Принцип Даламбера

Не путать с уравнением Даламбера или оператором Даламбера .

«Трактат о динамике» Жана Ле Рона д'Аламбера , 1743 год. В нем французский ученый сформулировал принцип количества движения, также известный как «принцип Даламбера».

Жан д'Аламбер (1717–1783)

Принцип Даламбера , также известный как принцип Лагранжа-Д'Аламбера , представляет собой формулировку фундаментальных классических законов движения. Он назван в честь своего первооткрывателя, французского физика и математика Жана ле Рона д’Аламбера и итало-французского математика Жозефа Луи Лагранжа . Принцип Даламбера обобщает принцип виртуальной работы от статических к систем динамическим , вводя силы инерции , которые, будучи добавлены к приложенным силам в системе, приводят к динамическому равновесию .

Принцип Даламбера можно применять в случаях кинематических ограничений , зависящих от скоростей. Этот принцип не применим к необратимым перемещениям, таким как трение скольжения , и требуется более общее определение необратимости.

Заявление о принципе

что сумма разностей между силами, действующими на систему массивных частиц, и производными по времени импульсов Принцип гласит , самой системы, спроецированных на любое виртуальное перемещение, согласующееся с ограничениями системы, равна нулю. Таким образом, в математической записи принцип Даламбера записывается следующим образом: $$\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}-{\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0,$$

где:

• $i$ — целое число, используемое для обозначения (через нижний индекс) переменной, соответствующей конкретной частице в системе,
• $\mathbf {F} _{i}$ — общая приложенная сила (исключая силы сжатия) на $i$-я частица,
• $m_{i}$ это масса $i$-я частица,
• $\mathbf {v} _{i}$ это скорость $i$-я частица,
• $\delta \mathbf {r} _{i}$ виртуальное смещение $i$-я частица, согласующаяся с ограничениями.

Для обозначения производной по времени используется точечная запись Ньютона. Приведенное выше уравнение часто называют принципом Даламбера, но в этой вариационной форме его впервые написал Жозеф Луи Лагранж . Вклад Даламбера заключался в том, чтобы продемонстрировать, что в совокупности динамической системы силы принуждения исчезают. То есть обобщенные силы $\mathbf {Q} _{j}$ не обязательно включать ограничивающие силы. Это эквивалентно несколько более громоздкому принципу наименьшего ограничения Гаусса .

Выводы

Общий случай с переменной массой

В общей формулировке принципа Даламбера упоминаются « производные по времени от импульсов системы». Согласно второму закону Ньютона, первая производная импульса по времени — это сила. Импульс $i$-я масса есть произведение его массы на скорость: $$\mathbf {p} _{i}=m_{i}\mathbf {v} _{i}$$ и ее производная по времени равна $${\dot {\mathbf {p} }}_{i}={\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}+m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}.$$

Во многих приложениях массы постоянны, и это уравнение сводится к $${\dot {\mathbf {p} }}_{i}=m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}=m_{i}\mathbf {a} _{i}.$$

Однако некоторые приложения предполагают изменение масс (например, свертывание или развертывание цепей), и в этих случаях оба термина ${\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}$ и $m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}$ должны оставаться здесь, давая $$\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i}-{\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.$$

Особый случай с постоянной массой

Рассмотрим закон Ньютона для системы частиц постоянной массы: $i$. Суммарная сила, действующая на каждую частицу, равна $$\mathbf {F} _{i}^{(T)}=m_{i}\mathbf {a} _{i},$$ где

• $\mathbf {F} _{i}^{(T)}$ – полные силы, действующие на частицы системы,
• $m_{i}\mathbf {a} _{i}$ - это силы инерции, возникающие в результате действия полных сил.

Перемещение сил инерции влево дает выражение, которое можно считать представляющим квазистатическое равновесие, но на самом деле это всего лишь небольшая алгебраическая манипуляция с законом Ньютона: $$\mathbf {F} _{i}^{(T)}-m_{i}\mathbf {a} _{i}=\mathbf {0} .$$

Учитывая виртуальную работу , $\delta W$, выполняемый совокупной и инерционной силами посредством произвольного виртуального смещения, $\delta \mathbf {r} _{i}$, системы приводит к нулевому тождеству, поскольку сумма задействованных сил равна нулю для каждой частицы.

$$\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\sum _{i}m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$$

Исходное векторное уравнение можно восстановить, если признать, что выражение работы должно выполняться для произвольных перемещений. Разделение полных сил на приложенные силы, $\mathbf {F} _{i}$и силы связи, $\mathbf {C} _{i}$, дает $$\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\sum _{i}m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.$$

Если предполагается, что произвольные виртуальные смещения происходят в направлениях, ортогональных силам ограничения (что обычно не так, поэтому этот вывод работает только для особых случаев), силы ограничения не совершают никакой работы. ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$. Говорят, что такие перемещения согласуются с ограничениями. Это приводит к формулировке принципа Даламбера , который гласит, что разница приложенных сил и сил инерции для динамической системы не совершает виртуальной работы: $$\delta W=\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.$$

Существует также соответствующий принцип для статических систем, называемый принципом виртуальной работы приложенных сил .

Принцип инерционных сил Даламбера.

Даламбер показал, что можно превратить ускоряющееся твердое тело в эквивалентную статическую систему, сложив так называемую « силу инерции » и «инерционный момент» или момент. Сила инерции должна действовать через центр масс, а момент инерции может действовать где угодно. Затем систему можно анализировать точно как статическую систему, подверженную воздействию этой «силы и момента инерции» и внешних сил. Преимущество состоит в том, что в эквивалентной статической системе можно измерять моменты относительно любой точки (а не только центра масс). Это часто приводит к более простым расчетам, поскольку любую силу (в свою очередь) можно исключить из уравнений момента, выбрав соответствующую точку, к которой применить уравнение момента (сумма моментов = нулю). Даже в курсе «Основ динамики и кинематики машин» этот принцип помогает при анализе сил, действующих на звено механизма при его движении. В учебниках инженерной динамики это иногда называют принципом Даламбера. .

Некоторые преподаватели предупреждают, что попытки использовать инерционную механику Даламбера приводят учащихся к частым ошибкам в знаках. Потенциальной причиной этих ошибок является знак инерционных сил . Силы инерции можно использовать для описания кажущейся силы в неинерциальной системе отсчета , имеющей ускорение. $\mathbf {a}$ относительно инерциальной системы отсчета . В такой неинерциальной системе отсчета масса, которая находится в состоянии покоя и имеет нулевое ускорение в инерциальной системе отсчета, поскольку на нее не действуют никакие силы, все равно будет иметь ускорение $-\mathbf {a}$ и кажущаяся инерционная, псевдо- или фиктивная сила $-m\mathbf {a}$ будет как бы действовать на него: в этой ситуации сила инерции имеет знак минус.

Динамическое равновесие

Форма принципа виртуальной работы Даламбера гласит, что система твердых тел находится в динамическом равновесии, когда виртуальная работа суммы приложенных сил и сил инерции равна нулю при любом виртуальном перемещении системы. Таким образом, динамическое равновесие системы $n$ твердые тела с $m$ обобщенные координаты требуют $$\delta W=\left(Q_{1}+Q_{1}^{*}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(Q_{m}+Q_{m}^{*}\right)\delta q_{m}=0,$$ для любого набора виртуальных перемещений $\delta q_{j}$ с $Q_{j}$ являясь обобщенной приложенной силой и $Q_{j}^{*}$ является обобщенной силой инерции. Это условие дает $m$ уравнения, $$Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,$$ что также можно записать как $${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.$$ В результате получается набор из m уравнений движения, определяющих динамику системы твердого тела.

Формулировка с использованием лагранжиана

Принцип Даламбера можно переписать в терминах лагранжиана L=TV системы как обобщенной версии принципа Гамильтона следующим образом: $$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)dt+\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0,$$ где:

• $\mathbf {r} =(\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{N})$

• $\mathbf {F} _{i}$ приложенные силы

• $\delta \mathbf {r} _{i}$ виртуальное смещение $i$-я частица, согласующаяся с ограничениями $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$
• критическая кривая удовлетворяет ограничениям $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0$

С лагранжианом $$L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2},$$ предыдущее утверждение принципа Даламбера восстановлено.

Обобщение термодинамики

Расширение принципа Даламбера можно использовать в термодинамике. Например, для адиабатически замкнутой термодинамической системы, описываемой лагранжианом, зависящей от одной энтропии S и с постоянными массами $m_{i}$, такой как $$L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},S,t)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2}-V(\mathbf {r} ,S),$$ написано так $$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},S,t)dt+\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0,$$ где предыдущие ограничения ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$ и ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0}$ обобщены с учетом энтропии как:

• $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+T\delta S=0$
• $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}+T{\dot {S}}=0.$

Здесь $T=\partial V/\partial S$ температура системы, $\mathbf {F} _{i}$ внешние силы, $\mathbf {C} _{i}$ являются внутренними диссипативными силами. В результате получаются уравнения механического и теплового баланса: $$m_{i}\mathbf {a} _{i}=-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r} _{i}}}+\mathbf {C} _{i}+\mathbf {F} _{i},\;\;i=1,...,N\qquad \qquad T{\dot {S}}=-\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}.$$ Типичные применения этого принципа включают термомеханические системы, мембранный транспорт и химические реакции.

Для $\delta S={\dot {S}}=0$ восстановлен классический принцип и уравнения Даламбера.