Каноническое коммутационное соотношение

В квантовой механике каноническое коммутационное соотношение является фундаментальным соотношением между каноническими сопряженными величинами (количествами, которые связаны по определению так, что одно является преобразованием Фурье другого). Например,

$$[{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar \mathbb {I}$$

оператором положения x и оператором импульса p _x в направлении x точечной частицы в одном измерении, где [ x , p _x ] = x p _x − p _x x — коммутатор x и p x _между   , i — мнимый единица измерения, ℏ — приведенная постоянная Планка h /2π , а $\mathbb {I}$ является оператором агрегата. В общем, положение и импульс являются векторами операторов, и их коммутационная связь между различными компонентами положения и импульса может быть выражена как

$$[{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij},$$

где $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера .

Это отношение приписывается Вернеру Гейзенбергу , Максу Борну и Паскуалю Йордану (1925), который назвал это «квантовым состоянием», служащим постулатом теории; это отметил Э. Кеннард (1927). подразумевать Гейзенберга принцип неопределенности . Теорема Стоуна-фон Неймана дает результат о единственности операторов, удовлетворяющих (в экспоненциальной форме) каноническому коммутационному соотношению.

Связь с классической механикой

Напротив, в классической физике все наблюдаемые коммутируют, и коммутатор будет равен нулю. Однако существует аналогичное соотношение, которое получается заменой коммутатора на скобку Пуассона, умноженную на i ℏ ,

$$\{x,p\}=1\,.$$

Это наблюдение побудило Дирака предположить, что квантовые аналоги ${\hat {f}}$, ĝ классических наблюдаемых f , g удовлетворяют

$$[{\hat {f}},{\hat {g}}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,.$$

В 1946 году Хип Гроневолд продемонстрировал, что общее систематическое соответствие между квантовыми коммутаторами и скобками Пуассона не может быть устойчивым.

Однако он также понял, что такое систематическое соответствие действительно существует между квантовым коммутатором и деформацией скобки Пуассона, сегодня называемой скобкой Мойала , и, в целом, квантовыми операторами, классическими наблюдаемыми и распределениями в фазовом пространстве . Таким образом, он наконец объяснил последовательный механизм соответствия, преобразование Вигнера-Вейля , которое лежит в основе альтернативного эквивалентного математического представления квантовой механики, известного как деформационное квантование .

из

Согласно принципу соответствия , в определенных пределах квантовые уравнения состояния должны приближаться к уравнениям движения Гамильтона . Последние устанавливают следующую связь между обобщенной координатой q (например, положением) и обобщенным импульсом p :

$${\begin{cases}{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=\{q,H\};\\{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{p,H\}.\end{cases}}$$

В квантовой механике гамильтониан ${\hat {H}}$, (обобщенная) координата ${\hat {Q}}$ и (обобщенный) импульс ${\hat {P}}$ все линейные операторы.

Производная по времени квантового состояния равна - $i{\hat {H}}/\hbar$ (по уравнению Шрёдингера ). Эквивалентно, поскольку операторы явно не зависят от времени, можно видеть, что они развиваются во времени (см. рисунок Гейзенберга ) в соответствии с их коммутационным соотношением с гамильтонианом:

$${\frac {d{\hat {Q}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {Q}}]$$

$${\frac {d{\hat {P}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {P}}]\,\,.$$

Чтобы это согласовалось в классическом пределе с уравнениями движения Гамильтона, $[{\hat {H}},{\hat {Q}}]$ должно полностью зависеть от внешнего вида ${\hat {P}}$ в гамильтониане и $[{\hat {H}},{\hat {P}}]$ должно полностью зависеть от внешнего вида ${\hat {Q}}$ в гамильтониане. Далее, поскольку оператор Гамильтона зависит от (обобщенных) операторов координаты и импульса, его можно рассматривать как функционал, и мы можем написать (используя функциональные производные ):

$$[{\hat {H}},{\hat {Q}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {P}}}}\cdot [{\hat {P}},{\hat {Q}}]$$

$$[{\hat {H}},{\hat {P}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {Q}}}}\cdot [{\hat {Q}},{\hat {P}}]\,.$$

Тогда для того, чтобы получить классический предел, мы должны иметь

$$[{\hat {Q}},{\hat {P}}]=i\hbar ~\mathbb {I} .$$

Отношения Вейля

Группа ​ $H_{3}(\mathbb {R} )$ порожденный возведением в степень трехмерной алгебры Ли, определяемой коммутационным соотношением $[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar$ называется группой Гейзенберга . Эту группу можно реализовать как группу $3\times 3$ верхние треугольные матрицы с матрицами, расположенными по диагонали.

Согласно стандартной математической формулировке квантовой механики , квантовые наблюдаемые, такие как ${\hat {x}}$ и ${\hat {p}}$ должны быть представлены как самосопряженные операторы в некотором гильбертовом пространстве . Сравнительно легко увидеть, что два оператора, удовлетворяющие приведенным выше каноническим коммутационным соотношениям, не могут быть оба ограниченными . Конечно, если ${\hat {x}}$ и ${\hat {p}}$ были операторами трассового класса , отношение $\operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA)$ дает ненулевое число справа и ноль слева.

Альтернативно, если ${\hat {x}}$ и ${\hat {p}}$ были ограниченными операторами, заметим, что $[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}]=i\hbar n{\hat {x}}^{n-1}$, следовательно, операторные нормы будут удовлетворять

$$2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar \left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|,$$

что для любого n так

$$2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar$$

Однако n может быть сколь угодно большим, поэтому по крайней мере один оператор не может быть ограничен, а размерность основного гильбертова пространства не может быть конечной. Если операторы удовлетворяют соотношениям Вейля (возведенная в степень версия канонических коммутационных соотношений, описанная ниже), то, как следствие теоремы Стоуна – фон Неймана , оба оператора должны быть неограниченными.

Тем не менее, эти канонические коммутационные соотношения можно сделать несколько «упрощенными», записав их в терминах (ограниченных) унитарных операторов. $\exp(it{\hat {x}})$ и $\exp(is{\hat {p}})$. Результирующими соотношениями сплетения для этих операторов являются так называемые соотношения Вейля.

$$\exp(it{\hat {x}})\exp(is{\hat {p}})=\exp(-ist/\hbar )\exp(is{\hat {p}})\exp(it{\hat {x}}).$$

Эти отношения можно рассматривать как возведенную в степень версию канонических коммутационных соотношений; они отражают то, что сдвиги в положении и сдвиги в импульсе не коммутируют. Соотношения Вейля легко переформулировать в терминах представлений группы Гейзенберга .

Единственность канонических коммутационных соотношений - в форме соотношений Вейля - тогда гарантируется теоремой Стоуна-фон Неймана .

Важно отметить, что по техническим причинам соотношения Вейля не являются строго эквивалентными каноническому соотношению коммутации. $[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar$. Если ${\hat {x}}$ и ${\hat {p}}$ были ограниченными операторами, то специальный случай формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа позволил бы «возвести в степень» канонические коммутационные отношения до соотношений Вейля. Поскольку, как мы уже отмечали, любые операторы, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям, должны быть неограниченными, формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа неприменима без дополнительных предположений о предметной области. Действительно, существуют контрпримеры, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям, но не соотношениям Вейля. (Эти же операторы дают контрпример наивной форме принципа неопределенности.) Эти технические проблемы являются причиной того, что теорема Стоуна – фон Неймана формулируется в терминах соотношений Вейля.

Дискретная версия соотношений Вейля, в которой параметры s и t варьируются в пределах $\mathbb {Z} /n$, может быть реализовано в конечномерном гильбертовом пространстве с помощью матриц часов и сдвига .

Обобщения

Простая формула

$$[x,p]=i\hbar \,\mathbb {I} ~,$$

справедливый для квантования простейшей классической системы, может быть обобщен на случай произвольного лагранжиана ${\mathcal {L}}$. Мы идентифицируем канонические координаты (такие как x в приведенном выше примере или поле Φ( x ) в случае квантовой теории поля ) и канонические импульсы π _x (в приведенном выше примере это p или, в более общем смысле, некоторые функции, включающие производные канонических координат по времени):

$$\pi _{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial x_{i}/\partial t)}}.$$

Такое определение канонического импульса гарантирует, что одно из уравнений Эйлера – Лагранжа имеет вид

$${\frac {\partial }{\partial t}}\pi _{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}.$$

Тогда канонические коммутационные соотношения сводятся к виду

$$[x_{i},\pi _{j}]=i\hbar \delta _{ij}\,$$

где δij _{Кронекера} — дельта .

Далее, можно показать, что

$$[F({\vec {x}}),p_{i}]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {x}})}{\partial x_{i}}};\qquad [x_{i},F({\vec {p}})]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {p}})}{\partial p_{i}}}.$$

С использованием $C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}$, можно показать, что методом математической индукции

$$\left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}^{m}\right]=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {-\left(-i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(n-k\right)!\left(m-k\right)!}}{\hat {x}}^{n-k}{\hat {p}}^{m-k}}=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {\left(i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(n-k\right)!\left(m-k\right)!}}{\hat {p}}^{m-k}{\hat {x}}^{n-k}},$$

широко известная как формула Маккоя.

инвариантность

Каноническое квантование применяется по определению к каноническим координатам . Однако в присутствии электромагнитного поля канонический импульс p не является калибровочно-инвариантным . Правильный калибровочно-инвариантный импульс (или «кинетический импульс») равен

$p_{\text{kin}}=p-qA\,\!$ ( единицы СИ )      $p_{\text{kin}}=p-{\frac {qA}{c}}\,\!$ ( единицы СГС ),

где q частицы — электрический заряд , A — векторный потенциал , а c — скорость света . Хотя величина p _kin является «физическим импульсом», поскольку ее следует отождествлять с импульсом в лабораторных экспериментах, она не удовлетворяет каноническим коммутационным соотношениям; только канонический импульс делает это. Это можно увидеть следующим образом.

Нерелятивистский гамильтониан для квантованной заряженной частицы массы m в классическом электромагнитном поле равен (в единицах СГС)

$$H={\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {qA}{c}}\right)^{2}+q\phi$$

где A — трехвекторный потенциал, а φ — скалярный потенциал . Эта форма гамильтониана, а также уравнение Шредингера Hψ = iħ∂ψ/∂t , уравнения Максвелла и силовой закон Лоренца инвариантны относительно калибровочного преобразования

$$A\to A'=A+\nabla \Lambda$$

$$\phi \to \phi '=\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}$$

$$\psi \to \psi '=U\psi$$

$$H\to H'=UHU^{\dagger },$$

где

$$U=\exp \left({\frac {iq\Lambda }{\hbar c}}\right)$$

и Λ = Λ( x , t ) — калибровочная функция.

Оператор момента углового

$$L=r\times p\,\!$$

и подчиняется каноническим соотношениям квантования

$$[L_{i},L_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ijk}}L_{k}$$

определяя алгебру Ли для so(3) , где $\epsilon _{ijk}$ является символом Леви-Чивита . При калибровочных преобразованиях угловой момент преобразуется как

$$\langle \psi \vert L\vert \psi \rangle \to \langle \psi ^{\prime }\vert L^{\prime }\vert \psi ^{\prime }\rangle =\langle \psi \vert L\vert \psi \rangle +{\frac {q}{\hbar c}}\langle \psi \vert r\times \nabla \Lambda \vert \psi \rangle \,.$$

Калибровочно-инвариантный угловой момент (или «кинетический угловой момент») определяется выражением

$$K=r\times \left(p-{\frac {qA}{c}}\right),$$

который имеет коммутационные соотношения

$$[K_{i},K_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ij}}^{\,k}\left(K_{k}+{\frac {q\hbar }{c}}x_{k}\left(x\cdot B\right)\right)$$

где

$$B=\nabla \times A$$

это магнитное поле . Неэквивалентность этих двух формулировок проявляется в эффекте Зеемана и эффекте Ааронова-Бома .

и

Все подобные нетривиальные коммутационные соотношения для пар операторов приводят к соответствующим соотношениям неопределенности с участием положительных полуопределенных математических ожиданий от соответствующих коммутаторов и антикоммутаторов. В общем, для двух эрмитовых операторов A и B рассмотрим значения ожидания в системе в состоянии ψ , причем отклонения вокруг соответствующих значений ожидания равны (Δ A ) ² ≡ ⟨( А - ⟨ А ⟩) ² ⟩ , и т. д.

Затем

$$\Delta A\,\Delta B\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left|\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle \right|^{2}+\left|\left\langle \left\{A-\langle A\rangle ,B-\langle B\rangle \right\}\right\rangle \right|^{2}}},$$

где [ A , B ] ≡ A B − B A — коммутатор A , и B , а { A B B } ≡ A B + A — антикоммутатор .

Это следует из неравенства Коши–Шварца , поскольку |⟨ А ² ⟩| |⟨ Б ² ⟩| ≥ |⟨ А Б ⟩| ² , и A B = ([ A , B ] + { A , B })/2 ; и аналогично для сдвинутых операторов A − ⟨ A ⟩ и B − ⟨ B ⟩ . (См. выводы принципа неопределенности .)

Подставив A и B (и внимательно проведя анализ), вы, как обычно, получите знакомое соотношение неопределенности Гейзенберга для x и p .

для операторов углового

Для операторов углового момента L _x = y p _z − z p _y и т. д. имеем, что

$$[{L_{x}},{L_{y}}]=i\hbar \epsilon _{xyz}{L_{z}},$$

где $\epsilon _{xyz}$ является символом Леви-Чивита и просто меняет знак ответа при попарной замене индексов. Аналогичное соотношение справедливо и для операторов спина .

Здесь Lx _​ и Ly _​   для в мультиплетах углового момента ψ = | ℓ , m ⟩ , для поперечных компонент инварианта Казимира L _x ² + Л _й ² + Л _з ² , z -симметричные отношения

⟨ Д _х ² ⟩ = ⟨ Л _y ² ⟩ знак равно ( ℓ ( ℓ + 1) - м ² ) ℏ ² /2  ,

а также ⟨ L _Икс ⟩ знак равно ⟨ L _y ⟩ знак равно 0 .

Следовательно, приведенное выше неравенство, примененное к этому коммутационному соотношению, определяет

$$\Delta L_{x}\Delta L_{y}\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\hbar ^{2}|\langle L_{z}\rangle |^{2}}}~,$$

следовательно

$${\sqrt {|\langle L_{x}^{2}\rangle \langle L_{y}^{2}\rangle |}}\geq {\frac {\hbar ^{2}}{2}}\vert m\vert$$

и поэтому

$$\ell (\ell +1)-m^{2}\geq |m|~,$$

итак, тогда он дает полезные ограничения, такие как нижняя граница инварианта Казимира : ℓ ( ℓ + 1) ≥ | м | (| m | + 1) и, следовательно, ℓ ≥ | м | , среди других.

См. также

• Каноническое квантование
• Алгебры CCR и CAR
• Конформастатическое пространство-время
• Производная лжи
• Кронштейн Мойал
• Теорема Стоуна – фон Неймана

Ссылки

• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Спрингер .
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления, Элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, том. 222 (2-е изд.), Springer .