnas-28] Гарсиа-Моралес, В.; Кришер, К. (2011). «Суперстатистика в наноразмерных электрохимических системах» . Труды Национальной академии наук . 108 (49): 19535–19539. Бибкод : 2011PNAS..10819535G . дои : 10.1073/pnas.1109844108 . ПМК 3241754 . ПМИД 22106266 .

[superstatistics-29] Бек, К.; Коэн, EGD (2003). «Суперстатистика». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 322 : 267–275. arXiv : cond-mat/0205097 . Бибкод : 2003PhyA..322..267B . дои : 10.1016/S0378-4371(03)00019-0 . S2CID 261331784 .

[spectral-30] Цекоурас, Джорджия; Цаллис, К. (2005). «Обобщенная энтропия, возникающая в результате распределения индексов q». Физический обзор E . 71 (4): 046144. arXiv : cond-mat/0412329 . Бибкод : 2005PhRvE..71d6144T . дои : 10.1103/PhysRevE.71.046144 . ПМИД 15903763 . S2CID 16663654 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]