Семья в масштабе местоположения

В теории вероятностей , особенно в математической статистике , семейство масштабов местоположения — это семейство распределений вероятностей , параметризованных параметром местоположения и неотрицательным параметром масштаба . Для любой случайной величины $X$ чья функция распределения вероятностей принадлежит такому семейству, функция распределения $Y{\stackrel {d}{=}}a+bX$ также принадлежит семье (где ${\stackrel {d}{=}}$ означает « равный по распределению » — то есть «имеет такое же распределение, как»).

Другими словами, класс $\Omega$ вероятностных распределений является семейством масштаба местоположения, если для всех кумулятивных функций распределения $F\in \Omega$ и любые действительные числа $a\in \mathbb {R}$ и $b>0$ , функция распределения $G(x)=F(a+bx)$ также является членом $\Omega$ .

Если $X$ имеет кумулятивную функцию распределения $F_{X}(x)=P(X\leq x)$ , затем $Y{=}a+bX$ имеет кумулятивную функцию распределения $F_{Y}(y)=F_{X}\left({\frac {y-a}{b}}\right)$ .
Если $X$ - дискретная случайная величина с функцией массы вероятности $p_{X}(x)=P(X=x)$ , затем $Y{=}a+bX$ — дискретная случайная величина с функцией массы вероятности $p_{Y}(y)=p_{X}\left({\frac {y-a}{b}}\right)$ .
Если $X$ представляет собой непрерывную случайную величину с функцией плотности вероятности $f_{X}(x)$ , затем $Y{=}a+bX$ представляет собой непрерывную случайную величину с функцией плотности вероятности $f_{Y}(y)={\frac {1}{b}}f_{X}\left({\frac {y-a}{b}}\right)$ .

Более того, если $X$ и $Y$ представляют собой две случайные величины, функции распределения которых являются членами семейства, и при условии существования первых двух моментов и $X$ имеет нулевое среднее и единичную дисперсию, затем $Y$ можно записать как $Y{\stackrel {d}{=}}\mu _{Y}+\sigma _{Y}X$ , где $\mu _{Y}$ и $\sigma _{Y}$ среднее и стандартное отклонение $Y$ .

В теории принятия решений , если все альтернативные распределения, доступные лицу, принимающему решение, принадлежат к одному и тому же семейству масштабов местоположения и первые два момента конечны, то может применяться двухмоментная модель принятия решения , и принятие решений может быть сформулировано в терминах средних . и дисперсий распределений ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Примеры

Часто семьи в масштабе местоположения ограничиваются теми, в которых все члены имеют одинаковую функциональную форму. Большинство семейств в масштабе местоположения являются одномерными , хотя и не все. К известным семьям, в которых функциональная форма распределения одинакова по всему семейству, относятся следующие:

Преобразование одного распределения в семейство в масштабе местоположения

Ниже показано, как реализовать семейство в масштабе местоположения в статистическом пакете или среде программирования, где доступны только функции для «стандартной» версии дистрибутива. Он разработан для R, но его следует распространять на любой язык и библиотеку.

В качестве примера здесь можно привести Стьюдента t -распределение , которое обычно предоставляется в R только в его стандартной форме, с одним степени свободы . параметром df. Версии ниже с _ls добавлено, как обобщить это до обобщенного t-распределения Стьюдента с произвольным параметром местоположения. m и параметр масштабирования s.

Функция плотности вероятности (PDF):	`dt_ls(x, df, m, s) =`	`1/s * dt((x - m) / s, df)`
Кумулятивная функция распределения (CDF):	`pt_ls(x, df, m, s) =`	`pt((x - m) / s, df)`
Квантильная функция (обратная CDF):	`qt_ls(prob, df, m, s) =`	`qt(prob, df) * s + m`
Создайте случайную переменную :	`rt_ls(df, m, s) =`	`rt(df) * s + m`

Обратите внимание, что обобщенные функции не имеют стандартного отклонения. s поскольку стандартное распределение t не имеет стандартного отклонения, равного 1.

Ссылки

^ Мейер, Джек (1987). «Модели двухмоментных решений и максимизация ожидаемой полезности». Американский экономический обзор . 77 (3): 421–430. JSTOR 1804104 .
^ Майшар, Дж. (1978). «Заметка о критике Фельдштейном анализа средней дисперсии». Обзор экономических исследований . 45 (1): 197–199. JSTOR 2297094 .
^ Синн, Х.-В. (1983). Экономические решения в условиях неопределенности (второе английское изд.). Северная Голландия.

Внешние ссылки

http://www.randomservices.org/random/special/LocationScale.html

[1] Мейер, Джек (1987). «Модели двухмоментных решений и максимизация ожидаемой полезности». Американский экономический обзор . 77 (3): 421–430. JSTOR 1804104 .

[2] Майшар, Дж. (1978). «Заметка о критике Фельдштейном анализа средней дисперсии». Обзор экономических исследований . 45 (1): 197–199. JSTOR 2297094 .

[3] Синн, Х.-В. (1983). Экономические решения в условиях неопределенности (второе английское изд.). Северная Голландия.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]