q -экспоненциальное распределение

q -экспоненциальное распределение

Функция плотности вероятности
Параметры	$q<2$ форма ( настоящая ) $\lambda >0$ ставка ( реальная )
Поддерживать	$x\in [0,\infty ){\text{ for }}q\geq 1$ $x\in \left[0,{\frac {1}{\lambda (1-q)}}\right){\text{ for }}q<1$
PDF	$(2-q)\lambda e_{q}^{-\lambda x}$
CDF	$1-e_{q'}^{-\lambda x/q'}{\text{ where }}q'={\frac {1}{2-q}}$
Иметь в виду	${\frac {1}{\lambda (3-2q)}}{\text{ for }}q<{\frac {3}{2}}$ В противном случае не определено
медиана	${\frac {-q'\ln _{q'}(1/2)}{\lambda }}{\text{ where }}q'={\frac {1}{2-q}}$
Режим	0
Дисперсия	${\frac {q-2}{(2q-3)^{2}(3q-4)\lambda ^{2}}}{\text{ for }}q<{\frac {4}{3}}$
асимметрия	${\frac {2}{5-4q}}{\sqrt {\frac {3q-4}{q-2}}}{\text{ for }}q<{\frac {5}{4}}$
Избыточный эксцесс	$6{\frac {-4q^{3}+17q^{2}-20q+6}{(q-2)(4q-5)(5q-6)}}{\text{ for }}q<{\frac {6}{5}}$

представляет q -экспоненциальное распределение собой распределение вероятностей, возникающее в результате максимизации энтропии Тсаллиса при соответствующих ограничениях, включая ограничение положительности области. Это один из примеров распределения Цаллиса . - экспонента q является обобщением экспоненциального распределения таким же образом, как энтропия Тсаллиса является обобщением стандартной энтропии Больцмана-Гиббса или энтропии Шеннона . Экспоненциальное распределение восстанавливается как $q\rightarrow 1.$

Первоначально предложенный статистиками Джорджем Боксом и Дэвидом Коксом в 1964 году, и известное как обратное преобразование Бокса – Кокса для $q=1-\lambda ,$ частный случай степенного преобразования в статистике.

Характеристика

Функция плотности вероятности

-экспоненциальное распределение q имеет функцию плотности вероятности

$(2-q)\lambda e_{q}(-\lambda x)$

где

$e_{q}(x)=[1+(1-q)x]^{1/(1-q)}$

является q -экспонентой, если q ≠ 1 . Когда q = 1 , e _q (x) — это просто exp( x ).

Вывод

Аналогично тому, как можно получить экспоненциальное распределение (используя стандартную энтропию Больцмана-Гиббса или энтропию Шеннона и ограничивая область определения переменной положительной), q -экспоненциальное распределение может быть получено путем максимизации энтропии Тсаллиса. с учетом соответствующих ограничений.

Связь с другими дистрибутивами

- экспонента q является частным случаем обобщенного распределения Парето , где

$\mu =0,\quad \xi ={\frac {q-1}{2-q}},\quad \sigma ={\frac {1}{\lambda (2-q)}}.$

q - экспонента является обобщением распределения Ломакса (тип Парето II), поскольку она расширяет это распределение на случаи конечной поддержки. Параметры Ломакса:

$\alpha ={\frac {2-q}{q-1}},\quad \lambda _{\mathrm {Lomax} }={\frac {1}{\lambda (q-1)}}.$

Поскольку распределение Ломакса представляет собой сдвинутую версию распределения Парето , q -экспонента представляет собой сдвинутое перепараметризованное обобщение Парето. Когда q > 1 , q -экспонента эквивалентна сдвигу Парето, чтобы поддержка начиналась с нуля. В частности, если

$X\sim \operatorname {{\mathit {q}}-Exp} (q,\lambda ){\text{ and }}Y\sim \left[\operatorname {Pareto} \left(x_{m}={\frac {1}{\lambda (q-1)}},\alpha ={\frac {2-q}{q-1}}\right)-x_{m}\right],$

затем $X\sim Y.$

Генерация случайных отклонений

Случайные отклонения можно выявить с помощью выборки обратного преобразования . Учитывая переменную U , равномерно распределенную на интервале (0,1), то

$X={\frac {-q'\ln _{q'}(U)}{\lambda }}\sim \operatorname {{\mathit {q}}-Exp} (q,\lambda )$

где $\ln _{q'}$ представляет собой q -логарифм и $q'={\frac {1}{2-q}}.$

Приложения

Будучи степенным преобразованием , это обычный метод в статистике для стабилизации дисперсии, придания данным более сходства с нормальным распределением и повышения достоверности показателей связи, таких как корреляция Пирсона между переменными. Было обнаружено, что это точная модель задержки поездов. Он также встречается в атомной физике и квантовой оптике, например, в процессах создания молекулярного конденсата посредством перехода через резонанс Фешбаха.

См. также

• Константино Цаллис
• Статистика Цаллиса
• Энтропия Цаллиса
• Распространение Цаллиса
• q -пара
• q - Гауссова

Дальнейшее чтение

• Джунипер, Дж. (2007) «Распределение Цаллиса и обобщенная энтропия: перспективы будущих исследований процесса принятия решений в условиях неопределенности» , Центр полной занятости и равенства, Университет Ньюкасла, Австралия

Внешние ссылки

• Статистика Цаллиса, статистическая механика неэкстенсивных систем и дальних взаимодействий