Обобщенные координаты

В аналитической механике обобщенные координаты — это набор параметров, используемых для представления состояния системы в конфигурационном пространстве . Эти параметры должны однозначно определять конфигурацию системы относительно эталонного состояния. Обобщенные скорости по времени представляют собой производные от обобщенных координат системы. Прилагательное «обобщенный» отличает эти параметры от традиционного использования термина «координата» для обозначения декартовых координат .

Примером обобщенной координаты может быть описание положения маятника с использованием угла маятника относительно вертикали, а не положения маятника по осям x и y.

Хотя может быть много возможных вариантов обобщенных координат физической системы, их обычно выбирают для упрощения вычислений, таких как решение уравнений движения системы. Если координаты независимы друг от друга, то число независимых обобщенных координат определяется числом степеней свободы системы.

Обобщенные координаты соединяются с обобщенными импульсами, чтобы обеспечить канонические координаты в фазовом пространстве .

Ограничения и степени свободы

Открытый прямой путь

Открытый изогнутый путь F ( x , y ) = 0

Замкнутый изогнутый путь C ( x , y ) = 0

Одна обобщенная координата (одна степень свободы) на путях в 2D. Для однозначного определения положения на кривой необходима только одна обобщенная координата. В этих примерах этой переменной является либо длина дуги s , либо угол θ . Наличие обеих декартовых координат ( x , y ) не является необходимым, поскольку либо x , либо y связаны друг с другом уравнениями кривых. Их также можно параметризовать с помощью s или θ .

Открытый изогнутый путь F ( x , y ) знак равно 0 . Множественные пересечения радиуса с путем.

Замкнутый изогнутый путь C ( x , y ) знак равно 0 . Самопересечение пути.

Длина дуги s вдоль кривой является допустимой обобщенной координатой, поскольку положение определяется однозначно, а угол θ существует несколько положений — нет, поскольку для одного значения θ .

Обобщенные координаты обычно выбираются так, чтобы обеспечить минимальное количество независимых координат, определяющих конфигурацию системы, что упрощает формулировку Лагранжа уравнений движения . Однако может также случиться так, что полезный набор обобщенных координат может быть зависимым , что означает, что они связаны одним или несколькими уравнениями ограничений .

Голономные ограничения

Открытая изогнутая поверхность F ( x , y , z ) знак равно 0

Замкнутая изогнутая поверхность S ( x , y , z ) знак равно 0

Две обобщенные координаты, две степени свободы на криволинейных поверхностях в 3D. только два числа ( u , v ) Для указания точек на кривой необходимы , для каждого случая показана одна возможность. Полные три декартовых координаты ( x , y , z ) не нужны, поскольку любые две определяют третью в соответствии с уравнениями кривых.

Для системы из N частиц в трехмерном реальном координатном пространстве каждой вектор положения частицы можно записать как тройку в декартовых координатах :

${\begin{aligned}&\mathbf {r} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),\\&\mathbf {r} _{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),\\&\qquad \qquad \vdots \\&\mathbf {r} _{N}=(x_{N},y_{N},z_{N})\end{aligned}}$

Любой из векторов положения можно обозначить r _k , где k = 1, 2, …, N обозначает частицы. Голономная связь — это уравнение связи вида для частицы k

$f(\mathbf {r} _{k},t)=0$

который соединяет все три пространственные координаты этой частицы вместе, поэтому они не являются независимыми. Ограничение может меняться со временем, поэтому время t будет явно отображаться в уравнениях ограничений. В любой момент времени любая координата будет определена по другим координатам, например, если и _, zk заданы _то xk и yk _тоже . Одно уравнение ограничения считается одним ограничением. Если есть ограничения C , каждое из них имеет уравнение, поэтому будут C. уравнения ограничений Для каждой частицы не обязательно существует одно уравнение ограничений, и если в системе нет ограничений, то и уравнений ограничений не существует.

Пока что конфигурация системы определяется 3 N величинами, но координаты C можно исключить, по одной координате из каждого уравнения ограничений. Число независимых координат n = 3 N − C . (В измерениях D исходной конфигурации потребуются координаты ND , а сокращение с помощью ограничений означает n = ND - C ). Идеально использовать минимальное количество координат, необходимое для определения конфигурации всей системы, используя при этом преимущества системы. Эти величины известны как обобщенные координаты в этом контексте , обозначаемые q _j ( t ) . Их удобно собрать в n - кортеж

$\mathbf {q} (t)=(q_{1}(t),\ q_{2}(t),\ \ldots ,\ q_{n}(t))$

которая является точкой в ​​конфигурационном пространстве системы. Все они независимы друг от друга, и каждый является функцией времени. Геометрически это могут быть длины по прямым линиям, длины дуг по кривым или углам; не обязательно декартовы координаты или другие стандартные ортогональные координаты . приходится по одной На каждую степень свободы , поэтому количество обобщенных координат равно количеству степеней свободы n . Степень свободы соответствует одной величине, изменяющей конфигурацию системы, например углу маятника или длине дуги, проходимой шариком по проволоке.

Если из ограничений можно найти столько независимых переменных, сколько имеется степеней свободы, их можно использовать в качестве обобщенных координат. Вектор положения r _k частицы k является функцией всех n обобщенных координат (а через них и времени):

$\mathbf {r} _{k}=\mathbf {r} _{k}(\mathbf {q} (t))\,,$

а обобщенные координаты можно рассматривать как параметры, связанные с ограничением.

Соответствующие производные q по времени представляют собой обобщенные скорости:

${\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}=({\dot {q}}_{1}(t),\ {\dot {q}}_{2}(t),\ \ldots ,\ {\dot {q}}_{n}(t))$

(каждая точка над величиной обозначает одну производную по времени ). Вектор скорости v _k представляет собой полную производную от r _k по времени.

$\mathbf {v} _{k}={\dot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\,.$

и поэтому вообще зависит от обобщенных скоростей и координат. Поскольку мы вольны задавать начальные значения обобщенных координат и скоростей отдельно, обобщенные координаты q _j и скорости dq _j / dt можно рассматривать как независимые переменные .

Неголономные ограничения

Механическая система может включать ограничения как на обобщенные координаты, так и на их производные. Ограничения такого типа известны как неголономные. неголономные связи первого порядка имеют вид

$g(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=0\,,$

Примером такого ограничения является катящееся колесо или ножевая кромка, ограничивающая направление вектора скорости. Неголономные ограничения также могут включать производные следующего порядка, такие как обобщенные ускорения.

Физические величины в обобщенных координатах

Кинетическая энергия

Полная кинетическая энергия системы — это энергия движения системы, определяемая как

$T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}\,,$

в котором · является скалярным произведением . Кинетическая энергия является функцией только скоростей vk _, координат rk _{а не самих} . Напротив, важным наблюдением является

${\dot {\mathbf {r} }}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}=\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\right){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},$

который иллюстрирует, что кинетическая энергия, как правило, является функцией обобщенных скоростей, координат и времени, если ограничения также меняются со временем, поэтому T = T ( q , d q / dt , t ) .

В случае, когда ограничения на частицы не зависят от времени, то все частные производные по времени равны нулю, а кинетическая энергия является однородной функцией степени 2 по обобщенным скоростям.

Тем не менее, для случая, не зависящего от времени, это выражение эквивалентно взятию квадрата линейного элемента траектории для частицы k :

$ds_{k}^{2}=d\mathbf {r} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}=\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\right)dq_{i}dq_{j}\,,$

и разделив на квадратный дифференциал по времени, dt ² , чтобы получить квадрат скорости частицы k . Таким образом, для не зависящих от времени ограничений достаточно знать элемент линии, чтобы быстро получить кинетическую энергию частиц и, следовательно, лагранжиан .

Поучительно увидеть различные случаи полярных координат в 2D и 3D из-за их частого появления. В двумерных полярных координатах ( r , θ ) ,

$\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\,,$

в 3D цилиндрических координатах ( r , θ , z ) ,

$\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {z}}^{2}\,,$

в 3D сферических координатах ( r , θ , φ ) ,

$\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2}\,.$

Обобщенный импульс

, Обобщенный импульс « канонически сопряженный » координате qi _, определяется выражением

$p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.$

Если лагранжиан L не , поскольку производная по времени равна нулю, что означает , зависит от некоторой координаты q _i , то из уравнений Эйлера – Лагранжа следует, что соответствующий обобщенный импульс будет сохраняющейся величиной что импульс является константой движения;

${\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\dot {p}}_{i}=0\,.$

Примеры

Бусина на проволоке

Шарик вынужден двигаться по проволоке без трения. Проволока оказывает на бортик силу реакции C , удерживая его на проволоке. Несдерживающей силой N в данном случае является гравитация. Обратите внимание, что исходное положение проволоки может привести к различным движениям.

Для бусины, скользящей по проволоке без трения, подверженной только силе тяжести в 2d-пространстве, ограничение на бусину можно выразить в форме f ( r ) = 0 , где положение бусины можно записать r = ( x ( s ) , y ( s )) , где s — параметр, длина дуги s вдоль кривой из некоторой точки на проводе. Это подходящий выбор обобщенной координаты системы. Вместо двух необходима только одна координата, поскольку положение буртика можно параметризовать одним числом s , а уравнение ограничения соединяет две координаты x и y ; одно определяется из другого. Ограничивающая сила — это сила реакции, которую проволока оказывает на бортик, чтобы удержать его на проволоке, а неограничивающая приложенная сила — это сила тяжести, действующая на бортик.

Предположим, что проволока со временем меняет свою форму, сгибаясь. Тогда уравнение связи и положение частицы соответственно равны

$f(\mathbf {r} ,t)=0\,,\quad \mathbf {r} =(x(s,t),y(s,t))$

которые теперь оба зависят от времени t из-за изменения координат по мере того, как провод меняет свою форму. Обратите внимание, что время появляется неявно через координаты и явно в уравнениях ограничений.

Простой маятник

Простой маятник. Поскольку стержень жесткий, положение боба ограничивается уравнением f ( x , y ) = 0 , ограничивающая сила C — это натяжение стержня. Опять же, несдерживающая сила N в данном случае — это гравитация.

Динамическая модель простого маятника.

Взаимосвязь между использованием обобщенных координат и декартовых координат для характеристики движения механической системы можно проиллюстрировать, рассмотрев ограниченную динамику простого маятника.

Простой маятник состоит из массы М подвешенной к точке поворота так, что она вынуждена двигаться по окружности радиуса L. , Положение массы определяется координатным вектором r = ( x , y ) , измеренным в плоскости круга, так что y находится в вертикальном направлении. Координаты x и y связаны уравнением окружности

$f(x,y)=x^{2}+y^{2}-L^{2}=0,$

сдерживает движение М. что Это уравнение также дает ограничение на компоненты скорости:

${\dot {f}}(x,y)=2x{\dot {x}}+2y{\dot {y}}=0.$

Теперь введем параметр θ , который определяет угловое положение M по вертикали. Его можно использовать для определения координат x и y , таких, что

$\mathbf {r} =(x,y)=(L\sin \theta ,-L\cos \theta ).$

Использование θ для определения конфигурации этой системы позволяет избежать ограничений, обеспечиваемых уравнением окружности.

Обратите внимание, что сила тяжести, действующая на массу m , формулируется в обычных декартовых координатах:

$\mathbf {F} =(0,-mg),$

где g — ускорение свободного падения .

Виртуальная работа силы тяжести над массой m при ее следовании по траектории r определяется выражением

$\delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .$

Вариация δ r может быть вычислена через координаты x и y или через параметр θ ,

$\delta \mathbf {r} =(\delta x,\delta y)=(L\cos \theta ,L\sin \theta )\delta \theta .$

Таким образом, виртуальная работа определяется выражением

$\delta W=-mg\delta y=-mgL\sin(\theta )\delta \theta .$

что коэффициент при δy Обратите внимание , является y -компонентом приложенной силы. Точно так же коэффициент при δ θ известен как обобщенная сила вдоль обобщенной координаты θ , определяемая формулой

$F_{\theta }=-mgL\sin \theta .$

Для завершения анализа рассмотрим кинетическую энергию T массы, используя скорость:

$\mathbf {v} =({\dot {x}},{\dot {y}})=(L\cos \theta ,L\sin \theta ){\dot {\theta }},$

так,

$T={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})={\frac {1}{2}}mL^{2}{\dot {\theta }}^{2}.$

Форма принципа виртуальной работы маятника в форме Даламбера в координатах x и y имеет вид:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial T}{\partial x}}=F_{x}+\lambda {\frac {\partial f}{\partial x}},\quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {y}}}}-{\frac {\partial T}{\partial y}}=F_{y}+\lambda {\frac {\partial f}{\partial y}}.$

Это дает три уравнения

$m{\ddot {x}}=\lambda (2x),\quad m{\ddot {y}}=-mg+\lambda (2y),\quad x^{2}+y^{2}-L^{2}=0,$

по трем неизвестным x , y и λ .

Используя параметр θ , эти уравнения принимают форму

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\theta }}}}-{\frac {\partial T}{\partial \theta }}=F_{\theta },$

который становится,

$mL^{2}{\ddot {\theta }}=-mgL\sin \theta ,$

или

${\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\sin \theta =0.$

Эта формулировка дает одно уравнение, поскольку существует один параметр и нет уравнения ограничений.

Это показывает, что параметр θ является обобщенной координатой, которую можно использовать так же, как декартовы координаты x и y, для анализа маятника.

Двойной маятник

маятник Двойной

Преимущества обобщенных координат становятся очевидными при анализе двойного маятника . Для двух масс m _i ( i = 1, 2) пусть r _i = ( x _i , y _i ), i = 1, 2 определяют их две траектории. Эти векторы удовлетворяют двум уравнениям ограничений:

$f_{1}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{1}-L_{1}^{2}=0$

и

$f_{2}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})\cdot (\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})-L_{2}^{2}=0.$

Формулировка уравнений Лагранжа для этой системы дает шесть уравнений в четырех декартовых координатах x _i , y _i ( i = 1, 2) и двух множителях Лагранжа λ _i ( i = 1, 2) , которые возникают из двух уравнений ограничений.

Теперь введем обобщенные координаты θ _i ( i = 1, 2) , определяющие угловое положение каждой массы двойного маятника от вертикального направления. В этом случае мы имеем

$\mathbf {r} _{1}=(L_{1}\sin \theta _{1},-L_{1}\cos \theta _{1}),\quad \mathbf {r} _{2}=(L_{1}\sin \theta _{1},-L_{1}\cos \theta _{1})+(L_{2}\sin \theta _{2},-L_{2}\cos \theta _{2}).$

Сила тяжести, действующая на массы, определяется выражением:

$\mathbf {F} _{1}=(0,-m_{1}g),\quad \mathbf {F} _{2}=(0,-m_{2}g)$

где g — ускорение свободного падения. Следовательно, виртуальная работа гравитации над двумя массами, когда они следуют по траекториям r _i ( i = 1, 2), определяется выражением

$\delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \delta \mathbf {r} _{1}+\mathbf {F} _{2}\cdot \delta \mathbf {r} _{2}.$

Вариации δ r _i ( i = 1, 2) можно вычислить как

$\delta \mathbf {r} _{1}=(L_{1}\cos \theta _{1},L_{1}\sin \theta _{1})\delta \theta _{1},\quad \delta \mathbf {r} _{2}=(L_{1}\cos \theta _{1},L_{1}\sin \theta _{1})\delta \theta _{1}+(L_{2}\cos \theta _{2},L_{2}\sin \theta _{2})\delta \theta _{2}$

Таким образом, виртуальная работа определяется выражением

$\delta W=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1}\delta \theta _{1}-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}\delta \theta _{2},$

и обобщенные силы

$F_{\theta _{1}}=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1},\quad F_{\theta _{2}}=-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}.$

Вычислите кинетическую энергию этой системы как

$T={\frac {1}{2}}m_{1}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+{\frac {1}{2}}m_{2}\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}L_{2}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+m_{2}L_{1}L_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1}){\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}.$

Уравнение Эйлера – Лагранжа дает два уравнения в неизвестных обобщенных координатах θ _i ( i = 1, 2), заданных формулой

$(m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\ddot {\theta }}_{1}+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})+m_{2}L_{1}L_{2}{\dot {\theta _{2}}}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1},$

и

$m_{2}L_{2}^{2}{\ddot {\theta }}_{2}+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})+m_{2}L_{1}L_{2}{\dot {\theta _{1}}}^{2}\sin(\theta _{2}-\theta _{1})=-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}.$

Использование обобщенных координат θ _i ( i = 1, 2) дает альтернативу декартовой формулировке динамики двойного маятника.

Сферический маятник

Сферический маятник: углы и скорости.

Для трехмерного примера сферического маятника постоянной длины l, который может качаться в любом угловом направлении под действием силы тяжести, ограничение на качание маятника можно выразить в виде

$f(\mathbf {r} )=x^{2}+y^{2}+z^{2}-l^{2}=0\,,$

где можно записать положение качания маятника

$\mathbf {r} =(x(\theta ,\phi ),y(\theta ,\phi ),z(\theta ,\phi ))\,,$

в котором ( θ , φ ) — сферические полярные углы, поскольку боб движется по поверхности сферы. Положение r измеряется вдоль точки подвеса до боба, рассматриваемого здесь как точечная частица . Логичным выбором обобщенных координат для описания движения являются углы ( θ , φ ) . Требуются только две координаты вместо трех, потому что положение боба можно параметризовать двумя числами, а уравнение ограничения соединяет три координаты ( x , y , z ) , поэтому любая из них определяется на основе двух других.

Обобщенные координаты и виртуальная работа

Принцип виртуальной работы гласит, что если система находится в статическом равновесии, то виртуальная работа приложенных сил равна нулю при всех виртуальных движениях системы из этого состояния, то есть δ W = 0 при любом изменении δ r . Если формулировать это в терминах обобщенных координат, это эквивалентно требованию, чтобы обобщенные силы для любого виртуального перемещения были равны нулю, то есть F _i = 0 .

Пусть силы в системе F _j ( j = 1, 2, …, m ) приложены к точкам с декартовыми координатами r _j ( j = 1, 2, …, m ) , тогда виртуальная работа, создаваемая виртуальным перемещением из положения равновесия определяется выражением

$\delta W=\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}.$

где δ r _j ( j = 1, 2, …, m ) обозначают виртуальные перемещения каждой точки тела.

Теперь предположим, что каждое δ r _j зависит от обобщенных координат q _i ( i = 1, 2, …, n ) , тогда

$\delta \mathbf {r} _{j}={\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{1}}}\delta {q}_{1}+\ldots +{\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{n}}}\delta {q}_{n},$

и

$\delta W=\left(\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{1}}}\right)\delta {q}_{1}+\ldots +\left(\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{n}}}\right)\delta {q}_{n}.$

n ​ терминов

$F_{i}=\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{i}}},\quad i=1,\ldots ,n,$

— обобщенные силы, действующие на систему. Кейн показывает, что эти обобщенные силы также можно сформулировать через отношение производных по времени:

$F_{i}=\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{j}}{\partial {\dot {q}}_{i}}},\quad i=1,\ldots ,n,$

где vj _— скорость точки приложения Fj _. силы

Чтобы виртуальная работа была равна нулю при произвольном виртуальном перемещении, каждая из обобщенных сил должна быть равна нулю, т.е.

$\delta W=0\quad \Rightarrow \quad F_{i}=0,i=1,\ldots ,n.$

См. также

• Канонические координаты
• гамильтонова механика
• Виртуальная работа
• Ортогональные координаты
• Криволинейные координаты
• Массовая матрица
• Матрица жесткости
• Обобщенные силы

Библиография цитируемых ссылок

• Гинзберг, Джерри Х. (2008). Инженерная динамика (3-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-88303-0 .
• Гольдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз ; Сафко, Джон (2002). Классическая механика (3-е изд.). Сан-Франциско, Калифорния: Эддисон Уэсли. ISBN  0-201-65702-3 .
• Хэнд, Луи Н.; Финч, Джанет Д. (1998). Аналитическая механика . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521575720 .
• Киббл, TWB ; Беркшир, FH (2004). Классическая механика (5-е изд.). Ривер Эдж, Нью-Джерси: Издательство Имперского колледжа . ISBN  1860944248 .
• Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М. (1976). Механика (Третье изд.). Оксфорд. ISBN  978-0750628969 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Торби, Брюс (1984). «Энергетические методы». Advanced Dynamics для инженеров . Серия HRW в области машиностроения. Соединенные Штаты Америки: Издательство CBS College Publishing. ISBN  0-03-063366-4 .