Гауссово q -распределение

Эта статья о распределении, предложенном Диасом и Теруэлем. Чтобы узнать о q-гауссове Цаллиса, см. q-гауссово .

В математической физике , теории вероятностей и статистике гауссово — q -распределение это семейство вероятностных распределений , которое включает в себя, в качестве предельных случаев , равномерное распределение и нормальное (гауссово) распределение . Его представили Диас и Теруэль. Это q-аналог гауссовского или нормального распределения .

Распределение симметрично относительно нуля и ограничено, за исключением предельного случая нормального распределения. Предельное равномерное распределение находится в диапазоне от -1 до +1.

Определение

Гауссова q-плотность.

Пусть q — действительное число из интервала [0, 1). Функция плотности вероятности гауссова q -распределения определяется выражением

$s_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\{\frac {1}{c(q)}}E_{q^{2}}^{\frac {-q^{2}x^{2}}{[2]_{q}}}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\0&{\mbox{if }}x>\nu .\end{cases}}$

где

$\nu =\nu (q)={\frac {1}{\sqrt {1-q}}},$

$c(q)=2(1-q)^{1/2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}q^{m(m+1)}}{(1-q^{2m+1})(1-q^{2})_{q^{2}}^{m}}}.$

q ] [ t -аналог _q действительного числа $t$ дается

$[t]_{q}={\frac {q^{t}-1}{q-1}}.$

показательной q -аналогом функции является q-экспонента , E ^х
_q , который определяется выражением

$E_{q}^{x}=\sum _{j=0}^{\infty }q^{j(j-1)/2}{\frac {x^{j}}{[j]!}}$

где q аналогом факториала - является q-факториал , [ n ] _q !, который, в свою очередь, определяется выражением

$[n]_{q}!=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [2]_{q}\,$

для целого числа n > 2 и [1] _q ! = [0] _q ! = 1.

Кумулятивное гауссово q-распределение.

Кумулятивная функция распределения гауссовского q- распределения определяется выражением

$G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\[12pt]\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{x}E_{q^{2}}^{-q^{2}t^{2}/[2]}\,d_{q}t&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\[12pt]1&{\text{if }}x>\nu \end{cases}}$

где символ интегрирования обозначает интеграл Джексона .

Функция G _q задается явно выражением

$G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu ,\\\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1-q}{c(q)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n(n+1)}(q-1)^{n}}{(1-q^{2n+1})(1-q^{2})_{q^{2}}^{n}}}x^{2n+1}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\1&{\text{if}}\ x>\nu \end{cases}}$

где

$(a+b)_{q}^{n}=\prod _{i=0}^{n-1}(a+q^{i}b).$

Моменты

Моменты выражением гауссова q -распределения определяются

${\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n}\,d_{q}x=[2n-1]!!,$

${\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n+1}\,d_{q}x=0,$

где символ [2 n − 1]!! является q -аналогом двойного факториала, заданного формулой

$[2n-1][2n-3]\cdots [1]=[2n-1]!!.\,$

См. также

• Q-Гауссов процесс

Ссылки

• Диас, Р.; Паригуан, Э. (2009). «О гауссовском q-распределении». Журнал математического анализа и приложений . 358 : 1–9. arXiv : 0807.1918 . дои : 10.1016/j.jmaa.2009.04.046 . S2CID   115175228 .
• Диас, Р.; Теруэль, К. (2005). «q,k-обобщенные гамма- и бета-функции» (PDF) . Журнал нелинейной математической физики . 12 (1): 118–134. arXiv : math/0405402 . Бибкод : 2005JNMP...12..118D . дои : 10.2991/jnmp.2005.12.1.10 . S2CID   73643153 .
• ван Леувен, Х.; Маассен, Х. (1995). «A q -деформация распределения Гаусса» (PDF) . Журнал математической физики . 36 (9): 4743. Бибкод : 1995JMP....36.4743V . CiteSeerX   10.1.1.24.6957 . дои : 10.1063/1.530917 . hdl : 2066/141604 . S2CID   13934946 .
• Экстон, Х. (1983), q-гипергеометрические функции и приложения , Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Эллис Хорвуд, 1983, ISBN   0853124914 , ISBN   0470274530 , ISBN   978-0470274538