Симплектическое векторное пространство

В математике симплектическое векторное пространство — это векторное пространство. $V$ над полем $F$ (например, действительные числа $\mathbb {R}$ ), снабженный симплектической билинейной формой .

Симплектическая билинейная форма — это отображение $\omega :V\times V\to F$ то есть

Билинейный: Линейный по каждому аргументу в отдельности;
Чередование: $\omega (v,v)=0$ держится для всех $v\in V$ ; и
Невырожденный: $\omega (v,u)=0$ для всех $v\in V$ подразумевает, что $u=0$ .

Если базовое поле имеет характеристику, отличную от 2, чередование эквивалентно кососимметрии . Если характеристика равна 2, кососимметрия подразумевается, но не подразумевает чередование. В этом случае каждая симплектическая форма является симметричной формой , но не наоборот.

Работаем на постоянной основе , $\omega$ может быть представлено матрицей . Приведенные выше условия эквивалентны тому, что эта матрица является кососимметричной , неособой и полой (все диагональные элементы равны нулю). Это не следует путать с симплектической матрицей , которая представляет собой симплектическое преобразование пространства. Если $V$ конечномерна поскольку , то ее размерность обязательно должна быть четной, каждая кососимметричная полая матрица нечетного размера имеет нулевой определитель . Обратите внимание, что условие пустотности матрицы не является лишним, если характеристика поля равна 2. Симплектическая форма ведет себя совершенно иначе, чем симметричная форма, например скалярное произведение в евклидовых векторных пространствах.

Стандартное симплектическое пространство

Стандартное симплектическое пространство $\mathbb {R} ^{2n}$ с симплектической формой заданной неособой , кососимметричной матрицей . Обычно $\omega$ выбирается в качестве блочной матрицы

\omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}

где I _n — n × n единичная матрица размера . С точки зрения базисных векторов ( x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _n ) :

{\begin{aligned}\omega (x_{i},y_{j})=-\omega (y_{j},x_{i})&=\delta _{ij},\\\omega (x_{i},x_{j})=\omega (y_{i},y_{j})&=0.\end{aligned}}

Модифицированная версия процесса Грама – Шмидта показывает, что любое конечномерное симплектическое векторное пространство имеет такой базис, что $\omega$ принимает эту форму, часто называемую базисом Дарбу или симплектическим базисом .

Эскиз процесса:

Начните с произвольной основы $v_{1},...,v_{n}$ и представим двойственный каждому базисному вектору двойственный базис: $\omega (v_{i},\cdot )=\sum _{j}\omega (v_{i},v_{j})v_{j}^{*}$ . Это дает нам $n\times n$ матрица с записями $\omega (v_{i},v_{j})$ . Найдите его нулевое пространство. Теперь для любого $(\lambda _{1},...,\lambda _{n})$ в нулевом пространстве мы имеем $\sum _{i}\omega (v_{i},\cdot )=0$ , поэтому нулевое пространство дает нам вырожденное подпространство $V_{0}$ .

Теперь произвольно выберите дополнительный $W$ такой, что $V=V_{0}\oplus W$ , и пусть $w_{1},...,w_{m}$ быть основой $W$ . С $\omega (w_{1},\cdot )\neq 0$ , и $\omega (w_{1},w_{1})=0$ , ВЛОГ $\omega (w_{1},w_{2})\neq 0$ . Теперь масштабируем $w_{2}$ так что $\omega (w_{1},w_{2})=1$ . Затем определите $w'=w-\omega (w,w_{2})w_{1}+\omega (w,w_{1})w_{2}$ для каждого из $w=w_{3},w_{4},...,w_{m}$ . Итерировать.

Обратите внимание, что этот метод применим для симплектического векторного пространства над любым полем, а не только над полем действительных чисел.

Случай реального или комплексного поля:

Когда пространство находится над полем действительных чисел, мы можем модифицировать модифицированный процесс Грама-Шмидта следующим образом: Начнем так же. Позволять $w_{1},...,w_{m}$ быть ортонормированным базисом (относительно обычного скалярного произведения на $\mathbb {R} ^{n}$ ) из $W$ . С $\omega (w_{1},\cdot )\neq 0$ , и $\omega (w_{1},w_{1})=0$ , ВЛОГ $\omega (w_{1},w_{2})\neq 0$ . Теперь умножьте $w_{2}$ по знаку, так что $\omega (w_{1},w_{2})\geq 0$ . Затем определите $w'=w-\omega (w,w_{2})w_{1}+\omega (w,w_{1})w_{2}$ для каждого из $w=w_{3},w_{4},...,w_{m}$ , затем масштабируйте каждый $w'$ так что у него норма один. Итерировать.

Аналогично для поля комплексных чисел мы можем выбрать унитарный базис. Это доказывает спектральную теорию антисимметричных матриц .

Лагранжева форма

Есть еще один способ интерпретировать эту стандартную симплектическую форму. Поскольку модельное пространство R ^{2 н} использованное выше имеет большую каноническую структуру, которая может легко привести к неправильной интерпретации, вместо этого мы будем использовать «анонимные» векторные пространства. Пусть V — вещественное векторное пространство размерности n и V ^∗ его двойственное пространство . Теперь рассмотрим прямую сумму W = V ⊕ V ^∗ из этих помещений оборудованы следующей формы:

\omega (x\oplus \eta ,y\oplus \xi )=\xi (x)-\eta (y).

Теперь выберите любой базис ( v ₁ , ..., v _n ) V . и рассмотрим его двойственный базис

\left(v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\right).

Мы можем интерпретировать базисные векторы как лежащие в W, если напишем x _i = ( v _i , 0) и y _i = (0, v _i^∗) . Взятые вместе, они образуют полную основу W ,

(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}).

Можно показать, что определенная здесь форма ω имеет те же свойства, что и в начале этого раздела. С другой стороны, каждая симплектическая структура изоморфна одному из видов V ⊕ V ^∗. Подпространство V неединственно, и выбор подпространства V называется поляризацией . Подпространства, дающие такой изоморфизм, называются лагранжевыми подпространствами или просто лагранжианами .

Явно, учитывая лагранжево подпространство , как определено ниже , тогда выбор базиса ( x ₁ , ..., x _n ) определяет двойственный базис для дополнения по формуле ω ( x _i , y _j ) = δ _ij .

Аналогия со сложными структурами

Подобно тому, как каждая симплектическая структура изоморфна одному из видов V ⊕ V ^∗, каждая комплексная структура в векторном пространстве изоморфна одной из форм V ⊕ V . С помощью этих структур касательное расслоение n -многообразия, рассматриваемое -многообразия, рассматриваемое как 2 n -многообразие, имеет почти комплексную структуру , а кокасательное расслоение n как 2 n -многообразие, имеет симплектическую структуру. : Т _* ( Т ^∗M ) _{п знак} равно Т _п ( M ) ⊕ ( Т _п ( M )) ^∗.

Комплексным аналогом лагранжевого подпространства является вещественное подпространство , подпространство, комплексификация которого представляет собой все пространство: W = V ⊕ J V . Как видно из стандартной симплектической формы, приведенной выше, каждая симплектическая форма на R ^{2 н} изоморфна мнимой части стандартного комплексного (эрмитова) скалярного произведения на C ^н (при условии, что первый аргумент является антилинейным).

Форма объёма

Пусть ω — знакопеременная билинейная форма в n -мерном вещественном векторном пространстве V , ω ∈ Λ ²( В ) . Тогда ω невырождена тогда и только тогда, когда n четно и ω ^{н /2} = ω ∧ ... ∧ ω — форма объёма . Форма объема в n -мерном векторном пространстве V является ненулевой кратной n -форме e ₁^∗ ∧ ... ∧ е _н^∗ где e ₁ , e ₂ , ..., en _— базис V .

Для стандартного базиса, определенного в предыдущем разделе, мы имеем

\omega ^{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}x_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge x_{n}^{*}\wedge y_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge y_{n}^{*}.

Переупорядочивая, можно написать

\omega ^{n}=x_{1}^{*}\wedge y_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge x_{n}^{*}\wedge y_{n}^{*}.

Авторы по-разному определяют ω ^н или (-1) ^{н /2}ой ^н как стандартная форма тома . Случайный фактор n ! также может появиться в зависимости от того, содержит ли определение знакопеременного произведения коэффициент n ! или нет. Форма объема определяет ориентацию в симплектическом векторном пространстве ( V , ω ) .

Симплектическая карта

Предположим, что ( V , ω ) и ( W , ρ ) — симплектические векторные пространства. Тогда линейное отображение f : V → W называется симплектическим отображением , если обратный образ сохраняет симплектическую форму, т.е. f ^∗ρ = ω , где форма образа определяется формулой ( f ^∗ρ )( ты , v ) знак равно ρ ( ж ( ты ), ж ( v )) . Симплектические карты сохраняют объем и ориентацию.

Симплектическая группа

Если V = W симплектическое отображение называется линейным симплектическим преобразованием V. , то В частности, в этом случае ω ( f ( u ), f ( v )) = ω ( u , v ) , и поэтому линейное преобразование f сохраняет симплектическую форму. Множество всех симплектических преобразований образует группу и, в частности, группу Ли , называемую симплектической группой и обозначаемую Sp( V ) или иногда Sp( V , ω ) . В матричной форме симплектические преобразования задаются симплектическими матрицами .

Подпространства

Пусть W — подпространство V . линейное Определим симплектическое дополнение к W как подпространство

W^{\perp }=\{v\in V\mid \omega (v,w)=0{\mbox{ for all }}w\in W\}.

Симплектическое дополнение удовлетворяет:

{\begin{aligned}\left(W^{\perp }\right)^{\perp }&=W\\\dim W+\dim W^{\perp }&=\dim V.\end{aligned}}

Однако в отличие от дополнений ортогональных W ^⊥ ∩ W не обязательно должно быть равно 0. Мы различаем четыре случая:

W симплектичен , если W ^⊥ ∩ W = {0 }. Это верно тогда и только тогда, когда ограничивается до невырожденной формы на W. ω Симплектическое подпространство ограниченной формы само по себе является симплектическим векторным пространством.
W изотропна , если W ⊆ W ^⊥. Это верно тогда и только тогда, когда ω ограничивается до 0 на W . Любое одномерное подпространство изотропно.
W коизотропна , если W ^⊥ ⊆ В. W коизотропна тогда и только тогда, когда ω опускается до невырожденной формы на фактор-пространстве W / W ^⊥. Эквивалентно, W коизотропна тогда и только тогда, когда W ^⊥ является изотропным. Любое подпространство коразмерности -один коизотропно.
W лагранжево , если W = W ^⊥. Подпространство лагранжево тогда и только тогда, когда оно одновременно изотропно и коизотропно. В конечномерном векторном пространстве лагранжево подпространство является изотропным, размерность которого вдвое меньше V . Любое изотропное подпространство можно расширить до лагранжева.

Обращаясь к каноническому векторному пространству R ^{2 н} выше,

подпространство, натянутое на { x ₁ , y ₁ }, является симплектическим
подпространство, натянутое на { x ₁ , x ₂ }, изотропно
подпространство, натянутое на { x ₁ , x ₂ , ..., x _n , y ₁ }, является коизотропным
подпространство, натянутое на { x ₁ , x ₂ , ..., x _n }, является лагранжовым.

Группа Гейзенберга

Группу Гейзенберга можно определить для любого симплектического векторного пространства, и это типичный способ возникновения групп Гейзенберга .

Векторное пространство можно рассматривать как коммутативную группу Ли (при добавлении) или, что то же самое, как коммутативную алгебру Ли , то есть с тривиальной скобкой Ли. Группа Гейзенберга является центральным расширением такой коммутативной группы/алгебры Ли: симплектическая форма определяет коммутацию, аналогично каноническим коммутационным соотношениям (CCR), а базис Дарбу соответствует каноническим координатам – в физических терминах – операторам импульса и позиционные операторы .

Действительно, по теореме Стоуна-фон Неймана каждое представление, удовлетворяющее CCR (каждое представление группы Гейзенберга), имеет эту форму или, точнее, унитарно сопряжено со стандартным.

Далее, групповая алгебра (двойственного к) векторного пространства — это симметрическая алгебра , а групповая алгебра группы Гейзенберга (двойственного) — это алгебра Вейля : можно думать о центральном расширении как о соответствующем квантованию или деформации. .

Формально симметрическая алгебра векторного пространства V над полем F является групповой алгеброй двойственного Sym( V ) := F [ V ^∗] , а алгебра Вейля — это групповая алгебра (двойственной) группы Гейзенберга W ( V ) = F [ H ( V ^∗)] . Поскольку переход к групповым алгебрам является контравариантным функтором , центральное отображение расширения H ( V ) → V становится включением Sym( V ) → W ( V ) .

См. также

Симплектическое многообразие — гладкое многообразие с плавно меняющейся замкнутой симплектической формой на каждом касательном пространстве .
Maslov index
Симплектическое представление — это групповое представление , в котором каждый элемент группы действует как симплектическое преобразование.

Ссылки

Клод Годбийон (1969) «Дифференциальная геометрия и аналитическая механика», Герман
Авраам, Ральф ; Марсден, Джеррольд Э. (1978). «Гамильтонова и лагранжева системы». Основы механики (2-е изд.). Лондон: Бенджамин-Каммингс. стр. 161–252. ISBN 0-8053-0102-Х . PDF
Полетт Либерманн и Шарль-Мишель Марль (1987) «Симплектическая геометрия и аналитическая механика», Д. Рейдель
Жан-Мари Сурио (1997) «Структура динамических систем, симплектический взгляд на физику», Springer