Алгебраическое число

Не путать с алгебраическим решением .

Квадратный корень из 2 — алгебраическое число, равное длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами длиной 1.

Алгебраическое число — это число, которое является корнем ненулевого многочлена от одной переменной с целыми (или, что то же самое, рациональными ) коэффициентами. Например, золотое сечение , $(1+{\sqrt {5}})/2$, является алгебраическим числом, поскольку оно является корнем многочлена x ² - Икс - 1 . То есть это значение x, для которого полином равен нулю. Другой пример: комплексное число $1+i$ является алгебраическим, поскольку является корнем x ⁴ + 4 .

Все целые и рациональные числа являются алгебраическими, как и все корни целых чисел . Действительные и комплексные числа, не являющиеся алгебраическими, такие как π и e , называются трансцендентными числами .

Множество алгебраических чисел счетно бесконечно и имеет нулевую меру по мере Лебега как подмножество несчетных комплексных чисел. В этом смысле почти все комплексные числа трансцендентны .

Примеры

• Все рациональные числа алгебраические. Любое рациональное число, выраженное как частное целого числа a и (ненулевого) натурального числа b , удовлетворяет приведенному выше определению, поскольку x = a / b является корнем ненулевого многочлена, а именно bx − a .
• Квадратичные иррациональные числа , иррациональные решения квадратичного многочлена ax ² + bx + c с целыми коэффициентами a , b и c — алгебраические числа. Если квадратичный многочлен является моническим ( a = 1 ), корни далее квалифицируются как квадратичные целые числа .
  • Гауссовы целые числа , комплексные числа a + bi , для которых a и b являются целыми числами, также являются квадратичными целыми числами. Это потому, что a + bi и a − bi — два корня квадратного x ² − 2 топор + а ² + б ² .
• Конструктивное число можно составить из заданной единичной длины с помощью линейки и циркуля. Он включает в себя все квадратичные иррациональные корни, все рациональные числа и все числа, которые можно образовать из них с помощью основных арифметических операций и извлечения квадратных корней. (Обозначая стороны света для +1, −1, + i и − i , комплексные числа, такие как $3+i{\sqrt {2}}$ считаются конструктивными.)
• Любое выражение, составленное из алгебраических чисел с использованием любой комбинации основных арифметических операций и извлечения n-й корней степени , дает другое алгебраическое число.
• Полиномиальные корни, которые невозможно выразить с помощью основных арифметических операций и извлечения корней n-й степени (например, корней x ⁵ - Икс + 1 ). Это происходит со многими, но не со всеми полиномами степени 5 и выше.
• Значения тригонометрических функций рациональных кратных π (кроме случаев, когда они не определены): например, cos π / 7 , потому что 3 π / 7 и соз 5 π / 7 удовлетворяют 8 x ³ − 4x ² - 4 Икс + 1 знак равно 0 . Этот многочлен неприводим к рациональным числам, поэтому три косинуса являются сопряженными алгебраическими числами. Аналогично, загар 3π / 16 , коричневый 7π / 16 , коричневый 11 π / 16 и коричневый 15 π / 16 удовлетворяют неприводимому многочлену x ⁴ − 4x ³ − 6x ² + 4 x + 1 = 0 , а также сопряженные алгебраические целые числа . Это эквивалент углов, которые, измеряемые в градусах, имеют рациональные числа.
• Некоторые, но не все иррациональные числа являются алгебраическими:
  • Цифры ${\sqrt {2}}$ и ${\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}$ являются алгебраическими, поскольку являются корнями многочленов x ² − 2 и 8 х ³ − 3 соответственно.
  • Золотое сечение φ является алгебраическим, поскольку оно является корнем многочлена x ² - Икс - 1 .
  • Числа π и e не являются алгебраическими числами (см. теорему Линдеманна–Вейерштрасса ).

Свойства

Алгебраические числа на комплексной плоскости , раскрашенные по степени (ярко-оранжевый/красный = 1, зеленый = 2, синий = 3, желтый = 4)

• Если многочлен с рациональными коэффициентами умножить на наименьший общий знаменатель , то полученный многочлен с целыми коэффициентами будет иметь одинаковые корни. Это показывает, что алгебраическое число можно эквивалентным образом определить как корень многочлена с целыми или рациональными коэффициентами.
• Учитывая алгебраическое число, существует уникальный монический многочлен с рациональными коэффициентами наименьшей степени , имеющий корень этого числа. Этот многочлен называется его минимальным многочленом . Если его минимальный многочлен имеет степень n , то говорят, что алгебраическое число имеет степень n . Например, все рациональные числа имеют степень 1, а алгебраическое число степени 2 является квадратичным иррациональным .
• Алгебраические числа плотны в действительных числах . Это следует из того, что они содержат рациональные числа, плотные в самих действительных числах.
• Множество алгебраических чисел счетно (перечислимо), и, следовательно, его мера Лебега как подмножества комплексных чисел равна 0 (по сути, алгебраические числа не занимают места в комплексных числах). То есть «почти все» действительные и комплексные числа трансцендентны.
• Все алгебраические числа вычислимы и, следовательно, определимы и арифметичны .
• Для действительных чисел a и b комплексное число a + bi является алгебраическим тогда и только тогда, когда оба a и b являются алгебраическими.

Поле

Алгебраические числа, раскрашенные по степени (синий = 4, голубой = 3, красный = 2, зелёный = 1). Единичный круг черный.

Сумма, разность, произведение и частное (если знаменатель ненулевой) двух алгебраических чисел снова является алгебраическим, что можно продемонстрировать с помощью результирующего , и таким образом алгебраические числа образуют поле ${\overline {\mathbb {Q} }}$ (иногда обозначается $\mathbb {A}$, но обычно это обозначает кольцо адели ). Каждый корень полиномиального уравнения, коэффициентами которого являются алгебраические числа, снова является алгебраическим. Это можно перефразировать, сказав, что поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто . Фактически, это наименьшее алгебраически замкнутое поле, содержащее рациональные числа, и поэтому оно называется алгебраическим замыканием рациональных чисел.

Связанные поля

Числа, определяемые радикалами

Любое число, которое можно получить из целых чисел с помощью конечного числа сложений , вычитаний , умножений , делений и извлечения (возможно, комплексных) n-й корней степени, где n — положительное целое число, является алгебраическим. Обратное, однако, неверно: существуют алгебраические числа, которые невозможно получить таким способом. Эти числа являются корнями многочленов степени 5 или выше, что является результатом теории Галуа (см. Уравнения Квинтика и теорему Абеля – Руффини ). Например, уравнение:

$x^{5}-x-1=0$

имеет единственный вещественный корень, который нельзя выразить только через радикалы и арифметические операции.

Номер закрытой формы

Основная статья: Номер закрытой формы

Алгебраические числа — это все числа, которые можно явно или неявно определить с помощью полиномов, начиная с рациональных чисел. Это можно обобщить на « числа замкнутой формы », которые можно определить различными способами. В более широком смысле все числа, которые могут быть определены явно или неявно с помощью полиномов, экспонент и логарифмов, называются « элементарными числами », и к ним относятся алгебраические числа, а также некоторые трансцендентные числа. В более узком смысле можно рассматривать числа, явно определенные в терминах полиномов, экспонент и логарифмов – сюда не входят все алгебраические числа, но входят некоторые простые трансцендентные числа, такие как e или ln 2 .

Алгебраические целые числа

Алгебраические числа, окрашенные старшим коэффициентом (красный означает 1 для целого алгебраического числа)

Основная статья: Алгебраическое целое число

Целое алгебраическое число — это алгебраическое число, которое является корнем многочлена с целыми коэффициентами со старшим коэффициентом 1 ( монический многочлен ). Примеры алгебраических целых чисел: $5+13{\sqrt {2}},$ $2-6i,$ и ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+i{\sqrt {3}}).}$ Следовательно, целые алгебраические числа составляют собственное надмножество целых чисел , поскольку последние являются корнями монических многочленов x − k для всех $k\in \mathbb {Z}$. В этом смысле целые алгебраические числа относятся к алгебраическим числам так же, как целые числа относятся к рациональным числам .

Сумма, разность и произведение целых алгебраических чисел снова являются целыми алгебраическими числами, а это означает, что целые алгебраические числа образуют кольцо . Название «алгебраическое целое число» происходит от того факта, что единственными рациональными числами, которые являются алгебраическими целыми числами, являются целые числа, а также потому, что целые алгебраические числа в любом числовом поле во многом аналогичны целым числам. Если K — числовое поле, его кольцо целых чисел является подкольцом целых алгебраических чисел в K и часто обозначается OK _. как Это прототипические примеры доменов Дедекинда .

Специальные классы

• Алгебраическое решение
• Гауссово целое число
• целое число Эйзенштейна
• Квадратичное иррациональное число
• Основная единица
• Корень единства
• Гауссов период
• Число Писо – Виджаярагавана
• Салемский номер

Ссылки

• Артин, Майкл (1991), Алгебра , Прентис Холл, ISBN  0-13-004763-5 , МР   1129886
• Гарибальди, Скип (июнь 2008 г.), «О тригонометрии нужно знать несколько больше, чем губернаторам», Mathematics Magazine , 81 (3): 191–200, doi : 10.1080/0025570x.2008.11953548 , JSTOR   27643106
• Харди, Годфри Гарольд ; Райт, Эдвард М. (1972), Введение в теорию чисел (5-е изд.), Оксфорд: Clarendon, ISBN  0-19-853171-0
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990) [1-е изд. 1982], Классическое введение в современную теорию чисел (2-е изд.), Берлин: Springer, doi : 10.1007/978-1-4757-2103-4 , ISBN.  0-387-97329-Х , МР   1070716
• Ланг, Серж (2002). 1965], Алгебра (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN.  978-0-387-95385-4 , МР   1878556
• Нивен, Иван М. (1956), Иррациональные числа , Математическая ассоциация Америки
• Оре, Эйстейн (1948), Теория чисел и ее история , Нью-Йорк: McGraw-Hill