Механика движения плоских частиц

Механика движения плоских частиц - это анализ движения частиц, гравитационно притягивающихся друг к другу, наблюдаемых в неинерциальных системах отсчета. и обобщение этой проблемы на движение планет . Этот тип анализа тесно связан с центробежной силой , задачей двух тел , орбитой и законами движения планет Кеплера . Механика движения плоских частиц попадает в общую область аналитической динамики и помогает определять орбиты по заданным законам сил. Эта статья больше сосредоточена на кинематических вопросах, связанных с плоскостным движением, которые заключаются в определении сил, необходимых для достижения определенной траектории с учетом траектории частицы.

Общие результаты, представленные в фиктивных силах, применяются к наблюдениям за движущейся частицей, наблюдаемой из нескольких конкретных неинерциальных систем отсчёта. Например, локальная система отсчета (привязанная к движущейся частице, поэтому она кажется неподвижной) и система , вращающаяся в одном направлении (с произвольно расположенной, но фиксированной осью и скоростью вращения, при которой кажется, что частица движется только радиально и нулевое азимутальное движение). При этом лагранжев вводится подход к фиктивным силам.

В отличие от реальных сил, таких как электромагнитные силы , фиктивные силы не возникают в результате физического взаимодействия между объектами.

Анализ с

Появление фиктивных сил обычно связано с использованием неинерциальной системы отсчета , а их отсутствие — с использованием инерциальной системы отсчета . Связь между инерционными системами отсчета и фиктивными силами (называемыми также силами инерции или псевдосилами ) выражается Арнольдом:

Уравнения движения в неинерциальной системе отличаются от уравнений инерциальной системы дополнительными членами, называемыми силами инерции. Это позволяет экспериментально обнаружить неинерциальную природу системы.

- В. И. Арнольд: Математические методы классической механики , второе издание, с. 129

Несколько иной взгляд на эту тему предлагает Иро:

Дополнительная сила, возникающая из-за неравномерного относительного движения двух систем отсчета, называется псевдосилой .

- Х. Иро в «Современном подходе к классической механике» с. 180

Фиктивные силы не появляются в уравнениях движения в инерциальной системе отсчета . В инерциальной системе отсчета движение объекта объясняется реальными приложенными силами. Однако в неинерциальной системе отсчета, такой как вращающаяся система отсчета, первый и второй законы Ньютона по-прежнему можно использовать для точных физических предсказаний при условии, что наряду с реальными силами учитываются фиктивные силы. Для решения задач механики в неинерциальных системах отсчета относитесь к фиктивным силам как к реальным и представьте, что вы находитесь в инерциальной системе отсчета.

Относитесь к фиктивным силам как к реальным силам и представьте, что вы находитесь в инерциальной системе отсчета.

- Луи Н. Хэнд, Аналитическая механика Джанет Д. Финч , с. 267

Следует отметить, что «рассмотрение фиктивных сил как реальных сил» означает, что фиктивные силы, наблюдаемые в конкретной неинерциальной системе отсчета, трансформируются как векторы при преобразованиях координат, производимых в этой системе отсчета, как реальные силы.

Движущиеся объекты и системы отсчета

Далее, замечено, что изменяющиеся во времени координаты используются как в инерциальной, так и в неинерциальной системе отсчета, поэтому использование изменяющихся во времени координат не следует путать со сменой наблюдателя, и это всего лишь изменение выбора описания наблюдателем. .

Система отсчета и система координат

Термин «система отсчета» наблюдателя часто используется в очень широком смысле, но в настоящем обсуждении его значение ограничивается указанием на состояние движения , то есть либо к инерциальной системе отсчета, либо к неинерциальной системе отсчета. .

Термин «система координат» используется для различения различных возможных вариантов набора переменных для описания движения, вариантов, доступных любому наблюдателю, независимо от его состояния движения. Примерами являются декартовы координаты , полярные координаты и (в более общем плане) криволинейные координаты .

Вот две цитаты, касающиеся «состояния движения» и «системы координат»:

Сначала мы введем понятие системы отсчета , которое само по себе связано с идеей наблюдателя : система отсчета — это в некотором смысле «евклидово пространство, переносимое наблюдателем». Дадим более математическое определение:… система отсчета – это… совокупность всех точек евклидова пространства при твердотельном движении наблюдателя. Рамка, обозначенная ${\mathfrak {R}}$Говорят, что , движется вместе с наблюдателем.… Пространственные положения частиц помечены относительно рамки ${\mathfrak {R}}$ установив координат R с началом координат O. систему Соответствующий набор осей, разделяющий движение твердого тела рамы. ${\mathfrak {R}}$, можно считать дающим физическую реализацию ${\mathfrak {R}}$. В рамке ${\mathfrak {R}}$, координаты меняются с R на R ' путем проведения в каждый момент времени одного и того же преобразования координат компонентов внутренних объектов (векторов и тензоров), введенных для представления физических величин в этой системе отсчета .

— Жан Салансон, Стивен Лайл. (2001). Справочник по механике сплошных сред: общие понятия, термоупругость с. 9

В традиционных разработках специальной и общей теории относительности было принято не различать две совершенно разные идеи. Первое — это понятие системы координат, понимаемое просто как плавное, обратимое присвоение четырех чисел событиям в окрестностях пространства-времени. Вторая, система отсчета, относится к идеализированной системе, используемой для присвоения таких чисел… Чтобы избежать ненужных ограничений, мы можем отделить эту систему от метрических понятий. … Особое значение для наших целей имеет то, что каждая система отсчета имеет определенное состояние движения при каждом событии пространства-времени… В контексте специальной теории относительности и до тех пор, пока мы ограничиваемся системами отсчета, находящимися в инерциальном движении, тогда мало что важность зависит от разницы между инерциальной системой отсчета и инерциальной системой координат, которую она вызывает. Это удобное обстоятельство сразу же исчезает, как только мы начинаем рассматривать системы отсчета в неравномерном движении даже в рамках специальной теории относительности… понятие системы отсчета вновь появилось как структура, отличная от системы координат.

- Джон Д. Нортон: Общая ковариация и основы общей теории относительности: восемь десятилетий споров , член палаты представителей Prog. Физ. , 56 , стр. 835-7.

Системы координат, изменяющиеся во времени

В общей системе координат базисные векторы координат могут меняться во времени в фиксированных положениях, или они могут меняться в зависимости от положения в фиксированные моменты времени, или и то, и другое. Можно отметить, что системы координат, прикрепленные как к инерциальным, так и к неинерциальным системам отсчета, могут иметь базисные векторы, которые изменяются во времени, пространстве или в обоих случаях. Например, описание траектории в полярных координатах, видимой из инерциальной системы координат. или как видно из вращающейся рамки. Зависимое от времени описание наблюдений не меняет систему отсчета, в которой наблюдения производятся и записываются.

Фиктивные силы в местной системе координат

Рисунок 1: Локальная система координат для плоского движения по кривой. Показаны два разных положения для расстояний S и S + ds вдоль кривой. В каждой позиции указывает вдоль внешней _{S единичный вектор un} нормали к кривой, а единичный вектор u _t касается пути. Радиус кривизны траектории равен ρ, который определяется по скорости вращения касательной к кривой относительно длины дуги, и представляет собой радиус соприкасающейся в положении S. окружности Единичный круг слева показывает вращение единичных векторов с помощью S .

См. также: Обобщенные силы , Криволинейные координаты , Обобщенные координаты и формулы Френе-Серре.

При обсуждении частицы, движущейся по круговой орбите, в инерциальной системе отсчета можно выделить центростремительные и касательные силы. Некоторые фиктивные силы, обычно называемые центробежной силой и силой Эйлера , подчеркивают этот переход в словаре, и это изменение системы отсчета наблюдения от инерционной системы отсчета, где центростремительные и тангенциальные силы имеют смысл, к вращающейся системе отсчета, где частица кажется неподвижной и фиктивной центробежной силой, и необходимо ввести в действие силы Эйлера.

Вопрос, который обычно задается в учебниках, представляет собой разновидность вопроса: «Если бы кто-то сидел на частице, находящейся в общем плоском движении (а не только по круговой орбите), какой анализ лежит в основе смены шляп для введения фиктивных центробежных сил и сил Эйлера?»

Чтобы изучить этот вопрос, начните с инерциальной системы отсчета. Используя систему координат, обычно используемую в плоском движении, так называемую локальную систему координат , как показано на рисунке 1 , становится легко найти формулы для центростремительной внутренней силы, нормальной к траектории (в направлении, противоположном u _n на рисунке 1 ), и касательной силы, параллельной траектории (в направлении u _t ), как показано следующий.

Чтобы представить единичные векторы локальной системы координат, показанной на рисунке 1 , подход состоит в том, чтобы начать с декартовых координат в инерциальной системе и описать локальные координаты в терминах этих декартовых координат. На рисунке 1 s длина дуги — это расстояние, которое частица прошла по своему пути за время t . Путь r ( t ) с компонентами x ( t ), y ( t ) в декартовых координатах описывается с использованием длины дуги s ( t ) как:

$$\mathbf {r} (s)=\left[x(s),\ y(s)\right].$$

Длина дуги s(t) измеряет расстояние по следу небесного писателя. Изображение НАСА ASRS

Один из способов взглянуть на использование s — это представить путь частицы как находящийся в пространстве, как след, оставленный небесным автором , независимо от времени. Любая позиция на этом пути описывается путем указания ее расстояния s от некоторой начальной точки пути. Тогда постепенное перемещение по пути ds описывается формулой:

$$d\mathbf {r} (s)=\left[dx(s),\ dy(s)\right]=\left[x'(s),\ y'(s)\right]ds\,,$$

где штрихи введены для обозначения производных по s . Величина этого смещения равна ds , что показывает, что:

$$x'(s)^{2}+y'(s)^{2}=1$$

( 1 )

Это смещение обязательно касается кривой в точке s , показывая, что единичный вектор, касательный кривой, равен:

$$\mathbf {u} _{t}(s)=\left[x'(s),\ y'(s)\right],$$

а внешний единичный вектор, нормаль к кривой, равен

$$\mathbf {u} _{n}(s)=\left[y'(s),\ -x'(s)\right],$$

Ортогональность можно проверить, показав, что скалярное произведение вектора равно нулю. Единичная величина этих векторов является следствием уравнения. 1 .

Кроме того, обратите внимание, что использование единичных векторов, которые не выровнены по декартовым осям xy, не означает, что человек больше не находится в инерциальной системе отсчета. Все это означает, что указанный человек использует единичные векторы, которые изменяются в зависимости от s для описания пути , но при этом наблюдает за движением из инерциальной системы отсчета.

Используя касательный вектор, угол касательной к кривой, скажем, θ, определяется выражением:

$$\sin \theta ={\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=y'(s)\ ;$$

и

$$\cos \theta ={\frac {x'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=x'(s)\ .$$

Радиус кривизны вводится совершенно формально (без необходимости геометрической интерпретации) как:

$${\frac {1}{\rho }}={\frac {d\theta }{ds}}\ .$$

Производную θ можно найти из производной для sin θ:

$${\frac {d\sin \theta }{ds}}=\cos \theta {\frac {d\theta }{ds}}={\frac {1}{\rho }}\cos \theta ={\frac {1}{\rho }}x'(s)\ .$$

Сейчас:

$${\frac {d\sin \theta }{ds}}={\frac {d}{ds}}{\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}={\frac {y''(s)x'(s)^{2}-y'(s)x'(s)x''(s)}{\left(x'(s)^{2}+y'(s)^{2}\right)^{3/2}}}\ ,$$

в котором знаменатель равен единице согласно уравнению. 1 . Используя эту формулу для производной синуса, радиус кривизны становится:

$${\frac {d\theta }{ds}}={\frac {1}{\rho }}=y''(s)x'(s)-y'(s)x''(s)\ ={\frac {y''(s)}{x'(s)}}=-{\frac {x''(s)}{y'(s)}}\ ,$$

где эквивалентность форм вытекает из дифференцирования уравнения (1). 1 :

$$x'(s)x''(s)+y'(s)y''(s)=0\ .$$

Задав описание любого положения на пути в терминах связанного с ним значения s и найдя свойства пути в терминах этого описания, движение частицы вводится путем указания положения частицы в любой момент времени t как соответствующее значение s ( t ).

Используя приведенные выше результаты для свойств пути через s , ускорение в инерциальной системе отсчета, описанное через компоненты, нормальные и касательные к пути частицы, можно найти через функцию s ( t ) и ее различные производные по времени (как и раньше, штрихи обозначают дифференцирование по s ) с:

$${\begin{aligned}\mathbf {a} (s)&={\frac {d}{dt}}\mathbf {v} (s)={\frac {d}{dt}}\left[{\frac {ds}{dt}}\left(x'(s),\ y'(s)\right)\right]\\&=\left({\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}\right)\mathbf {u} _{t}(s)+\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}\left(x''(s),\ y''(s)\right)\\&=\left({\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}\right)\mathbf {u} _{t}(s)-\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}{\frac {1}{\rho }}\mathbf {u} _{n}(s)\ ,\end{aligned}}$$

взяв скалярное произведение с единичными векторами u _t ( s ) и un _{в чем можно убедиться ,} ( s ) . Этот результат для ускорения такой же, как и для кругового движения, основанного на радиусе ρ. Используя эту систему координат в инерциальной системе отсчета, легко определить силу, нормальную к траектории, как центростремительную силу, а силу, параллельную траектории, как тангенциальную силу.

Далее необходимо изменить рамки наблюдения. Сидя на частице, необходимо принять неинерциальную систему отсчета, в которой частица покоится (нулевая скорость). Эта система отсчета имеет постоянно меняющееся начало координат, которое в момент времени t является центром кривизны (центр соприкасающегося круга на рисунке 1 ) пути в момент времени t , а скорость вращения которого равна угловой скорости движения частицы вокруг это начало в момент времени t . В этой неинерциальной системе отсчета также используются единичные векторы, нормальные к траектории и параллельные ей.

Угловая скорость этой системы координат — это угловая скорость частицы вокруг центра кривизны в момент времени t . Центростремительная сила инерциальной системы отсчета интерпретируется в неинерциальной системе отсчета, где тело покоится, как сила, необходимая для преодоления центробежной силы. Аналогично, сила, вызывающая любое ускорение скорости на пути, наблюдаемом в инерциальной системе отсчета, становится силой, необходимой для преодоления силы Эйлера в неинерциальной системе отсчета, где частица находится в состоянии покоя. В системе отсчета сила Кориолиса равна нулю, поскольку частица имеет в этой системе отсчета нулевую скорость. Например, для пилота самолета эти фиктивные силы являются предметом непосредственного опыта. Однако эти фиктивные силы не могут быть связаны с простой системой отсчета, отличной от самой частицы, если только она не движется по особенно простому пути, например по кругу.

Тем не менее, с качественной точки зрения, траекторию самолета можно аппроксимировать дугой окружности в течение ограниченного времени, а в течение ограниченного времени, когда применяется определенный радиус кривизны, центробежные силы и силы Эйлера можно проанализировать на основе кругового движения с этим радиусом (см. статью о повороте самолета ).

Далее более подробно обсуждаются системы отсчета, вращающиеся вокруг фиксированной оси.

Фиктивные силы в полярных координатах

Основная статья: полярные координаты

Описание движения частицы зачастую проще в недекартовых системах координат, например, в полярных координатах. Когда уравнения движения выражаются в терминах любой криволинейной системы координат, появляются дополнительные члены, которые показывают, как изменяются базисные векторы при изменении координат. Эти члены возникают автоматически при преобразовании в полярные (или цилиндрические) координаты и, таким образом, не являются фиктивными силами , а являются просто добавленными членами ускорения в полярных координатах.

Две терминологии

В чисто математической трактовке, независимо от системы отсчета, с которой связана система координат (инерциальной или неинерциальной), в ускорении наблюдаемой частицы при использовании криволинейных координат появляются дополнительные члены. Например, в полярных координатах ускорение определяется выражением (подробности см. ниже):

$${\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\ ,$$

который содержит не только двойные производные координат по времени, но и дополнительные члены. В этом примере используются полярные координаты, но в более общем плане добавленные термины зависят от выбранной системы координат (т. е. полярной, эллиптической или любой другой системы). зависящие от системы координат, Иногда эти термины, также называют «фиктивными силами», вводя второе значение для «фиктивных сил», несмотря на то, что эти термины не обладают свойствами векторного преобразования, ожидаемыми от сил. Например, см. Шанкар и Хильдебранд. Согласно этой терминологии, фиктивные силы частично определяются самой системой координат, независимо от того, к какой системе координат она привязана, то есть независимо от того, привязана ли система координат к инерциальной или неинерциальной системе отсчета. Напротив, фиктивные силы, определенные через состояние движения наблюдателя, исчезают в инерциальных системах отсчета. Чтобы различать эти две терминологии, фиктивные силы, которые исчезают в инерциальной системе отсчета, силы инерции ньютоновской механики, называются в этой статье фиктивными силами «состояния движения» и теми, которые возникают в результате интерпретации производных по времени. в частности системы координат называются «координатными» фиктивными силами.

Если предположить, что «состояние движения» и «система координат» различны , то из этого следует, что зависимость центробежной силы (как в этой статье) от «состояния движения» и ее независимость от «системы координат», что контрастирует с «координатная» версия с прямо противоположными зависимостями указывает на то, что две разные идеи обозначаются терминологией «фиктивная сила». В настоящей статье подчеркивается одна из этих двух идей («состояние движения»), хотя описывается и другая.

Ниже вводятся полярные координаты для использования (сначала) в инерциальной системе отсчета, а затем (второ) во вращающейся системе отсчета. Указываются два различных использования термина «фиктивная сила». Однако сначала следует небольшое отступление, чтобы объяснить, как возникла «координатная» терминология для обозначения фиктивной силы.

Лагранжев подход

Смотрите также: лагранжева механика

Чтобы мотивировать введение «координированных» сил инерции не только ссылкой на «математическое удобство», ниже следует отступление, чтобы показать, что эти силы соответствуют тому, что некоторые авторы называют «обобщенными» фиктивными силами или «обобщенными силами инерции». Эти силы вводятся через лагранжев подход к механике, основанный на описании системы обобщенными координатами, обычно обозначаемыми как { q _k }. Единственное требование к этим координатам состоит в том, что они необходимы и достаточны для однозначной характеристики состояния системы: они не обязательно (хотя и могут быть) координатами частиц в системе. Вместо этого они могут быть, например, углами и удлинениями звеньев в руке робота. Если механическая система состоит из N частиц и наложено m независимых кинематических условий, то систему можно однозначно охарактеризовать n = 3 N - m независимыми обобщенными координатами { q _k }.

В классической механике лагранжиан определяется как кинетическая энергия , $T$, системы минус ее потенциальная энергия , $U$. В символах,

$$L=T-U.$$

В условиях, которые заданы в лагранжевой механике , если лагранжиан системы известен, то уравнения движения системы могут быть получены прямой подстановкой выражения для лагранжиана в уравнение Эйлера-Лагранжа , частное семейство уравнений уравнения в частных производных .

Вот некоторые определения:

Определение :

$$L({\boldsymbol {q}},\ {\boldsymbol {\dot {q}}},\ t)=T-U$$

– функция Лагранжа или лагранжиан , q _i – обобщенные координаты , ${\dot {q_{i}}}$ — обобщенные скорости ,

• $\partial L/\partial {\dot {q_{i}}}$ являются обобщенными импульсами ,
• $\partial L/\partial q_{i}$ являются обобщенными силами ,
• ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0$ являются уравнениями Лагранжа .

Целью данной статьи не является описание того, как работает лагранжева механика. Заинтересованный читатель может просмотреть другие статьи, объясняющие этот подход. На данный момент цель состоит в том, чтобы просто показать, что лагранжев подход может привести к «обобщенным фиктивным силам», которые не исчезают в инерциальных системах отсчета . Здесь важно то, что в случае одной частицы лагранжев подход может быть организован так, чтобы точно охватить только что введенные «координатные» фиктивные силы.

Чтобы продолжить, рассмотрим одну частицу и введем обобщенные координаты как { q _k } = ( r, θ ). Затем Хильдебранд показывает в полярных координатах с q _k = (r, θ), что «обобщенные импульсы» равны:

$$p_{r}=m{\dot {r}}\ ,\ p_{\theta }=mr^{2}{\dot {\theta }}\ ,$$

что приводит, например, к обобщенной силе:

$${\frac {d}{dt}}p_{r}=Q_{r}+mr{\dot {\theta }}^{2}\ ,$$

где Q _r - приложенная радиальная сила. Связь между «обобщенными силами» и силами Ньютона меняется в зависимости от выбора координат. Эта лагранжева формулировка вводит именно упомянутую выше «координатную» форму фиктивных сил, которая допускает существование «фиктивных» (обобщенных) сил в инерциальных системах отсчета, например, термин $mr{\dot {\theta }}^{2}\ .$ Внимательное прочтение Хильдебранда показывает, что он не обсуждает роль «инерциальных систем отсчета», а фактически говорит: «[Наличие или отсутствие [сил инерции] зависит не от конкретной рассматриваемой проблемы, а от координаты». выбрана система ». Под системой координат предположительно подразумевается выбор { q _k }. Позже он говорит: «Если ускорения, связанные с обобщенными координатами, должны представлять основной интерес (как это обычно бывает), члены [неускорительные] можно удобно перенести вправо… и рассматривать как дополнительные (обобщенные) силы инерции. Такие силы инерции часто говорят, что они относятся к типу Кориолиса ».

Короче говоря, акцент некоторых авторов на координатах и ​​их производных и введение ими (обобщенных) фиктивных сил, которые не исчезают в инерциальных системах отсчета, является результатом использования обобщенных координат в лагранжевой механике . Например, см. МакКуорри Хильдебранд, и из Шверина. Ниже приведен пример такого использования при разработке роботов-манипуляторов:

В приведенных выше уравнениях [Лагранжа-Эйлера] есть три типа членов. Первый предполагает вторую производную обобщенных координат. Второй квадратичен по $\mathbf {\dot {q}}$ где коэффициенты могут зависеть от $\mathbf {q}$. Они далее подразделяются на два типа. Условия, касающиеся продукта типа ${{\dot {q}}_{i}}^{2}$ называются центробежными силами , а силы, влияющие на произведение вида ${\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}$ для i ≠ j называются силами Кориолиса . Третий тип – функции $\mathbf {q}$ только и называются гравитационными силами .

- Шужи С. Ге, Тонг Хенг Ли и Кристофер Джон Харрис: Адаптивное нейронное управление роботами-манипуляторами , стр. 47-48.

Для робота-манипулятора уравнения могут быть записаны в форме с использованием символов Кристоффеля Γ _ijk (подробнее обсуждаются ниже):

$$\sum _{j=1}^{n}\ M_{ij}({\boldsymbol {q}}){\ddot {q}}_{j}+\sum _{j,k=1}^{n}\Gamma _{ijk}{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k}+{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}=\Upsilon _{i}\ ;i=1,\dots ,n\ ,$$

где M - «матрица инерции манипулятора», а V - потенциальная энергия силы тяжести (например), и $\Upsilon _{i}$ — обобщенные силы на суставе i . Таким образом, термины, включающие символы Кристоффеля, определяют термины «обобщенный центробежный» и «обобщенный Кориолис».

Введение обобщенных фиктивных сил зачастую осуществляется без уведомления и без указания слова «обобщенные». Такое использование терминологии может привести к путанице, поскольку обобщенные фиктивные силы, в отличие от стандартных фиктивных сил «состояния движения», не исчезают в инерциальных системах отсчета.

Полярные координаты в инерциальной системе отсчета

Вектор положения r всегда указывает радиально от начала координат.

Вектор скорости v , всегда касательный к траектории движения.

Вектор ускорения a не параллелен радиальному движению, а смещен угловым ускорением и ускорением Кориолиса, не касается траектории, а смещен центростремительным и радиальным ускорениями.

Кинематические векторы в плоских полярных координатах. Установка не ограничивается двумерным пространством, а плоскостью в любом более высоком измерении.

Ниже ускорение частицы определяется в инерциальной системе отсчета с использованием полярных координат. В инерциальной системе отсчета по определению не существует фиктивных сил «состояния движения». После этого представления представлена ​​и подвергнута критике контрастирующая терминология «координатных» фиктивных сил на основе невекторного трансформационного поведения этих «сил».

Пусть в инерциальной системе отсчета $\mathbf {r}$ быть вектором положения движущейся частицы. Его декартовы компоненты ( x , y ):

$$\mathbf {r} =(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )\ ,$$

с полярными координатами r и θ, зависящими от времени t .

Единичные векторы определяются в радиальном направлении наружу. $\mathbf {r}$:

$${\hat {\boldsymbol {r}}}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}=(\cos \theta ,\ \sin \theta )$$

и в направлении, перпендикулярном $\mathbf {r}$:

$${\hat {\boldsymbol {\theta }}}={\frac {\partial ^{2}{\mathbf {r} }}{\partial r\,\partial \theta }}=(-\sin \theta \ ,\cos \theta )\ .$$

Эти единичные векторы изменяются по направлению со временем:

$${\frac {d}{dt}}{\hat {\boldsymbol {r}}}=(-\sin \theta ,\ \cos \theta ){\frac {d\theta }{dt}}={\frac {d\theta }{dt}}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},$$

и:

$${\frac {d}{dt}}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}=(-\cos \theta ,\ -\sin \theta ){\frac {d\theta }{dt}}=-{\frac {d\theta }{dt}}{\hat {\boldsymbol {r}}}.$$

Используя эти производные, первая и вторая производные позиции равны:

$${\boldsymbol {v}}={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\hat {\boldsymbol {r}}}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}$$

и

$${\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\boldsymbol {r}}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\ ,$$

где дополнительные отметки указывают на временную дифференциацию. С этой формой для ускорения ${\boldsymbol {a}}$, в инерциальной системе отсчета второй закон Ньютона, выраженный в полярных координатах, имеет вид:

$${\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}=m({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\boldsymbol {r}}}+m(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\ ,$$

где F — чистая реальная сила, действующая на частицу. Никаких фиктивных сил не возникает, поскольку все фиктивные силы по определению равны нулю в инерциальной системе отсчета.

Однако с математической точки зрения иногда бывает удобно поставить в правую часть этого уравнения только производные второго порядка; то есть мы запишем приведенное выше уравнение путем перестановки членов как:

$${\boldsymbol {F}}+mr{\dot {\theta }}^{2}{\hat {\mathbf {r} }}-m2{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}=m{\tilde {\boldsymbol {a}}}=m{\ddot {r}}{\hat {\boldsymbol {r}}}+mr{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\ ,$$

где вводится «координатный» вариант «ускорения»:

$${\tilde {\boldsymbol {a}}}={\ddot {r}}{\hat {\boldsymbol {r}}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\ ,$$

состоящая только из производных по времени второго порядка координат r и θ. Члены, перенесенные в силовую часть уравнения, теперь рассматриваются как дополнительные «фиктивные силы», и, что сбивает с толку, результирующие силы также называются «центробежной» и «силой Кориолиса».

Эти недавно определенные «силы» отличны от нуля в инерциальной системе отсчета и поэтому, конечно, не совпадают с ранее выявленными фиктивными силами, которые равны нулю в инерциальной системе отсчета и отличны от нуля только в неинерциальной системе отсчета. В этой статье эти недавно определенные силы называются «координатной» центробежной силой и «координатной» силой Кориолиса, чтобы отделить их от сил «состояния движения».

Рисунок 2: Две системы координат, отличающиеся смещением начала координат. Радиальное движение с постоянной скоростью v в одной системе отсчета не является радиальным в другой. Угловая скорость ${\dot {\theta }}=0$, но ${\dot {\theta }}'\neq 0\ .$

Изменение происхождения

На рисунке 2 показан «центробежный термин». $r{\dot {\theta }}^{2}$ не трансформируется как истинная сила. Предположим, что в системе отсчета S частица движется радиально от начала координат с постоянной скоростью. См. рисунок 2. По первому закону Ньютона сила, действующая на частицу, равна нулю. Теперь мы посмотрим на то же самое из кадра S' , который такой же, но смещенный в начале координат. В состоянии S' частица все еще движется прямолинейно с постоянной скоростью, поэтому сила снова равна нулю.

Что, если в двух кадрах использовать полярные координаты? В кадре S радиальное движение постоянно и угловое движение отсутствует. Следовательно, ускорение равно:

$${\boldsymbol {a}}=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\boldsymbol {r}}}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}=0\ ,$$

и каждый член в отдельности равен нулю, потому что ${\dot {\theta }}=0,\ {\ddot {\theta }}=0$ и ${\ddot {r}}=0\$. Силы нет, в том числе и нет. $r{\dot {\theta }}^{2}$ «сила» в S. кадре в кадре S' Однако мы имеем:

$${\boldsymbol {a}}'=\left({\ddot {r}}'-r'{\dot {\theta }}'^{2}\right){\hat {\boldsymbol {r}}}'+\left(r'{\ddot {\theta }}'+2{\dot {r}}'{\dot {\theta }}'\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}'.\$$

В этом случае азимутальный член равен нулю и представляет собой скорость изменения углового момента. Однако для получения нулевого ускорения в радиальном направлении нам требуется:

$${\ddot {r}}'=r'{\dot {\theta }}'^{2}\ .$$

Правая часть не равна нулю, поскольку ни $r'$ ни ${\dot {\theta }}'$ равен нулю. То есть мы не можем получить нулевую силу (ноль ${\boldsymbol {a}}'$), если мы сохраним только ${\ddot {r}}'$ как ускорение; нам нужны оба термина.

Несмотря на вышеизложенные факты, предположим, что кто-то принял полярные координаты и хотел бы сказать, что $r{\dot {\theta }}^{2}$ это «центробежная сила», и дать новое толкование ${\ddot {r}}$ как «ускорение» (не останавливаясь на каком-либо возможном обосновании). Как выглядит это решение, если учесть, что правильная формулировка физики не зависит от геометрии и координат? См. статью об общей ковариации . Чтобы попытаться сформировать ковариантное выражение, эту так называемую центробежную «силу» можно выразить в векторной записи как:

$${\boldsymbol {F_{\dot {\theta }}}}=-{\boldsymbol {\omega \times }}\left({\boldsymbol {\omega \times r}}\right)\ ,$$

с:

$${\boldsymbol {\omega }}={\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {k}}}\ ,$$

и

$${\boldsymbol {{\hat {k}},}}$$

единичный вектор, нормальный к плоскости движения. К сожалению, хотя формально это выражение выглядит как вектор, когда наблюдатель меняет начало координат, значение ${\dot {\theta }}$ изменения (см. рисунок 2), поэтому наблюдатели в одной и той же системе отсчета, стоящие на разных углах улиц, видят разные «силы», даже если фактические события, свидетелями которых они являются, идентичны.

Как может физическая сила (будь то фиктивная или реальная) быть нулевой в одном кадре S , но ненулевой в другом кадре S', идентичном, но на расстоянии нескольких футов? Даже для точно такого же поведения частицы выражение $r{\dot {\theta }}^{2}$ различна в каждой системе отсчета, даже при очень тривиальных различиях между системами отсчета. Короче говоря, если мы возьмем $r{\dot {\theta }}^{2}$ как «центробежная сила» она не имеет универсального значения: она нефизична .

Помимо этой проблемы, реальная приложенная чистая сила равна нулю. (При прямолинейном движении с постоянной скоростью реальной приложенной силы нет). Если бы кто-то принял полярные координаты и захотел бы сказать, что $r{\dot {\theta }}^{2}$ это «центробежная сила», и дать новое толкование ${\ddot {r}}$ странность приводит к Что касается «ускорения», в кадре S' тому, что прямолинейное движение с постоянной скоростью требует результирующей силы в полярных координатах, но не в декартовых координатах. Более того, это недоумение применимо и к кадру S ' не в кадре S. , но

Поведение $r{\dot {\theta }}^{2}$ указывает на то, что нужно сказать, что $r{\dot {\theta }}^{2}$ это не центробежная сила , а просто один из двух членов ускорения. Эта точка зрения, согласно которой ускорение состоит из двух членов, не зависит от системы отсчета: в любой инерциальной системе отсчета существует нулевая центробежная сила. Она также не зависит от системы координат, что означает, что можно использовать декартову, полярную или любую другую криволинейную систему, поскольку все они дают ноль.

Конечно, помимо приведенных выше физических аргументов, приведенный выше вывод, основанный на применении математических правил дифференцирования, показывает, что радиальное ускорение действительно состоит из двух членов: ${\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}$.

Тем не менее, следующий подраздел показывает, что существует связь между этими центробежными терминами и терминами Кориолиса и фиктивными силами , которые относятся к определенной вращающейся системе отсчета (в отличие от инерциальной системы отсчета).

Рисунок 3: Инерциальная система отсчета S и мгновенная неинерциальная вращающаяся вместе система отсчета, , S' . Вращающаяся вместе система отсчета вращается с угловой скоростью Ω, равной скорости вращения частицы вокруг начала координат S' в конкретный момент t . Частица расположена в позиции вектора r (t) , а единичные векторы показаны в радиальном направлении к частице от начала координат, а также в направлении увеличения угла θ, нормального к радиальному направлению. Эти единичные векторы не обязательно должны быть связаны с касательной и нормалью к пути. Кроме того, радиальное расстояние r не обязательно должно быть связано с радиусом кривизны траектории.

Вращающаяся рамка

В случае плоского движения частицы можно показать, что «координатные» члены центробежного ускорения и ускорения Кориолиса, которые, как указано выше, не равны нулю в инерциальной системе отсчета, являются отрицательными членами «состояния движения» центробежных и ускорения Кориолиса. которые появляются в очень специфической неинерциальной системе отсчета , вращающейся вместе (см. следующий подраздел). См. рисунок 3 . Чтобы определить систему координат, вращающуюся в одном направлении, сначала выбирается начало координат, от которого расстояние r(t) определяется до частицы. Устанавливается ось вращения, перпендикулярная плоскости движения частицы и проходящая через это начало координат. Затем в выбранный момент t скорость вращения системы Ω, вращающейся вместе, приводится в соответствие со скоростью вращения частицы вокруг этой оси dθ/dt . Совместно вращающаяся рамка применяется только на мгновение и должна постоянно перевыбираться по мере движения частицы. Для получения более подробной информации см. Полярные координаты, центробежные силы и условия Кориолиса .

Полярные координаты во вращающейся системе отсчета

Далее тот же подход используется для нахождения фиктивных сил (неинерциальной) вращающейся системы отсчета. Например, если для использования во вращающейся системе наблюдения принята вращающаяся полярная система координат, обе вращающиеся с одинаковой постоянной скоростью против часовой стрелки Ω, можно найти уравнения движения в этой системе координат следующим образом: радиальная координата во вращающейся системе координат принимается за r , но угол θ' во вращающейся системе отсчета меняется со временем:

$$\theta '=\theta -\Omega t\ .$$

Следовательно,

$${\dot {\theta }}'={\dot {\theta }}-\Omega \ .$$

Подключаем этот результат к ускорению, используя единичные векторы из предыдущего раздела:

$${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}&=\left[{\ddot {r}}-r\left({\dot {\theta }}'+\Omega \right)^{2}\right]{\hat {\mathbf {r} }}+\left[r{\ddot {\theta }}'+2{\dot {r}}\left({\dot {\theta }}'+\Omega \right)\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\&=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}'^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}'+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}'){\hat {\boldsymbol {\theta }}}-\left(2r\Omega {\dot {\theta }}'+r\Omega ^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(2{\dot {r}}\Omega \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\ .\end{aligned}}$$

Два ведущих члена имеют ту же форму, что и в инерциальной системе отсчета, и являются единственными членами, если система отсчета не вращается, то есть если Ω = 0. Однако в этой вращающейся системе отсчета у нас есть дополнительные члены:

$$-\left(2r\Omega {\dot {\theta }}'+r\Omega ^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(2{\dot {r}}\Omega \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}$$

Радиальный член Ω ² r - центробежная сила на единицу массы, возникающая из-за вращения системы со скоростью Ω, и радиальный член $2r\Omega {\dot {\theta }}'$ — радиальная составляющая силы Кориолиса на единицу массы, где $r{\dot {\theta }}'$ - это тангенциальная составляющая скорости частицы, видимая во вращающейся системе отсчета. Термин $-\left(2{\dot {r}}\Omega \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}$ – это так называемая азимутальная составляющая силы Кориолиса на единицу массы. Фактически, эти дополнительные члены можно использовать для измерения Ω и проверки того, вращается ли рамка, как это объяснялось в примере вращения одинаковых сфер . Если движение частицы может быть описано наблюдателем с использованием законов движения Ньютона без этих зависящих от Ω членов, наблюдатель находится в инерциальной системе отсчета , где Ω = 0.

Эти «дополнительные члены» в ускорении частицы представляют собой фиктивные силы «состояния движения» для этой вращающейся системы отсчета, силы, возникающие при вращении системы с угловой скоростью Ω.

Каковы «координатные» фиктивные силы в этой вращающейся системе отсчета? Как и раньше, предположим, что мы решили поместить в правую часть закона Ньютона только производные по времени второго порядка:

$${\boldsymbol {F}}+mr{\dot {\theta }}'^{2}{\hat {\mathbf {r} }}-m2{\dot {r}}{\dot {\theta }}'{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+m\left(2r\Omega {\dot {\theta }}'+r\Omega ^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}-m\left(2{\dot {r}}\Omega \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}=m{\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+mr{\ddot {\theta }}'\ {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=m{\tilde {{\boldsymbol {a}}.}}$$

Если бы для удобства пришлось выбирать лечение ${\tilde {\boldsymbol {a}}}$ как «ускорение», то условия $(mr{\dot {\theta }}'^{2}{\hat {\mathbf {r} }}-m2{\dot {r}}{\dot {\theta }}'{\hat {\boldsymbol {\theta }}})$ добавляются к так называемой «фиктивной силе», которая не является фиктивными силами «состояния движения», а на самом деле является компонентами силы, которые сохраняются даже при Ω = 0, то есть фиктивные источники сохраняются даже в инерциальной среде. система отсчета. Поскольку добавлены эти дополнительные условия, фиктивная сила «координаты» — это не то же самое, что фиктивная сила «состояния движения». Из-за этих дополнительных членов «координатная» фиктивная сила не равна нулю даже в инерциальной системе отсчета.

Подробнее о вращающейся рамке

Однако в случае вращающейся системы отсчета, которая имеет ту же угловую скорость, что и частица, так что Ω = dθ/dt в какой-то конкретный момент (т. е. полярные координаты устанавливаются в мгновенной, неинерциальной ко- вращающаяся рама, показанная на рисунке 3 ). В этом случае в этот момент dθ'/dt = 0 . В этой одновременно вращающейся неинерциальной системе отсчета в этот момент «координатными» фиктивными силами являются только силы, обусловленные движением системы, то есть они такие же, как и фиктивные силы «состояния движения», как обсуждалось. в примечаниях к вращающейся воедино рамке на рисунке 3 в предыдущем разделе.

Фиктивные силы в криволинейных координатах

См. Также: Криволинейная система координат и ковариантная производная.

Рисунок 4: Координатные поверхности, координатные линии и координатные оси общих криволинейных координат.

Цитируем Булло и Льюиса: «Только в исключительных обстоятельствах конфигурация лагранжевой системы может быть описана вектором в векторном пространстве. В естественной математической ситуации пространство конфигурации системы описывается в общих чертах как искривленное пространство или, точнее, как дифференцируемое многообразие ».

Вместо декартовых координат , когда уравнения движения выражаются в криволинейной системе координат , символы Кристоффеля в ускорении частицы, выраженном в этой системе координат, появляются , как более подробно описано ниже. Рассмотрим описание движения частицы с точки зрения инерциальной системы отсчета в криволинейных координатах. Предположим, что положение точки P в декартовых координатах равно ( x , y , z ), а в криволинейных координатах равно ( q ₁ , q ₂ . q ₃ ). Тогда существуют функции, которые связывают эти описания:

$$x=x(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})\ ;$$

$$\ q_{1}=q_{1}(x,\ y,\ z)\ ,$$

и так далее. (Количество измерений может быть больше трех.) Важным аспектом таких систем координат является элемент длины дуги, который позволяет определять расстояния. Если криволинейные координаты образуют ортогональную систему координат , элемент длины дуги ds выражается как:

$$ds^{2}=\sum _{k=1}^{d}\left(h_{k}\right)^{2}\left(dq_{k}\right)^{2}\ ,$$

где величины h _k называются масштабными коэффициентами . Изменение dq _k в q _k вызывает смещение h _k dq _k вдоль координатной линии для q _k . В точке P мы помещаем единичные векторы e _k, каждый из которых касается координатной линии переменной q _k . Тогда любой вектор можно выразить через эти базисные векторы, например, из инерциальной системы отсчета вектор положения движущейся частицы r, находящейся в момент времени t в позиции P, становится:

$${\boldsymbol {r}}=\sum _{k=1}^{d}q_{k}\ {\boldsymbol {e_{k}}},\,$$

где qk _​ векторное скалярное r . и ek _{произведение} — Скорость v частицы в точке P может быть выражена в точке P как:

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {v}}&=\sum _{k=1}^{d}v_{k}\ {\boldsymbol {e_{k}}}\,&={\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {r}}=\sum _{k=1}^{d}{\dot {q}}_{k}\ {\boldsymbol {e_{k}}}+\sum _{k=1}^{d}q_{k}\ {\dot {\boldsymbol {e_{k}}}},\,\end{aligned}}$$

где v _k — векторное скалярное произведение v , а и e _k точки обозначают дифференцирование по времени.Производные базисных векторов по времени можно выразить через введенные выше масштабные коэффициенты. например:

$${\frac {\partial }{\partial q_{2}}}{\boldsymbol {e_{1}}}=-{\boldsymbol {e}}_{2}{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial h_{1}}{\partial q_{2}}}-{\boldsymbol {e}}_{3}{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial h_{1}}{\partial q_{3}}}\ ,$$

или вообще

$${\frac {\partial {\boldsymbol {e_{j}}}}{\partial q_{k}}}=\sum _{n=1}^{d}{\Gamma ^{n}}_{kj}{\boldsymbol {e_{n}}}\ ,$$

в которых коэффициенты единичных векторов являются символами Кристоффеля системы координат. Общие обозначения и формулы для символов Кристоффеля:

$${\Gamma ^{i}}_{ii}={\begin{Bmatrix}\,i\,\\i\,\,i\end{Bmatrix}}={\frac {1}{h_{i}}}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q_{i}}}\!\ ;\$$

$${\Gamma ^{i}}_{ij}=\ {\begin{Bmatrix}\,i\,\\i\,\,j\end{Bmatrix}}={\frac {1}{h_{i}}}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q_{j}}}={\begin{Bmatrix}\,i\,\\j\,\,i\end{Bmatrix}}\!\ ;\$$

$${\Gamma ^{j}}_{ii}={\begin{Bmatrix}\,j\,\\i\,\,i\end{Bmatrix}}=-{\frac {h_{i}}{{h_{j}}^{2}}}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q_{j}}}\ ,$$

и символ равен нулю, когда все индексы различны. Несмотря на видимость обратного, символы Кристоффеля не образуют компоненты тензора . Например, они равны нулю в декартовых координатах, но не в полярных координатах.

Используя такие отношения,

$${\begin{aligned}{\dot {\boldsymbol {e_{j}}}}=\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}{\boldsymbol {e_{j}}}{\dot {q}}_{k}\\&=\sum _{k=1}^{d}\sum _{i=1}^{d}{\Gamma ^{k}}_{ij}{\dot {q}}_{i}{\boldsymbol {e_{k}}}\ ,\end{aligned}}$$

что позволяет оценить все производные по времени. Например, для скорости:

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {v}}&={\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {r}}=\sum _{k=1}^{d}{\dot {q}}_{k}\ {\boldsymbol {e_{k}}}+\sum _{k=1}^{d}q_{k}\ {\dot {\boldsymbol {e_{k}}}}\\&=\sum _{k=1}^{d}{\dot {q}}_{k}\ {\boldsymbol {e_{k}}}+\sum _{j=1}^{d}q_{j}\ {\dot {\boldsymbol {e_{j}}}},\\&=\sum _{k=1}^{d}{\dot {q}}_{k}\ {\boldsymbol {e_{k}}}+\sum _{k=1}^{d}\sum _{j=1}^{d}\sum _{i=1}^{d}q_{j}\ {\Gamma ^{k}}_{ij}{\boldsymbol {e_{k}}}{\dot {q}}_{i}\\&=\sum _{k=1}^{d}\left({\dot {q}}_{k}\ +\sum _{j=1}^{d}\sum _{i=1}^{d}q_{j}\ {\Gamma ^{k}}_{ij}{\dot {q}}_{i}\right){\boldsymbol {e_{k}}}\ ,\end{aligned}}$$

с Γ-обозначением символов Кристоффеля, заменяющим обозначение скобок.Используя тот же подход, ускорение затем

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}&={\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {v}}=\sum _{k=1}^{d}{\dot {v}}_{k}\ {\boldsymbol {e_{k}}}+\sum _{k=1}^{d}v_{k}\ {\dot {\boldsymbol {e_{k}}}}\\&=\sum _{k=1}^{d}\left({\dot {v}}_{k}\ +\sum _{j=1}^{d}\sum _{i=1}^{d}v_{j}{\Gamma ^{k}}_{ij}{\dot {q}}_{i}\right){\boldsymbol {e_{k}}}\ .\end{aligned}}$$

Рассматривая соотношение ускорения, первое суммирование содержит производные скорости по времени, которые были бы связаны с ускорением, если бы это были декартовы координаты, а второе суммирование (то, что с символами Кристоффеля) содержит члены, связанные с тем, как изменяются единичные векторы. со временем.

«Состояние движения» против «координатных

Ранее в этой статье было введено различие между двумя терминами: фиктивные силы, исчезающие в инерциальной системе отсчета, называются в этой статье фиктивными силами «состояния движения», а те, которые возникают в результате дифференцирования в определенной системе координат, называются называемые «координатными» фиктивными силами. Используя приведенное выше выражение для ускорения, закон движения Ньютона в инерциальной системе отсчета принимает вид:

$${\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}=m\sum _{k=1}^{d}\left({\dot {v}}_{k}\ +\sum _{j=1}^{d}\sum _{i=1}^{d}v_{j}{\Gamma ^{k}}_{ij}{\dot {q}}_{i}\right){\boldsymbol {e_{k}}}\ ,$$

где F — чистая реальная сила, действующая на частицу. Никакие фиктивные силы «состояния движения» отсутствуют, поскольку система отсчета инерциальна, а фиктивные силы «состояния движения» равны нулю в инерциальной системе отсчета по определению.

«Координатный» подход к приведенному выше закону Ньютона состоит в том, чтобы сохранить производные по времени второго порядка от координат { q _k } как единственные члены в правой части этого уравнения, что мотивировано больше математическим удобством, чем физикой. С этой целью закон силы можно переписать, приведя вторую сумму к силовой части уравнения как:

$${\boldsymbol {F}}-m\sum _{j=1}^{d}\sum _{i=1}^{d}v_{j}{\Gamma ^{k}}_{ij}{\dot {q}}_{i}{\boldsymbol {e_{k}}}=m{\tilde {\boldsymbol {a}}}\ ,$$

с соглашением, что «ускорение» ${\tilde {\boldsymbol {a}}}$ сейчас:

$${\tilde {\boldsymbol {a}}}=\sum _{k=1}^{d}{\dot {v}}_{k}{\boldsymbol {e_{k}}}\ .$$

В приведенном выше выражении суммирование, добавленное к силовой части уравнения, теперь рассматривается так, как если бы присутствовали добавленные «силы». Эти члены суммирования обычно называются фиктивными силами в рамках этого «координатного» подхода, хотя в этой инерциальной системе отсчета все фиктивные силы «состояния движения» тождественно равны нулю. Более того, эти «силы» не преобразуются при преобразованиях координат как векторы . Таким образом, при обозначении членов суммирования как «фиктивных сил» эта терминология используется для вкладов, совершенно отличных от любой реальной силы и от «состояния движения» фиктивных сил. К этой путанице добавляется то, что эти «координатные» фиктивные силы разделены на две группы и получили те же названия , что и фиктивные силы «состояния движения», то есть они делятся на «центробежные» и «кориолисовы». , несмотря на то, что они включают термины, которые не являются центробежными терминами «состояния движения» и терминами Кориолиса. Например, эти «координатные» центробежные члены и члены Кориолиса могут быть ненулевыми. даже в инерциальной системе отсчета , где центробежная сила «состояния движения» (предмет этой статьи) и сила Кориолиса всегда равны нулю.

Если система отсчета не является инерциальной, например, во вращающейся системе отсчета, фиктивные силы «состояния движения» включены в приведенное выше выражение фиктивной силы «координат». Кроме того, если «ускорение», выраженное через производные скорости по времени первого порядка, приводит к выражениям, которые не являются просто производными второго порядка координат { q _k } по времени, тогда эти члены, которые не являются производными второго порядка Порядок также переносится в силовую часть уравнения и включается в число фиктивных сил. С точки зрения лагранжевой формулировки их можно назвать обобщенными фиктивными силами. См. Хильдебранда, например.

Формулировка динамики в терминах символов Кристоффеля и «координатной» версии фиктивных сил часто используется при проектировании роботов в связи с лагранжевой формулировкой уравнений движения.

Дальнейшее чтение

• Описание Ньютона в «Началах».
• Центробежная сила реакции - Электронная энциклопедия Колумбии
• М. Алонсо и Э. Дж. Финн, Фундаментальная университетская физика , Аддисон-Уэсли
• Центростремительная сила против центробежной силы - из онлайн-урока по физике для экзамена Риджентс, проведенного школьным округом города Освего.
• Центробежная сила действует внутрь вблизи черной дыры
• Центробежная сила на площадке концепций гиперфизики
• Список интересных ссылок. Архивировано 1 февраля 2009 г. на Wayback Machine.
• Кеннет Франклин Райли; Майкл Пол Хобсон; Стивен Джон Бенс (2002). «Производные базисных векторов и символы Кристоффеля» . Математические методы в физике и технике: Полное руководство (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 814 и далее . ISBN  0-521-89067-5 .

Внешние ссылки

• Движение по плоской поверхности Java-физлет Брайана Фидлера (из Школы метеорологии Университета Оклахомы), иллюстрирующее вымышленные силы. Фислет показывает перспективу как с вращающейся, так и с невращающейся точки зрения.
• Движение по параболической поверхности Java-физлет Брайана Фидлера (из Школы метеорологии Университета Оклахомы), иллюстрирующий вымышленные силы. Фислет показывает перспективу как с вращающейся, так и с невращающейся точки зрения.
• Анимационный клип, показывающий сцены, рассматриваемые как с инерциальной, так и с вращающейся системы отсчета, визуализируя Кориолиса и центробежные силы.
• Центростремительные и центробежные силы на MathPages
• Центробежная сила в h2g2
• Джон Баэз: Удерживает ли Луну центробежная сила?

См. также

• Расчет относительной центробежной силы
• Круговое движение
• сила Кориолиса
• Эффект Кориолиса (восприятие)
• Принцип эквивалентности
• Аргумент ведра
• Система отсчета
• Инерциальная система отсчета
• Вращательное движение
• Сила Эйлера – сила, возникающая при изменении угловой скорости вращения рамки.
• Центростремительная сила
• Реактивная центробежная сила - сила, возникающая как реакция на центростремительную силу.
  • Центробежная сила
• Фиктивная сила - сила, которую можно заставить исчезнуть, изменив систему отсчета.
• G-сила
• Ортогональные координаты
• Соприкасающийся круг
• Формулы Френе-Серре
• Статика
• Кинетика (физика)
• Кинематика
• Прикладная механика
• Аналитическая механика
• Динамика (физика)
• Классическая механика
• Принцип Даламбера
• Центрифуга