Каноническое коммутационное соотношение

В квантовой механике каноническое коммутационное соотношение является фундаментальным соотношением между каноническими сопряженными величинами (количествами, которые связаны по определению так, что одно является преобразованием Фурье другого). Например,

[{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar \mathbb {I}

между оператором положения $x$ и оператором импульса $p x$ в $направлении x$ точечной частицы в одном измерении, где $[x, p x = x p x - p x x$ — коммутатор x $,$ и $p x$ ] $i$ — мнимый единица измерения , $ℏ$ — приведенная постоянная Планка $h /2π$ , а $\mathbb {I}$ является оператором агрегата. В общем, положение и импульс являются векторами операторов, и их коммутационная связь между различными компонентами положения и импульса может быть выражена как

[{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij},

где

\delta _{ij}

это дельта Кронекера .

Это отношение приписывается Вернеру Гейзенбергу , Максу Борну и Паскуалю Йордану (1925), ^[1]^[2]который назвал это «квантовым состоянием», служащим постулатом теории; это отметил Э. Кеннард (1927). ^[3]подразумевать Гейзенберга принцип неопределенности . Теорема Стоуна -фон Неймана дает результат о единственности операторов, удовлетворяющих (в экспоненциальной форме) каноническому коммутационному соотношению.

Связь с классической механикой [ править ]

Напротив, в классической физике все наблюдаемые коммутируют, и коммутатор будет равен нулю. Однако существует аналогичное соотношение, которое получается заменой коммутатора на скобку Пуассона, умноженную на $i ℏ$ ,

\{x,p\}=1\,.

Это наблюдение побудило Дирака предположить, что квантовые аналоги ${\hat {f}}$ , $ĝ$ классических наблюдаемых $f$ , $g$ удовлетворяют

[{\hat {f}},{\hat {g}}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,.

В 1946 году Хип Гроневолд продемонстрировал, что общее систематическое соответствие между квантовыми коммутаторами и скобками Пуассона не может быть устойчивым. ^[4]^[5]

Однако он также понял, что такое систематическое соответствие действительно существует между квантовым коммутатором и деформацией скобки Пуассона, сегодня называемой скобкой Мойала , и, в целом, квантовыми операторами, классическими наблюдаемыми и распределениями в фазовом пространстве . Таким образом, он наконец объяснил последовательный механизм соответствия, преобразование Вигнера-Вейля , которое лежит в основе альтернативного эквивалентного математического представления квантовой механики, известного как деформационное квантование . ^[4]^[6]

из механики Вывод гамильтоновой

Согласно принципу соответствия , в определенных пределах квантовые уравнения состояния должны приближаться к уравнениям движения Гамильтона . Последние устанавливают следующую связь между обобщенной координатой q (например, положением) и обобщенным импульсом p :

{\begin{cases}{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=\{q,H\};\\{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{p,H\}.\end{cases}}

В квантовой механике гамильтониан ${\hat {H}}$ , (обобщенная) координата ${\hat {Q}}$ и (обобщенный) импульс ${\hat {P}}$ все линейные операторы.

Производная по времени квантового состояния равна - $i{\hat {H}}/\hbar$ (по уравнению Шредингера ). Эквивалентно, поскольку операторы явно не зависят от времени, можно видеть, что они развиваются во времени (см. рисунок Гейзенберга ) в соответствии с их коммутационным соотношением с гамильтонианом:

{\frac {d{\hat {Q}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {Q}}]

{\frac {d{\hat {P}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {P}}]\,\,.

Чтобы это согласовалось в классическом пределе с уравнениями движения Гамильтона, $[{\hat {H}},{\hat {Q}}]$ должно полностью зависеть от внешнего вида ${\hat {P}}$ в гамильтониане и $[{\hat {H}},{\hat {P}}]$ должно полностью зависеть от внешнего вида ${\hat {Q}}$ в гамильтониане. Далее, поскольку оператор Гамильтона зависит от (обобщенных) операторов координаты и импульса, его можно рассматривать как функционал, и мы можем написать (используя функциональные производные ):

[{\hat {H}},{\hat {Q}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {P}}}}\cdot [{\hat {P}},{\hat {Q}}]

[{\hat {H}},{\hat {P}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {Q}}}}\cdot [{\hat {Q}},{\hat {P}}]\,.

Тогда для того, чтобы получить классический предел, мы должны иметь

[{\hat {Q}},{\hat {P}}]=i\hbar ~\mathbb {I} .

Отношения Вейля [ править ]

Группа $H_{3}(\mathbb {R} )$ порожденный возведением в степень трехмерной алгебры Ли, определяемой коммутационным соотношением $[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar$ называется группой Гейзенберга . Эту группу можно реализовать как группу $3\times 3$ верхние треугольные матрицы с матрицами, расположенными по диагонали. ^[7]

Согласно стандартной математической формулировке квантовой механики , квантовые наблюдаемые, такие как ${\hat {x}}$ и ${\hat {p}}$ должны быть представлены как самосопряженные операторы в некотором гильбертовом пространстве . Относительно легко увидеть, что два оператора, удовлетворяющие приведенным выше каноническим коммутационным соотношениям, не могут быть оба ограниченными . Конечно, если ${\hat {x}}$ и ${\hat {p}}$ были операторами трассового класса , отношение $\operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA)$ дает ненулевое число справа и ноль слева.

Альтернативно, если ${\hat {x}}$ и ${\hat {p}}$ были ограниченными операторами, заметим, что $[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}]=i\hbar n{\hat {x}}^{n-1}$ , следовательно, операторные нормы будут удовлетворять

2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar \left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|,

так что для n любого

2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar

Однако

n

может быть сколь угодно большим, поэтому по крайней мере один оператор не может быть ограничен, а размерность основного гильбертова пространства не может быть конечной. Если операторы удовлетворяют соотношениям Вейля (возведенная в степень версия канонических коммутационных соотношений, описанная ниже), то, как следствие теоремы Стоуна – фон Неймана , оба оператора должны быть неограниченными.

Тем не менее, эти канонические коммутационные соотношения можно сделать несколько «упрощенными», записав их в терминах (ограниченных) унитарных операторов. $\exp(it{\hat {x}})$ и $\exp(is{\hat {p}})$ . Результирующими соотношениями сплетения для этих операторов являются так называемые соотношения Вейля.

\exp(it{\hat {x}})\exp(is{\hat {p}})=\exp(-ist/\hbar )\exp(is{\hat {p}})\exp(it{\hat {x}}).

Эти отношения можно рассматривать как возведенную в степень версию канонических коммутационных соотношений; они отражают то, что сдвиги в положении и сдвиги в импульсе не коммутируют. Соотношения Вейля легко переформулировать в терминах представлений группы Гейзенберга .

Единственность канонических коммутационных соотношений - в форме соотношений Вейля - тогда гарантируется теоремой Стоуна-фон Неймана .

Важно отметить, что по техническим причинам соотношения Вейля не являются строго эквивалентными каноническому соотношению коммутации. $[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar$ . Если ${\hat {x}}$ и ${\hat {p}}$ были ограниченными операторами, то специальный случай формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа позволил бы «возвести в степень» канонические коммутационные отношения до соотношений Вейля. ^[8]Поскольку, как мы уже отмечали, любые операторы, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям, должны быть неограниченными, формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа неприменима без дополнительных предположений о предметной области. Действительно, существуют контрпримеры, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям, но не соотношениям Вейля. ^[9] (Эти же операторы дают контрпример наивной форме принципа неопределенности.) Эти технические проблемы являются причиной того, что теорема Стоуна – фон Неймана формулируется в терминах соотношений Вейля.

Дискретная версия соотношений Вейля, в которой параметры s и t варьируются в пределах $\mathbb {Z} /n$ , может быть реализовано в конечномерном гильбертовом пространстве с помощью матриц часов и сдвига .

Обобщения [ править ]

Простая формула

[x,p]=i\hbar \,\mathbb {I} ~,

справедливый для квантования простейшей классической системы, может быть обобщен на случай произвольного лагранжиана

{\mathcal {L}}

. ^[10] Мы идентифицируем канонические координаты (такие как

x

в приведенном выше примере или поле

Φ(x)

в случае квантовой теории поля ) и канонические импульсы

π x

(в приведенном выше примере это

p

или, в более общем смысле, некоторые функции, включающие производные канонических координат по времени):

\pi _{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial x_{i}/\partial t)}}.

Такое определение канонического импульса гарантирует, что одно из уравнений Эйлера – Лагранжа имеет вид

{\frac {\partial }{\partial t}}\pi _{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}.

Тогда канонические коммутационные соотношения сводятся к виду

[x_{i},\pi _{j}]=i\hbar \delta _{ij}\,

где

δij —

дельта Кронекера .

Далее, можно показать, что

[F({\vec {x}}),p_{i}]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {x}})}{\partial x_{i}}};\qquad [x_{i},F({\vec {p}})]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {p}})}{\partial p_{i}}}.

С использованием $C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}$ , можно показать, что методом математической индукции

\left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}^{m}\right]=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {-\left(-i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(n-k\right)!\left(m-k\right)!}}{\hat {x}}^{n-k}{\hat {p}}^{m-k}}=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {\left(i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(n-k\right)!\left(m-k\right)!}}{\hat {p}}^{m-k}{\hat {x}}^{n-k}},

широко известная как формула Маккоя. ^[11]

инвариантность Калибровочная

Каноническое квантование применяется по определению к каноническим координатам . Однако в присутствии электромагнитного поля канонический импульс $p$ не является калибровочно-инвариантным . Правильный калибровочно-инвариантный импульс (или «кинетический импульс») равен

p_{\text{kin}}=p-qA\,\!

( единицы СИ )

p_{\text{kin}}=p-{\frac {qA}{c}}\,\!

( единицы СГС ),

где $q$ частицы — электрический заряд , $A$ — векторный потенциал , а $c$ — скорость света . Хотя величина $p kin$ является «физическим импульсом», поскольку ее следует отождествлять с импульсом в лабораторных экспериментах, она не удовлетворяет каноническим коммутационным соотношениям; только канонический импульс делает это. Это можно увидеть следующим образом.

Нерелятивистский гамильтониан для квантованной заряженной частицы массы $m$ в классическом электромагнитном поле равен (в единицах СГС)

H={\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {qA}{c}}\right)^{2}+q\phi

где

A

— трехвекторный потенциал, а

φ

— скалярный потенциал . Эта форма гамильтониана, а также уравнение Шредингера

Hψ = iħ\partialψ/\partialt

, уравнения Максвелла и силовой закон Лоренца инвариантны относительно калибровочного преобразования

A\to A'=A+\nabla \Lambda

\phi \to \phi '=\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}

\psi \to \psi '=U\psi

H\to H'=UHU^{\dagger },

где

U=\exp \left({\frac {iq\Lambda }{\hbar c}}\right)

и

Λ = Λ(x, t)

— калибровочная функция.

Оператор момента углового

L=r\times p\,\!

и подчиняется каноническим соотношениям квантования

[L_{i},L_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ijk}}L_{k}

определяя алгебру Ли для so(3) , где

\epsilon _{ijk}

является символом Леви-Чивита . При калибровочных преобразованиях угловой момент преобразуется как

\langle \psi \vert L\vert \psi \rangle \to \langle \psi ^{\prime }\vert L^{\prime }\vert \psi ^{\prime }\rangle =\langle \psi \vert L\vert \psi \rangle +{\frac {q}{\hbar c}}\langle \psi \vert r\times \nabla \Lambda \vert \psi \rangle \,.

Калибровочно-инвариантный угловой момент (или «кинетический угловой момент») определяется выражением

K=r\times \left(p-{\frac {qA}{c}}\right),

который имеет коммутационные соотношения

[K_{i},K_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ij}}^{\,k}\left(K_{k}+{\frac {q\hbar }{c}}x_{k}\left(x\cdot B\right)\right)

где

B=\nabla \times A

это магнитное поле . Неэквивалентность этих двух формулировок проявляется в эффекте Зеемана и эффекте Ааронова-Бома .

неопределенности коммутаторы Отношение и

Все такие нетривиальные коммутационные соотношения для пар операторов приводят к соответствующим неопределенности соотношениям ^[12]включая положительные полуопределенные математические ожидания от соответствующих коммутаторов и антикоммутаторов. В общем, для двух эрмитовых операторов $A$ и $B$ рассмотрим ожидаемые значения в системе в состоянии $ψ$ , причем дисперсии вокруг соответствующих ожидаемых значений равны $(Δ A) 2 \equiv ⟨(А - ⟨ А ⟩) 2 ⟩$ , и т. д.

Затем

\Delta A\,\Delta B\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left|\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle \right|^{2}+\left|\left\langle \left\{A-\langle A\rangle ,B-\langle B\rangle \right\}\right\rangle \right|^{2}}},

где

[A, B] \equiv A B - B A

— коммутатор A

и

≡

B

, а

B} { A, A B + B A

— антикоммутатор .

Это следует из неравенства Коши–Шварца , поскольку $|⟨ А 2 ⟩| |⟨ Б 2 ⟩| \geq |⟨ А Б ⟩| 2$ , и $A B = ([A, B] + {A, B})/2$ ; и аналогично для сдвинутых операторов $A - ⟨ A ⟩$ и $B - ⟨ B ⟩$ . (См. выводы принципа неопределенности .)

Подставив $A$ и $B$ (и внимательно проведя анализ), вы, как обычно, получите знакомое соотношение неопределенности Гейзенберга для $x$ и $p$ .

углового момента Соотношение неопределенности для операторов

Для операторов углового момента $L x = y p z - z p y$ и т. д. имеем, что

[{L_{x}},{L_{y}}]=i\hbar \epsilon _{xyz}{L_{z}},

где

\epsilon _{xyz}

является символом Леви-Чивита и просто меняет знак ответа при попарной замене индексов. Аналогичное соотношение справедливо и для операторов спина .

для $Lx $ и $Ly $ Здесь ^[12]в мультиплетах углового момента $ψ = | ℓ, m ⟩$ , для поперечных компонент инварианта Казимира $L x 2 + Л й 2 + Л з 2$ , $z$ -симметричные отношения

⟨ Д х 2 ⟩ = ⟨ Л y 2 ⟩ знак равно (ℓ (ℓ + 1) - м 2) ℏ 2 /2

,

а также $⟨ L Икс ⟩ знак равно ⟨ L y ⟩ знак равно 0$ .

Следовательно, приведенное выше неравенство, примененное к этому коммутационному соотношению, определяет

\Delta L_{x}\Delta L_{y}\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\hbar ^{2}|\langle L_{z}\rangle |^{2}}}~,

следовательно

{\sqrt {|\langle L_{x}^{2}\rangle \langle L_{y}^{2}\rangle |}}\geq {\frac {\hbar ^{2}}{2}}\vert m\vert

и поэтому

\ell (\ell +1)-m^{2}\geq |m|~,

итак, тогда он дает полезные ограничения, такие как нижняя граница инварианта Казимира :

ℓ (ℓ + 1) \geq | м | (| m | + 1)

и, следовательно,

ℓ \geq | м |

, среди других.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ «Развитие квантовой механики» .
^ Борн, М.; Джордан, П. (1925). «О квантовой механике». Журнал по физике . 34 (1): 858–888. Бибкод : 1925ZPhy...34..858B . дои : 10.1007/BF01328531 . S2CID 186114542 .
^ Кеннард, Э. Х. (1927). «К квантовой механике простых видов движения». Журнал по физике . 44 (4–5): 326–352. Бибкод : 1927ZPhy...44..326K . дои : 10.1007/BF01391200 . S2CID 121626384 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Гроневолд, HJ (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Физика . 12 (7): 405–460. Бибкод : 1946Phy....12..405G . дои : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4 .
^ Холл, 2013 г., Теорема 13.13.
^ Куртрайт, ТЛ; Захос, СК (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве». Информационный бюллетень по физике Азиатско-Тихоокеанского региона . 01 :37–46. arXiv : 1104.5269 . дои : 10.1142/S2251158X12000069 . S2CID 119230734 .
^ Холл 2015 г., раздел 1.2.6 и предложение 3.26.
^ см. в разделе 5.2 Hall 2015. Элементарный вывод
^ Холл 2013 г. Пример 14.5
^ Таунсенд, Дж. С. (2000). Современный подход к квантовой механике . Саусалито, Калифорния: Университетские научные книги. ISBN 1-891389-13-0 .
^ Маккой, Нью-Хэмпшир (1929), «О формулах коммутации в алгебре квантовой механики», Труды Американского математического общества 31 (4), 793-806 онлайн
^ Перейти обратно: ^а ^б Робертсон, HP (1929). «Принцип неопределенности». Физический обзор . 34 (1): 163–164. Бибкод : 1929PhRv...34..163R . дои : 10.1103/PhysRev.34.163 .

Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Спрингер .
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления, Элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, том. 222 (2-е изд.), Springer .

[1] «Развитие квантовой механики» .

[2] Борн, М.; Джордан, П. (1925). «О квантовой механике». Журнал по физике . 34 (1): 858–888. Бибкод : 1925ZPhy...34..858B . дои : 10.1007/BF01328531 . S2CID 186114542 .

[3] Кеннард, Э. Х. (1927). «К квантовой механике простых видов движения». Журнал по физике . 44 (4–5): 326–352. Бибкод : 1927ZPhy...44..326K . дои : 10.1007/BF01391200 . S2CID 121626384 .

[groenewold-4] Перейти обратно: ^а ^б Гроневолд, HJ (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Физика . 12 (7): 405–460. Бибкод : 1946Phy....12..405G . дои : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4 .

[5] Холл, 2013 г., Теорема 13.13.

[6] Куртрайт, ТЛ; Захос, СК (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве». Информационный бюллетень по физике Азиатско-Тихоокеанского региона . 01 :37–46. arXiv : 1104.5269 . дои : 10.1142/S2251158X12000069 . S2CID 119230734 .

[7] Холл 2015 г., раздел 1.2.6 и предложение 3.26.

[8] см. в разделе 5.2 Hall 2015. Элементарный вывод

[9] Холл 2013 г. Пример 14.5

[town-10] Таунсенд, Дж. С. (2000). Современный подход к квантовой механике . Саусалито, Калифорния: Университетские научные книги. ISBN 1-891389-13-0 .

[11] Маккой, Нью-Хэмпшир (1929), «О формулах коммутации в алгебре квантовой механики», Труды Американского математического общества 31 (4), 793-806 онлайн

[robertson-12] Перейти обратно: ^а ^б Робертсон, HP (1929). «Принцип неопределенности». Физический обзор . 34 (1): 163–164. Бибкод : 1929PhRv...34..163R . дои : 10.1103/PhysRev.34.163 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]