Гипертабастические модели выживания

Гипертабастические модели выживания были представлены в 2007 году Мохаммадом Табатабаи, Зораном Бурсаком, Дэвидом Уильямсом и Караном Сингхом. Это распределение можно использовать для анализа данных о времени до события в области биомедицины и общественного здравоохранения и обычно называется анализом выживаемости . В технике анализ времени до события называется теорией надежности , а в бизнесе и экономике — анализом продолжительности . Другие поля могут использовать разные имена для одного и того же анализа. Эти модели выживания применимы во многих областях, таких как биомедицина, поведенческая наука, социальные науки, статистика, медицина, биоинформатика, медицинская информатика, наука о данных, особенно в машинном обучении, вычислительная биология , экономика бизнеса, инженерия и коммерческие организации. Они не только смотрят на время события, но и на то, произошло ли это событие. Эти модели времени до события могут применяться в различных приложениях, например, время после диагностики рака до смерти, сравнение индивидуального лечения со стандартной помощью в исследованиях рака, время до того, как человек не выполнит свои обязательства по кредитам, время рецидива для лекарств и отказ от курения, время, пока имущество не будет продано после выставления на продажу, время, пока человек не перейдет на новый телефон, время до переезда на работу, время, пока кости не получат микроскопические переломы при различных уровнях стресса, время от брака до развода, время до заражения из-за катетер и время от завершения изготовления моста до первого ремонта.

Гипертабастическая кумулятивная функция распределения

Иллюстрация гипертабастического CDF для различных значений бета-параметра.

Гипертабастическая кумулятивная функция распределения или просто гипертабастическая функция распределения. $F(t)$ определяется как вероятность того, что случайная величина $T$ примет значение меньше или равное $t$. Гипертабастическая функция распределения определяется как

$F(t)={\begin{cases}1-\operatorname {sech} ({\frac {\alpha (1-t^{\beta }\operatorname {coth} (t^{\beta }))}{\beta }})&t>0\\0&t\leq 0\end{cases}}$,

где $\operatorname {sech}$ представляет собой гиперболическую секущую функцию и $\alpha$, $\beta$ являются параметрами.

Параметры $\alpha$ и $\beta$ оба положительные с $\operatorname {sech}$ и $\operatorname {coth}$ как гиперболический секанс и гиперболический котангенс соответственно. Функция плотности вероятности гипертабастика:

$f(t)={\begin{cases}\operatorname {sech} (W(t))(\alpha t^{2\beta -1}\operatorname {csch} ^{2}(t^{\beta })-\alpha t^{\beta -1}\operatorname {coth} (t^{\beta }))\operatorname {tanh} (W(t))&t>0\\0&t<0\end{cases}}$,

где $\operatorname {csch}$ и $\operatorname {tanh}$ являются гиперболическим косекансом и гиперболическим тангенсом соответственно и

$W(t)={\frac {\alpha (1-t^{\beta }\operatorname {coth} (t^{\beta }))}{\beta }}$

Гипертабастическая функция выживания

Функция выживания гипертабастика определяется как

$S(t)=\operatorname {sech} [{\frac {\alpha (1-t^{\beta }\operatorname {coth} (t^{\beta }))}{\beta }}]$,

где $S(t)$ вероятность того, что время ожидания превысит $t$.

Для $t>0$, ограниченное ожидаемое (среднее) время выживания случайной величины $T$ обозначается $REST(t)$и определяется как

$REST(t)=\int _{0}^{t}{S(u)}du$.

Функция гипертабастической опасности

Для непрерывной случайной величины $T$ представляющая время до события, функция гипертабастической опасности $h(t)$, который представляет мгновенную интенсивность отказов в момент времени $t$ учитывая выживание до времени $t$, определяется как

$h(t)=\lim _{\Delta (t)\to 0^{+}}{\frac {P(t\leq T<t+\Delta (t)|T\geq t)}{\Delta (t)}}=\alpha (t^{2\beta -1}\operatorname {csch} ^{2}(t^{\beta })-t^{\beta -1}\operatorname {coth} (t^{\beta }))\operatorname {tanh} (W(t))$.

Функция гипертабастической опасности позволяет моделировать различные формы опасностей. Спирко, Л. (2017). Выбор переменных и контролируемое уменьшение размеров для крупномасштабных геномных данных с цензурированными результатами выживания (PDF) (кандидатская диссертация). Университет Темпл. Эти различные формы опасности могут применяться к различным механизмам, для которых функции опасности могут не согласовываться с традиционными моделями. Ниже приводится список возможных форм функции гипертабастической опасности: Для $0<\beta \leq 0.25$, функция гипертабастического риска монотонно убывает, что указывает на более высокую вероятность отказа на ранних этапах. Для $0.25<\beta <1$Кривая риска гипертабастика сначала увеличивается со временем, пока не достигнет максимальной интенсивности отказов, а затем количество отказов со временем уменьшается ( унимодальный ). Для $\beta =1$, функция гипертабастического риска сначала возрастает со временем, затем достигает горизонтальной асимптоты $\alpha$. Для $1<\beta <2$Функция гипертабастического риска сначала увеличивается со временем с вогнутостью вверх, пока не достигнет точки перегиба , а затем продолжает увеличиваться с вогнутостью вниз. Для $\beta =2$, функция гипертабастического риска первоначально увеличивается с вогнутостью вверх, пока не достигнет точки перегиба, после чего становится линейной асимптотой с наклоном $\alpha$. Для $\beta >2$, функция гипертабастического риска увеличивается с увеличением вогнутости вверх.

Кривые опасности из гипертабастического распределения с различными значениями бета-параметра.

Функция кумулятивной опасности гипертабастика:

$H(t)=\int _{0}^{t}h(v)dv=-ln(S(t))$

Гипертабастическая модель пропорциональных рисков

Функция опасности $h(t|\mathbf {x} ,\mathbf {\theta } )$ Гипертабастической модели пропорциональных рисков имеет вид

$h(t|\mathbf {x} ,\mathbf {\theta } )=h(t)g(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} )$,

где $\mathbf {x}$ представляет собой p-мерный вектор объясняющих переменных и $\theta$ представляет собой вектор неизвестных параметров . Совокупный эффект объясняющих переменных $g(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} )=e^{-\theta _{0}-\sum _{k=1}^{p}{\theta _{k}x_{k}}}$ является неотрицательной функцией $x$ с $g(\mathbf {\theta } |\mathbf {0} )=e^{-\theta _{0}}$. Гипертабастическая функция выживания $S(t|\mathbf {x} ,\mathbf {\theta } )$ для модели пропорциональных рисков определяется как:

$S(t|\mathbf {x} ,\mathbf {\theta } )=[S(t)]^{g(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} )}$

гипертабастики а функция плотности вероятности для модели пропорционального риска определяется выражением

$f(t|\mathbf {x} ,\mathbf {\theta } )=f(t)[S(t)]^{g(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} )-1}g(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} )$.

В зависимости от типа цензуры метод функции максимального правдоподобия вместе с соответствующей логарифмической функцией правдоподобия для оценки параметров модели может использоваться . Если выборка состоит из данных, подвергнутых цензуре справа, и используемой моделью является гипертабастическая модель пропорциональных рисков, то функция логарифмического правдоподобия пропорциональных рисков будет равна

$LL(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta :{\mathbf {x} })=\sum _{i=1}^{n}{(ln[{\operatorname {sech} (W(t_{i}))}]g(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} _{i})+\delta _{i}ln{[(\alpha {t_{i}}^{-1+2\beta }\operatorname {csch} ^{2}{({t_{i}}^{\beta })}-\alpha {t_{i}}^{-1+\beta }\operatorname {coth} ({t_{i}}^{\beta }))\operatorname {tanh} (W(t_{i}))g(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} _{i})]})}$.

Гипертабастическая модель ускоренного времени отказа

Когда ковариаты действуют мультипликативно во временной шкале, модель называется моделью ускоренного времени отказа . Гипертабастическая функция выживания для модели ускоренного времени отказа определяется выражением

$S(t|\mathbf {x} ,\mathbf {\theta } )=S(tg(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} ))$.

Гипертабастическая модель ускоренного времени отказа имеет функцию опасности. $h(t|\mathbf {x} ,\mathbf {\theta } )$ формы

$h(t|\mathbf {x} ,\mathbf {\theta } )=h(tg(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} ))g(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} )$.

Функция плотности вероятности гипертабастики для модели ускоренного времени отказа:

$f(t|\mathbf {x} ,\mathbf {\theta } )=f(tg(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} ))g(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} )$.

Для данных, подвергнутых цензуре справа, функция логарифмического правдоподобия для гипертабастической модели ускоренного времени отказа определяется выражением

$LL(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta :{\mathbf {x} })=\sum _{i=1}^{n}{(ln{[\operatorname {sech} ({\frac {\alpha {(Z(t_{i}))}^{\beta }\operatorname {coth} ({Z(t_{i})}^{\beta })}{\beta }})]}+\delta _{i}ln{[(\alpha {(Z(t_{i}))}^{-1+2\beta }\operatorname {csch} ^{2}{[{Z(t_{i})}^{\beta }]}-\alpha {Z(t_{i})}^{\beta }\operatorname {tanh} ({\frac {\alpha (1-{(Z(t_{i}))}^{\beta }\operatorname {coth} {(Z(t_{i}))}^{\beta })}{\beta }}))]}g(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} _{i}))}$,

где $Z(t_{i})=t_{i}g(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} _{i})$.

Модифицированный тест типа хи-квадрат, известный как статистика Никулина-Рао-Робсона, используется для проверки согласия гипертабатических моделей ускоренного времени отказа и ее сравнения с унимодальными функциями степени опасности. Моделирование показало, что гипертабастическое распределение может использоваться в качестве альтернативы лог-логистическому и логнормальному распределениям из-за его гибкой формы функций опасности. Гипертабастическое распределение является конкурентом статистического моделирования по сравнению с распределениями Бирнбаума-Сондерса и обратными распределениями Гаусса.

Функции правдоподобия для анализа выживания

Рассмотрим выборку времени выживания n особей. $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$ со связанными p-мерными векторами ковариат $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$ и неизвестный вектор параметров $\mathbf {\theta } =(\theta _{0},\theta _{1},\ldots ,\theta _{p})$. Позволять $f(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } ),F(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\theta ),S(t_{i}|\mathbf {x} _{i},)$ и $h(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )$ обозначают соответствующую функцию плотности вероятности, кумулятивную функцию распределения, функцию выживания и функцию риска соответственно. В отсутствие цензурирования (цензурирование обычно происходит, когда невозможно наблюдать время отказа некоторых индивидуумов), функция правдоподобия равна

$L(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta :{\mathbf {x} })=\prod _{i=1}^{n}f(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )$

и логарифмическая вероятность $LL(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta :{\mathbf {x} })$ является

$LL(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta :{\mathbf {x} })=\sum _{i=1}^{n}ln{[f(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]}$

Для данных, подвергнутых цензуре справа, функция правдоподобия равна

$L(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta :{\mathbf {x} })=\prod _{i=1}^{n}{[f(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]^{\delta _{i}}[S(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]^{1-\delta _{i}}}$

или эквивалентно,

$L(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta :{\mathbf {x} })=\prod _{i=1}^{n}{[h(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]^{\delta _{i}}S(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )}$,

и функция логарифмического правдоподобия равна

$LL(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta :{\mathbf {x} })=\sum _{i=1}^{n}(\delta _{i}ln{[f(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]}+(1-\delta _{i})ln{[S(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]})$

или эквивалентно,

$LL(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta :{\mathbf {x} })=\sum _{i=1}^{n}(\delta _{i}ln{[h(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } ]}+ln{[S(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]})$

где

$\delta _{i}={\begin{cases}0&t_{i}{\text{is a right censored observation}}\\1&otherwise\end{cases}}$,

При наличии данных, подвергнутых левой цензуре, функция правдоподобия равна

$L(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta :{\mathbf {x} })=\prod _{i=1}^{n}[f(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]^{\gamma _{i}}[F(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]^{1-\gamma _{i}}$

и соответствующая функция логарифмического правдоподобия равна

$LL(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta :{\mathbf {x} })=\sum _{i=1}^{n}(\gamma _{i}ln{[f(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]}+(1-\gamma _{i})ln{[F(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]})$

где

$\gamma _{i}={\begin{cases}0&t_{i}{\text{is a left censored observation}}\\1&otherwise\end{cases}}$,

При наличии данных с интервальной цензурой функция правдоподобия равна

$L(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta :{\mathbf {x} })=\prod _{i=1}^{n}([f(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]^{\xi _{i}}[F(v_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )-F(u_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]^{1-\xi _{i}})$

и функция логарифмического правдоподобия равна

$LL(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta :{\mathbf {x} })=\sum _{i=1}^{n}(\xi _{i}ln{[f(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]}+(1-\xi _{i})ln{[F(v_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )-F(u_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]})$

где $u_{i}\leq t_{i}\leq v_{i}$ для всех интервальных цензурированных наблюдений и

$\xi _{i}={\begin{cases}0&t_{i}{\text{is an interval censored observation}}\\1&otherwise\end{cases}}$,

Если предполагаемая выборка состоит из всех типов цензурированных данных (с цензурой справа, с цензурой слева и с интервальной цензурой), то ее функция правдоподобия принимает следующую форму

$L(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta :{\mathbf {x} })=\prod _{i=1}^{n}([S(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]^{1-\delta _{i}}[F(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]^{1-\gamma _{i}}[F(v_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )-F(u_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]^{1-\xi _{i}}[f(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]^{\delta _{i}+\gamma _{i}+\xi _{i}-2})$

и соответствующая ей функция логарифмического правдоподобия определяется выражением

$LL(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta :{\mathbf {x} })=\sum _{i=1}^{n}{(1-\delta _{i})ln{[S(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]}+(1-\gamma _{i})ln{[F(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]}(1-\xi _{i})ln{[F(v_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )-F(u_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]}+(\delta _{i}+\gamma _{i}+\xi _{i}-2)ln{[f(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]}}$

Применение гипертабатических моделей выживания

Меланома кожи или слизистых оболочек

Модель гипертабастического ускоренного времени отказа использовалась для анализа в общей сложности 27 532 пациентов относительно влияния гистологии на выживаемость пациентов с меланомой кожи или слизистой оболочки. Понимание гистологических подтипов пациентов и оценка частоты неудач позволит врачам и медицинским работникам проводить индивидуальное лечение, что приведет к снижению риска осложнений и повышению выживаемости пациентов.

Объемы нефтяных месторождений

Количество 49 участков одной и той же площади нефтяного месторождения было изучено для определения его основного распределения. Используя обобщенный хи-квадрат, распределение объемов нефтяных месторождений было представлено гиперболическим распределением и сравнено с логнормальным (LN), логарифмическим логистическим (LL), распределением Бирнбаума-Сондерса (BS) и обратным распределением Гаусса (IG).

Продолжительность ремиссии острого лейкоза

Были изучены сроки ремиссии в клиническом исследовании острого лейкоза у детей. используется для анализа продолжительности ремиссии острого лейкоза. данные для двух групп пациентов с контролем логарифма количества лейкоцитов. Для анализа продолжительности ремиссии у пациентов с острым лейкозом была использована модель ускоренного времени отказа гипертабастика.

Исследование опухолей головного мозга у пациентов со злокачественной глиомой

Рандомизированное клиническое исследование, сравнивающее два режима химиотерапии у 447 человек со злокачественной глиомой. Всего за пятилетний период умерло 293 пациента, а медиана времени выживания составила около 11 месяцев. Общая подгонка модели по сравнению с другими параметрическими распределениями осуществлялась с использованием обобщенной статистики теста хи-квадрат и модели пропорциональных рисков.

Анализ пациентов с раком молочной железы

Гипертабастическая модель пропорционального риска использовалась для анализа многочисленных данных о раке молочной железы, включая выживаемость пациентов с раком молочной железы, путем изучения роли переменной метастазирования в сочетании с клиническими переменными и переменными экспрессии генов.

Анализ гипертоников

В это исследование были включены сто пять нигерийских пациентов, у которых с января 2013 года по июль 2018 года была диагностирована гипертония, событием, представляющим интерес, была смерть. Шесть параметрических моделей, таких как; экспоненциальное , Вейбулла , логнормальное , логарифмическое, логарифмическое, Гомпертца и гипертабастическое распределения были подобраны к данным с использованием тестов согласия, таких как SE, AIC и BIC, для определения модели наилучшего соответствия. Были рассмотрены параметрические модели, поскольку все они представляют собой распределения времени жизни. Для сравнения этих параметрических моделей использовались меры SE, AIC и BIC.

Анализ перелома кортикальной кости

Стрессовые переломы у пожилых людей очень важны из-за растущего числа пожилых людей. Были проанализированы усталостные испытания 23 образцов женских костей от трех человек. Гипертабастическая выживаемость и функции риска нормализованного уровня стресса и возраста были разработаны с использованием ранее опубликованных данных об усталостном напряжении костей. Интересующим событием было количество циклов, пока кость не получила микроскопический перелом. Кроме того, модели пропорциональных рисков Hypertabastic использовались для исследования усталости при растяжении и циклической усталости для данных кортикального слоя кости.

Анализ безработицы

Гипертабастические модели выживания использовались при анализе данных по безработице и их сравнении с моделью регрессии Кокса .

Анализ пациентов с раком почки

3-D модель кривых риска различных гистологических подтипов рака почки.

Используя данные Национального института рака за период с 1975 по 2016 год, было изучено влияние гистологических подтипов на вероятность выживания 134 150 пациентов с карциномой почки. Переменными исследования были раса/этническая принадлежность, возраст, пол, степень опухоли, тип операции, географическое расположение пациента и стадия заболевания. Гипертабастическая модель пропорциональных рисков использовалась для анализа времени выживания пациентов с диагнозом карцинома почки, чтобы изучить влияние гистологических подтипов на вероятность их выживания и оценить взаимосвязь между гистологическими подтипами, стадией опухоли, степенью опухоли и типом хирургического вмешательства.

Пример кода SAS рака почки

Пример кода в SAS :

Proc nlp data=sasuser.KidneyCarcinoma tech=quanew cov=2 vardef=n pcov phes maxiter=250; 
  /* Hypertabastic Proportional Hazards Model with Log Time */ 
  title1 'Kidney Carcinoma';
  max logf; 
  
  /* Model Parameter Initial Values for Explanatory Variables */
  parms a=0.01,b=0.1, 
  c=0.01, /* Age */ /* Continuous */
  d=-.01, /* Male */ /* reference: Female */
  r1=.071, /* Hispanic */
  r2=.044, /* Asian */
  r3=.134, /* Black */ /* reference: White */
  h1=.205, /* Adeno Carcinoma w/ Mixed Subtypes */
  h2=.505, /* Papillary Adeno Carcinoma NOS */
  h3=.537, /* Clear Cell Adeno Carcinoma */
  h4=.316, /* Renal Cell Adeno Carcinoma */
  h5=1.15, /* Chromophobe Renal Cell Carcinoma */
  h6=-.21, /* Sarcomatoid Renal Cell Carcinoma */
  h7=.378, /* Granular Cell Carcinoma */ /* reference: Other */
  g1=.03, /* East */ 
  g2=.088, /* Northern Plains */ 
  g3=.06, /* Pacific Coast */ /* reference: Southwest */
  s1=1.2, /* Localized */
  s2=-1.3, /* Distant */ /* reference: Regional */
  gr1=1.169, /* Well Differentiated */
  gr2=.99, /* Moderately Differentiated */
  gr3=.413, /* Poorly Differentiated */ /* reference: Undifferentiated */
  su1=-.945, /* No Surgery */
  su2=.84, /* Cryocergery */
  su3=.56, /* Thermal Ablation */
  su4=.574, /* Cryosurgery */
  su5=1.173, /* Partial Nephrectomy or Partial Uretterectomy */
  su6=.25, /* Complete Nephrectomy */
  su7=.073, /* Radical Nephrectomy */
  su8=-.096, /* Any Nephrectomy */
  su9=.028; /* Nephrectomy, Urectomy */ /* reference: Other */
  
  /* Log-Likelihood Function */ 
  in6=exp(-(c*Age+
  d*Gender+
  r1*Race1+r2*Race2+r3*Race3+
  h1*Hist1+h2*Hist2+h3*Hist3+h4*Hist4+h5*Hist5+h6*Hist6+h7*Hist7+
  g1*Geo1+g2*Geo2+g3*Geo3+
  s1*Stage1+s2*Stage2+
  gr1*Grade1+gr2*Grade2+gr3*Grade3+
  su1*Surgery1+su2*Surgery2+su3*Surgery3+su4*Surgery4+su5*Surgery5+su6*Surgery6+su7*Surgery7+su8*Surgery8+su9*Surgery9)); /* covariates */ 
  
  s = log(1/cosh(a*(1-(time**b)/tanh(time**b))/b))*in6+Status*log(((a*time**(-1+2*b)/sinh(time**b)**2-
  a*time**(-1+b)/tanh(time**b))*tanh(a*(1-time**b/tanh(time**b))/b))*in6);
  
  logf=s;
run;

Применение гипертабастических моделей выживания в мостостроении

Определяет достопримечательности на надстройке настила моста.

Хотя инструменты и методы анализа выживаемости широко использовались в медицинских и биомедицинских приложениях в течение последних нескольких десятилетий, их применение для решения инженерных задач было более спорадическим и ограниченным. Вероятностная оценка срока службы самых разнообразных инженерных систем: от небольших механических узлов до крупных мостовых конструкций. могут существенно выиграть от хорошо зарекомендовавших себя методов анализа выживаемости. Моделирование явлений времени до события в инженерных приложениях может выполняться под влиянием числовых и категориальных ковариат с использованием данных наблюдений или испытаний. «Выживаемость» инженерного компонента или системы является синонимом более часто используемого термина «надежность». Термин «уровень опасности» или «условная частота отказов» (определяемый как вероятность выживания в единицу времени при условии выживания до этого времени) является важной мерой изменения уровня отказов с течением времени. В этом контексте отказ определяется как достижение целевого события в процессе времени до события. Это можно определить как достижение определенного состояния работоспособности, локальный/частичный структурный отказ или глобальный/катастрофический отказ. применил параметрическую модель выживания при ускоренном отказе Hypertabastic для разработки вероятностных моделей срока службы настила моста в Висконсине. Настилы мостов обычно представляют собой бетонные плиты, по которым движется транспортное средство, как это видно на мосту Маркетт. Авторы использовали набор данных National Bridge Inventory (NBI), чтобы получить необходимые данные для своего исследования. Записи NBI включают дискретные числовые рейтинги мостовых настилов (и других компонентов моста), а также другую базовую информацию, такую ​​​​как средний дневной трафик (ADT) и площадь поверхности настила (полученная путем умножения указанной длины моста на ширину мостового настила). Числовые рейтинги варьируются от 0 до 9, где 9 соответствует совершенно новому состоянию, а 0 — полному отказу. Оценка состояния настила 5 была выбрана в качестве фактического окончания срока службы настила моста. Используемыми числовыми ковариатами были ADT и площадь поверхности палубы, а категориальной ковариатой был материал надстройки (конструкционная сталь или бетон).

Гипертабастические модели пропорциональных рисков и ускоренного времени отказа являются полезными методами анализа конструкций, связанных с мостами, благодаря гибкости кривых опасностей, которые могут монотонно увеличиваться или уменьшаться с вогнутостью вверх или вниз. Он также может принимать форму одной кривой насыпи. Гибкость моделирования различных форм опасностей делает модель подходящей для решения широкого круга инженерных задач.

Табатабай и др. расширил модели настила моста Hypertabastic, разработанные для мостов Висконсина, на мосты в шести северных штатах США. Набизаде, А. (2015). Надежность мостовых пролетов в Висконсине. Магистерская диссертация (Диссертация). UWM Digital Commons. а затем во все 50 штатов США. Исследование мостовых настилов во всех 50 штатах выявило важные различия в надежности мостовых настилов в разных штатах и ​​регионах. Стивенс и др. обсудить важность анализа выживаемости при определении ключевых показателей эффективности мостов и обсудить использование гипертабастических моделей выживания для мостов. и Набизаде и др. еще больше расширило использование гипертабастических моделей выживания для мостов через надстройки. Использованными ковариатами были ADT, максимальная длина пролета моста и тип надстройки. Функцию выживания можно использовать для определения ожидаемой продолжительности жизни с помощью следующего уравнения (площадь под всей кривой выживания)

${EL}_{0}=\int _{0}^{\infty }S(t)dt$

Важно отметить, что и функция выживания, и ожидаемая жизнь будут меняться с течением времени. Условная функция выживания $C_{S}$ является функцией времени $t$ и время выживания $t_{s}$ и определяется как

$CS(t,t_{s})={\begin{cases}1&0\leq t\leq t_{s}\\{\frac {S(t)}{S(t_{s})}}&t>t_{s}\end{cases}}$,

Набизаде и др. использовали функции выживания Hypertabastic, разработанные для Висконсина, для анализа условных функций выживания и условного ожидаемого срока службы. $(EL_{c}(t_{s}))$

${EL}_{c}(t_{s})=\int _{0}^{\infty }CS(t)dt=t_{s}+\int _{t_{s}}^{\infty }{CS(t)dt=t_{s}+\int _{t_{s}}^{\infty }{\frac {S(t)}{S(t_{s})}}}dt$

Условная ожидаемая продолжительность жизни будет продолжать увеличиваться по мере того, как время выживания $t_{s}$ увеличивается. Набизаде и др. назовите эту дополнительную ожидаемую жизнь «дивидендом выживания».

Важным видом разрушения в мостостроении является усталость металла, которая может возникнуть в результате повторяющихся циклов напряжений к различным деталям и соединениям в конструкции. По количеству циклов $(n_{c})$ Увеличение увеличивает вероятность усталостного разрушения. Важный фактор усталостной долговечности $(N_{c})$ — диапазон напряжений (Sr) (максимальное минус минимальное напряжение в цикле). Проблему вероятностной инженерной усталости можно рассматривать как задачу анализа выживаемости «времени» до события, если число циклов $(n_{c})$ рассматривается как фиктивная переменная времени $(t)$

Это облегчит применение хорошо зарекомендовавших себя методов анализа выживаемости для решения инженерных проблем усталости. и Табатабай и др. Функция выживания $S(n_{c})$, функция плотности вероятности $f(n_{c})$, степень опасности $h(n_{c})$, и кумулятивная вероятность отказа $F(n_{c})$ тогда можно определить как

$S(n_{c})=P(N_{c}>n_{c})=1-F(n_{c})$

$f(n_{c})=\lim _{\delta n_{c}\to 0}{\frac {P(n_{c}<N_{c}<n_{c}+\delta n_{c})}{\delta n_{c}}}$

$h(n_{c})=\lim _{\delta n_{c}\to 0}{\frac {P(n_{c}<N_{c}<n_{c}+\delta n_{c}|N_{c}>n_{c})}{\delta n_{c}}}$

Гипертабастическая модель ускоренного разрушения использовалась для анализа вероятностной усталостной долговечности для различных подробных категорий стальных мостов.