Распределение Хольцмарка

Хольцмарк

Функция плотности вероятности Симметричные α -стабильные распределения с единичным масштабным коэффициентом; α = 1,5 (синяя линия) представляет распределение Хольцмарка.
Кумулятивная функция распределения
Параметры	c ∈ (0, ∞) — параметр масштаба µ ∈ (−∞, ∞) — параметр местоположения
Поддерживать	х € Р
PDF	выражается через гипергеометрические функции ; см. текст
Иметь в виду	м
медиана	м
Режим	м
Дисперсия	бесконечный
асимметрия	неопределенный
Избыточный эксцесс	неопределенный
МГФ	неопределенный
CF	$\exp \left[~it\mu \!-\!|ct|^{3/2}~\right]$

(Одномерное) распределение Хольцмарка является непрерывным распределением вероятностей . Распределение Хольцмарка — это частный случай устойчивого распределения с индексом стабильности или параметром формы. $\alpha$ равный 3/2, а асимметрии параметр $\beta$ нуля. С $\beta$ равно нулю, распределение симметрично и, следовательно, является примером симметричного альфа-стабильного распределения. Распределение Хольцмарка — один из немногих примеров устойчивого распределения, для которого выражение функции плотности вероятности известно в замкнутой форме. Однако ее функция плотности вероятности не выражается через элементарные функции ; скорее, функция плотности вероятности выражается через гипергеометрические функции .

Распределение Хольцмарка находит применение в физике плазмы и астрофизике. В 1919 году норвежский физик Йохан Петер Хольцмарк предложил это распределение в качестве модели флуктуирующих полей в плазме, вызванных движением заряженных частиц. Он также применим к другим типам кулоновских сил, в частности к моделированию гравитирующих тел, и поэтому важен в астрофизике.

Характеристическая функция

Характеристическая функция симметричного устойчивого распределения:

$\varphi (t;\mu ,c)=\exp \left[~it\mu \!-\!|ct|^{\alpha }~\right],$

где $\alpha$ параметр формы или индекс устойчивости, $\mu$ — параметр местоположения , а c — параметр масштаба .

Поскольку распределение Хольцмарка имеет $\alpha =3/2,$ его характерная функция:

$\varphi (t;\mu ,c)=\exp \left[~it\mu \!-\!|ct|^{3/2}~\right].$

Поскольку распределение Хольцмарка является стабильным распределением с α > 1 , $\mu$ представляет собой среднее значение распределения. Поскольку β = 0 , $\mu$ также представляет собой медиану и способ распределения. А поскольку α < 2 , дисперсия распределения Хольцмарка бесконечна. Все высшие моменты распределения также бесконечны. Как и другие стабильные распределения (кроме нормального распределения), поскольку дисперсия бесконечна, дисперсия в распределении отражается параметром масштаба c. Альтернативный подход к описанию дисперсии распределения - через дробные моменты.

плотности

В общем, функция плотности вероятности f ( x ) непрерывного распределения вероятностей может быть получена из его характеристической функции следующим образом:

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)e^{-ixt}\,dt.$

Большинство стабильных распределений не имеют известного выражения в замкнутой форме для своих функций плотности вероятности. Только нормальное распределение , распределение Коши и Леви имеют известные выражения в замкнутой форме в терминах элементарных функций . Распределение Хольцмарка — одно из двух симметричных устойчивых распределений, имеющих известное выражение в замкнутой форме в терминах гипергеометрических функций . Когда $\mu$ равно 0, а параметр масштаба равен 1, распределение Хольцмарка имеет функцию плотности вероятности:

${\begin{aligned}f(x;0,1)&={1 \over \pi }\,\Gamma \left({5 \over 3}\right){_{2}F_{3}}\!\left({5 \over 12},{11 \over 12};{1 \over 3},{1 \over 2},{5 \over 6};-{4x^{6} \over 729}\right)\\&{}\quad {}-{x^{2} \over 3\pi }\,{_{3}F_{4}}\!\left({3 \over 4},{1},{5 \over 4};{2 \over 3},{5 \over 6},{7 \over 6},{4 \over 3};-{4x^{6} \over 729}\right)\\&{}\quad {}+{7x^{4} \over 81\pi }\,\Gamma \left({4 \over 3}\right){_{2}F_{3}}\!\left({13 \over 12},{19 \over 12};{7 \over 6},{3 \over 2},{5 \over 3};-{4x^{6} \over 729}\right),\end{aligned}}$

где ${\Gamma (x)}$ и функция гамма - $\;_{m}F_{n}()$ является гипергеометрической функцией . У одного также есть

${\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {-x^{2}}{6\pi }}\left[~_{2}F_{2}\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};-{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)+~_{2}F_{2}\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)\right]\\&+{\frac {4}{3\times 3^{2/3}}}\left[\mathrm {Bi} '\left(-{\frac {x^{2}}{3\times 3^{1/3}}}\right)\cos \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)+{\frac {x}{3^{2/3}}}~\mathrm {Bi} \left(-{\frac {x^{2}}{3\times 3^{1/3}}}\right)\sin \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\right],\end{aligned}}$

где $\mathrm {Bi}$ – функция Эйри второго рода и $\mathrm {Bi} '$ его производная. Аргументы $_{2}F_{2}$ функции представляют собой чисто мнимые комплексные числа, но сумма двух функций действительна. Для $x$ положительная, функция $\mathrm {Bi} (-x)$ связано с функциями Бесселя дробного порядка $J_{-1/3}$ и $J_{1/3}$ и ее производная к функциям Бесселя дробного порядка $J_{-2/3}$ и $J_{2/3}$. Поэтому можно написать

${\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {4x^{2}}{27{\sqrt {3}}}}\left\{\cos \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\left[J_{-2/3}\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)+J_{2/3}\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\right]+\sin \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\left[J_{-1/3}\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)-J_{1/3}\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\right]\right\}\\&-{\frac {x^{2}}{6\pi }}\left[~_{2}F_{2}\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};-{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)+~_{2}F_{2}\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)\right].\end{aligned}}$

Ссылки

• Хаммер, Д.Г. (1986). «Рациональные аппроксимации распределения Хольцмарка, его кумулятивной и производной» . Журнал количественной спектроскопии и переноса излучения . 36 : 1–5. Бибкод : 1986JQSRT..36....1H . дои : 10.1016/0022-4073(86)90011-7 .