Уравнение Майораны

В физике уравнение Майораны представляет собой релятивистское волновое уравнение . Оно названо в честь итальянского физика Этторе Майорана , который предложил его в 1937 году как средство описания фермионов , которые сами по себе являются античастицами . Частицы, соответствующие этому уравнению, называются частицами Майораны , хотя теперь этот термин имеет более широкое значение, относясь к любой (возможно, нерелятивистской) фермионной частице, которая является своей собственной античастицей (и, следовательно, электрически нейтральна).

Были предположения, что массивные нейтрино описываются майорановскими частицами; существуют различные расширения Стандартной модели , которые позволяют это сделать. В статье о майорановских частицах представлено состояние экспериментальных поисков, включая подробности о нейтрино. В данной статье основное внимание уделяется математическому развитию теории с вниманием к ее дискретной и непрерывной симметрии . Дискретными симметриями являются зарядовое сопряжение , преобразование четности и обращение времени ; непрерывная симметрия является лоренц-инвариантностью .

Зарядовое сопряжение играет огромную роль, поскольку это ключевая симметрия, которая позволяет описывать майорановские частицы как электрически нейтральные. Особенно примечательным аспектом является то, что электронейтральность позволяет свободно выбирать несколько глобальных фаз, по одной для левого и правого киральных полей. Это означает, что без явных ограничений на эти фазы поля Майораны естественным образом нарушают CP . Другой аспект электронейтральности заключается в том, что левому и правому киральным полям можно придать разные массы. То есть электрический заряд — это лоренц-инвариант , а также константа движения ; тогда как киральность является инвариантом Лоренца, но не является константой движения для массивных полей. Таким образом, электрически нейтральные поля менее ограничены, чем заряженные поля. При зарядовом сопряжении две свободные глобальные фазы появляются в массовых терминах (поскольку они лоренц-инвариантны), и поэтому майорановская масса описывается комплексной матрицей, а не одним числом. Короче говоря, дискретные симметрии уравнения Майораны значительно сложнее, чем симметрии уравнения Майораны. Уравнение Дирака , где электрический заряд $U(1)$ симметрия ограничивает и устраняет эти свободы.

Определение

Уравнение Майораны можно записать в нескольких различных формах:

• Поскольку уравнение Дирака записано так, что оператор Дирака является чисто эрмитовым, что дает чисто вещественные решения.
• Как оператор, связывающий четырехкомпонентный спинор с его зарядовым сопряжением .
• Как дифференциальное уравнение 2 × 2, действующее на комплексный двухкомпонентный спинор, напоминающее уравнение Вейля с правильно лоренц-ковариантным массовым членом.

Эти три формы эквивалентны и могут быть получены одна из другой. Каждый из них предлагает немного разное понимание природы уравнения. Первая форма подчеркивает, что можно найти чисто реальные решения. Вторая форма уточняет роль зарядового сопряжения . Третья форма обеспечивает наиболее непосредственную связь с теорией представлений группы Лоренца .

Чисто вещественная четырехкомпонентная форма

Обычной отправной точкой является утверждение, что « уравнение Дирака может быть записано в эрмитовой форме », когда гамма-матрицы берутся в представлении Майорана . Уравнение Дирака тогда запишется как

$\left(\,-i\,{\frac {\partial }{\partial t}}-i\,{\hat {\alpha }}\cdot \nabla +\beta \,m\,\right)\,\psi =0$

с ${\hat {\alpha }}$ будучи чисто вещественными симметричными матрицами 4 × 4, и $\beta$ быть чисто воображаемой кососимметричной; как требуется, чтобы гарантировать, что оператор (часть в скобках) является эрмитовым. В этом случае могут быть найдены чисто вещественные 4-спинорные решения уравнения; это майорановские спиноры .

Зарядово-сопряженная четырехкомпонентная форма

Уравнение Майораны:

$i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi -m\,\psi _{c}=0~$

с оператором производной ${\partial \!\!\!{\big /}}$ записано в нотации Фейнмана с косой чертой и включает гамма-матрицы, а также суммирование по спинорным компонентам. Спинор ${\textstyle \,\psi _{c}\,}$ является сопряжением зарядовым ${\textstyle \,\psi \,.}$ По построению сопряженные заряды обязательно имеют вид

$\psi _{c}=\eta _{c}\,C\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}~$

где $\,(\cdot )^{\mathsf {T}}\,$ обозначает транспонирование , $\,\eta _{c}\,$ — произвольный фазовый коэффициент $\,|\eta _{c}|=1\,,$ условно принято считать $\,\eta _{c}=1\,,$ и $\,C\,$ представляет собой матрицу 4×4, матрицу зарядового сопряжения . Матричное представление $\,C\,$ зависит от выбора представления гамма-матриц . Условно сопряженный спинор записывается как

${\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\,\gamma ^{0}~.$

Из матрицы зарядового сопряжения следует ряд алгебраических тождеств $C.$ Утверждают, что в любом представлении гамма -матриц , включая представления Дирака, Вейля и Майораны, это $\,C\,\gamma _{\mu }=-\gamma _{\mu }^{\mathsf {T}}\,C\,$ и поэтому можно написать

$\psi _{c}=-\eta _{c}\,\gamma ^{0}\,C\,\psi ^{*}~$

где $\,\psi ^{*}\,$ является комплексно- сопряженным $\,\psi \,.$ Матрица зарядового сопряжения $\,C\,$ также имеет свойство,

$C^{-1}=C^{\dagger }=C^{\mathsf {T}}=-C$

во всех представлениях (Дираковское, хиральное, Майорановское). Из этого и изрядного количества алгебры можно получить эквивалентное уравнение:

$i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi _{c}-m\,\psi =0$

Доказательство

Эта форма не совсем очевидна и поэтому заслуживает доказательства. Начиная с

$-i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi +m\,\psi _{c}=0$

Расширять $\,\psi _{c}=C\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}\,$:

$-i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi +m\,C\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}=0$

Умножить на $\,C\,$ использовать $\,C^{2}=-1\,$:

$-i\,C\,{\partial \!\!\!{\big /}}C^{-1}\,C\,\psi -m\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}=0$

Зарядовое сопряжение транспонирует гамма-матрицы:

$+i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\mathsf {T}}\,C\,\psi -m\,\left(\gamma ^{0}\right)^{\mathsf {T}}\,\psi ^{*}=0$

Возьмем комплексное сопряжение:

$-i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\dagger }C^{*}\,\psi ^{*}-m\,\left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }\,\psi =0$

Матрица $\,\gamma ^{0}\,$ является эрмитовым, $\,\left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}\,$ во всех трех представлениях (Дираковском, хиральном, Майорановском):

$-i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\dagger }C^{*}\,\psi ^{*}-m\,\gamma ^{0}\,\psi =0$

Это также инволюция , принимающая эрмитово сопряжение : $\,\gamma ^{0}\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{0}=\left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }$

$-i\,\gamma ^{0}\,{\partial \!\!\!{\big /}}\gamma ^{0}\,C^{*}\,\psi ^{*}-m\,\gamma ^{0}\,\psi =0$

Умножить на $\,\gamma ^{0}\,$, Обратите внимание, что $\,\left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I\,$ и использовать $\,C^{*}=C\,$:

$-i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\gamma ^{0}\,C\,\psi ^{*}-m\,\psi =0$

Вышеприведенное является всего лишь определением сопряженного, поэтому заключите, что

$i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi _{c}-m\,\psi =0$

Подробное обсуждение физической интерпретации матрицы $C$ Как зарядовое сопряжение можно найти в статье о зарядовом сопряжении . Короче говоря, он участвует в сопоставлении частиц с их античастицами , что включает, среди прочего, изменение электрического заряда . Хотя $\psi ^{c}$ определяется как «зарядовое сопряжение» $\psi ,$ оператор зарядового сопряжения имеет не одно, а два собственных значения. второй спинор, спинор ELKO Это позволяет определить . Более подробно это обсуждается ниже.

Сложная двухкомпонентная форма

Индекс L используется в этом подразделе для обозначения левого кирального спинора.

Оператор Майораны , $\,\mathrm {D} _{\text{L}}\,,$ определяется как

$\mathrm {D} _{\text{L}}\equiv i\,{\overline {\sigma }}^{\mu }\,\partial _{\mu }+\eta \,m\,\omega \,K$

где

${\overline {\sigma }}^{\mu }={\begin{bmatrix}\sigma ^{0}&-\sigma ^{1}&-\sigma ^{2}&-\sigma ^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{2}&-\sigma _{\text{x}}&-\sigma _{\text{y}}&-\sigma _{\text{z}}\end{bmatrix}}$

- вектор 2 × 2. , компоненты которого представляют собой единичную матрицу $\,I_{2}\,$ для $\,\mu =0\,$ и (минус) матрицы Паули для $\,\mu \in \{1,\,2,\,3\}\,.$ $\,\eta \,$ – произвольный фазовый коэффициент, $\,|\eta |=1\,,$ обычно считается одним: $\,\eta =1\,.$ $\,\omega \,$ представляет собой матрицу 2 × 2, которую можно интерпретировать как симплектическую форму симплектической группы. $\,\operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )\,,$ которое является двойным накрытием группы Лоренца . Это

$\omega =i\,\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~,$

которая оказывается изоморфной мнимой единице « i » (т.е. $\omega ^{2}=-I\,$ и $\,a\,I+b\,\omega \cong a+b\,i\in \mathbb {C} \,$ для $\,a,b\in \mathbb {R}$) с транспонированием матрицы, являющимся аналогом комплексного сопряжения .

Наконец, $\,K\,$ является кратким напоминанием о необходимости использования комплексного сопряжения. Уравнение Майораны для левого комплекснозначного двухкомпонентного спинора $\,\psi _{\text{L}}\,$ тогда

$\mathrm {D} _{\text{L}}\psi _{\text{L}}=0$

или, что то же самое,

$i\,{\overline {\sigma }}^{\mu }\,\partial _{\mu }\psi _{\text{L}}(x)+\eta \,m\,\omega \,\psi _{\text{L}}^{*}(x)=0$

с $\,\psi _{\text{L}}^{*}(x)\,$ комплексное сопряжение ​ $\,\psi _{\text{L}}(x)\,.$ Индекс L используется на протяжении всего этого раздела для обозначения левого кирального спинора; при преобразовании четности это можно преобразовать в правый спинор, и поэтому уравнение также имеет правую форму. Это относится и к четырехкомпонентному уравнению; более подробная информация представлена ​​ниже.

Ключевые идеи

Здесь суммированы некоторые свойства уравнения Майораны, его решения и лагранжевой формулировки.

• Уравнение Майораны похоже на уравнение Дирака в том смысле, что оно включает четырехкомпонентные спиноры, гамма-матрицы и массовые члены, но включает зарядовое сопряжение  ${\textstyle \psi _{c}}$ спинора ​  ${\textstyle \psi }$. Напротив, уравнение Вейля относится к двухкомпонентному спинору без массы.
• Решения уравнения Майораны можно интерпретировать как электрически нейтральные частицы, являющиеся своими собственными античастицами. По соглашению оператор зарядового сопряжения переводит частицы в их античастицы, поэтому спинор Майораны традиционно определяется как решение, где $\psi =\psi _{c}.$ То есть майорановский спинор является «своей античастицей». Поскольку зарядовое сопряжение переводит электрически заряженную частицу в ее античастицу с противоположным зарядом, следует заключить, что майорановский спинор электрически нейтрален.
• Уравнение Майораны является лоренц-ковариантным , и из его спиноров можно построить множество скаляров Лоренца. Это позволяет несколько различных лагранжианов для полей Майораны. построить
• Когда лагранжиан выражается через двухкомпонентные левый и правый киральные спиноры, он может содержать три различных массовых члена: левый и правый массовые члены Майораны и массовый член Дирака. Физически они проявляются как две отдельные массы; это ключевая идея механизма качелей для описания нейтрино малой массы с левой связью со Стандартной моделью, где правая компонента соответствует стерильному нейтрино с массами в масштабе Великого Объединения .
• Дискретные симметрии C- , P- и T -сопряжения тесно контролируются свободно выбранным фазовым коэффициентом оператора зарядового сопряжения . Это проявляется в виде отдельных сложных фаз в массовом отношении. Это позволяет как CP-симметричные, так и CP-нарушающие лагранжианы. записывать
• Поля Майораны CPT-инвариантны , но эта инвариантность в некотором смысле «более свободна», чем для заряженных частиц. Это связано с тем, что заряд обязательно является лоренц-инвариантным свойством и, таким образом, ограничен для заряженных полей. Нейтральные поля Майораны не ограничены таким образом и могут смешиваться.

Двухкомпонентное уравнение Майораны

Уравнение Майораны можно записать как в терминах вещественного четырехкомпонентного спинора, так и в виде комплексного двухкомпонентного спинора. Оба могут быть построены из уравнения Вейля с добавлением правильно лоренц-ковариантного массового члена. В этом разделе представлена ​​явная конструкция и артикуляция.

Уравнение Вейля

Уравнение Вейля описывает временную эволюцию безмассового комплексного двухкомпонентного спинора . Условно его записывают так

$\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0$

Написано явно, это

$I_{2}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0$

Четырехвектор Паули

$\sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma _{x}&\sigma _{y}&\sigma _{z}\end{pmatrix}}$

то есть вектор 2 × 2. , компоненты которого представляют собой единичную матрицу размера $I_{2}$ для µ = 0 и матрицы Паули для µ = 1, 2, 3. При преобразовании четности ${\vec {x}}\to {\vec {x}}^{\prime }=-{\vec {x}}$ получается двойственное уравнение

${\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0$

где ${\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}I_{2}&-\sigma _{x}&-\sigma _{y}&-\sigma _{z}\end{pmatrix}}$. Это две разные формы уравнения Вейля; их решения также различны. Можно показать, что решения имеют левую и правую спиральность и, следовательно, киральность . Традиционно эти две различные формы обозначаются явно, например:

$\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0\qquad {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0~.$

Лоренц-инвариантность

Уравнение Вейля описывает безмассовую частицу; уравнение Майораны добавляет массовый член. Массу необходимо вводить лоренц-инвариантным способом. Это достигается тем, что специальная линейная группа $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$ изоморфна ​ симплектической группе $\operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} ).$ Обе эти группы являются двойными накрытиями группы Лоренца. $\operatorname {SO} (1,3).$ Лоренц -инвариантность производного члена (из уравнения Вейля) традиционно формулируют через действие группы $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$ на спинорах, тогда как лоренц-инвариантность массового члена требует применения определяющего соотношения для симплектической группы.

Двойное накрытие группы Лоренца имеет вид

${\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=S{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }$

где $\Lambda \in \operatorname {SO} (1,3)$ и $S\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$ и $S^{\dagger }$ является эрмитовым транспонированием . Это используется для связи свойств преобразования дифференциалов при преобразовании Лоренца. $x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x$ к трансформационным свойствам спиноров.

Симплектическая группа $\operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )$ определяется как набор всех комплексных матриц размера 2×2 $S$ которые удовлетворяют

$\omega ^{-1}S^{\textsf {T}}\omega =S^{-1}$

где

$\omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}$

является кососимметричной матрицей . Он используется для определения симплектической билинейной формы на $\mathbb {C} ^{2}.$ Запись пары произвольных двухвекторов $u,v\in \mathbb {C} ^{2}$ как

$u={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}\qquad v={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}$

симплектическое произведение

$\langle u,v\rangle =-\langle v,u\rangle =u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{\textsf {T}}\omega v$

где $u^{\textsf {T}}$ это транспонирование $u~.$ Эта форма инвариантна относительно преобразований Лоренца, поскольку

$\langle u,v\rangle =\langle Su,Sv\rangle$

Матрица перекоса преобразует матрицы Паули за вычетом их транспонирования:

$\omega \sigma _{k}\omega ^{-1}=-\sigma _{k}^{\textsf {T}}$

для $k=1,2,3.$ Косую матрицу можно интерпретировать как продукт преобразования четности и транспозиции, действующего на два спинора. Однако, как будет подчеркнуто в следующем разделе, его также можно интерпретировать как один из компонентов оператора зарядового сопряжения , а другой компонент представляет собой комплексное сопряжение . Применяя его к преобразованию Лоренца, получаем

$\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}$

Эти два варианта описывают ковариационные свойства дифференциалов, действующих на левый и правый спиноры соответственно.

Дифференциалы

При преобразовании Лоренца $x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x$ дифференциальный член преобразуется как

$\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)$

при условии, что правое поле преобразуется как

$\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }(x^{\prime })=S\psi _{\rm {R}}(x)$

Аналогично левый дифференциал преобразуется как

${\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {L}}(x^{\prime })=S{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)$

при условии, что левый спинор преобразуется как

$\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }(x^{\prime })=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}(x)$

Доказательство

Эти свойства трансформации не особенно «очевидны» и поэтому заслуживают тщательного вывода. Начните с формы

$\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }(x^{\prime })=R\psi _{\rm {R}}(x)$

для какого-то неизвестного $R\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ предстоит определить. Преобразование Лоренца в координатах имеет вид

$x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }$

или, что то же самое,

$x^{\nu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }x^{\prime \mu }$

Это приводит к

${\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}$

Чтобы воспользоваться картой Вейля

$\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}$

несколько индексов необходимо поднять и понизить. Это легче сказать, чем сделать, поскольку это вызывает тождество

$\eta \Lambda ^{T}\eta =\Lambda ^{-1}$

где $\eta =\operatorname {diag} (+1,-1,-1,-1)$ плоского пространства — метрика Минковского . Приведенное выше тождество часто используется для определения элементов $\Lambda \in \operatorname {SO} (1,3).$ Делается транспонирование:

${\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1T}\right)_{\mu }}^{\nu }$

писать

${\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1T}\right)_{\mu }}^{\nu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\partial ^{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\mu }\partial ^{\mu }S^{-1}R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}$

Таким образом, человек восстанавливает первоначальную форму, если $S^{-1}R=1,$ то есть, $R=S.$ Проделав те же манипуляции с левым уравнением, приходим к выводу, что

$\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }(x^{\prime })=L\psi _{\rm {L}}(x)$

с $L=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}.$

Массовый термин

Комплексно -сопряженное правое спинорное поле преобразуется как

$\psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=S^{*}\psi _{\rm {R}}^{*}(x)$

Определяющие отношения для $\operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )$ можно переписать как $\omega S^{*}=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\omega \,.$ Отсюда следует, что косокомплексное поле преобразуется как

$m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)$

Это полностью совместимо со свойством ковариации дифференциала. принимая $\eta =e^{i\phi }$ быть произвольным комплексным фазовым коэффициентом, линейная комбинация

$i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}(x)+\eta m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)$

преобразуется ковариантным образом. Установка этого значения в ноль дает сложное двухкомпонентное уравнение Майораны для правого поля. Аналогично, левокиральное уравнение Майораны (включая произвольный фазовый множитель $\zeta$) является

$i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}(x)+\zeta m\omega \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=0$

Левая и правая киральные версии связаны преобразованием четности . Как показано ниже, они соответствуют оператору Клейна – Гордона только в том случае, если $\eta =\zeta .$ Косой комплексный конъюгат $\omega \psi ^{*}=i\sigma ^{2}\psi$ можно признать зарядово-сопряженной формой $\psi ~;$ более подробно это изложено ниже. Таким образом, уравнение Майораны можно прочитать как уравнение, связывающее спинор с его зарядово-сопряженной формой.

Левый и правый майорановские операторы

Определим пару операторов, операторов Майораны,

${\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}&=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K&\mathrm {D} _{\rm {R}}&=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\end{aligned}}$

где $K$ является кратким напоминанием о необходимости использования комплексного сопряжения. При преобразованиях Лоренца они преобразуются как

${\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}\mapsto \mathrm {D} _{\rm {L}}^{\prime }&=S\mathrm {D} _{\rm {L}}S^{\dagger }&\mathrm {D} _{\rm {R}}\mapsto \mathrm {D} _{\rm {R}}^{\prime }&=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\mathrm {D} _{\rm {R}}S^{-1}\end{aligned}}$

тогда как спиноры Вейля преобразуются как

${\begin{aligned}\psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }&=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}&\psi _{\rm {R}}\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }&=S\psi _{\rm {R}}\end{aligned}}$

так же, как указано выше. Таким образом, их согласованные комбинации являются лоренц-ковариантными, и можно принять

${\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}&=0&\mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}&=0\end{aligned}}$

как пара комплексных 2-спинорных уравнений Майораны.

Продукты $\mathrm {D} _{\rm {L}}\mathrm {D} _{\rm {R}}$ и $\mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}$ оба лоренц-ковариантны. Продукт явно

$\mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left(i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\right)=-\left(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)=-\left(\square +\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)$

Для проверки этого необходимо иметь в виду, что $\omega ^{2}=-1$ и это $Ki=-iK~.$ RHS сводится к оператору Клейна – Гордона при условии, что $\eta \zeta ^{*}=1$, то есть, $\eta =\zeta ~.$ Таким образом, эти два оператора Майораны являются «квадратными корнями» оператора Клейна – Гордона.

Четырехкомпонентное уравнение Майораны

Реальная четырехкомпонентная версия уравнения Майораны может быть построена из комплексного двухкомпонентного уравнения следующим образом. Учитывая сложное поле $\psi _{\rm {L}}$ удовлетворяющий $\mathrm {D} _{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}=0$ как указано выше, определите

$\chi _{\rm {R}}\equiv -\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}$

Используя приведенный выше алгебраический аппарат, нетрудно показать, что

$\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K\right)\chi _{\rm {R}}=0$

Определение сопряженного оператора

$\delta _{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K$

Тогда четырехкомпонентное уравнение Майораны имеет вид

$\left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)\left(\psi _{\rm {L}}\oplus \chi _{\rm {R}}\right)=0$

Расписывая это подробно, получаем

$\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}={\begin{bmatrix}\mathrm {D} _{\rm {L}}&0\\0&\delta _{\rm {R}}\end{bmatrix}}=i{\begin{bmatrix}I&0\\0&I\end{bmatrix}}\partial _{t}+i{\begin{bmatrix}-\sigma ^{k}&0\\0&\sigma ^{k}\end{bmatrix}}\nabla _{k}+m{\begin{bmatrix}\eta \omega K&0\\0&-\eta \omega K\end{bmatrix}}$

Умножив слева на

$\beta =\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}}$

приводит вышеизложенное в матричную форму, в которой можно распознать гамма-матрицы в киральном представлении. Это

$\beta \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)={\begin{bmatrix}0&\delta _{\rm {R}}\\\mathrm {D} _{\rm {L}}&0\end{bmatrix}}=i\beta \partial _{t}+i{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{bmatrix}}\nabla _{k}-m{\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}$

То есть,

$\beta \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}$

Применяя это к 4-спинору

$\psi _{\rm {L}}\oplus \chi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\\chi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}$

и напоминая об этом $\omega ^{2}=-1$ обнаруживается, что спинор является собственным состоянием массового члена,

${\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}$

и поэтому для этого конкретного спинора четырехкомпонентное уравнение Майораны сводится к уравнению Дирака

$\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right){\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}=0$

Косую матрицу можно отождествить с оператором зарядового сопряжения (в базисе Вейля ). Явно это

${\mathsf {C}}={\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}$

Дан произвольный четырехкомпонентный спинор $\psi ~,$ его зарядовое сопряжение

${\mathsf {C}}\psi =\psi ^{c}=\eta C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}$

с $C$ обычная матрица 4х4, имеющая вид, явно заданный в статье о гамма-матрицах . В заключение четырехкомпонентное уравнение Майораны можно записать в виде

${\begin{aligned}0&=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi \\&=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi ^{c}\end{aligned}}$

Сопряжение зарядов и четность

Оператор зарядового сопряжения появляется непосредственно в 4-компонентной версии уравнения Майораны. Когда спинорное поле является зарядово-сопряженным само собою, т. е. когда $\psi ^{c}=\psi ,$ тогда уравнение Майораны сводится к уравнению Дирака, и любое решение можно интерпретировать как описание электрически нейтрального поля. Однако оператор зарядового сопряжения имеет не одно, а два различных собственных состояния, одно из которых является спинором ELKO ; оно не решает уравнение Майораны, а, скорее, его версию с перевернутым знаком.

Оператор сопряжения заряда ${\mathsf {C}}$ для четырехкомпонентного спинора определяется как

${\mathsf {C}}\psi =\psi _{c}=\eta C\left({\overline {\psi }}\right)^{\textsf {T}}$

Общее обсуждение физической интерпретации этого оператора в терминах электрического заряда дано в статье о зарядовом сопряжении . Дополнительные обсуждения предоставлены Бьоркеном и Дреллом. или Ицыксон и Зубер. Говоря более абстрактно, это спинорный эквивалент комплексного сопряжения $U(1)$ связь электромагнитного поля. Это можно увидеть следующим образом. Если у вас есть единственное реальное скалярное поле , оно не может быть связано с электромагнетизмом; однако пара вещественных скалярных полей, представленных в виде комплексного числа , может. Для скалярных полей зарядовое сопряжение аналогично комплексному сопряжению . Дискретные симметрии ​ $U(1)$ Калибровочная теория следует из «тривиального» наблюдения, что

$*:U(1)\to U(1)\quad e^{i\phi }\mapsto e^{-i\phi }$

является автоморфизмом ​ $U(1).$ Для спинорных полей ситуация более запутанная. Грубо говоря, однако, можно сказать, что поле Майораны электрически нейтрально и что соответствующую комбинацию двух полей Майорана можно интерпретировать как единое электрически заряженное поле Дирака. Приведенный выше оператор зарядового сопряжения соответствует автоморфизму $U(1).$

В приведенном выше $C$ — матрица 4×4, приведенная в статье о гамма-матрицах . Его явная форма зависит от представления. Оператор ${\mathsf {C}}$ не может быть записана в виде матрицы 4×4, так как она принимает комплексно-сопряженное число $\psi$, и комплексное сопряжение не может быть достигнуто с помощью комплексной матрицы 4×4. Ее можно записать как реальную матрицу 8×8, предполагая, что также записывается $\psi$ как чисто вещественный 8-компонентный спинор. Сдача в аренду $K$ обозначают комплексное сопряжение, так что $K(x+iy)=x-iy,$ тогда для четырехкомпонентных спиноров можно написать:

${\mathsf {C}}=-\eta \gamma ^{0}CK$

Нетрудно это показать ${\mathsf {C}}^{2}=1$ и это ${\mathsf {C}}\gamma ^{\mu }{\mathsf {C}}=-\gamma ^{\mu }~.$ Из первого тождества следует, что ${\mathsf {C}}$ имеет два собственных значения, которые можно записать как

${\mathsf {C}}\psi ^{(\pm )}=\pm \psi ^{(\pm )}$

Собственные векторы легко находятся в базисе Вейля. Судя по вышеизложенному, на этом основании ${\mathsf {C}}$ явно

${\mathsf {C}}={\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}$

и таким образом

$\psi _{\text{Weyl}}^{(\pm )}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\\mp \eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}$

Оба собственных вектора, очевидно, являются решениями уравнения Майораны. Однако только положительный собственный вектор является решением уравнения Дирака:

$0=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi ^{(+)}=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi ^{(+)}$

Отрицательный собственный вектор «не работает», у него неправильный знак массового члена Дирака. Однако он по-прежнему решает уравнение Клейна – Гордона. Отрицательный собственный вектор называется спинором ELKO .

Доказательство

То, что оба собственных состояния решают уравнение Клейна – Гордона, следует из предыдущих тождеств для двухкомпонентных версий. Определив, как и прежде,

$\mathrm {D} _{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\qquad \mathrm {D} _{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K$

Как было показано ранее

$\mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}=\mathrm {D} _{\rm {L}}\mathrm {D} _{\rm {R}}=-\left(\square +m^{2}\right)$

Четырехкомпонентный спинор требует введения

$\delta _{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K\qquad \delta _{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K$

которые также подчиняются

$\delta _{\rm {R}}\delta _{\rm {L}}=\delta _{\rm {L}}\delta _{\rm {R}}=-\left(\square +m^{2}\right)$

Поэтому

$\left(\mathrm {D} _{\rm {R}}\oplus \delta _{\rm {L}}\right)\left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=-\left(\square +m^{2}\right)$

Киральное представление требует дополнительного фактора $\beta =\gamma ^{0}$:

$\beta \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\qquad \beta \left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}$

и поэтому можно сделать вывод, что

$\left(\mathrm {D} _{\rm {R}}\oplus \delta _{\rm {L}}\right)\left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}\right)\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)=-\left(\square +m^{2}\right)$

То есть оба собственных вектора оператора зарядового сопряжения решают уравнение Клейна – Гордона. Последнюю личность также можно проверить напрямую, отметив, что ${\mathsf {C}}i=-i{\mathsf {C}}$ и это ${\mathsf {C}}\gamma ^{\mu }=-\gamma ^{\mu }{\mathsf {C}}~.$

Паритет

При четности левые спиноры преобразуются в правые спиноры. Два собственных вектора оператора зарядового сопряжения, опять же в базисе Вейля, равны

$\psi _{\rm {{R},{\text{Weyl}}}}^{(\pm )}={\begin{pmatrix}\pm \eta \omega \psi _{\rm {R}}^{*}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}$

Как и раньше, оба решают четырехкомпонентное уравнение Майораны, но только один решает также уравнение Дирака. Это можно показать, построив двойственное по четности четырехкомпонентное уравнение. Это принимает форму

$\beta \left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}$

где

$\delta _{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }-\eta m\omega K$

Учитывая двухкомпонентный спинор $\psi _{\rm {R}}$ определите его сопряженное как $\chi _{\rm {L}}=-\eta \omega \psi _{\rm {R}}^{*}.$ Нетрудно это показать $\mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=-\eta \omega (\delta _{\rm {L}}\chi _{\rm {L}})$ и поэтому, если $\mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=0$ тогда также $\delta _{\rm {L}}\chi _{\rm {L}}=0$ и поэтому это

$0=\left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)\left(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}}\right)$

или эквивалентно

$0=(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}){\begin{pmatrix}\chi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}$

Это работает, потому что ${\mathsf {C}}(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}})=-(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}})$ и это сводится к уравнению Дирака для

$\psi _{{\rm {R}},{\text{Weyl}}}^{(-)}=\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}\chi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}$

В заключение и еще раз отметим, что уравнение Майораны имеет вид

$0=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi =i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi _{c}$

Оно имеет четыре неэквивалентных линейно независимых решения: $\psi _{\rm {L,R}}^{(\pm )}.$ Из них только два также являются решениями уравнения Дирака: а именно $\psi _{\rm {L}}^{(+)}$ и $\psi _{\rm {R}}^{(-)}~.$

Решения

Собственные состояния спина

Одной из удобных отправных точек для написания решений является работа в системе покоя спиноров. Запись квантового гамильтониана с обычным соглашением о знаках $H=i\partial _{t}$ приводит к уравнению Майораны, принимающему вид

$i\partial _{t}\psi =-i{\vec {\alpha }}\cdot \nabla \psi +m\beta \psi _{c}$

В киральном базисе (Вейля) это имеет место

$\gamma ^{0}=\beta ={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}},\quad {\vec {\alpha }}={\begin{pmatrix}{\vec {\sigma }}&0\\0&-{\vec {\sigma }}\end{pmatrix}}$

с ${\vec {\sigma }}$ вектор Паули . Соглашение о знаках здесь соответствует статье «Гамма-матрицы» . Подстановка собственного состояния сопряжения положительного заряда $\psi _{\text{Weyl}}^{(+)}$ приведенное выше, получаем уравнение для двухкомпонентного спинора

$i\partial _{t}\psi _{\rm {L}}=-i{\vec {\sigma }}\cdot \nabla \psi _{\rm {L}}+m(i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})$

и аналогично

$i\partial _{t}(i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})=+i{\vec {\sigma }}\cdot \nabla (i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})+m\psi _{\rm {L}}$

На самом деле эти два уравнения представляют собой одно и то же уравнение, в чем можно убедиться, заметив, что $\sigma _{2}$ дает комплексно-сопряженное число матриц Паули:

$\sigma _{2}\left({\vec {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\sigma _{2}=-{\vec {k}}\cdot {\vec {\sigma }}^{*}.$

Плоские волновые решения могут быть разработаны для энергии-импульса $\left(k_{0},{\vec {k}}\right)$ и их легче всего выразить в системе покоя. Решение для раскручивающейся опорной рамы

$\psi _{\rm {L}}^{(u)}={\begin{pmatrix}e^{-imt}\\e^{imt}\end{pmatrix}}$

в то время как решение со спином вниз

$\psi _{\rm {L}}^{(d)}={\begin{pmatrix}e^{imt}\\-e^{-imt}\end{pmatrix}}$

То, что они правильно интерпретируются, можно увидеть, повторно выразив их в базисе Дирака как спиноры Дирака . В этом случае они принимают вид

$\psi _{\text{Dirac}}^{(u)}={\begin{bmatrix}e^{-imt}\\0\\0\\-e^{imt}\end{bmatrix}}$

и

$\psi _{\text{Dirac}}^{(d)}={\begin{bmatrix}0\\e^{-imt}\\-e^{imt}\\0\end{bmatrix}}$

Это спиноры системы покоя. Их можно рассматривать как линейную комбинацию решений уравнения Дирака как с положительной, так и с отрицательной энергией. Это единственные два решения; уравнение Майораны имеет только два линейно независимых решения, в отличие от уравнения Дирака, у которого их четыре. Удвоение степеней свободы уравнения Дирака можно приписать спинорам Дирака, несущим заряд.

Собственные состояния импульса

В системе общего импульса майорановский спинор можно записать как

Электрический заряд

Внешний вид обоих ${\textstyle \psi }$ и ${\textstyle \psi _{c}}$ в уравнении Майораны означает, что поле ${\textstyle \psi }$ невозможно соединить с заряженным электромагнитным полем, не нарушив сохранения заряда , поскольку частицы имеют заряд, противоположный заряду своих античастиц. Чтобы удовлетворить это ограничение, ${\textstyle \psi }$ следует считать электрически нейтральным. Это можно сформулировать более подробно.

Уравнение Дирака можно записать в чисто вещественном виде, если гамма-матрицы взять в майорановском представлении. Тогда уравнение Дирака можно записать как

$\left(-i{\frac {\partial }{\partial t}}-i{\hat {\alpha }}\cdot \nabla +\beta m\right)\psi =0$

с ${\hat {\alpha }}$ будучи чисто действительными симметричными матрицами, и $\beta$ будучи чисто мнимой кососимметричной. В этом случае можно найти чисто вещественные решения уравнения; это майорановские спиноры. Под действием преобразований Лоренца они преобразуются под действием (чисто вещественной) спиновой группы $\operatorname {Spin} (1,3).$ Это контрастирует со спинорами Дирака , которые ковариантны только под действием комплексифицированной спиновой группы. $\operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(1,3).$ Интерпретация состоит в том, что комплексированная спиновая группа кодирует электромагнитный потенциал, а реальная спиновая группа - нет.

Это можно сформулировать и по-другому: уравнение Дирака и спиноры Дирака содержат достаточное количество калибровочной свободы для естественного кодирования электромагнитных взаимодействий. В этом можно убедиться, заметив, что электромагнитный потенциал можно очень просто добавить к уравнению Дирака, не требуя каких-либо дополнительных модификаций или расширений ни к уравнению, ни к спинору. Местоположение этой дополнительной степени свободы определяется оператором зарядового сопряжения и наложением ограничения Майораны. ${\textstyle \psi =\psi _{c}}$ удаляет эту дополнительную степень свободы. После удаления не может быть никакой связи с электромагнитным потенциалом, следовательно, майорановский спинор обязательно электрически нейтрален. Электромагнитную связь можно получить только путем добавления комплексного фазового коэффициента и связывания этого фазового коэффициента с электромагнитным потенциалом.

Вышеизложенное можно еще более уточнить, изучив ситуацию в $(p,q)$ пространственные размеры. В этом случае комплексифицированная спиновая группа $\operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)$ имеет двойное покрытие $\operatorname {SO} (p,q)\times S^{1}$ с $S^{1}\cong U(1)$ круг. Подразумевается, что $\operatorname {SO} (p,q)$ кодирует обобщенные преобразования Лоренца (конечно), а круг можно отождествить с $\mathrm {U} (1)$ действие калибровочной группы на электрические заряды. То есть действие калибровочной группы комплексифицированной спиновой группы на спиноре Дирака можно разделить на чисто вещественную лоренцеву часть и электромагнитную часть. Это можно далее уточнить на неплоских (неплоских по Минковскому) спиновых многообразиях . В этом случае действует оператор Дирака на спинорное расслоение . Разложенный на отдельные члены, он включает обычную ковариантную производную $d+A.$ $A$ Можно видеть, что поле возникает непосредственно из-за кривизны комплексифицированной части спинового расслоения, поскольку калибровочные преобразования связаны с комплексифицированной частью, а не с действительно-спинорной частью. что $A$ поле соответствует электромагнитному потенциалу, можно увидеть, заметив, что (например) квадрат оператора Дирака равен лапласиану плюс скалярная кривизна $R$ (основного многообразия, на котором находится спинорное поле) плюс напряженность (электромагнитного) поля $F=dA.$ В случае Майораны имеются только преобразования Лоренца, действующие на спинор Майорана; комплексификация не играет никакой роли. Подробное рассмотрение этих тем можно найти в Jost. в то время как $(p,q)=(1,3)$ Случай изложен в деле Бликера. К сожалению, ни в одном из текстов майорановский спинор в прямой форме не сформулирован явно.

Кванты поля

Кванты уравнения Майораны допускают существование двух классов частиц: нейтральной частицы и ее нейтральной античастицы . Часто применяемое дополнительное условие ${\textstyle \Psi =\Psi _{c}}$ соответствует майорановскому спинору.

Майорановская частица

Основная статья: Майорановская частица

Частицы, соответствующие спинорам Майораны, известны как частицы Майораны из-за вышеуказанного ограничения самосопряжения. Все фермионы, включенные в Стандартную модель, были исключены как майорановские фермионы (поскольку они имеют ненулевой электрический заряд и не могут быть античастицами сами по себе), за исключением нейтрино ( которое нейтрально).

Теоретически нейтрино является возможным исключением из этой закономерности. Если это так, безнейтринный двойной бета-распад , а также ряд распадов мезонов, нарушающих лептонное число , и заряженных лептонов возможен . В настоящее время проводится ряд экспериментов, проверяющих, является ли нейтрино майорановской частицей.

Дополнительное чтение

• « Наследие Майораны в современной физике », Электронный журнал теоретической физики (EJTP), том 3, выпуск 10 (апрель 2006 г.) . Специальный выпуск, посвященный столетнему юбилею Этторе Майораны (1906-1938?) . ISSN 1729-5254
• Франк Вильчек, (2009) « Майорана возвращается », Nature Physics Vol. 5 страниц 614–618.