Алгебра Дирака

В математической физике алгеброй Дирака является алгебра Клиффорда. ${\text{Cl}}_{1,3}(\mathbb {C} )$. Это было введено физиком-математиком П.А.М. Дираком в 1928 году при разработке уравнения Дирака для спина. ⁠ 1/2 , которые представляют собой ⁠ частицы с матричным представлением гамма -матриц генераторы алгебры.

Гамма-матрицы представляют собой набор из четырех $4\times 4$ матрицы $\{\gamma ^{\mu }\}=\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\}$ с записями в $\mathbb {C}$, то есть элементы ${\text{Mat}}_{4\times 4}(\mathbb {C} )$ которые удовлетворяют

$\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu },$

где по соглашению единичная матрица в правой части подавлена. Числа $\eta ^{\mu \nu }\,$ являются компонентами метрики Минковского . В этой статье мы исправим подпись в основном минусом , то есть $(+,-,-,-)$.

Алгебра Дирака тогда представляет собой линейную оболочку тождества, гамма-матрицы $\gamma ^{\mu }$ а также любые линейно независимые произведения гамма-матриц. Это образует конечномерную алгебру над полем $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$, с размерностью $16=2^{4}$.

Основа алгебры

Алгебра имеет базис

$I_{4},$

$\gamma ^{\mu },$

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu },$

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho },$

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }=\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$

где в каждом выражении каждый греческий индекс увеличивается по мере движения вправо. В частности, в выражениях нет повторяющегося индекса. По подсчету размерностей размерность алгебры равна 16.

Алгебру можно сгенерировать, взяв произведения $\gamma ^{\mu }$ в одиночестве: идентичность возникает как

$I_{4}=(\gamma ^{0})^{2}$

в то время как другие явно являются продуктами $\gamma ^{\mu }$.

showБазисные элементы линейно независимы

A general element of the algebra can be written $\Gamma =a+a_{\mu }\gamma ^{\mu }+{\frac {1}{2}}a_{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+{\frac {1}{3!}}a_{\mu \nu \rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }+{\frac {1}{4!}}a_{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma },$ with implicit summation. The components $a_{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}$ are totally anti-symmetric. The numerical factors are chosen so that after ordering the basis elements in increasing order, the coefficient is 1. The appropriate coefficient can be sampled by tracing $\Gamma$ against $\gamma ^{\mu _{1}}\cdots \gamma ^{\mu _{n}}$, up to a scalar factor, using identities involving traces of gamma matrices (see here, and the anti-symmetry of the $a_{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}$).

Эти элементы охватывают пространство, созданное $\gamma ^{\mu }$. Мы заключаем, что у нас действительно есть базис алгебры Клиффорда, порожденный $\gamma ^{\mu }.$

Квадратичные степени и алгебра Лоренца

Для теории, рассматриваемой в этом разделе, в литературе можно найти множество вариантов соглашений, часто соответствующих факторам $\pm i$. Для ясности здесь мы выберем соглашения, позволяющие минимизировать количество необходимых числовых коэффициентов, но это может привести к тому, что генераторы будут антиэрмитовыми, а не эрмитовыми.

Есть еще один распространенный способ записи квадратичного подпространства алгебры Клиффорда:

$S^{\mu \nu }={\frac {1}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]$

с $\mu \neq \nu$. Примечание $S^{\mu \nu }=-S^{\nu \mu }$.

Есть другой способ записать это, который справедлив даже тогда, когда $\mu =\nu$:

$S^{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\eta ^{\mu \nu }).$

Эту форму можно использовать, чтобы показать, что $S^{\mu \nu }$ сформировать представление алгебры Лоренца (с реальными соглашениями)

$[S^{\mu \nu },S^{\rho \sigma }]=S^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }-S^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+S^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-S^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }.$

Соглашения по физике

В физике принято включать коэффициент $\pm i$, так что эрмитово сопряжение (где транспонирование выполняется относительно греческих индексов пространства-времени) дает «эрмитову матрицу» сигма-генераторов

$\sigma ^{\mu \nu }=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right],$ ( я4 )

только 6 из которых отличны от нуля из-за антисимметрии скобки, охватывают шестимерное пространство представления тензора (1, 0) ⊕ (0, 1) -представления алгебры Лоренца внутри ${\mathcal {Cl}}_{1,3}(\mathbb {R} )$. Более того, они имеют коммутационные соотношения алгебры Ли:

$i\left[\sigma ^{\mu \nu },\sigma ^{\rho \tau }\right]=\eta ^{\nu \rho }\sigma ^{\mu \tau }-\eta ^{\mu \rho }\sigma ^{\nu \tau }-\eta ^{\tau \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\tau \nu }\sigma ^{\rho \mu },$ ( я5 )

и, следовательно, представляют собой представление алгебры Лоренца (помимо охвата пространства представления), находящееся внутри ${\mathcal {Cl}}_{1,3}(\mathbb {R} ),$ тот $\left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)$ спиновое представление.

Вращение(1, 3)

Экспоненциальное отображение матриц корректно определено. $S^{\mu \nu }$ удовлетворяют алгебре Лоренца и возводятся в степень до представления спиновой группы ${\text{Spin}}(1,3)$ группы Лоренца ${\text{SO}}(1,3)$ (строго, часть, ориентированная на будущее) ${\text{SO}}(1,3)^{+}$ связано с личностью). $S^{\mu \nu }$ являются тогда спиновыми генераторами этого представления.

Мы подчеркиваем, что $S^{\mu \nu }$ сама по себе является матрицей, а не ее компонентами. Его компоненты как $4\times 4$ сложные матрицы обозначаются по соглашению греческими буквами, начиная с начала алфавита. $\alpha ,\beta ,\cdots$.

Действие $S^{\mu \nu }$ на спиноре $\psi$, который в данном случае является элементом векторного пространства $\mathbb {C} ^{4}$, является

$\psi \mapsto S^{\mu \nu }\psi$, или в компонентах,

$\psi ^{\alpha }\mapsto (S^{\mu \nu })^{\alpha }{}_{\beta }\psi ^{\beta }.$

Это соответствует бесконечно малому преобразованию Лоренца на спиноре. Тогда конечное преобразование Лоренца, параметризованное компонентами $\omega _{\mu \nu }$ (антисимметричный в $\mu ,\nu$) можно выразить как

$S:=\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\mu \nu }S^{\mu \nu }\right).$

Из имущества, которое

$(\gamma ^{\mu })^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0},$

отсюда следует, что

$(S^{\mu \nu })^{\dagger }=-\gamma ^{0}S^{\mu \nu }\gamma ^{0}.$

И $S$ как определено выше, удовлетворяет

$S^{\dagger }=\gamma ^{0}S^{-1}\gamma ^{0}$

Это мотивирует определение Дирака, сопряженного для спиноров. $\psi$, из

${\bar {\psi }}:=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$.

Соответствующее преобразование для $S$ является

${\bar {S}}:=\gamma ^{0}S^{\dagger }\gamma ^{0}=S^{-1}$.

Благодаря этому становится просто построить лоренц-инвариантные величины для построения лагранжианов, таких как лагранжиан Дирака.

Квартовая мощность

Подпространство четвертой степени содержит единственный базисный элемент:

$\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {1}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma },$

где $\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }$ — вполне антисимметричный тензор такой, что $\epsilon _{0123}=+1$ по соглашению.

Это антисимметрично при обмене любых двух соседних гамма-матриц.

с ⁵

При рассмотрении комплексного промежутка этот базовый элемент можно альтернативно принять равным

$\gamma ^{5}:=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}.$

Более подробную информацию можно найти здесь .

Как объемная форма

По полной антисимметрии элемента четвертой степени его можно считать объемной формой. Фактически, это наблюдение распространяется на обсуждение алгебр Клиффорда как обобщения внешней алгебры : обе они возникают как факторы тензорной алгебры, но внешняя алгебра дает более ограничительный фактор, при котором все антикоммутаторы исчезают.

Вывод, исходя из уравнения Дирака и Клейна – Гордона.

Определяющую форму гамма-элементов можно получить, если принять ковариантную форму уравнения Дирака :

$-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +mc\psi =0\,.$

и уравнение Клейна – Гордона :

$-\partial _{t}^{2}\psi +\nabla ^{2}\psi =m^{2}\psi$

должно быть дано, и требует, чтобы эти уравнения приводили к последовательным результатам.

Смотрите также: уравнение Дирака § переворот Дирака

Вывод из требования непротиворечивости (доказательство). Умножение уравнения Дирака на сопряженное ему уравнение дает:

$\psi ^{\dagger }(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)(-i\hbar \gamma ^{\nu }\partial _{\nu }+mc)\psi =0\,.$

Требование согласованности с уравнением Клейна – Гордона немедленно приводит к:

$\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}$

где $\{,\}$ это антикоммутатор , $\eta ^{\mu \nu }\,$ – метрика Минковского с сигнатурой (+ − − −) и $\ I_{4}\,$ представляет собой единичную матрицу 4x4.

Cl _1,3 (C) и Cl _1,3 (R)

Алгебру Дирака можно рассматривать как комплексификацию вещественной алгебры пространства-времени Cl _1,3 ( $\mathbb {R}$):

$\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {C} )=\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C} .$

Кл _1,3 ( $\mathbb {R}$) отличается от Cl _1,3 ( $\mathbb {C}$): в Cl _1,3 ( $\mathbb {R}$) допускаются только вещественные линейные комбинации гамма-матриц и их произведений.

Сторонники геометрической алгебры стремятся работать с реальными алгебрами везде, где это возможно. Они утверждают, что в целом возможно (и обычно полезно) определить наличие мнимой единицы в физическом уравнении. Такие единицы возникают из одной из многих величин в реальной алгебре Клиффорда, которые квадратичны до −1, и они имеют геометрическое значение из-за свойств алгебры и взаимодействия ее различных подпространств. Некоторые из этих сторонников также задаются вопросом, необходимо ли или даже полезно ли вводить дополнительную мнимую единицу в контексте уравнения Дирака.

В математике римановой геометрии принято определять алгебру Клиффорда Cl _p,q ( $\mathbb {R}$) для произвольных размерностей p,q ; антикоммутация спиноров Вейля естественным образом возникает из алгебры Клиффорда. Спиноры Вейля преобразуются под действием спиновой группы $\mathrm {Spin} (n)$. Комплексификация спиновой группы, называемая спин-группой. $\mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)$, это продукт $\mathrm {Spin} (n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}$ спиновой группы с кругом $S^{1}\cong U(1)$ с продуктом $\times _{\mathbb {Z} _{2}}$ просто обозначение для идентификации $(a,u)\in \mathrm {Spin} (n)\times S^{1}$ с $(-a,-u).$ Геометрический смысл этого подхода состоит в том, что он высвобождает действительный спинор, ковариантный относительно преобразований Лоренца, из $U(1)$ компонент, который можно идентифицировать по $U(1)$ волокно электромагнитного взаимодействия. $\times _{\mathbb {Z} _{2}}$ запутывает четность и сопряжение зарядов способом, подходящим для связи состояний частицы/античастицы Дирака (эквивалентно киральным состояниям в базисе Вейля). Биспинор . , поскольку он имеет линейно независимые левую и правую компоненты, может взаимодействовать с электромагнитным полем В этом отличие от спинора Майорана и спинора ELKO, которые не могут ( т.е. они электрически нейтральны), поскольку они явно ограничивают спинор, чтобы не взаимодействовать с $S^{1}$ часть происходит от комплексификации. Спинор ELKO (Eigenspinoren des Ladungskonjugationsoperators) является спинором Lounesto 5-го класса.

Поскольку представление заряда и четности может быть запутанной темой в обычных учебниках по квантовой теории поля, более тщательное рассмотрение этих тем в общей геометрической обстановке может прояснить ситуацию. Стандартные изложения алгебры Клиффорда строят спиноры Вейля на основе первых принципов; то, что они «автоматически» антикоммутируют, является элегантным геометрическим побочным продуктом конструкции, полностью игнорирующим любые аргументы, апеллирующие к принципу исключения Паули (или иногда распространенному ощущению, что переменные Грассмана были введены посредством специальной аргументации).

продолжает оставаться алгебра Дирака В современной физической практике стандартной средой, в которой «живут» спиноры уравнения Дирака, , а не алгебра пространства-времени.

См. также

• Гамма-матрицы более высокой размерности
• Личность Фирца

Ссылки

• Родригес, Валдир А.; Оливейра, Эдмундо К. де (2007). Многоликие уравнения Максвелла, Дирака и Эйнштейна: подход с использованием расслоения Клиффорда . Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-71292-3 .
• Вайнберг, Стивен (2005) [2000]. «5 квантовых полей и античастиц §5.4 Формулировка Дирака» . Квантовая теория полей: Том 1, Основы . Том. 1. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-67053-1 .