Алгебра пространства-времени

В математической физике алгебра пространства-времени ( STA ) — это применение алгебры Клиффорда Cl _1,3 ( R ) или, что эквивалентно, геометрической алгебры G( M ⁴ ) к физике. Алгебра пространства-времени обеспечивает «единую, бескоординатную формулировку для всей релятивистской физики , включая уравнение Дирака , уравнение Максвелла и общую теорию относительности », и «уменьшает математический разрыв между классической , квантовой и релятивистской физикой ».

Алгебра пространства-времени — это векторное пространство , которое позволяет комбинировать не только векторы , но и бивекторы (направленные величины, описывающие вращения, связанные с вращениями или конкретными плоскостями, такими как площади или вращения) или лопасти (величины, связанные с определенными гиперобъемами), как а также повернуто , отражено или усилено Лоренцем . Это также естественная родительская алгебра спиноров в специальной теории относительности. Эти свойства позволяют выразить многие из наиболее важных уравнений физики в особенно простых формах и могут быть очень полезны для более геометрического понимания их значения.

По сравнению со связанными методами, STA и алгебра Дирака являются алгебрами Клиффорда Cl _1,3 , но STA использует действительных чисел скаляры , а алгебра Дирака использует скаляры комплексных чисел .Расщепление пространства-времени STA аналогично подходу алгебры физического пространства (APS, алгебра Паули) . APS представляет пространство-время как паравектор , объединенное трехмерное векторное пространство и одномерный скаляр.

Структура

Для любой пары векторов STA ${\textstyle a,b}$, существует векторное (геометрическое) произведение ${\textstyle ab}$, внутреннее (точечное) произведение ${\textstyle a\cdot b}$ и внешнее (внешнее, клиновое) произведение ${\textstyle a\wedge b}$. Векторное произведение представляет собой сумму внутреннего и внешнего произведения:

$a\cdot b={\frac {ab+ba}{2}}=b\cdot a,\quad a\wedge b={\frac {ab-ba}{2}}=-b\wedge a,\quad ab=a\cdot b+a\wedge b$

Внутренний продукт генерирует действительное число (скаляр), а внешний продукт генерирует бивектор. Векторы ${\textstyle a}$ и ${\textstyle b}$ ортогональны, если их внутренний продукт равен нулю; векторы ${\textstyle a}$ и ${\textstyle b}$ параллельны, если их внешнее произведение равно нулю.

Ортонормированные базисные векторы представляют собой времениподобный вектор. ${\textstyle \gamma _{0}}$ и 3 пространственноподобных вектора ${\textstyle \gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}}$. являются Ненулевые члены метрического тензора Минковского диагональными членами, ${\textstyle (\eta _{00},\eta _{11},\eta _{22},\eta _{33})=(1,-1,-1,-1)}$. Для ${\textstyle \mu ,\nu =0,1,2,3}$:

$\gamma _{\mu }\cdot \gamma _{\nu }={\frac {\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }}{2}}=\eta _{\mu \nu },\quad \gamma _{0}\cdot \gamma _{0}=1,\ \gamma _{1}\cdot \gamma _{1}=\gamma _{2}\cdot \gamma _{2}=\gamma _{3}\cdot \gamma _{3}=-1,\quad {\text{ otherwise }}\ \gamma _{\mu }\gamma _{\nu }=-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }$

Матрицы Дирака обладают этими свойствами, и STA эквивалентна алгебре, порожденной матрицами Дирака над полем действительных чисел; явное матричное представление не является необходимым для STA.

Произведения базисных векторов образуют тензорный базис, содержащий один скаляр $\{1\}$, четыре вектора $\{\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}$, шесть бивекторов $\{\gamma _{0}\gamma _{1},\,\gamma _{0}\gamma _{2},\,\gamma _{0}\gamma _{3},\,\gamma _{1}\gamma _{2},\,\gamma _{2}\gamma _{3},\,\gamma _{3}\gamma _{1}\}$, четыре псевдовектора ( тривектора ) $\{I\gamma _{0},I\gamma _{1},I\gamma _{2},I\gamma _{3}\}$ и один псевдоскаляр $\{I\}$ с ${\textstyle I=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$. Псевдоскаляр коммутирует со всеми элементами STA четного уровня , но антикоммутирует со всеми нечетного уровня . элементами STA

Подалгебра

STA Четно-градуированные элементы Клиффорда Cl _3,0 ( R ), (скаляры, бивекторы, псевдоскаляры) образуют четную подалгебру эквивалентную алгебре APS или Паули. Бивекторы STA эквивалентны векторам и псевдовекторам APS. Подалгебра STA становится более явной за счет переименования бивекторов STA. ${\textstyle (\gamma _{1}\gamma _{0},\gamma _{2}\gamma _{0},\gamma _{3}\gamma _{0})}$ как ${\textstyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$ и бивекторы STA ${\textstyle (\gamma _{3}\gamma _{2},\gamma _{1}\gamma _{3},\gamma _{2}\gamma _{1})}$ как ${\textstyle (I\sigma _{1},I\sigma _{2},I\sigma _{3})}$. Матрицы Паули, ${\textstyle {\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2},{\hat {\sigma }}_{3}}$, являются матричным представлением для ${\textstyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$. Для любой пары ${\textstyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$, ненулевые внутренние продукты равны ${\textstyle \sigma _{1}\cdot \sigma _{1}=\sigma _{2}\cdot \sigma _{2}=\sigma _{3}\cdot \sigma _{3}=1}$, а ненулевые внешние произведения:

${\begin{aligned}\sigma _{1}\wedge \sigma _{2}&=I\sigma _{3}\\\sigma _{2}\wedge \sigma _{3}&=I\sigma _{1}\\\sigma _{3}\wedge \sigma _{1}&=I\sigma _{2}\\\end{aligned}}$

Последовательность от алгебры к четной подалгебре продолжается как алгебра физического пространства, алгебра кватернионов, комплексные числа и действительные числа.

Дивизия

Ненулевой вектор ${\textstyle a}$ является нулевым вектором степени 2 ( нильпотентом ), если ${\textstyle a^{2}=0}$. Примером является ${\textstyle a=\gamma ^{0}+\gamma ^{1}}$. Нулевые векторы касаются светового конуса (нулевого конуса). Элемент ${\textstyle b}$ является идемпотентом , если ${\textstyle b^{2}=b}$. Два идемпотента ${\textstyle b_{1}}$ и ${\textstyle b_{2}}$ являются ортогональными идемпотентами, если ${\textstyle b_{1}b_{2}=0}$. Примером ортогональной идемпотентной пары является ${\tfrac {1}{2}}(1+\gamma _{0}\gamma _{k})$ и ${\tfrac {1}{2}}(1-\gamma _{0}\gamma _{k})$ с ${\textstyle k=1,2,3}$ . Собственные делители нуля — это ненулевые элементы, произведение которых равно нулю, например нулевые векторы или ортогональные идемпотенты. Алгебра с делением — это алгебра, которая содержит мультипликативные обратные (взаимные) элементы для каждого элемента, но это происходит, если нет собственных делителей нуля и если единственный идемпотент равен 1. Единственными ассоциативными алгебрами с делением являются действительные числа, комплексные числа и кватернионы. Поскольку STA не является алгеброй с делением, у некоторых элементов STA может отсутствовать инверсия; однако деление на ненулевой вектор ${\textstyle c}$ может быть возможным путем умножения на обратное, определяемое как $c^{-1}=(c\cdot c)^{-1}c$.

Обратная рамка

Связано с ортогональным базисом $\{\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}$ это взаимный базис $\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\}$ удовлетворяющие этим уравнениям:

$\gamma _{\mu }\cdot \gamma ^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3$

Эти обратные векторы системы отсчёта отличаются только знаком: $\gamma ^{0}=\gamma _{0}$, но $\gamma ^{1}=-\gamma _{1},\ \ \gamma ^{2}=-\gamma _{2},\ \ \gamma ^{3}=-\gamma _{3}$.

Вектор ${\textstyle a}$ могут быть представлены с использованием либо базисных векторов, либо обратных базисных векторов $a=a^{\mu }\gamma _{\mu }=a_{\mu }\gamma ^{\mu }$ с суммированием по $\mu =0,1,2,3$, согласно обозначениям Эйнштейна . Внутренний продукт вектора и базисных векторов или обратных базисных векторов генерирует компоненты вектора.

${\begin{aligned}a\cdot \gamma ^{\nu }&=a^{\nu },\quad \nu =0,1,2,3\\a\cdot \gamma _{\nu }&=a_{\nu },\quad \nu =0,1,2,3\end{aligned}}$

Метрическая индексная и гимнастика повышают или понижают показатели:

${\begin{aligned}\gamma _{\mu }&=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3\\\gamma ^{\mu }&=\eta ^{\mu \nu }\gamma _{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3\end{aligned}}$

Градиент пространства-времени

Градиент пространства-времени, как и градиент в евклидовом пространстве, определяется так, что производной по направлению : выполняется соотношение

$a\cdot \nabla F(x)=\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {F(x+a\tau )-F(x)}{\tau }}.$

Это требует, чтобы определение градиента было

$\nabla =\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }.$

Написано явно с $x=ct\gamma _{0}+x^{k}\gamma _{k}$, эти частичные

$\partial _{0}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\quad \partial _{k}={\frac {\partial }{\partial {x^{k}}}}$

Раскол пространства-времени

Раскол пространства-времени – примеры:

$x\gamma _{0}=x^{0}+\mathbf {x}$

$p\gamma _{0}=E+\mathbf {p}$

$v\gamma _{0}=\gamma (1+\mathbf {v} )$

где $\gamma$ это фактор Лоренца

$\nabla \gamma _{0}=\partial _{t}-{\vec {\nabla }}$

В STA пространственно-временное разделение представляет собой проекцию четырехмерного пространства в (3+1)-мерное пространство в выбранной системе отсчета с помощью следующих двух операций:

• коллапс выбранной оси времени, в результате чего образуется трехмерное пространство, натянутое бивекторами, что эквивалентно стандартным трехмерным базисным векторам в алгебре физического пространства и
• проекция четырехмерного пространства на выбранную ось времени, дающая одномерное пространство скаляров, представляющее скалярное время.

Это достигается путем предварительного или последующего умножения на времениподобный базисный вектор. $\gamma _{0}$, который служит для разделения четырехвектора на скалярную времениподобную и бивекторную пространственноподобную компоненты в системе отсчета, движущейся вместе с $\gamma _{0}$. С $x=x^{\mu }\gamma _{\mu }$ у нас есть

${\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\gamma _{k}\gamma _{0}\\\gamma _{0}x&=x^{0}-x^{k}\gamma _{k}\gamma _{0}\end{aligned}}$

Расщепление пространства-времени — это метод представления четного вектора пространства-времени в виде вектора в алгебре Паули, алгебре, где время является скаляром, отделенным от векторов, встречающихся в трехмерном пространстве. Метод заменяет эти векторы пространства-времени ${\textstyle (\gamma )}$

Поскольку эти бивекторы $\gamma _{k}\gamma _{0}$ квадрат к единице, они служат пространственной основой. Используя обозначение матрицы Паули , они записываются $\sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}$. Пространственные векторы в STA выделены жирным шрифтом; затем с $\mathbf {x} =x^{k}\sigma _{k}$ и $x^{0}=ct$, $\gamma _{0}$-пространственно-временное разделение $x\gamma _{0}$и его обратная сторона $\gamma _{0}x$ являются:

${\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\sigma _{k}=ct+\mathbf {x} \\\gamma _{0}x&=x^{0}-x^{k}\sigma _{k}=ct-\mathbf {x} \end{aligned}}$

Однако приведенные выше формулы работают только в метрике Минковского с сигнатурой (+ - - -). Для форм разделения пространства-времени, которые работают в любой сигнатуре, альтернативные определения, в которых $\sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma ^{0}$ и $\sigma ^{k}=\gamma _{0}\gamma ^{k}$ необходимо использовать.

Трансформации

Чтобы повернуть вектор $v$ в геометрической алгебре используется следующая формула:

$v'=e^{-\beta {\frac {\theta }{2}}}\ v\ e^{\beta {\frac {\theta }{2}}}$,

где $\theta$ - угол поворота, и $\beta$ — нормированный бивектор, представляющий плоскость вращения, так что $\beta {\tilde {\beta }}=1$.

Для данного пространственноподобного бивектора $\beta ^{2}=-1$, поэтому формула Эйлера : применима придание вращения

$v'=\left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\beta \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)\ v\ \left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\beta \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)$.

Для данного времениподобного бивектора $\beta ^{2}=1$, поэтому «вращение во времени» использует аналогичное уравнение для расщепленных комплексных чисел :

$v'=\left(\cosh \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\beta \sinh \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)\ v\ \left(\cosh \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\beta \sinh \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)$.

Интерпретируя это уравнение, эти вращения во времени представляют собой просто гиперболические вращения . Они эквивалентны повышениям Лоренца в специальной теории относительности.

Оба этих преобразования известны как преобразования Лоренца , а их совокупный набор — группа Лоренца . Чтобы преобразовать объект в STA из любого базиса (соответствующего системе отсчета) в другой, необходимо использовать одно или несколько таких преобразований.

Любой элемент пространства-времени ${\textstyle A}$ преобразуется путем умножения на псевдоскаляр, чтобы сформировать его двойственный элемент ${\textstyle AI}$. Вращение дуальности трансформирует элемент пространства-времени ${\textstyle A}$ элементировать ${\textstyle A^{\prime }}$ сквозной угол ${\textstyle \phi }$ с псевдоскаляром ${\textstyle I}$ является:

$A^{\prime }=e^{I\phi }A$

Двойственное вращение происходит только для неособой алгебры Клиффорда, неособое означает алгебру Клиффорда, содержащую псевдоскаляры с ненулевым квадратом.

Инволюция градации (основная инволюция, инверсия) преобразует каждый r-вектор ${\textstyle A_{r}}$ к ${\textstyle A_{r}^{\ast }}$:

$A_{r}^{\ast }=(-1)^{r}\ A_{r}$

Реверсивное преобразование происходит путем разложения любого элемента пространства-времени на сумму произведений векторов с последующим изменением порядка каждого произведения на противоположный. Для многовекторности ${\textstyle A}$ возникающий из произведения векторов, ${\textstyle a_{1}a_{2}\ldots a_{r-1}a_{r}}$ реверсия - это ${\textstyle A^{\dagger }}$:

$A=a_{1}a_{2}\ldots a_{r-1}a_{r},\quad A^{\dagger }=a_{r}a_{r-1}\ldots a_{2}a_{1}$

Клиффордовское сопряжение элемента пространства-времени ${\textstyle A}$ сочетает в себе преобразования реверсии и инволюции ступеней, обозначенные как ${\textstyle {\tilde {A}}}$:

${\tilde {A}}=A^{\ast \dagger }$

Инволюция степени, реверсия и преобразования Клиффорда являются инволюциями .

Классический электромагнетизм

Бивектор Фарадея

В STA электрическое и магнитное поле можно объединить в одно бивекторное поле, известное как бивектор Фарадея, эквивалентное тензору Фарадея . Он определяется как:

$F={\vec {E}}+Ic{\vec {B}},$

где $E$ и $B$ – обычные электрическое и магнитное поля, а $I$ является псевдоскаляром STA. Альтернативно, расширение $F$ по компонентам, $F$ определяется, что

$F=E^{i}\sigma _{i}+IcB^{i}\sigma _{i}=E^{1}\gamma _{1}\gamma _{0}+E^{2}\gamma _{2}\gamma _{0}+E^{3}\gamma _{3}\gamma _{0}-cB^{1}\gamma _{2}\gamma _{3}-cB^{2}\gamma _{3}\gamma _{1}-cB^{3}\gamma _{1}\gamma _{2}.$

Отдельный ${\vec {E}}$ и ${\vec {B}}$ поля восстанавливаются из $F$ с использованием

${\begin{aligned}E={\frac {1}{2}}\left(F-\gamma _{0}F\gamma _{0}\right),\\IcB={\frac {1}{2}}\left(F+\gamma _{0}F\gamma _{0}\right).\end{aligned}}$

The $\gamma _{0}$ Термин представляет данную систему отсчета, и поэтому использование разных систем отсчета приведет к явно разным относительным полям, точно так же, как и в стандартной специальной теории относительности.

Поскольку бивектор Фарадея является релятивистским инвариантом, дополнительную информацию можно найти в его квадрате, что дает две новые лоренц-инвариантные величины: одну скалярную и одну псевдоскалярную:

$F^{2}=E^{2}-c^{2}B^{2}+2Ic{\vec {E}}\cdot {\vec {B}}.$

Скалярная часть соответствует лагранжевой плотности электромагнитного поля, а псевдоскалярная часть представляет собой менее часто встречающийся лоренц-инвариант.

Уравнение Максвелла

STA формулирует уравнения Максвелла в более простой форме в виде одного уравнения: а не 4 уравнения векторного исчисления . Подобно приведенному выше бивектору поля, плотность электрического заряда и плотность тока могут быть объединены в один вектор пространства-времени, эквивалентный четырехвектору . Таким образом, пространственно-временной ток $J$ дается

$J=c\rho \gamma _{0}+J^{i}\gamma _{i},$

где компоненты $J^{i}$ являются компонентами классической трехмерной плотности тока. При таком объединении этих величин становится особенно ясно, что классическая плотность заряда представляет собой не что иное, как ток, движущийся во времениподобном направлении, определяемом формулой $\gamma _{0}$.

Объединив электромагнитное поле и плотность тока вместе с градиентом пространства-времени, как определено ранее, мы можем объединить все четыре уравнения Максвелла в одно уравнение в STA.

Уравнение Максвелла:

$\nabla F=\mu _{0}cJ$

Тот факт, что все эти величины являются ковариантными объектами в STA, автоматически гарантирует лоренц-ковариацию уравнения, которую гораздо легче показать, чем при разделении на четыре отдельных уравнения.

В этой форме также гораздо проще доказать некоторые свойства уравнений Максвелла, такие как сохранение заряда . Используя тот факт, что для любого бивекторного поля дивергенция его пространственно-временного градиента равна $0$, можно выполнить следующие манипуляции:

${\begin{aligned}\nabla \cdot \left[\nabla F\right]&=\nabla \cdot \left[\mu _{0}cJ\right]\\0&=\nabla \cdot J.\end{aligned}}$

Это уравнение имеет ясный смысл: дивергенция плотности тока равна нулю, т.е. общий заряд и плотность тока во времени сохраняются.

С помощью электромагнитного поля форму силы Лоренца на заряженную частицу также можно значительно упростить с помощью STA.

Сила Лоренца, действующая на заряженную частицу:

${\mathcal {F}}=qF\cdot v$

Возможная

В стандартной формулировке векторного исчисления используются две потенциальные функции: электрический скалярный потенциал и магнитный векторный потенциал . С помощью инструментов STA эти два объекта объединяются в одно векторное поле. $A$, аналог электромагнитного четырехпотенциала в тензорном исчислении. В STA это определяется как

$A={\frac {\phi }{c}}\gamma _{0}+A^{k}\gamma _{k}$

где $\phi$ скалярный потенциал, а $A^{k}$ являются компонентами магнитного потенциала. Как определено, это поле имеет единицы СИ веберы на метр (В⋅с⋅м ⁻¹ ).

Электромагнитное поле также можно выразить через это потенциальное поле, используя

${\frac {1}{c}}F=\nabla \wedge A.$

Однако это определение не уникально. Для любой дважды дифференцируемой скалярной функции $\Lambda ({\vec {x}})$, потенциал, заданный

$A'=A+\nabla \Lambda$

тоже дам то же самое $F$ как оригинал, потому что

$\nabla \wedge \left(A+\nabla \Lambda \right)=\nabla \wedge A+\nabla \wedge \nabla \Lambda =\nabla \wedge A.$

Это явление называется калибровочной свободой . Процесс выбора подходящей функции $\Lambda$ Чтобы сделать данную проблему проще всего, это называется фиксацией калибра . Однако в релятивистской электродинамике условие Лоренца , где часто накладывают $\nabla \cdot {\vec {A}}=0$.

Чтобы переформулировать уравнение STA Максвелла в терминах потенциала $A$, $F$ сначала заменяется приведенным выше определением.

${\begin{aligned}{\frac {1}{c}}\nabla F&=\nabla \left(\nabla \wedge A\right)\\&=\nabla \cdot \left(\nabla \wedge A\right)+\nabla \wedge \left(\nabla \wedge A\right)\\&=\nabla ^{2}A+\left(\nabla \wedge \nabla \right)A=\nabla ^{2}A+0\\&=\nabla ^{2}A\end{aligned}}$

Подставив этот результат, можно прийти к потенциальной формулировке электромагнетизма в STA:

Возможное уравнение:

$\nabla ^{2}A=\mu _{0}J$

Лагранжева

Аналогично формализму тензорного исчисления, потенциальная формулировка в STA естественным образом приводит к соответствующей лагранжевой плотности .

Электромагнитная плотность Лагранжа:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}F^{2}-J\cdot A$

Можно вывести многовекторные уравнения Эйлера-Лагранжа для поля, и, поскольку они не учитывают математическую строгость принятия частной производной по отношению к чему-то, что не является скаляром, соответствующие уравнения принимают вид:

$\nabla {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\nabla A\right)}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A}}=0.$

Чтобы начать заново выводить потенциальное уравнение из этой формы, проще всего работать в калибровке Лоренца, полагая

$\nabla \cdot A=0.$

Этот процесс можно выполнить независимо от выбранного калибра, но это делает конечный процесс значительно более понятным. Из-за структуры геометрического произведения использование этого условия приводит к $\nabla \wedge A=\nabla A$.

После замены в $F=c\nabla A$, то же уравнение движения, что и выше, для потенциального поля $A$ легко получается.

Уравнение Паули

STA позволяет описывать частицу Паули в терминах реальной теории вместо матричной теории. Описание частицы Паули в матричной теории следующее:

$i\hbar \,\partial _{t}\Psi =H_{S}\Psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,{\hat {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \Psi ,$

где $\Psi$ является спинором , $i$ — мнимая единица, не имеющая геометрической интерпретации, ${\hat {\sigma }}_{i}$ — матрицы Паули (с обозначением «шляпа», указывающим, что ${\hat {\sigma }}$ является матричным оператором, а не элементом геометрической алгебры), и $H_{S}$ является гамильтонианом Шредингера.

Подход STA преобразует матричное спинорное представление. ${\textstyle |\psi \rangle }$ в представительство STA ${\textstyle \psi }$ используя элементы, ${\textstyle \mathbf {\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}} }$, четно-градуированной подалгебры пространства-времени и псевдоскаляра $I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}$:

$|\psi \rangle ={\begin{vmatrix}\operatorname {cos(\theta /2)\ e^{-i\phi /2}} \\\operatorname {sin(\theta /2)\ e^{+i\phi /2}} \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a^{0}+ia^{3}\\-a^{2}+ia^{1}\end{vmatrix}}\mapsto \psi =a^{0}+a^{1}\mathbf {I\sigma _{1}} +a^{2}\mathbf {I\sigma _{2}} +a^{3}\mathbf {I\sigma _{3}}$

Частица Паули описывается реальным уравнением Паули–Шредингера:

$\partial _{t}\psi \,I\sigma _{3}\,\hbar =H_{S}\psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,\mathbf {B} \psi \sigma _{3},$

где сейчас $\psi$ является четным мультивектором геометрической алгебры, а гамильтониан Шрёдингера равен $H_{S}$. Хестенес называет это настоящей теорией Паули-Шредингера, чтобы подчеркнуть, что эта теория сводится к теории Шредингера, если опустить термин, включающий магнитное поле. Вектор ${\textstyle \sigma _{3}}$ – произвольно выбранный фиксированный вектор; фиксированное вращение может генерировать любой альтернативный выбранный фиксированный вектор ${\textstyle \sigma _{3}^{\prime }}$.

Уравнение Дирака

STA позволяет описать частицу Дирака в терминах реальной теории вместо матричной теории. Описание частицы Дирака в матричной теории следующее:

${\hat {\gamma }}^{\mu }(i\partial _{\mu }-e\mathbf {A} _{\mu })|\psi \rangle =m|\psi \rangle ,$

где ${\hat {\gamma }}$ являются матрицами Дирака и ${\textstyle i}$ — мнимая единица, не имеющая геометрической интерпретации.

Используя тот же подход, что и для уравнения Паули, подход STA преобразует верхний спинор матрицы ${\textstyle |\psi _{U}\rangle }$ и нижний спинор матрицы ${\textstyle |\psi _{L}\rangle }$ матрицы биспинора Дирака ${\textstyle |\psi \rangle }$ соответствующим спинорным представлениям геометрической алгебры ${\textstyle \psi _{U}}$ и ${\textstyle \psi _{L}}$. Затем они объединяются, чтобы представить полную геометрическую алгебру-биспинор Дирака. ${\textstyle \psi }$.

$|\psi \rangle ={\begin{vmatrix}|\psi _{U}\rangle \\|\psi _{L}\rangle \end{vmatrix}}\mapsto \psi =\psi _{U}+\psi _{L}\mathbf {\sigma _{3}}$

Следуя выводам Гестена, частица Дирака описывается уравнением:

Уравнение Дирака в STA:

$\nabla \psi \,I\sigma _{3}-e\mathbf {A} \psi =m\psi \gamma _{0}$

Здесь, $\psi$ спинорное поле, $\gamma _{0}$ и $I\sigma _{3}$ являются элементами геометрической алгебры, $\mathbf {A}$ представляет собой электромагнитный четырехпотенциал , а $\nabla =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$ — производная вектора пространства-времени.

Дирака

Релятивистский спинор Дирака. ${\textstyle \psi }$ может быть выражено как:

$\psi =R(\rho e^{i\beta })^{\frac {1}{2}}$

где, согласно выводу Дэвида Хестенса , $\psi =\psi (x)$ — четная многовекторная функция в пространстве-времени, $R=R(x)$ является унимодулярным спинором или «ротором», и $\rho =\rho (x)$ и $\beta =\beta (x)$ являются скалярными функциями. В этой конструкции компоненты $\psi$ напрямую соответствуют компонентам спинора Дирака , оба имеют 8 скалярных степеней свободы.

Это уравнение интерпретируется как связывающее спин с мнимым псевдоскаляром.

Ротор, $R$, Лоренц преобразует систему векторов $\gamma _{\mu }$ в другую систему векторов $e_{\mu }$ по операции $e_{\mu }=R\gamma _{\mu }R^{\dagger }$; Обратите внимание, что ${\textstyle R^{\dagger }}$ указывает на обратное преобразование .

Это было расширено, чтобы обеспечить основу для локально изменяющихся векторных и скалярных наблюдаемых и поддержку интерпретации Zitterbewegung квантовой механики , первоначально предложенной Шредингером .

Гестенес сравнил свое выражение с $\psi$ с выражением Фейнмана для него в формулировке интеграла по путям:

$\psi =e^{i\Phi _{\lambda }/\hbar },$

где $\Phi _{\lambda }$ – классическое действие вдоль $\lambda$-путь.

Используя спиноры, плотность тока поля можно выразить выражением

$J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi$

Симметрии

Глобальная фазовая симметрия — это постоянный глобальный фазовый сдвиг волновой функции, который оставляет уравнение Дирака неизменным. Локальная фазовая симметрия - это пространственно изменяющийся фазовый сдвиг, который оставляет уравнение Дирака неизменным, если сопровождается калибровочным преобразованием электромагнитного четырехпотенциала , выраженным этими комбинированными заменами.

$\psi \mapsto \psi e^{\alpha (x)I\sigma _{3}},\quad eA\mapsto eA-\nabla \alpha (x)$

В этих уравнениях локальное фазовое преобразование представляет собой фазовый сдвиг $\alpha (x)$ в пространстве-времени ${\textstyle x}$ с псевдовектором ${\textstyle I}$ и ${\textstyle \sigma _{3}}$ четно-градуированной подалгебры пространства-времени, примененной к волновой функции ${\textstyle \psi }$; калибровочное преобразование представляет собой вычитание градиента фазового сдвига ${\textstyle \nabla \alpha (x)}$ из электромагнитного четырехпотенциала ${\textstyle A}$ с электрическим зарядом частицы ${\textstyle e}$.

Исследователи применили STA и связанные с ней подходы алгебры Клиффорда к калибровочным теориям, электрослабому взаимодействию, теории Янга – Миллса и стандартной модели .

Дискретные симметрии являются четными ${\textstyle ({\hat {P}})}$, зарядовое сопряжение ${\textstyle ({\hat {C}})}$ и обращение времени ${\textstyle ({\hat {T}})}$ применительно к волновой функции ${\textstyle \psi }$. Эти эффекты:

${\begin{aligned}{\hat {P}}|\psi \rangle &\mapsto \gamma _{0}\psi (\gamma _{0}x\gamma _{0})\gamma _{0}\\{\hat {C}}|\psi \rangle &\mapsto \psi \sigma _{1}\\{\hat {T}}|\psi \rangle &\mapsto I\gamma _{0}\psi (\gamma _{0}x\gamma _{0})\gamma _{1}\end{aligned}}$

Общая теория относительности

Общая теория относительности

Основная статья: Калибровочная теория гравитации

Исследователи применили STA и связанные с ней подходы алгебры Клиффорда к теории относительности, гравитации и космологии. Гравитация калибровочной теории (GTG) использует STA для описания индуцированной кривизны в пространстве Минковского , допуская при этом калибровочную симметрию при «произвольном плавном переотображении событий в пространство-время», что приводит к этому геодезическому уравнению.

${\frac {d}{d\tau }}R={\frac {1}{2}}(\Omega -\omega )R$

и ковариантная производная

$D_{\tau }=\partial _{\tau }+{\frac {1}{2}}\omega ,$

где $\omega$ – связь, связанная с гравитационным потенциалом, и $\Omega$ Это внешнее взаимодействие, такое как электромагнитное поле.

Теория показывает некоторые перспективы для рассмотрения черных дыр, поскольку ее форма решения Шварцшильда не нарушается в сингулярностях; большинство результатов общей теории относительности были воспроизведены математически, а релятивистская формулировка классической электродинамики была распространена на квантовую механику и уравнение Дирака .

См. также

• Геометрическая алгебра
• Алгебра Дирака
• Уравнения Максвелла
• Уравнение Дирака
• Общая теория относительности

Ссылки

• Артур, Джон В. (2011). Понимание геометрической алгебры для теории электромагнитного поля . Серия прессы IEEE по теории электромагнитных волн. Уайли. п. 180. ИСБН  978-0-470-94163-8 .

• Бейлис, Уильям Э. (2012). «Векторная алгебра физического пространства». Теоретические методы в физических науках: введение в решение задач с использованием Maple V. Биркхойзер. п. 225-266. ISBN  978-1-4612-0275-2 .

• Доран, Крис; Ласенби, Энтони; Галл, Стивен (1993). «Гравитация как калибровочная теория в STA». В Брэксе, Ф.; Деланж, Р.; Серрас, Х. (ред.). Алгебры Клиффорда и их приложения в математической физике . Фундаментальные теории физики. Том. 55. Спрингер Нидерланды. стр. 375–385. ISBN  978-94-011-2006-7 .

• Доран, Крис; Ласенби, Энтони; Галл, Стивен; Сомару, Шьямал; Чаллинор, Энтони (1996). Хоукс, Питер В. (ред.). СТА и электронная физика . Достижения в области визуализации и электронной физики. Том. 95. Академическая пресса. стр. 272–386, 292 . ISBN  0-12-014737-8 .

• Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2003). Геометрическая алгебра для физиков . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0 521 48022 1 .

• Флерхингер, Стефан (2021). «Настоящие алгебры Клиффорда и их спиноры для релятивистских фермионов» . Вселенная . 7 (6): 168.

• Галл, С.; Ласенби, А.; Доран, К. (1993). «Мнимые числа нереальны — геометрическая алгебра пространства-времени» (PDF) . Основы физики . 23 : 1175–1201.

• Хестенес, Дэвид (1967), «Реальные спинорные поля» (PDF) , Журнал математической физики , 8 (4): 798–808, Бибкод : 1967JMP.....8..798H , doi : 10.1063/1.1705279

• Хестенес, Дэвид; Собчик (1984), от алгебры Клиффорда до геометрического исчисления , Springer Verlag, ISBN  978-90-277-1673-6

• Хестенес, Дэвид (2003a). «Лекция по медали Эрстеда 2002: Реформирование математического языка физики». Американский журнал физики . 71 (2): 104–121. Бибкод : 2003AmJPh..71..104H . CiteSeerX   10.1.1.649.7506 . дои : 10.1119/1.1522700 .

• Хестенес, Д. (2003b). «Физика пространства-времени с геометрической алгеброй» (PDF) . Американский журнал физики . 71 (6): 691–714. Бибкод : 2003AmJPh..71..691H . дои : 10.1119/1.1571836 . Проверено 24 февраля 2012 г.

• Хестенес, Дэвид (2010). «Zitterbewegung в квантовой механике» (PDF) . Основы физики . 40 .

• Хестенес, Д. (2012b) [1990]. «О развязке вероятности от кинематики в квантовой механике» . В Фужере, П.Ф. (ред.). Максимальная энтропия и байесовские методы . Спрингер. стр. 161–183. ISBN  978-94-009-0683-9 . PDF , заархивировано 29 октября 2022 г. в Wayback Machine.

• Хестенес, Д.; Собчик, Гаррет (2012c). От алгебры Клиффорда до геометрического исчисления: единый язык математики и физики . Springer Science & Business Media. ISBN  978-94-009-6292-7 .

• Хестенес, Дэвид (2015). Пространственно-временная алгебра . Международное издательство Спрингер. ISBN  978-3-319-18412-8 .

• Хитцер, Экхард; Лавор, Карлайл; Хильденбранд, Дитмар (2024). «Текущий обзор приложений геометрической алгебры Клиффорда» . Математические методы в прикладных науках . 47 (3): 1331–1361. дои : 10.1002/ммма.8316 . ISSN   0170-4214 .

• Джексон, Джон Дэвид (1998). Классическая электродинамика . Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-30932-1 .

• Ласенби, Энтони; Доран, Крис; Галл, Стивен (1995). «Астрофизические и космологические последствия калибровочной теории гравитации». В Санчесе, Норма; Зичичи, Антонино (ред.). Достижения астрофундаментальной физики: Международная школа астрофизики «Д. Шалонж» . Всемирная научная. стр. 359–401. ISBN  978-981-4548-78-6 . Перепечатка

• Ласенби, А.; Доран, К.; Галл, С. (1998), «Гравитация, калибровочные теории и геометрическая алгебра», Phil. Пер. Р. Сок. Лонд. A , 356 (1737): 487–582, arXiv : gr-qc/0405033 , Bibcode : 1998RSPTA.356..487L , doi : 10.1098/rsta.1998.0178 , S2CID   119389813

• Ласенби, АН; Доран, CJL (2002). «Геометрическая алгебра, волновые функции Дирака и черные дыры». В Бергманне, PG; Де Саббата, Венцо (ред.). Достижения во взаимодействии квантовой и гравитационной физики . Спрингер. стр. 256–283, см. стр. 256–283. 257 . ISBN  978-1-4020-0593-0 .

• О'Доннелл, Питер Дж. (2003). Введение в 2-спиноры в общей теории относительности . Всемирная научная. ISBN  978-981-279-531-1 .

• Пале, РС (1968). «Классификация алгебр с действительным делением» . Американский математический ежемесячник . 75 (4): 366–368. дои : 10.2307/2313414 . ISSN   0002-9890 .

• Куигг, Крис (29 ноября 2021 г.). Калибровочные теории сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий . ЦРК Пресс. ISBN  978-0-429-68902-4 .

• Ваз, Джейме; да Роча, Ролдан (2016). Введение в алгебры и спиноры Клиффорда . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-108578-9 .

• Уорнер, Сет (1990). Современная алгебра . Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 191, 211. ISBN.  978-0-486-66341-8 .

Внешние ссылки

• Изучение физики с помощью геометрической алгебры, книга I
• Изучение физики с помощью геометрической алгебры, книга II
• Многовекторный лагранжиан для уравнения Максвелла
• Мнимые числа нереальны - геометрическая алгебра пространства-времени , учебное введение в идеи геометрической алгебры, С. Галл, А. Ласенби, К. Доран.
• Физические приложения геометрической алгебры» , особенно см. Часть 2. Конспекты курса «
• Группа геометрической алгебры Кембриджского университета
• Исследования и разработки в области геометрического исчисления