Модель ускоренного времени отказа

В статистической области анализа выживаемости модель ускоренного времени отказа ( модель AFT ) представляет собой параметрическую модель, которая обеспечивает альтернативу широко используемым моделям пропорциональных рисков . В то время как модель пропорциональных рисков предполагает, что эффект ковариаты заключается в умножении опасности на некоторую константу, модель AFT предполагает, что эффект ковариаты заключается в ускорении или замедлении течения заболевания на некоторую константу. Существуют убедительные фундаментальные научные данные из экспериментов К. Элегана, проведенных Страуструпом и др. ^[1] что указывает на то, что модели AFT являются правильной моделью процессов биологического выживания.

Спецификация модели [ править ]

В полной мере модель ускоренного времени отказа можно определить как ^[2]

\lambda (t|\theta )=\theta \lambda _{0}(\theta t)

где $\theta$ обозначает совместный эффект ковариат, обычно $\theta =\exp(-[\beta _{1}X_{1}+\cdots +\beta _{p}X_{p}])$ . (Указание коэффициентов регрессии с отрицательным знаком подразумевает, что высокие значения ковариат увеличивают время выживания, но это всего лишь условность знаков; без отрицательного знака они увеличивают опасность.)

Это выполняется, если принять функцию плотности вероятности события равной $f(t|\theta )=\theta f_{0}(\theta t)$ ; тогда для функции выживания следует , что $S(t|\theta )=S_{0}(\theta t)$ . Отсюда легко ^{[ нужна ссылка ]} чтобы увидеть, что модерируемое время жизни $T$ распределяется так, что $T\theta$ и немодерируемое время жизни $T_{0}$ имеют одинаковое распределение. Следовательно, $\log(T)$ можно записать как

\log(T)=-\log(\theta )+\log(T\theta ):=-\log(\theta )+\epsilon

где последний член распределяется как $\log(T_{0})$ , то есть независимо от $\theta$ . Это сводит модель ускоренного времени отказа к регрессионному анализу (обычно линейной модели ), где $-\log(\theta )$ представляет собой фиксированные эффекты, и $\epsilon$ представляет собой шум. Различные распределения $\epsilon$ предполагают различное распределение $T_{0}$ , т. е. различные базовые распределения времени выживания. Обычно в контексте анализа выживания многие наблюдения подвергаются цензуре: мы знаем только то, что $T_{i}>t_{i}$ , нет $T_{i}=t_{i}$ . Фактически, первый случай представляет собой выживание, а второй случай представляет собой событие/смерть/цензуру во время последующего наблюдения. Эти цензурированные справа наблюдения могут создать технические проблемы для оценки модели, если распределение $T_{0}$ необычно.

Интерпретация $\theta$ В моделях ускоренного времени отказа все просто: $\theta =2$ означает, что все в соответствующей истории жизни человека происходит в два раза быстрее. Например, если модель касается развития опухоли, это означает, что все предварительные стадии развиваются в два раза быстрее, чем у необлученного человека, подразумевая, что ожидаемое время до клинического заболевания составляет 0,5 от базового времени. Однако это не означает, что функция опасности $\lambda (t|\theta )$ всегда в два раза выше – это будет модель пропорциональных рисков .

Статистические проблемы [ править ]

В отличие от моделей пропорциональных рисков, в которых , полупараметрическая модель пропорциональных рисков Кокса используется более широко, чем параметрические модели, модели AFT преимущественно полностью параметрические т.е. для $\log(T_{0})$ . (Бакли и Джеймс ^[3] предложил полупараметрический АФТ, но его использование в прикладных исследованиях относительно редко; в статье 1992 года Вэй ^[4] отметил, что модель Бакли-Джеймса не имеет теоретического обоснования и не обладает надежностью, и рассмотрел альтернативы.) Это может стать проблемой, если для моделирования распределения базового срока службы требуется определенная степень реалистичности. Следовательно, технические разработки в этом направлении были бы весьма желательны.

В отличие от моделей пропорциональных рисков, оценки параметров регрессии из моделей AFT устойчивы к пропущенным ковариатам . На них также меньше влияет выбор распределения вероятностей. ^[5]^[6]

Результаты моделей AFT легко интерпретируются. ^[7] Например, результаты клинического исследования со смертностью в качестве конечной точки можно интерпретировать как определенное процентное увеличение будущей продолжительности жизни при новом лечении по сравнению с контролем. Таким образом, пациенту можно было сообщить, что он проживет (скажем) на 15% дольше, если примет новое лечение. Коэффициенты рисков может оказаться труднее объяснить с точки зрения непрофессионала.

используемые в моделях AFT , Распределения

представляет Логарифмическое распределение собой наиболее часто используемую модель AFT. ^{[ нужна ссылка ]}. В отличие от распределения Вейбулла , оно может демонстрировать немонотонную функцию риска, которая возрастает в ранние моменты времени и уменьшается в более поздние моменты времени. По форме оно чем-то похоже на логнормальное распределение , но имеет более тяжелые хвосты. Логарифмическая кумулятивная функция распределения имеет простую замкнутую форму , которая становится важной в вычислительном отношении при сопоставлении данных с цензурированием . Для цензурированных наблюдений нужна функция выживания, которая является дополнением кумулятивной функции распределения, т.е. необходимо иметь возможность оценить $S(t|\theta )=1-F(t|\theta )$ .

Распределение Вейбулла (включая экспоненциальное распределение как особый случай) может быть параметризовано либо как модель пропорциональных рисков, либо как модель AFT, и является единственным семейством распределений, обладающим этим свойством. Таким образом, результаты подбора модели Вейбулла можно интерпретировать в любой системе. Однако биологическая применимость этой модели может быть ограничена тем фактом, что функция риска монотонна, т.е. либо убывает, либо возрастает.

Любое распределение в мультипликативно замкнутой группе , например положительные действительные числа , подходит для модели AFT. Другие распределения включают логнормальное , гамма , гипертабастическое , распределение Гомпертца и обратное распределение Гаусса , хотя они менее популярны, чем логарифмическое, отчасти потому, что их кумулятивные функции распределения не имеют замкнутой формы. Наконец, обобщенное гамма-распределение представляет собой трехпараметрическое распределение, которое включает распределения Вейбулла , логарифмически нормальное и гамма- в качестве особых случаев распределения.

Ссылки [ править ]

^ Страуструп, Николас (16 января 2016 г.). «Временное масштабирование старения Caenorhabditis elegans» . Природа . 530 (7588): 103–107. дои : 10.1038/nature16550 . ПМК 4828198 .
^ Калбфляйш и Прентис (2002). Статистический анализ данных о времени отказа (2-е изд.) . Хобокен, Нью-Джерси: Серия Уайли по вероятности и статистике.
^ Бакли, Джонатан; Джеймс, Ян (1979), «Линейная регрессия с цензурированными данными», Biometrika , 66 (3): 429–436, doi : 10.1093/biomet/66.3.429 , JSTOR 2335161
^ Вэй, LJ (1992). «Модель ускоренного времени отказа: полезная альтернатива модели регрессии Кокса в анализе выживаемости». Статистика в медицине . 11 (14–15): 1871–1879. дои : 10.1002/сим.4780111409 . ПМИД 1480879 .
^ Ламберт, Филипп; Коллетт, Дэйв; Кимбер, Алан; Джонсон, Рэйчел (2004), «Параметрические модели ускоренного времени отказа со случайными эффектами и применение к выживаемости трансплантата почки» , Статистика в медицине , 23 (20): 3177–3192, doi : 10.1002/sim.1876 , PMID 15449337
^ Кейдинг, Н.; Андерсен, ПК; Кляйн, JP (1997). «Роль моделей хрупкости и моделей ускоренного времени отказа в описании неоднородности из-за пропущенных ковариат». Статистика в медицине . 16 (1–3): 215–224. doi : 10.1002/(SICI)1097-0258(19970130)16:2<215::AID-SIM481>3.0.CO;2-J . ПМИД 9004393 .
^ Кей, Ричард; Кинерсли, Нельсон (2002), «Об использовании модели ускоренного времени отказа в качестве альтернативы модели пропорциональных рисков при обработке данных о времени до события: тематическое исследование по гриппу» , Drug Information Journal , 36 (3): 571–579, номер домена : 10.1177/009286150203600312.

Дальнейшее чтение [ править ]

Брэдберн, MJ; Кларк, Т.Г.; С любовью, СБ; Альтман, Д.Г. (2003), «Анализ выживания, часть II: Многомерный анализ данных – введение в концепции и методы», British Journal of Cancer , 89 (3): 431–436, doi : 10.1038/sj.bjc.6601119 , PMC 2394368 , ПМИД 12888808
Хугард, Филип (1999), «Основы данных о выживании», Biometrics , 55 (1): 13–22, doi : 10.1111/j.0006-341X.1999.00013.x , PMID 11318147
Коллетт, Д. (2003), Моделирование данных о выживаемости в медицинских исследованиях (2-е изд.), CRC press, ISBN 978-1-58488-325-8
Кокс, Дэвид Роксби ; Оукс, Д. (1984), Анализ данных о выживании , CRC Press, ISBN 978-0-412-24490-2
Марубини, Этторе; Вальсекки, Мария Грация (1995), Анализ данных о выживаемости в результате клинических испытаний и наблюдательных исследований , Wiley, ISBN 978-0-470-09341-2
Мартинуссен, Торбен; Шайке, Томас (2006), Модели динамической регрессии для данных о выживании, Springer, ISBN 0-387-20274-9
Багдонавичюс, Вилияндас; Никулин, Михаил (2002), Ускоренные модели жизни. Моделирование и статистический анализ, Chapman&Hall/CRC, ISBN 1-58488-186-0

[1] Страуструп, Николас (16 января 2016 г.). «Временное масштабирование старения Caenorhabditis elegans» . Природа . 530 (7588): 103–107. дои : 10.1038/nature16550 . ПМК 4828198 .

[2] Калбфляйш и Прентис (2002). Статистический анализ данных о времени отказа (2-е изд.) . Хобокен, Нью-Джерси: Серия Уайли по вероятности и статистике.

[3] Бакли, Джонатан; Джеймс, Ян (1979), «Линейная регрессия с цензурированными данными», Biometrika , 66 (3): 429–436, doi : 10.1093/biomet/66.3.429 , JSTOR 2335161

[4] Вэй, LJ (1992). «Модель ускоренного времени отказа: полезная альтернатива модели регрессии Кокса в анализе выживаемости». Статистика в медицине . 11 (14–15): 1871–1879. дои : 10.1002/сим.4780111409 . ПМИД 1480879 .

[5] Ламберт, Филипп; Коллетт, Дэйв; Кимбер, Алан; Джонсон, Рэйчел (2004), «Параметрические модели ускоренного времени отказа со случайными эффектами и применение к выживаемости трансплантата почки» , Статистика в медицине , 23 (20): 3177–3192, doi : 10.1002/sim.1876 , PMID 15449337

[6] Кейдинг, Н.; Андерсен, ПК; Кляйн, JP (1997). «Роль моделей хрупкости и моделей ускоренного времени отказа в описании неоднородности из-за пропущенных ковариат». Статистика в медицине . 16 (1–3): 215–224. doi : 10.1002/(SICI)1097-0258(19970130)16:2<215::AID-SIM481>3.0.CO;2-J . ПМИД 9004393 .

[7] Кей, Ричард; Кинерсли, Нельсон (2002), «Об использовании модели ускоренного времени отказа в качестве альтернативы модели пропорциональных рисков при обработке данных о времени до события: тематическое исследование по гриппу» , Drug Information Journal , 36 (3): 571–579, номер домена : 10.1177/009286150203600312.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]