Collective name of 6 mathematical functions
«Гиперболическая кривая» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о геометрической кривой, см.
Гиперболу .
В математике гиперболические функции являются аналогами обычных тригонометрических функций , но определяются с помощью гиперболы , а не круга . Точно так же, как точки (cost t , sin t ) образуют круг с единичным радиусом , точки (cosh t , sinh t ) образуют правую половину единичной гиперболы . Кроме того, аналогично тому, как производные sin( t ) и cos( t ) являются cos( t ) и –sin( t ) соответственно, производные sinh( t ) и cosh( t ) являются cosh( t ) и +sinh ( т ) соответственно.
Гиперболические функции встречаются при вычислении углов и расстояний в гиперболической геометрии . Они также встречаются в решениях многих линейных дифференциальных уравнений (таких как уравнение, определяющее цепную линию ), кубических уравнений и уравнения Лапласа в декартовых координатах . Уравнения Лапласа важны во многих областях физики , включая теорию электромагнетизма , теплообмен , гидродинамику и специальную теорию относительности .
Основные гиперболические функции: [1]
гиперболический синус « sinh » ( ), [2]
гиперболический косинус « кош » ( ), [3]
из которых получены: [4]
гиперболический тангенс " tanh " ( ), [5]
гиперболический котангенс " coth " ( ), [6] [7]
гиперболический секанс " сам " ( ), [8]
гиперболический косеканс " csch " или " cosech " ( [3] )
соответствующие производным тригонометрическим функциям.
Обратные гиперболические функции :
гиперболический синус площади « арсинх » (также обозначается « синх » −1 ", " асинх " или иногда " арксинь ") [9] [10] [11]
площадной гиперболический косинус « аркош » (также обозначается « кош −1 ", " акош " или иногда " арккош ")
гиперболический тангенс площади « артань » (также обозначается « тань » −1 ", " атан " или иногда " арктан ")
гиперболический котангенс площади " arcoth " (также обозначается " coth " −1 ", " acoth " или иногда " arccoth ")
гиперболический секанс площади " arsech " (также обозначается " sech " −1 ", " асеч " или иногда " арксеч ")
гиперболический косеканс площади " arcsch " (также обозначается " arcosch ", " csch" −1 ", " кошеч −1 "," acsch "," acosech " или иногда " arccsch " или " arccosech ")
Луч , проходящий через единичную гиперболу x 2 − и 2 = 1 в точке (cosh a , sinh a ) , где a — удвоенная площадь между лучом, гиперболой и осью x . Для точек на гиперболе ниже оси x площадь считается отрицательной (см. анимационную версию со сравнением с тригонометрическими (круговыми) функциями).
Гиперболические функции принимают вещественный аргумент , называемый гиперболическим углом . Размер гиперболического угла в два раза больше площади его гиперболического сектора . Гиперболические функции можно определить через катеты прямоугольного треугольника, охватывающего этот сектор.
В комплексном анализе гиперболические функции возникают при применении обычных функций синуса и косинуса к мнимому углу. Гиперболический синус и гиперболический косинус — целые функции . В результате остальные гиперболические функции мероморфны во всей комплексной плоскости.
По теореме Линдеманна-Вейерштрасса гиперболические функции имеют трансцендентное значение для каждого ненулевого алгебраического значения аргумента. [12]
Гиперболические функции были введены в 1760-х годах независимо Винченцо Риккати и Иоганном Генрихом Ламбертом . [13] Риккати использовал Sc. и Кс. ( sinus/cosinus rounde ) для обозначения круговых функций и Sh. и Ч. ( sinus/cosinus Hyperbolico ) для обозначения гиперболических функций. Ламберт принял эти имена, но изменил сокращения на те, которые используются сегодня. [14] Аббревиатуры sh , ch , th , cth также используются в настоящее время, в зависимости от личных предпочтений.
Обозначения [ править ]
Определения [ править ]
родился , крутой и рыбный
csch , sech и coth
Существуют различные эквивалентные способы определения гиперболических функций.
Экспоненциальные определения [ править ]
sinh x это половина разницы e — Икс и е − х
cosh x — среднее значение e Икс и е − х
В терминах показательной функции : [1] [4]
Гиперболический синус: нечетная часть показательной функции, то есть
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
=
e
2
x
−
1
2
e
x
=
1
−
e
−
2
x
2
e
−
x
.
{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}
Гиперболический косинус: четная часть показательной функции, т. е.
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
=
e
2
x
+
1
2
e
x
=
1
+
e
−
2
x
2
e
−
x
.
{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}
Гиперболический тангенс:
tanh
x
=
sinh
x
cosh
x
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
=
e
2
x
−
1
e
2
x
+
1
.
{\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.}
Гиперболический котангенс: для x ≠ 0 ,
coth
x
=
cosh
x
sinh
x
=
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
=
e
2
x
+
1
e
2
x
−
1
.
{\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.}
Гиперболический секанс:
sech
x
=
1
cosh
x
=
2
e
x
+
e
−
x
=
2
e
x
e
2
x
+
1
.
{\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.}
Гиперболический косеканс: для x ≠ 0 ,
csch
x
=
1
sinh
x
=
2
e
x
−
e
−
x
=
2
e
x
e
2
x
−
1
.
{\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.}
дифференциальных Определения уравнений
Гиперболические функции могут быть определены как решения дифференциальных уравнений : Гиперболические синус и косинус являются решением ( s , c ) системы
c
′
(
x
)
=
s
(
x
)
,
s
′
(
x
)
=
c
(
x
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}c'(x)&=s(x),\\s'(x)&=c(x),\\\end{aligned}}}
с начальными условиями
s
(
0
)
=
0
,
c
(
0
)
=
1.
{\displaystyle s(0)=0,c(0)=1.}
Начальные условия делают решение единственным; без них ни одна пара функций
(
a
e
x
+
b
e
−
x
,
a
e
x
−
b
e
−
x
)
{\displaystyle (ae^{x}+be^{-x},ae^{x}-be^{-x})}
было бы решение.
sinh( x ) и cosh( x ) также являются уникальным решением уравнения f ″( x ) = f ( x ) ,
такой, что f (0) = 1 , f ′(0) = 0 для гиперболического косинуса и f (0) = 0 , f ′(0) = 1 для гиперболического синуса.
тригонометрические определения Сложные
Гиперболические функции также можно вывести из тригонометрических функций со сложными аргументами:
Гиперболический синус: [1]
sinh
x
=
−
i
sin
(
i
x
)
.
{\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix).}
Гиперболический косинус: [1]
cosh
x
=
cos
(
i
x
)
.
{\displaystyle \cosh x=\cos(ix).}
Гиперболический тангенс:
tanh
x
=
−
i
tan
(
i
x
)
.
{\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix).}
Гиперболический котангенс:
coth
x
=
i
cot
(
i
x
)
.
{\displaystyle \coth x=i\cot(ix).}
Гиперболический секанс:
sech
x
=
sec
(
i
x
)
.
{\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix).}
Гиперболический косеканс:
csch
x
=
i
csc
(
i
x
)
.
{\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix).}
где я - мнимая единица с i 2 = −1 .
Приведенные выше определения связаны с экспоненциальными определениями через формулу Эйлера (см. § Гиперболические функции для комплексных чисел ниже).
Характеризующие свойства [ править ]
Гиперболический косинус [ править ]
Можно показать, что площадь под кривой гиперболического косинуса (на конечном интервале) всегда равна длине дуги, соответствующей этому интервалу: [15]
area
=
∫
a
b
cosh
x
d
x
=
∫
a
b
1
+
(
d
d
x
cosh
x
)
2
d
x
=
arc length.
{\displaystyle {\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}}
Гиперболический тангенс [ править ]
Гиперболический тангенс — это (единственное) решение дифференциального уравнения f ′ = 1 − f 2 , при этом f (0) = 0 . [16] [17]
Полезные связи [ править ]
Гиперболические функции удовлетворяют многим тождествам, все из которых по форме аналогичны тригонометрическим тождествам . Фактически, правило Осборна [18] утверждает, что можно преобразовать любое тригонометрическое тождество (вплоть до синхов или подразумеваемых синхов 4-й степени, но не включая их) в
θ
{\displaystyle \theta }
,
2
θ
{\displaystyle 2\theta }
,
3
θ
{\displaystyle 3\theta }
или
θ
{\displaystyle \theta }
и
φ
{\displaystyle \varphi }
в гиперболическую идентичность, полностью расширив ее с точки зрения целых степеней синусов и косинусов, заменив синус на sinh и косинус на cosh и поменяв знак каждого члена, содержащего произведение двух sinh.
Нечетные и четные функции:
sinh
(
−
x
)
=
−
sinh
x
cosh
(
−
x
)
=
cosh
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}}
Следовательно:
tanh
(
−
x
)
=
−
tanh
x
coth
(
−
x
)
=
−
coth
x
sech
(
−
x
)
=
sech
x
csch
(
−
x
)
=
−
csch
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}
Таким образом, cosh x и sech x — четные функции ; остальные являются нечетными функциями .
arsech
x
=
arcosh
(
1
x
)
arcsch
x
=
arsinh
(
1
x
)
arcoth
x
=
artanh
(
1
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)\end{aligned}}}
Гиперболический синус и косинус удовлетворяют:
cosh
x
+
sinh
x
=
e
x
cosh
x
−
sinh
x
=
e
−
x
cosh
2
x
−
sinh
2
x
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\end{aligned}}}
последнее из которых аналогично тригонометрическому тождеству Пифагора .
У одного также есть
sech
2
x
=
1
−
tanh
2
x
csch
2
x
=
coth
2
x
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}}
для остальных функций.
Суммы аргументов [ править ]
sinh
(
x
+
y
)
=
sinh
x
cosh
y
+
cosh
x
sinh
y
cosh
(
x
+
y
)
=
cosh
x
cosh
y
+
sinh
x
sinh
y
tanh
(
x
+
y
)
=
tanh
x
+
tanh
y
1
+
tanh
x
tanh
y
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}
особенно
cosh
(
2
x
)
=
sinh
2
x
+
cosh
2
x
=
2
sinh
2
x
+
1
=
2
cosh
2
x
−
1
sinh
(
2
x
)
=
2
sinh
x
cosh
x
tanh
(
2
x
)
=
2
tanh
x
1
+
tanh
2
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}}
Также:
sinh
x
+
sinh
y
=
2
sinh
(
x
+
y
2
)
cosh
(
x
−
y
2
)
cosh
x
+
cosh
y
=
2
cosh
(
x
+
y
2
)
cosh
(
x
−
y
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}
Формулы вычитания [ править ]
sinh
(
x
−
y
)
=
sinh
x
cosh
y
−
cosh
x
sinh
y
cosh
(
x
−
y
)
=
cosh
x
cosh
y
−
sinh
x
sinh
y
tanh
(
x
−
y
)
=
tanh
x
−
tanh
y
1
−
tanh
x
tanh
y
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}
Также: [19]
sinh
x
−
sinh
y
=
2
cosh
(
x
+
y
2
)
sinh
(
x
−
y
2
)
cosh
x
−
cosh
y
=
2
sinh
(
x
+
y
2
)
sinh
(
x
−
y
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}
Формулы с половинным аргументом [ править ]
sinh
(
x
2
)
=
sinh
x
2
(
cosh
x
+
1
)
=
sgn
x
cosh
x
−
1
2
cosh
(
x
2
)
=
cosh
x
+
1
2
tanh
(
x
2
)
=
sinh
x
cosh
x
+
1
=
sgn
x
cosh
x
−
1
cosh
x
+
1
=
e
x
−
1
e
x
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}}
где sn — знаковая функция .
Если x ≠ 0 , то [20]
tanh
(
x
2
)
=
cosh
x
−
1
sinh
x
=
coth
x
−
csch
x
{\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x}
Формулы квадратов [ править ]
sinh
2
x
=
1
2
(
cosh
2
x
−
1
)
cosh
2
x
=
1
2
(
cosh
2
x
+
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x-1)\\\cosh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x+1)\end{aligned}}}
Неравенства [ править ]
Следующее неравенство полезно в статистике:
cosh
(
t
)
≤
e
t
2
/
2
{\displaystyle \operatorname {cosh} (t)\leq e^{t^{2}/2}}
[21]
Это можно доказать, сравнивая почленно ряды Тейлора двух функций.
Обратные функции как логарифмы [ править ]
arsinh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
arcosh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
x
≥
1
artanh
(
x
)
=
1
2
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
|
x
|
<
1
arcoth
(
x
)
=
1
2
ln
(
x
+
1
x
−
1
)
|
x
|
>
1
arsech
(
x
)
=
ln
(
1
x
+
1
x
2
−
1
)
=
ln
(
1
+
1
−
x
2
x
)
0
<
x
≤
1
arcsch
(
x
)
=
ln
(
1
x
+
1
x
2
+
1
)
x
≠
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{aligned}}}
Производные [ править ]
d
d
x
sinh
x
=
cosh
x
d
d
x
cosh
x
=
sinh
x
d
d
x
tanh
x
=
1
−
tanh
2
x
=
sech
2
x
=
1
cosh
2
x
d
d
x
coth
x
=
1
−
coth
2
x
=
−
csch
2
x
=
−
1
sinh
2
x
x
≠
0
d
d
x
sech
x
=
−
tanh
x
sech
x
d
d
x
csch
x
=
−
coth
x
csch
x
x
≠
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{aligned}}}
d
d
x
arsinh
x
=
1
x
2
+
1
d
d
x
arcosh
x
=
1
x
2
−
1
1
<
x
d
d
x
artanh
x
=
1
1
−
x
2
|
x
|
<
1
d
d
x
arcoth
x
=
1
1
−
x
2
1
<
|
x
|
d
d
x
arsech
x
=
−
1
x
1
−
x
2
0
<
x
<
1
d
d
x
arcsch
x
=
−
1
|
x
|
1
+
x
2
x
≠
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}}
Вторые производные [ править ]
Каждая из функций sinh и cosh равна своей второй производной , то есть:
d
2
d
x
2
sinh
x
=
sinh
x
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sinh x=\sinh x}
d
2
d
x
2
cosh
x
=
cosh
x
.
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cosh x=\cosh x\,.}
Все функции с этим свойством представляют собой комбинации sinh линейные и cosh , в частности показательные функции
e
x
{\displaystyle e^{x}}
и
e
−
x
{\displaystyle e^{-x}}
. [22]
Стандартные интегралы [ править ]
∫
sinh
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
cosh
(
a
x
)
+
C
∫
cosh
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
sinh
(
a
x
)
+
C
∫
tanh
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
ln
(
cosh
(
a
x
)
)
+
C
∫
coth
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
ln
|
sinh
(
a
x
)
|
+
C
∫
sech
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
arctan
(
sinh
(
a
x
)
)
+
C
∫
csch
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
ln
|
tanh
(
a
x
2
)
|
+
C
=
a
−
1
ln
|
coth
(
a
x
)
−
csch
(
a
x
)
|
+
C
=
−
a
−
1
arcoth
(
cosh
(
a
x
)
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\sinh(ax)\right|+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right|+C=a^{-1}\ln \left|\coth \left(ax\right)-\operatorname {csch} \left(ax\right)\right|+C=-a^{-1}\operatorname {arcoth} \left(\cosh \left(ax\right)\right)+C\end{aligned}}}
Следующие интегралы можно доказать с помощью гиперболической замены :
∫
1
a
2
+
u
2
d
u
=
arsinh
(
u
a
)
+
C
∫
1
u
2
−
a
2
d
u
=
sgn
u
arcosh
|
u
a
|
+
C
∫
1
a
2
−
u
2
d
u
=
a
−
1
artanh
(
u
a
)
+
C
u
2
<
a
2
∫
1
a
2
−
u
2
d
u
=
a
−
1
arcoth
(
u
a
)
+
C
u
2
>
a
2
∫
1
u
a
2
−
u
2
d
u
=
−
a
−
1
arsech
|
u
a
|
+
C
∫
1
u
a
2
+
u
2
d
u
=
−
a
−
1
arcsch
|
u
a
|
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&=\operatorname {sgn} {u}\operatorname {arcosh} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}}
где C — константа интегрирования .
ряда Выражения Тейлора
Можно явно выразить ряд Тейлора в нуле (или ряд Лорана , если функция не определена в нуле) указанных выше функций.
sinh
x
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
x
7
7
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
Этот ряд
сходится для любого
комплексного значения
x . Поскольку функция
sinh x нечетна
x только нечетные показатели степени для
. , в ее ряду Тейлора встречаются
cosh
x
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
x
6
6
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
Этот ряд
сходится для любого
комплексного значения
x . Поскольку функция
ch x четная
только четные показатели степени для
x , в ее ряду Тейлора встречаются .
Сумма рядов sinh и cosh представляет собой в виде бесконечного ряда выражение экспоненциальной функции .
За следующими рядами следует описание подмножества их области сходимости , где ряд сходится, а его сумма равна функции.
tanh
x
=
x
−
x
3
3
+
2
x
5
15
−
17
x
7
315
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
|
x
|
<
π
2
coth
x
=
x
−
1
+
x
3
−
x
3
45
+
2
x
5
945
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
2
2
n
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
0
<
|
x
|
<
π
sech
x
=
1
−
x
2
2
+
5
x
4
24
−
61
x
6
720
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
E
2
n
x
2
n
(
2
n
)
!
,
|
x
|
<
π
2
csch
x
=
x
−
1
−
x
6
+
7
x
3
360
−
31
x
5
15120
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
2
(
1
−
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}}
где:
B
n
{\displaystyle B_{n}}
это n-е число Бернулли
E
n
{\displaystyle E_{n}}
— n-е Эйлера число
Бесконечные произведения и цепные дроби [ править ]
Следующие разложения справедливы во всей комплексной плоскости:
sinh
x
=
x
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
2
n
2
π
2
)
=
x
1
−
x
2
2
⋅
3
+
x
2
−
2
⋅
3
x
2
4
⋅
5
+
x
2
−
4
⋅
5
x
2
6
⋅
7
+
x
2
−
⋱
{\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}
cosh
x
=
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
2
(
n
−
1
/
2
)
2
π
2
)
=
1
1
−
x
2
1
⋅
2
+
x
2
−
1
⋅
2
x
2
3
⋅
4
+
x
2
−
3
⋅
4
x
2
5
⋅
6
+
x
2
−
⋱
{\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2+x^{2}-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}
tanh
x
=
1
1
x
+
1
3
x
+
1
5
x
+
1
7
x
+
⋱
{\displaystyle \tanh x={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\ddots }}}}}}}}}
Сравнение с циклическими функциями [ править ]
Окружность и касательная гиперболы в точке (1,1) отображают геометрию круговых функций в терминах кругового сектора площади u и гиперболических функций, зависящих от гиперболического сектора площади u .
Гиперболические функции представляют собой расширение тригонометрии за пределы круговых функций . Оба типа зависят от аргумента : кругового угла или гиперболического угла .
Поскольку площадь кругового сектора радиусом r и углом u (в радианах) равна r 2 u /2 , оно будет равно u, когда r = √ 2 . На схеме такая окружность касается гиперболы xy = 1 в точке (1,1). Желтый сектор отображает площадь и величину угла. Аналогично, желтая и красная области вместе изображают гиперболический сектор , площадь которого соответствует величине гиперболического угла.
Длина катетов двух прямоугольных треугольников с гипотенузой на луче, определяющем углы, в √ 2 раза больше круговой и гиперболической функций.
Гиперболический угол является инвариантной мерой относительно отображения сжатия , точно так же, как круговой угол инвариантен относительно вращения. [23]
Функция Гудермана устанавливает прямую связь между круговыми функциями и гиперболическими функциями, не связанными с комплексными числами.
График функции a cosh( x / a ) представляет собой цепную линию , кривую, образованную однородной гибкой цепью, свободно висящей между двумя фиксированными точками под действием равномерной силы тяжести.
Связь с показательной функцией [ править ]
Разложение показательной функции на четную и нечетную части дает тождества
e
x
=
cosh
x
+
sinh
x
,
{\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x,}
и
e
−
x
=
cosh
x
−
sinh
x
.
{\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.}
В сочетании с
формулой Эйлера
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
,
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}
это дает
e
x
+
i
y
=
(
cosh
x
+
sinh
x
)
(
cos
y
+
i
sin
y
)
{\displaystyle e^{x+iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y)}
для
общей комплексной показательной функции .
Кроме того,
e
x
=
1
+
tanh
x
1
−
tanh
x
=
1
+
tanh
x
2
1
−
tanh
x
2
{\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}}
Гиперболические функции для комплексных чисел [ править ]
Гиперболические функции в комплексной плоскости
sinh
(
z
)
{\displaystyle \sinh(z)}
cosh
(
z
)
{\displaystyle \cosh(z)}
tanh
(
z
)
{\displaystyle \tanh(z)}
coth
(
z
)
{\displaystyle \coth(z)}
sech
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {sech} (z)}
csch
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {csch} (z)}
Поскольку показательную функцию можно определить для любого комплексного аргумента, мы также можем распространить определения гиперболических функций на комплексные аргументы. функции sinh z и ch z Тогда голоморфны .
Связь с обычными тригонометрическими функциями дает формула Эйлера для комплексных чисел:
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
e
−
i
x
=
cos
x
−
i
sin
x
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\sin x\end{aligned}}}
так:
cosh
(
i
x
)
=
1
2
(
e
i
x
+
e
−
i
x
)
=
cos
x
sinh
(
i
x
)
=
1
2
(
e
i
x
−
e
−
i
x
)
=
i
sin
x
cosh
(
x
+
i
y
)
=
cosh
(
x
)
cos
(
y
)
+
i
sinh
(
x
)
sin
(
y
)
sinh
(
x
+
i
y
)
=
sinh
(
x
)
cos
(
y
)
+
i
cosh
(
x
)
sin
(
y
)
tanh
(
i
x
)
=
i
tan
x
cosh
x
=
cos
(
i
x
)
sinh
x
=
−
i
sin
(
i
x
)
tanh
x
=
−
i
tan
(
i
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}}
Таким образом, гиперболические функции периодичны по мнимой составляющей с периодом
2
π
i
{\displaystyle 2\pi i}
(
π
i
{\displaystyle \pi i}
для гиперболического тангенса и котангенса).
^ Перейти обратно: а б с д Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболические функции» . mathworld.wolfram.com . Проверено 29 августа 2020 г.
^ (1999) Краткий словарь Коллинза , 4-е издание, HarperCollins, Глазго, ISBN 0 00 472257 4 , с. 1386
^ Перейти обратно: а б Краткий словарь Коллинза , с. 328
^ Перейти обратно: а б «Гиперболические функции» . www.mathsisfun.com . Проверено 29 августа 2020 г.
^ Краткий словарь Коллинза , стр. 1520 г.
^ Краткий словарь Коллинза , стр. 329
^ подозрительный
^ Краткий словарь Коллинза , стр. 1340
^ Вудхаус, NMJ (2003), Специальная теория относительности , Лондон: Springer, стр. 71, ISBN 978-1-85233-426-0
^ Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. , ред. (1972), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61272-0
^ Некоторые примеры использования arcsinh можно найти в Google Книгах .
^ Нивен, Иван (1985). Иррациональные числа . Том. 11. Математическая ассоциация Америки. ISBN 9780883850381 . JSTOR 10.4169/j.ctt5hh8zn .
^ Роберт Э. Брэдли, Лоуренс А. Д'Антонио, Чарльз Эдвард Сандифер. Эйлеру 300 лет: оценка. Математическая ассоциация Америки, 2007. Страница 100.
^ Георг Ф. Беккер. Гиперболические функции. Читайте книги, 1931. Страница xlviii.
^ НП, Бали (2005). Золотое интегральное исчисление . Брандмауэр Медиа. п. 472. ИСБН 81-7008-169-6 .
^ Вилли-Ханс Штиб (2005). Нелинейная рабочая тетрадь: хаос, фракталы, клеточные автоматы, нейронные сети, генетические алгоритмы, программирование экспрессии генов, машина опорных векторов, вейвлеты, скрытые марковские модели, нечеткая логика с программами на C ++, Java и Symbolicc ++ (3-е изд.). Мировое научное издательство. п. 281. ИСБН 978-981-310-648-2 . Выдержка из страницы 281 (с использованием лямбда=1)
^ Кейт Б. Олдхэм; Ян Майланд; Джером Спанье (2010). Атлас функций: с Equator, Калькулятор функций Атласа (2-е, иллюстрированное изд.). Springer Science & Business Media. п. 290. ИСБН 978-0-387-48807-3 . Выдержка со страницы 290
^ Осборн, Г. (июль 1902 г.). «Мнемотехника для гиперболических формул» . Математический вестник . 2 (34): 189. дои : 10.2307/3602492 . JSTOR 3602492 . S2CID 125866575 .
^ Мартин, Джордж Э. (1986). Основы геометрии и неевклидова плоскость (1-е испр. изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 416. ИСБН 3-540-90694-0 .
^ «Докажите тождество tanh(x/2) = (cosh(x) - 1)/sinh(x)» . StackExchange (математика) . Проверено 24 января 2016 г.
^ Одибер, Жан-Ив (2009). «Быстрая скорость обучения статистическому выводу посредством агрегирования». Анналы статистики. п. 1627. [1]
^ Олвер, Фрэнк WJ ; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В., ред. (2010), «Гиперболические функции» , Справочник NIST по математическим функциям , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , МР 2723248 .
^ Меллен В. Хаскелл , «О введении понятия гиперболических функций», Бюллетень Американского математического общества 1 : 6: 155–9, полный текст
Внешние ссылки [ править ]
скрывать Тригонометрические и гиперболические функции
Группы Другой