Действие (физика)

Эта статья о свойстве траектории. Чтобы узнать о концепции центральной силы, см. действие на расстоянии .

Действие
Общие символы	С
И объединились	джоуль-секунда
Другие подразделения	J⋅Hz −1
В базовых единицах СИ	kg⋅m 2 ⋅s −1
Измерение	${\mathsf {M}}\cdot {\mathsf {L}}^{2}\cdot {\mathsf {T}}^{-1}$

В физике , которая описывает , действие — это скалярная величина как баланс кинетической и потенциальной энергии физической системы меняется в зависимости от траектории. Действие важно, потому что оно является вкладом в принцип стационарного действия — подход к классической механике, который проще для нескольких объектов. Действие и вариационный принцип используются в квантовой механике Фейнмана. и в общей теории относительности. Для систем с малыми значениями действия, подобными постоянной Планка, квантовые эффекты значительны.

В простом случае, когда одна частица движется с постоянной скоростью (тем самым испытывая равномерное линейное движение ), действие представляет собой импульс частицы, умноженный на расстояние, которое она перемещает, сложенный по ее пути; частицы эквивалентно, действие — это разница между кинетической энергией и ее потенциальной энергией , умноженная на время, в течение которого она обладает этим количеством энергии.

Более формально, действие — это математический функционал , который принимает траекторию (также называемую путем или историей) системы в качестве аргумента и имеет вещественное число в качестве результата. Обычно действие принимает разные значения для разных путей. Действие имеет размеры энергия — × время или импульс × длина , а его единица в системе СИ джоуль - секунда (как и постоянная Планка h ).

Введение

Вводная физика часто начинается с законов движения Ньютона , связывающих силу и движение; действие является частью полностью эквивалентного альтернативного подхода с практическими и образовательными преимуществами.

Простой пример

Для траектории бейсбольного мяча, движущегося в воздухе на Земле, действие определяется между двумя моментами времени: $t_{1}$ и $t_{2}$ как кинетическая энергия минус потенциальная энергия, интегрированная с течением времени.

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left(KE(t)-PE(t)\right)dt$

Действие уравновешивает кинетическую и потенциальную энергию. Кинетическая энергия бейсбольного мяча массы $m$ является $(1/2)mv^{2}$ где $v$– скорость мяча; потенциальная энергия $mgx$ где $g$гравитационная постоянная. Тогда действие между $t_{1}$ и $t_{2}$ является

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}(t)-mgx(t)\right)dt$

Ценность действия зависит от траектории, по которой бейсбольный мяч проходит через $x(t)$ и $v(t)$. Это делает действие вкладом в мощный принцип стационарного действия для классической и квантовой механики . Уравнения движения Ньютона для бейсбольного мяча можно вывести из действия, используя принцип стационарного действия, но преимущества механики, основанной на действии, начинают проявляться только в тех случаях, когда законы Ньютона трудно применить. Замените бейсбольный мяч электроном: классическая механика терпит неудачу, но стационарное действие продолжает работать. Разность энергий в простом определении действия (кинетическая минус потенциальная энергия) обобщается и называется лагранжианом для более сложных случаев .

Квант действия Планка

, Постоянная Планка записанная как $h$ или $\hbar$ при включении коэффициента $1/2\pi$, называется квантом действия . Как и действие, эта константа имеет единицу энергии, умноженную на время. Он фигурирует во всех важных квантовых уравнениях, таких как принцип неопределенности и длина волны де Бройля . Всякий раз, когда значение действия приближается к постоянной Планка, квантовые эффекты становятся значительными. Наименьшее возможное действие – это $\hbar /2$; большие значения действия должны быть целыми числами, кратными этому кванту.

Энергия квантов света, $E=\hbar \omega$, увеличивается с частотой $\omega$, а произведение энергии и времени на колебание световой волны — действие квантов — есть константа $\hbar$.

История

Основная статья: История вариационных принципов в физике

Пьер Луи Мопертюи и Леонард Эйлер, работавшие в 1740-х годах, разработали ранние версии принципа действия. Жозеф Луи Лагранж внес ясность в математику, когда изобрел вариационное исчисление . Уильям Роуэн Гамильтон совершил следующий большой прорыв, сформулировав принцип Гамильтона в 1853 году. Принцип Гамильтона стал краеугольным камнем классических работ с различными формами действия, пока Ричард Фейнман и Джулиан Швингер не разработали квантовые принципы действия.

Определения

Выражаясь математическим языком с помощью вариационного исчисления , эволюция физической системы (т. е. то, как система на самом деле переходит из одного состояния в другое) соответствует стационарной точке (обычно минимуму) действия. Действие имеет размеры [ энергия] × [время] , а его единица в системе СИ — джоуль -секунда, что идентично единице углового момента .

В физике широко используются несколько различных определений «действия». Действие обычно является интегральным во времени. Однако, когда действие относится к полям , его можно интегрировать и по пространственным переменным. В некоторых случаях действие интегрируется по пути, по которому движется физическая система.

Действие обычно представляется как интеграл по времени, взятый по пути системы между начальным и конечным временем развития системы:

$${\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt,$$

где подынтегральная функция L называется лагранжианом . Чтобы интеграл действия был четко определен, траектория должна быть ограничена во времени и пространстве.

Действие (функционал)

Чаще всего этот термин используется для функционального ${\mathcal {S}}$ который принимает на вход функцию времени и (для полей ) пространства и возвращает скаляр . В классической механике входной функцией является эволюция q ( t ) системы между двумя моментами времени , _где t1 и q _t2 представляет собой обобщенные координаты . Действие ${\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]$ определяется как интеграл лагранжиана L : для входной эволюции между двумя моментами времени

$${\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt,$$

где конечные точки эволюции фиксированы и определяются как $\mathbf {q} _{1}=\mathbf {q} (t_{1})$ и $\mathbf {q} _{2}=\mathbf {q} (t_{2})$. Согласно принципу Гамильтона , истинная эволюция q _true ( t ) — это эволюция, для которой действие ${\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]$является стационарным (минимум, максимум или седловая точка ). Этот принцип приводит к уравнениям движения в лагранжевой механике .

Сокращенное действие (функционал)

Помимо функционала действия, существует еще один функционал, называемый сокращенным действием . В сокращенном действии входная функция — это путь , по которому движется физическая система без учета ее параметризации временем. Например, путь планетарной орбиты — эллипс, а путь частицы в однородном гравитационном поле — парабола; в обоих случаях путь не зависит от того, насколько быстро частица проходит путь.

Сокращенное действие ${\mathcal {S}}_{0}$ (иногда пишется как $W$) определяется как интеграл от обобщенных импульсов,

$$p_{i}={\frac {\partial L(q,t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}},$$

для системы Лагранжиана $L$ по пути в обобщенных координатах $q_{i}$:

$${\mathcal {S}}_{0}=\int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int _{q_{1}}^{q_{2}}\Sigma _{i}p_{i}\,dq_{i}.$$

где $q_{1}$ и $q_{2}$— начальная и конечная координаты. Согласно принципу Мопертюи , истинный путь системы — это путь, для которого сокращенное действие стационарно .

Характеристическая функция Гамильтона

Когда полная энергия E сохраняется, уравнение Гамильтона – Якоби можно решить с помощью аддитивного разделения переменных :

$$S(q_{1},\dots ,q_{N},t)=W(q_{1},\dots ,q_{N})-E\cdot t,$$

где независимая от времени функция W ( q ₁ , q ₂ , ..., q _N ) называется характеристической функцией Гамильтона . Физический смысл этой функции можно понять, взяв ее полную производную по времени

$${\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}=p_{i}{\dot {q}}_{i}.$$

Это можно интегрировать, чтобы дать

$$W(q_{1},\dots ,q_{N})=\int p_{i}{\dot {q}}_{i}\,dt=\int p_{i}\,dq_{i},$$

это просто сокращенное действие .

Действие обобщенной координаты

Переменная J _k в координатах действие-угол , называемая «действием» обобщенной координаты q _k , определяется путем интегрирования одного обобщенного импульса вокруг замкнутого пути в фазовом пространстве , соответствующего вращающемуся или колебательному движению:

$$J_{k}=\oint p_{k}\,dq_{k}$$

Соответствующая каноническая переменная, сопряженная с J _k , является ее «уголом» w _k по причинам, более подробно описанным в разделе «координаты действие-угол» . Интегрирование осуществляется только по одной переменной q _k и, следовательно, в отличие от интегрированного скалярного произведения в приведенном выше сокращенном интеграле действия. Переменная J _k равна изменению S _k ( q _k ) при q _k изменении по замкнутому пути. Для некоторых представляющих интерес физических систем J _k либо постоянна, либо меняется очень медленно; следовательно, переменная J _k часто используется в расчетах возмущений и при определении адиабатических инвариантов . Например, они используются при расчете орбит планет и спутников.

релятивистская

Основные статьи: Релятивистская лагранжева механика и теория относительности.

Когда релятивистские эффекты значительны, действие точечной частицы массы m , движущейся по мировой линии C , параметризованной собственным временем $\tau$ является

$$S=-mc^{2}\int _{C}\,d\tau .$$

Если вместо этого частица параметризуется координатным временем t частицы, а координатное время находится в диапазоне от t ₁ до t ₂ , то действие становится

$$S=\int _{t1}^{t2}L\,dt,$$

где лагранжиан находится

$$L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.$$

Принципы действий и связанные

Основная статья: Принцип стационарного действия

Физические законы часто выражаются в виде дифференциальных уравнений , которые описывают, как физические величины, такие как положение и импульс, изменяются непрерывно со временем , пространством или их обобщением. Учитывая начальные и граничные условия ситуации, «решением» этих эмпирических уравнений является одна или несколько функций , которые описывают поведение системы и называются уравнениями движения .

Действие является частью альтернативного подхода к поиску таких уравнений движения. Классическая механика постулирует, что путь, по которому фактически следует физическая система, — это путь, по которому действие минимизировано или, в более общем смысле, является стационарным . Другими словами, действие удовлетворяет вариационному принципу: принципу стационарного действия (см. также ниже). Действие определяется интегралом , и классические уравнения движения системы могут быть получены путем минимизации значения этого интеграла.

Принцип действия обеспечивает глубокое понимание физики и является важной концепцией в современной теоретической физике . Ниже кратко изложены различные принципы действий и связанные с ними концепции.

Принцип Мопертюи

Основная статья: принцип Мопертюи

В классической механике принцип Мопертюи (названный в честь Пьера Луи Мопертюи) гласит, что путь, по которому следует физическая система, имеет наименьшую длину (с подходящей интерпретацией пути и длины). Принцип Мопертюи использует сокращенное действие между двумя обобщенными точками на пути.

Основная функция Гамильтона

Основная статья: принцип Гамильтона

Принцип Гамильтона гласит, что дифференциальные уравнения движения любой физической системы можно переформулировать как эквивалентное интегральное уравнение . Таким образом, существует два различных подхода к формулированию динамических моделей.

Принцип Гамильтона применим не только к классической механике одиночной частицы, но и к классическим полям, таким как электромагнитное и гравитационное поля . Принцип Гамильтона также был распространен на квантовую механику и квантовую теорию поля - в частности, формулировка квантовой механики с интегралом по путям использует эту концепцию - когда физическая система исследует все возможные пути, при этом определяется фаза амплитуды вероятности для каждого пути. по действию для пути; окончательная амплитуда вероятности складывает все пути, используя их комплексную амплитуду и фазу.

Гамильтона

Основная статья: уравнение Гамильтона – Якоби

Основная функция Гамильтона $S=S(q,t;q_{0},t_{0})$ получается из функционала действия ${\mathcal {S}}$ зафиксировав начальное время $t_{0}$ и начальная конечная точка $q_{0},$ допуская при этом верхний предел времени $t$ и вторая конечная точка $q$варьироваться. Основная функция Гамильтона удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби, формулировке классической механики . Из-за сходства с уравнением Шрёдингера уравнение Гамильтона-Якоби обеспечивает, возможно, наиболее прямую связь с квантовой механикой .

–

Основная статья: уравнения Эйлера – Лагранжа

В лагранжевой механике требование, чтобы интеграл действия был стационарным при малых возмущениях, эквивалентно набору дифференциальных уравнений (называемых уравнениями Эйлера-Лагранжа), которые можно получить с помощью вариационного исчисления .

Классические поля

Смотрите также: действие Эйнштейна – Гильберта.

Принцип действия можно расширить, чтобы получить уравнения движения для полей, таких как электромагнитное поле или гравитационное поле . Уравнения Максвелла можно вывести как условия стационарного действия .

Уравнение Эйнштейна использует действие Эйнштейна-Гильберта , ограниченное вариационным принципом . Траекторию пространстве (путь в -времени ) тела в гравитационном поле можно найти, используя принцип действия. Для свободно падающего тела эта траектория является геодезической .

Законы сохранения

Основная статья: Законы сохранения

Последствия симметрии в физической ситуации можно найти с помощью принципа действия вместе с уравнениями Эйлера-Лагранжа , которые выводятся из принципа действия. Примером может служить теорема Нётер , которая утверждает, что каждой непрерывной симметрии в физической ситуации соответствует закон сохранения (и наоборот). Эта глубокая связь требует принятия принципа действия.

Формулировка квантовой теории поля с помощью

Основные статьи: Квантовая механика и квантовая теория поля

В квантовой механике система не движется по одному пути, действие которого стационарно, а поведение системы зависит от всех разрешенных путей и величины их действия. Действие, соответствующее различным путям, используется для вычисления интеграла по пути , который дает амплитуды вероятности различных результатов.

эквивалентен законам Ньютона , Хотя в классической механике принцип действия он лучше подходит для обобщений и играет важную роль в современной физике. Действительно, этот принцип является одним из величайших обобщений в физической науке. Лучше всего это понимается в рамках квантовой механики, особенно в Ричарда Фейнмана , формулировке интеграла по траекториям где оно возникает в результате деструктивной интерференции квантовых амплитуд.

Современные расширения

Принцип действия можно обобщить еще больше. Например, действие не обязательно должно быть целым, поскольку нелокальные действия возможны . Конфигурационное пространство даже не обязательно должно быть функциональным пространством , учитывая некоторые особенности, такие как некоммутативная геометрия . Однако физическую основу для этих математических расширений еще предстоит установить экспериментально.

См. также

• Вариационное исчисление
• Функциональная производная
• Функциональный интеграл
• гамильтонова механика
• лагранжиан
• Лагранжева механика
• Мера (физика)
• Теорема Нётер
• Формулировка интеграла по траектории
• Принцип наименьшего действия
• Принцип максимальной энтропии
• Некоторые действия:
  • Действие «Река – Гото»
  • Polyakov action
  • Действие Баггера – Ламберта – Густавссона
  • Действие Эйнштейна – Гильберта

Дальнейшее чтение

• Кембриджский справочник физических формул , Г. Воан, издательство Кембриджского университета, 2010 г., ISBN   978-0-521-57507-2 .
• Дэр А. Уэллс, Лагранжева динамика, серия очерков Шаума (McGraw-Hill, 1967) ISBN   0-07-069258-0 , 350-страничное подробное «описание» предмета.

Внешние ссылки

• Принцип наименьшего действия. Интерактивное объяснение/веб-страница.