Лагранжиан (теория поля)

Лагранжева теория поля — это формализм классической теории поля . Это теоретико-полевой аналог механики Лагранжа . Лагранжева механика используется для анализа движения системы дискретных частиц, каждая из которых имеет конечное число степеней свободы . Лагранжева теория поля применима к континуумам и полям , которые имеют бесконечное число степеней свободы.

Одной из причин разработки лагранжева формализма полей и, в более общем смысле, классической теории поля , является обеспечение четкого математического обоснования квантовой теории поля , которая печально известна формальными трудностями, которые делают ее неприемлемой как математическая теория. Представленные здесь лагранжианы идентичны своим квантовым эквивалентам, но, рассматривая поля как классические поля, а не квантованные, можно дать определения и получить решения со свойствами, совместимыми с традиционным формальным подходом к математике уравнений в частных производных . Это позволяет формулировать решения в пространствах с хорошо охарактеризованными свойствами, таких как пространства Соболева . Это позволяет предоставлять различные теоремы, начиная от доказательств существования и равномерной сходимости формальных рядов до общих положений теории потенциала . Кроме того, понимание и ясность достигаются за счет обобщений на римановы многообразия и расслоения , что позволяет четко различить геометрическую структуру и отделить ее от соответствующих уравнений движения. Более четкое представление о геометрической структуре, в свою очередь, позволило использовать весьма абстрактные теоремы геометрии для достижения понимания, начиная от Теорема Черна–Гаусса–Бонне и теорема Римана–Роха, теорема об индексе Атьи–Зингера и теория Черна–Саймонса .

Обзор

В теории поля независимая переменная заменяется событием в пространстве-времени ( x , y , z , t ) или, в более общем смысле, точкой s на римановом многообразии . Зависимые переменные заменяются значением поля в этой точке пространства-времени. $\varphi (x,y,z,t)$ так что уравнения движения получены с помощью принципа действия , записанного как:

$${\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0,$$

где действие , ${\mathcal {S}}$, является функционалом зависимых переменных $\varphi _{i}(s)$, их производные и s само

$${\mathcal {S}}\left[\varphi _{i}\right]=\int {{\mathcal {L}}\left(\varphi _{i}(s),\left\{{\frac {\partial \varphi _{i}(s)}{\partial s^{\alpha }}}\right\},\{s^{\alpha }\}\right)\,\mathrm {d} ^{n}s},$$

где скобки обозначают $\{\cdot ~\forall \alpha \}$; и s = { s ^а } обозначает набор из n независимых переменных системы, включая переменную времени, и индексируется α = 1, 2, 3, ..., n . Каллиграфический шрифт, ${\mathcal {L}}$, используется для обозначения плотности , и $\mathrm {d} ^{n}s$ — объемная форма полевой функции, т. е. мера области определения полевой функции.

В математических формулировках лагранжиан принято выражать как функцию на расслоении , при этом уравнения Эйлера-Лагранжа можно интерпретировать как задание геодезических на расслоении. Учебник Авраама и Марсдена дал первое исчерпывающее описание классической механики в терминах современных геометрических идей, т. е. в терминах касательных многообразий , симплектических многообразий и контактной геометрии . Учебник Бликера представил всестороннее представление теорий поля в физике в терминах калибровочно-инвариантных расслоений. Такие составы были известны или предполагались задолго до этого. Йост продолжается геометрическим представлением, проясняющим связь между гамильтоновой и лагранжевой формами, описанием спиновых многообразий из первых принципов и т. д. Текущие исследования сосредоточены на нежестких аффинных структурах (иногда называемых «квантовыми структурами»), в которых заменяются вхождения векторных пространств на тензорные алгебры . Это исследование мотивировано прорывным пониманием квантовых групп как аффинных алгебр Ли ( группы Ли в некотором смысле «жесткие», поскольку они определяются своей алгеброй Ли. При переформулировке на тензорной алгебре они становятся «гибкими», имея бесконечные степени свободы, см., например, алгебру Вирасоро .)

Определения

В лагранжевой теории поля лагранжиан как функция обобщенных координат заменяется плотностью лагранжа, функцией полей в системе и их производных, а также, возможно, самих пространственных и временных координат. В теории поля независимая переменная t заменяется событием в пространстве-времени ( x , y , z , t ) или, в более общем смысле, точкой s на многообразии.

Часто «лагранжеву плотность» называют просто «лагранжианом».

Скалярные поля

Для одного скалярного поля $\varphi$, плотность Лагранжа примет вид:

$${\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)$$

Для многих скалярных полей

$${\mathcal {L}}(\varphi _{1},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{1},\partial \varphi _{1}/\partial t,\ldots ,\varphi _{n},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{n},\partial \varphi _{n}/\partial t,\ldots ,\mathbf {x} ,t)$$

В математических формулировках под скалярными полями понимаются координаты на расслоении , а под производными поля — сечения струйного расслоения .

Векторные поля, тензорные поля, спинорные поля

Вышеизложенное можно обобщить для векторных полей , тензорных полей и спинорных полей . В физике фермионы описываются спинорными полями. Бозоны описываются тензорными полями, которые в качестве частных случаев включают скалярные и векторные поля.

Например, если есть $m$ вещественные скалярные поля , $\varphi _{1},\dots ,\varphi _{m}$, то многообразие поля $\mathbb {R} ^{m}$. Если поле является вещественным векторным полем полей изоморфно , то многообразие $\mathbb {R} ^{n}$.

Действие

от Интеграл по времени лагранжиана называется действием , обозначаемым S . В теории поля иногда делают различие между лагранжианом L , интегралом по времени которого является действие

$${\mathcal {S}}=\int L\,\mathrm {d} t\,,$$

и лагранжева плотность ${\mathcal {L}}$, который интегрируется по всему пространству-времени , чтобы получить действие:

$${\mathcal {S}}[\varphi ]=\int {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,\mathrm {d} t.$$

Пространственный объемный интеграл лагранжианской плотности является лагранжианом; в 3D,

$$L=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,.$$

Действие часто называют « функционалом действия », поскольку оно является функцией полей (и их производных).

Форма тома

При наличии силы тяжести или при использовании общих криволинейных координат лагранжева плотность ${\mathcal {L}}$ будет включать в себя коэффициент ${\textstyle {\sqrt {g}}}$. Это обеспечивает инвариантность действия относительно общих преобразований координат. В математической литературе пространство-время рассматривается как риманово многообразие. $M$ и тогда интеграл принимает форму объема

$${\mathcal {S}}=\int _{M}{\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}{\mathcal {L}}$$

Здесь $\wedge$ является произведением клина и ${\textstyle {\sqrt {|g|}}}$ квадратный корень из определителя $|g|$ метрического тензора $g$ на $M$. Для плоского пространства-времени (например, пространства-времени Минковского ) единичный объем равен единице, т.е. ${\textstyle {\sqrt {|g|}}=1}$поэтому его обычно опускают при обсуждении теории поля в плоском пространстве-времени. Аналогичным образом, использование символов клинового произведения не дает дополнительного понимания по сравнению с обычным понятием объема в многомерном исчислении, поэтому от них также отказываются. В некоторых старых учебниках, например, Ландау и Лифшиц, пишут: ${\textstyle {\sqrt {-g}}}$для формы объема, поскольку знак минус подходит для метрических тензоров с сигнатурой (+---) или (-+++) (поскольку определитель в любом случае отрицательный). При обсуждении теории поля на общих римановых многообразиях форму объема обычно записывают в сокращенных обозначениях $*(1)$ где $*$это звезда Ходжа . То есть,

$$*(1)={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}$$

и так

$${\mathcal {S}}=\int _{M}*(1){\mathcal {L}}$$

Нередко приведенные выше обозначения считаются совершенно излишними, и

$${\mathcal {S}}=\int _{M}{\mathcal {L}}$$

часто наблюдается. Не заблуждайтесь: форма объема неявно присутствует в приведенном выше интеграле, даже если она не записана явно.

–

Уравнения Эйлера –Лагранжа описывают геодезический поток поля $\varphi$как функция времени. Взяв вариацию относительно $\varphi$, получается

$$0={\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi }}=\int _{M}*(1)\left(-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}\right).$$

Решая относительно граничных условий , получаем уравнения Эйлера–Лагранжа :

$${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right).$$

Примеры

Большое разнообразие физических систем было сформулировано в терминах лагранжиана над полями. Ниже приведена выборка некоторых из наиболее распространенных из них, встречающихся в учебниках физики по теории поля.

Ньютоновская гравитация

Лагранжева плотность для ньютоновской гравитации равна:

$${\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-{1 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))^{2}-\rho (\mathbf {x} ,t)\Phi (\mathbf {x} ,t)$$

где Φ — гравитационный потенциал , ρ — плотность массы, а G в м ³ ·кг ⁻¹ ·с ⁻² является гравитационной постоянной . Плотность ${\mathcal {L}}$ имеет единицы Дж·м ⁻³ . Здесь термин взаимодействия включает в себя непрерывную массовую плотность ρ в кг·м. ⁻³ . Это необходимо, поскольку использование точечного источника для поля может привести к математическим трудностям.

Этот лагранжиан можно записать в виде ${\mathcal {L}}=T-V$, с $T=-(\nabla \Phi )^{2}/8\pi G$ обеспечивая кинетический член, и взаимодействие $V=\rho \Phi$потенциальный срок. См. также теорию гравитации Нордстрема, чтобы узнать, как ее можно изменить, чтобы справиться с изменениями с течением времени. Эта форма повторяется в следующем примере скалярной теории поля.

Вариация интеграла по Φ равна:

$$\delta {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\delta \Phi (\mathbf {x} ,t)-{2 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))\cdot (\nabla \delta \Phi (\mathbf {x} ,t)).$$

После интегрирования по частям, отбрасывания полного интеграла и деления на δ Φ формула принимает вид:

$$0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \cdot \nabla \Phi (\mathbf {x} ,t)$$

что эквивалентно:

$$4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} ,t)$$

что дает закон Гаусса для гравитации .

Скалярная теория поля

Основная статья: Скалярная теория поля

Лагранжиан для скалярного поля, движущегося в потенциале $V(\phi )$ можно записать как

$${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -V(\phi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}$$

Совсем не случайно скалярная теория напоминает лагранжиан из учебника для студентов. $L=T-V$ для кинетического члена свободной точечной частицы, записанного как $T=mv^{2}/2$. Скалярная теория является обобщением теории поля частицы, движущейся в потенциале. Когда $V(\phi )$ – потенциал мексиканской шляпы , полученные поля называются полями Хиггса .

Сигма-модель Лагранжа

Основная статья: сигма-модель

Сигма -модель описывает движение скалярной точечной частицы, вынужденной двигаться на римановом многообразии , таком как круг или сфера. Он обобщает случай скалярных и векторных полей, то есть полей, вынужденных двигаться на плоском многообразии. Лагранжиан обычно записывается в одной из трех эквивалентных форм:

$${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {d} \phi \wedge {*\mathrm {d} \phi }$$

где $\mathrm {d}$это дифференциал . Эквивалентное выражение

$${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}(\phi )\;\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi _{j}$$

с $g_{ij}$риманова метрика на многообразии поля; то есть поля $\phi _{i}$— это просто локальные координаты на координатной карте многообразия. Третьей распространенной формой является

$${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\right)$$

с

$$L_{\mu }=U^{-1}\partial _{\mu }U$$

и $U\in \mathrm {SU} (N)$, группа Ли SU(N) . Эту группу можно заменить любой группой Ли или, в более общем смысле, симметрическим пространством . След — это всего лишь форма Убийства скрывающаяся ; форма Киллинга дает квадратичную форму на полевом многообразии, тогда лагранжиан представляет собой просто обратный образ этой формы. С другой стороны, лагранжиан можно также рассматривать как откат формы Маурера – Картана к базовому пространству-времени.

В общем, сигма-модели демонстрируют топологические солитонные решения. Самым известным и хорошо изученным из них является Скирмион , служащий моделью нуклона , выдержавшей испытание временем.

Электромагнетизм в специальной теории относительности

Основная статья: Ковариантная формулировка классического электромагнетизма

Рассмотрим точечную частицу, заряженную частицу, взаимодействующую с электромагнитным полем . Условия взаимодействия

$$-q\phi (\mathbf {x} (t),t)+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} (t),t)$$

заменяются членами, включающими непрерывную плотность заряда ρ в А·с·м ⁻³ и плотность тока $\mathbf {j}$ в Ам·м ⁻² . Результирующая плотность лагранжиана электромагнитного поля равна:

$${\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)+{\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}(\mathbf {x} ,t)-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}(\mathbf {x} ,t).$$

Варьируя это по φ , получаем

$$0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)$$

что дает закон Гаусса .

Вместо этого варьируясь по отношению к $\mathbf {A}$, мы получаем

$$0=\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}{\dot {\mathbf {E} }}(\mathbf {x} ,t)-{1 \over \mu _{0}}\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)$$

что приводит к закону Ампера .

Используя тензорную запись , мы можем всё это записать более компактно. Термин $-\rho \phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} \cdot \mathbf {A}$на самом деле является внутренним продуктом двух четырехвекторов . Мы упаковываем плотность заряда в текущий 4-вектор, а потенциал — в потенциальный 4-вектор. Эти два новых вектора

$$j^{\mu }=(\rho ,\mathbf {j} )\quad {\text{and}}\quad A_{\mu }=(-\phi ,\mathbf {A} )$$

Тогда мы можем записать термин взаимодействия как

$$-\rho \phi +\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} =j^{\mu }A_{\mu }$$

Кроме того, мы можем объединить поля E и B в так называемый электромагнитный тензор. $F_{\mu \nu }$. Определим этот тензор как

$$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$$

Термин, который мы ищем, оказывается

$${\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }$$

Мы использовали метрику Минковского для повышения индексов тензора ЭДС. В этих обозначениях уравнения Максвелла имеют вид

$$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }\quad {\text{and}}\quad \epsilon ^{\mu \nu \lambda \sigma }\partial _{\nu }F_{\lambda \sigma }=0$$

где ε — тензор Леви-Чивита . Таким образом, плотность Лагранжа для электромагнетизма в специальной теории относительности, записанная через векторы и тензоры Лоренца, равна

$${\mathcal {L}}(x)=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }(x)F^{\mu \nu }(x)$$

В этих обозначениях очевидно, что классический электромагнетизм представляет собой лоренц-инвариантную теорию. Благодаря принципу эквивалентности становится проще распространить понятие электромагнетизма на искривленное пространство-время.

Янга –

Используя дифференциальные формы , электромагнитное действие S в вакууме на (псевдо)риманово многообразие ${\mathcal {M}}$ можно записать (используя натуральные единицы , c = ε ₀ = 1 ) как

$${\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=-\int _{\mathcal {M}}\left({\frac {1}{2}}\,\mathbf {F} \wedge \ast \mathbf {F} -\mathbf {A} \wedge \ast \mathbf {J} \right).$$

Здесь A обозначает 1-форму электромагнитного потенциала, J — 1-форму тока, F — 2-форму напряженности поля, а звездочка обозначает оператор звезды Ходжа . Это в точности тот же лагранжиан, что и в предыдущем разделе, за исключением того, что трактовка здесь бескоординатная; расширение подынтегральной функции в основу дает идентичное длинное выражение. Обратите внимание, что для форм дополнительная мера интегрирования не требуется, поскольку в формы встроены дифференциалы координат. Вариация действия приводит к

$$\mathrm {d} {\ast }\mathbf {F} ={\ast }\mathbf {J} .$$

Это уравнения Максвелла для электромагнитного потенциала. Подстановка F = d A сразу дает уравнение для полей:

$$\mathrm {d} \mathbf {F} =0$$

потому что F — точная форма .

Поле A можно понимать как аффинную связность на 1) -расслоении . U ( То есть классическую электродинамику, все ее эффекты и уравнения можно полностью понять в терминах расслоения кругов в пространстве-времени Минковского .

Уравнения Янга – Миллса можно записать точно в той же форме, что и выше, заменив группу Ли U (1) электромагнетизма произвольной группой Ли. В Стандартной модели принято считать, что $\mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)$хотя общий случай представляет общий интерес. Во всех случаях нет необходимости выполнять какое-либо квантование. Хотя уравнения Янга–Миллса исторически уходят корнями в квантовую теорию поля, приведенные выше уравнения являются чисто классическими.

Функционал Черна–Саймонса

Аналогично предыдущему, можно рассматривать действие в одном измерении меньше, т.е. в условиях геометрии контакта . Это дает функционал Черна – Саймонса . Это написано как

$${\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=\int _{\mathcal {M}}\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} \wedge d\mathbf {A} +{\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right).$$

Теория Черна-Саймонса была глубоко изучена в физике как игрушечная модель для широкого спектра геометрических явлений, которые можно было бы ожидать найти в теории великого объединения .

Лагранжиан Гинзбурга–Ландау

Основная статья: теория Гинзбурга – Ландау

Плотность лагранжиана для теории Гинзбурга–Ландау сочетает в себе лагранжиан для скалярной теории поля с лагранжианом для действия Янга–Миллса . Это может быть записано как:

$${\mathcal {L}}(\psi ,A)=\vert F\vert ^{2}+\vert D\psi \vert ^{2}+{\frac {1}{4}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}$$

где $\psi$ — сечение векторного расслоения со слоем $\mathbb {C} ^{n}$. $\psi$соответствует параметру порядка в сверхпроводнике ; эквивалентно, оно соответствует полю Хиггса , если отметить, что второй член представляет собой знаменитый потенциал «шляпы сомбреро» . Поле $A$ – (неабелевое) калибровочное поле, т.е. поле Янга – Миллса и $F$это его напряженность поля. Уравнения Эйлера –Лагранжа для функционала Гинзбурга–Ландау представляют собой уравнения Янга–Миллса

$$D{\star }D\psi ={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\psi$$

и

$$D{\star }F=-\operatorname {Re} \langle D\psi ,\psi \rangle$$

где ${\star }$— оператор звезды Ходжа , т. е. полностью антисимметричный тензор. Эти уравнения тесно связаны с уравнениями Янга–Миллса–Хиггса . Другой близкородственный лагранжиан находится в теории Зайберга-Виттена .

Дирак Лагранжиан

Основная статья: уравнение Дирака

Плотность Лагранжа для поля Дирака равна :

$${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\hbar c{\partial }\!\!\!/\ -mc^{2})\psi$$

где $\psi$ является спинором Дирака , ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ является его сопряженным по Дираку , и ${\partial }\!\!\!/$ это обозначение Фейнмана с косой чертой для $\gamma ^{\sigma }\partial _{\sigma }$. На спинорах Дирака в классической теории особого внимания нет. Спиноры Вейля обеспечивают более общую основу; они могут быть построены непосредственно из алгебры пространства-времени Клиффорда ; строительные работы в любом количестве размеров, а спиноры Дирака представляют собой особый случай. Спиноры Вейля имеют то дополнительное преимущество, что их можно использовать в метрике риманова многообразия; это позволяет создать концепцию спиновой структуры , которая, грубо говоря, представляет собой способ последовательной формулировки спиноров в искривленном пространстве-времени.

электродинамический

Основная статья: Квантовая электродинамика

Плотность лагранжиана для КЭД объединяет лагранжиан для поля Дирака вместе с лагранжианом для электродинамики калибровочно-инвариантным способом. Это:

$${\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }={\bar {\psi }}(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -mc^{2})\psi -{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$$

где $F^{\mu \nu }$ – электромагнитный тензор , D – калибровочная ковариантная производная , и ${D}\!\!\!\!/$ это обозначение Фейнмана для $\gamma ^{\sigma }D_{\sigma }$ с $D_{\sigma }=\partial _{\sigma }-ieA_{\sigma }$ где $A_{\sigma }$— электромагнитный четырехпотенциал . Хотя слово «квант» встречается выше, это исторический артефакт. Определение поля Дирака не требует какого-либо квантования, его можно записать как чисто классическое поле антикоммутирующих спиноров Вейля, построенное на основе первых принципов алгебры Клиффорда . Полная калибровочно-инвариантная классическая формулировка приведена у Бликера.

хромодинамический

Основная статья: квантовая хромодинамика

Плотность Лагранжа для квантовой хромодинамики сочетает в себе лагранжиан для одного или нескольких массивных спиноров Дирака с лагранжианом для действия Янга – Миллса , которое описывает динамику калибровочного поля; объединенный лагранжиан является калибровочным инвариантом. Это может быть записано как:

$${\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}\left(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -m_{n}c^{2}\right)\psi _{n}-{1 \over 4}G^{\alpha }{}_{\mu \nu }G_{\alpha }{}^{\mu \nu }$$

где D — калибровочная ковариантная производная КХД , n = 1, 2, ...6 подсчитывает типы кварков , и $G^{\alpha }{}_{\mu \nu }\!$– тензор напряженности глюонного поля . Что касается приведенного выше случая электродинамики, появление слова «квант» лишь подтверждает ее историческое развитие. Лагранжиан и его калибровочная инвариантность можно сформулировать и трактовать чисто классическим способом.

Гравитация Эйнштейна

Дополнительная информация: действие Эйнштейна – Гильберта.

Плотность Лагранжа для общей теории относительности при наличии полей материи равна

$${\mathcal {L}}_{\text{GR}}={\mathcal {L}}_{\text{EH}}+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}\left(R-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}$$

где $\Lambda$ — космологическая постоянная , $R$— скаляр кривизны , который представляет собой тензор Риччи, сжатый с метрическим тензором , а тензор Риччи — это тензор Римана, сжатый с дельтой Кронекера . Интеграл ${\mathcal {L}}_{\text{EH}}$известно как действие Эйнштейна–Гильберта . Тензор Римана представляет собой тензор приливной силы и состоит из символов Кристоффеля и производных символов Кристоффеля, которые определяют метрическую связь в пространстве-времени. Само гравитационное поле исторически приписывалось метрическому тензору; современная точка зрения состоит в том, что эта связь «более фундаментальна». Это связано с пониманием того, что можно писать связи с ненулевым кручением . Они изменяют метрику, не изменяя ни на бит геометрии. Что касается фактического «направления, в котором указывает гравитация» (например, на поверхности Земли оно направлено вниз), то это происходит из тензора Римана: это то, что описывает «поле гравитационных сил», которое ощущают и реагируют движущиеся тела. к. (Это последнее утверждение необходимо уточнить: «силового поля» как такового не существует ; движущиеся тела следуют геодезическим линиям на многообразии, описываемом связью. Они движутся по « прямой линии ».)

Лагранжиан общей теории относительности также можно записать в форме, которая делает его явно похожим на уравнения Янга–Миллса. Это называется принципом действия Эйнштейна-Янга-Миллса . Для этого следует отметить, что большая часть дифференциальной геометрии работает «прекрасно» на расслоениях с аффинной связностью и произвольной группой Ли. Затем, подставив SO(3,1) для этой группы симметрии, т.е. для полей системы координат , можно получить приведенные выше уравнения.

Подставляя этот лагранжиан в уравнение Эйлера–Лагранжа и взяв метрический тензор $g_{\mu \nu }$ в качестве поля получаем уравнения поля Эйнштейна

$$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }\,.$$

$T_{\mu \nu }$ представляет собой тензор энергии-импульса и определяется выражением

$$T_{\mu \nu }\equiv {\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }{\sqrt {-g}})}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }\,.$$

где $g$является определителем метрического тензора, если рассматривать его как матрицу. Обычно в общей теории относительности мера интегрирования действия плотности Лагранжа равна ${\textstyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$. Это делает интегральную координату независимой, поскольку корень метрического определителя эквивалентен определителю Якобиана . Знак минус является следствием сигнатуры метрики (определитель сам по себе отрицательный). Это пример ранее обсуждавшейся формы объёма , проявляющейся в неплоском пространстве-времени.

Электромагнетизм в общей теории относительности

Основная статья: Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени

Плотность Лагранжа электромагнетизма в общей теории относительности также содержит действие Эйнштейна – Гильберта сверху. Чистый электромагнитный лагранжиан — это в точности лагранжиан материи. ${\mathcal {L}}_{\text{matter}}$. Лагранжиан

$${\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x)&=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)g^{\mu \rho }(x)g^{\nu \sigma }(x)+{\frac {c^{4}}{16\pi G}}R(x)\\&={\mathcal {L}}_{\text{Maxwell}}+{\mathcal {L}}_{\text{Einstein–Hilbert}}.\end{aligned}}$$

Этот лагранжиан получается простой заменой метрики Минковского в приведенном выше плоском лагранжиане на более общую (возможно, искривленную) метрику. $g_{\mu \nu }(x)$. Мы можем сгенерировать уравнения поля Эйнштейна в присутствии ЭМ поля, используя этот лагранжиан. Тензор энергии-импульса

$$T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g(x)}}}{\frac {\delta }{\delta g_{\mu \nu }(x)}}{\mathcal {S}}_{\text{Maxwell}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{{\text{ }}\lambda }^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)$$

Можно показать, что этот тензор энергии-импульса бесследен, т. е. что

$$T=g_{\mu \nu }T^{\mu \nu }=0$$

Если мы возьмем след обеих частей уравнений поля Эйнштейна, мы получим

$$R=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T$$

Таким образом, бесследность тензора энергии-импульса означает, что скаляр кривизны в электромагнитном поле обращается в нуль. Тогда уравнения Эйнштейна будут иметь вид

$$R^{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\mu }}_{\lambda }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)$$

Кроме того, уравнения Максвелла

$$D_{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }$$

где $D_{\mu }$является ковариантной производной . Для свободного пространства мы можем установить текущий тензор равным нулю: $j^{\mu }=0$. Решение уравнений Эйнштейна и Максвелла вокруг сферически симметричного распределения массы в свободном пространстве приводит к заряженной черной дыре Рейсснера – Нордстрема с определяющим линейным элементом (записанным в натуральных единицах и с зарядом Q ):

$$\mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}$$

Один из возможных способов объединения электромагнитного и гравитационного лагранжианов (с использованием пятого измерения) дается теорией Калуцы-Клейна . По сути, аффинное расслоение строится, как и для уравнений Янга–Миллса, приведенных ранее, а затем рассматривается действие отдельно на 4-мерной и 1-мерной частях. Такие факторизации , такие как тот факт, что 7-сфера может быть записана как произведение 4-сферы и 3-сферы или что 11-сфера является продуктом 4-сферы и 7-сферы, объясняются во многом из-за первоначального волнения по поводу того, что теория всего была найдена . К сожалению, 7-сфера оказалась недостаточно большой, чтобы вместить всю Стандартную модель , что разбило эти надежды.

Дополнительные примеры

• Лагранжиан модели БФ , сокращение от «Фоновое поле», описывает систему с тривиальной динамикой, если она записана на плоском пространственно-временном многообразии. В топологически нетривиальном пространстве-времени система будет иметь нетривиальные классические решения, которые можно интерпретировать как солитоны или инстантоны . Существует множество расширений, составляющих основу топологических теорий поля .

См. также

• Вариационное исчисление
• Ковариантная классическая теория поля
• Уравнение Эйлера–Лагранжа
• Функциональная производная
• Функциональный интеграл
• Обобщенные координаты
• гамильтонова механика
• Гамильтонова теория поля
• Кинетический срок
• Лагранжевы и эйлеровы координаты
• Лагранжева механика
• точка Лагранжа
• Лагранжева система
• Теорема Нётер
• Функция Онзагера – Махлупа
• Принцип наименьшего действия
• Скалярная теория поля