Угловая скорость

Угловая скорость
Общие символы	ой
И объединились	колесо ⋅ с −1
В базовых единицах СИ	с −1
Обширный ?	да
Интенсивный ?	да (только для твердого тела )
Сохранено ?	нет
Поведение под преобразование координат	псевдовектор
Выводы из другие количества	ω = d θ / d т
Измерение	${\mathsf {T}}^{-1}$

В физике ( угловая скорость символ ω или ${\vec {\omega }}$, строчная греческая буква омега ), также известный как вектор угловой частоты , — это псевдовекторное представление того, как угловое положение или ориентация объекта меняется со временем, т.е. как быстро объект вращается (вращается или вращается) вокруг оси вращения и как быстро сама ось меняет направление .

Величина псевдовектора, $\omega =\|{\boldsymbol {\omega }}\|$, представляет угловую скорость (или угловую частоту ), угловую скорость, с которой объект вращается (вращается или вращается). Псевдовекторное направление ${\hat {\boldsymbol {\omega }}}={\boldsymbol {\omega }}/\omega$ перпендикулярен плоскости мгновенной вращения или углового смещения .

Существует два типа угловой скорости:

• Орбитальная угловая скорость означает, насколько быстро точечный объект вращается вокруг фиксированного начала координат , т.е. скорость изменения его углового положения относительно начала координат .
• Угловая скорость вращения показывает, насколько быстро твердое тело вращается относительно своего центра вращения , и не зависит от выбора начала координат, в отличие от орбитальной угловой скорости.

Угловая скорость имеет размерность угла в единицу времени; это аналогично линейной скорости , где угол заменяет расстояние , и общее время. Единица в системе СИ угловой скорости — радианы в секунду . хотя градусы в секунду (°/с) также распространены. Радан , поэтому единицы угловой скорости в системе СИ по размерности является безразмерной величиной эквивалентны обратным секундам , с. ⁻¹ , хотя предпочтительнее рад/с, чтобы избежать путаницы со скоростью вращения в единицах герц (также эквивалентных с ⁻¹ ).

Направление угловой скорости традиционно определяется правилом правой руки , подразумевающим вращение по часовой стрелке (если смотреть на плоскость вращения); отрицание (умножение на -1) оставляет величину неизменной, но меняет ось в противоположном направлении .

Например, геостационарный спутник совершает один оборот в день над экватором (360 градусов за 24 часа) и имеет величину угловой скорости (угловую скорость) ω = 360°/24 ч = 15°/ч (или 2π рад/24 ч ≈ 0,26). рад/ч) и направление угловой скорости ( единичный вектор ), параллельное оси вращения Земли ( ${\hat {\omega }}={\hat {Z}}$, в геоцентрической системе координат ). Если угол измеряется в радианах, линейная скорость равна радиусу, умноженному на угловую скорость, ${\boldsymbol {v}}=r{\boldsymbol {\omega }}$. Таким образом , при радиусе орбиты 42 000 км от центра Земли тангенциальная скорость спутника в космосе составляет v = 42 000 км × 0,26 / ч ≈ 11 000 км/ч. Угловая скорость положительна, поскольку спутник движется вперед вместе с вращением Земли (в том же направлении, что и вращение Земли).

Орбитальная угловая скорость точечной частицы

Частица в двух измерениях

Угловая скорость частицы в точке P относительно начала координат O определяется перпендикулярной составляющей вектора скорости v .

В простейшем случае кругового движения по радиусу $r$, положение которого определяется угловым смещением $\phi (t)$ от оси x орбитальная угловая скорость представляет собой скорость изменения угла во времени: ${\textstyle \omega ={\frac {d\phi }{dt}}}$. Если $\phi$ измеряется в радианах , длина дуги от положительной оси X вокруг круга до частицы равна $\ell =r\phi$, а линейная скорость равна ${\textstyle v(t)={\frac {d\ell }{dt}}=r\omega (t)}$, так что ${\textstyle \omega ={\frac {v}{r}}}$.

В общем случае частицы, движущейся в плоскости, орбитальная угловая скорость - это скорость, с которой вектор положения относительно выбранного начала координат «выметает» угол. На диаграмме показан вектор положения $\mathbf {r}$ от происхождения $O$ к частице $P$, с его полярными координатами $(r,\phi )$. (Все переменные являются функциями времени $t$.) Частица имеет линейное расщепление скорости как $\mathbf {v} =\mathbf {v} _{\|}+\mathbf {v} _{\perp }$, с радиальной составляющей $\mathbf {v} _{\|}$ параллельно радиусу, а поперечно-радиальная (или тангенциальная) составляющая $\mathbf {v} _{\perp }$ перпендикулярно радиусу. Когда радиальная составляющая отсутствует, частица движется вокруг начала координат по кругу; но когда поперечно-радиальной составляющей нет, она движется по прямой линии от начала координат. Поскольку радиальное движение оставляет угол неизменным, в угловую скорость вносит вклад только поперечно-радиальная составляющая линейной скорости.

Угловая скорость ω — это скорость изменения углового положения во времени, которую можно вычислить по поперечно-радиальной скорости как:

$$\omega ={\frac {d\phi }{dt}}={\frac {v_{\perp }}{r}}.$$

Здесь поперечная радиальная скорость $v_{\perp }$ - это знаковая величина $\mathbf {v} _{\perp }$, положительный для движения против часовой стрелки, отрицательный для движения по часовой стрелке. Приняв полярные координаты за линейную скорость $\mathbf {v}$ дает величину $v$ (линейная скорость) и угол $\theta$ относительно радиус-вектора; в этих терминах, $v_{\perp }=v\sin(\theta )$, так что

$$\omega ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}.$$

Эти формулы можно получить, выполнив $\mathbf {r} =(r\cos(\varphi ),r\sin(\varphi ))$, существование $r$ функция расстояния до начала координат по времени, и $\varphi$ функция угла между вектором и осью x. Затем:

$${\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=({\dot {r}}\cos(\varphi )-r{\dot {\varphi }}\sin(\varphi ),{\dot {r}}\sin(\varphi )+r{\dot {\varphi }}\cos(\varphi )),$$

что равно:

$${\dot {r}}(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))+r{\dot {\varphi }}(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}$$

(см. Единичный вектор в цилиндрических координатах).

Зная ${\textstyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {v} }$, заключаем, что радиальная составляющая скорости определяется выражением ${\dot {r}}$, потому что ${\hat {r}}$ – радиальный единичный вектор; а перпендикулярная составляющая определяется выражением $r{\dot {\varphi }}$ потому что ${\hat {\varphi }}$ является перпендикулярным единичным вектором.

В двух измерениях угловая скорость представляет собой число со знаком плюс или минус, указывающее ориентацию, но не указывающее направление. Знак условно считается положительным, если радиус-вектор поворачивается против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке. Угловую скорость тогда можно назвать псевдоскаляром , числовой величиной, которая меняет знак при инверсии четности , например, при инвертировании одной оси или переключении двух осей.

Частица в трёх измерениях

Вектор орбитальной угловой скорости кодирует временную скорость изменения углового положения, а также мгновенную плоскость углового смещения. В этом случае (круговое движение против часовой стрелки) вектор направлен вверх.

В трехмерном пространстве мы снова имеем вектор положения r движущейся частицы . Здесь орбитальная угловая скорость представляет собой псевдовектор , величина которого равна скорости, с которой r смещает угол (в радианах за единицу времени), и направление которого перпендикулярно мгновенной плоскости, в которой r сметает угол (т. е. плоскости, охватываемой r и v ). Однако, поскольку существует два направления, перпендикулярных любой плоскости, необходимо дополнительное условие, чтобы однозначно указать направление угловой скорости; традиционно правило правой руки используется .

Пусть псевдовектор $\mathbf {u}$ быть единичным вектором, перпендикулярным плоскости, охватываемой r и v , так что выполняется правило правой руки (т. е. мгновенное направление углового смещения - против часовой стрелки, если смотреть сверху $\mathbf {u}$). Берем полярные координаты $(r,\phi )$ в этой плоскости, как и в двумерном случае, описанном выше, можно определить вектор орбитальной угловой скорости как:

${\boldsymbol {\omega }}=\omega \mathbf {u} ={\frac {d\phi }{dt}}\mathbf {u} ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}\mathbf {u} ,$

где θ — угол между r и v . С точки зрения перекрестного произведения это:

${\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}.$

Из приведенного выше уравнения можно восстановить тангенциальную скорость как:

$\mathbf {v} _{\perp }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$

Угловая скорость вращения твердого тела или системы отсчета

Учитывая вращающуюся систему координат из трех единичных векторов координат, все три должны иметь одинаковую угловую скорость в каждый момент времени. В такой системе отсчета каждый вектор можно рассматривать как движущуюся частицу с постоянным скалярным радиусом.

Вращающаяся система отсчета появляется в контексте твердых тел , и для нее были разработаны специальные инструменты: угловая скорость вращения может быть описана как вектор или, что то же самое, как тензор .

В соответствии с общим определением угловая скорость вращения системы координат определяется как орбитальная угловая скорость любого из трех векторов (одна и та же для всех) относительно собственного центра вращения. Сложение векторов угловой скорости для кадров также определяется обычным сложением векторов (композицией линейных движений) и может быть полезно для разложения вращения, как в карданном подвесе . Все компоненты вектора можно рассчитать как производные от параметров, определяющих движущиеся системы отсчета (углы Эйлера или матрицы вращения). Как и в общем случае, сложение коммутативно: $\omega _{1}+\omega _{2}=\omega _{2}+\omega _{1}$.

По теореме Эйлера о вращении любая вращающаяся система отсчета обладает мгновенной осью вращения , которая является направлением вектора угловой скорости, а величина угловой скорости соответствует двумерному случаю.

Если мы выберем точку отсчета ${{\boldsymbol {r}}_{0}}$ закрепленное в твердом теле, скорость ${\dot {\boldsymbol {r}}}$ любой точки тела определяется выражением

${\dot {\boldsymbol {r}}}={\dot {{\boldsymbol {r}}_{0}}}+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {r}}-{{\boldsymbol {r}}_{0}})$

Компоненты базисных векторов фиксированного каркаса

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки О. Построим в теле систему отсчета, состоящую из ортонормированного набора векторов. $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$ фиксированы к телу и имеют общее начало в точке O. Тогда вектор угловой скорости вращения как системы отсчета, так и тела вокруг O равен

${\boldsymbol {\omega }}=\left({\dot {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\right)\mathbf {e} _{3}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\right)\mathbf {e} _{1}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\right)\mathbf {e} _{2},$

где ${\dot {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {d\mathbf {e} _{i}}{dt}}$ - скорость изменения вектора кадра $\mathbf {e} _{i},i=1,2,3,$ из-за вращения.

Эта формула несовместима с выражением для орбитальной угловой скорости

${\boldsymbol {\omega }}={\frac {{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}}{r^{2}}},$

поскольку эта формула определяет угловую скорость для одной точки вокруг О, а формула в этом разделе применяется к раме или твердому телу. В случае твердого тела один ${\boldsymbol {\omega }}$ должен учитывать движение всех частиц в теле.

из

Диаграмма, показывающая рамку Эйлера зеленым цветом

Компоненты псевдовектора угловой скорости вращения были впервые рассчитаны Леонардом Эйлером с использованием его углов Эйлера и использования промежуточной системы отсчета:

• Одна ось системы отсчета (ось прецессии)
• Линия узлов движущейся системы отсчета относительно системы отсчета (ось нутации)
• Одна ось подвижной системы отсчета (собственная ось вращения)

Эйлер доказал, что проекции псевдовектора угловой скорости на каждую из этих трех осей являются производной связанного с ней угла (что эквивалентно разложению мгновенного вращения на три мгновенных вращения Эйлера ). Поэтому:

${\boldsymbol {\omega }}={\dot {\alpha }}\mathbf {u} _{1}+{\dot {\beta }}\mathbf {u} _{2}+{\dot {\gamma }}\mathbf {u} _{3}$

Этот базис не является ортонормированным, и его сложно использовать, но теперь вектор скорости можно изменить на фиксированную систему отсчета или на движущуюся систему, просто сменив базис. Например, переход на мобильный фрейм:

${\boldsymbol {\omega }}=({\dot {\alpha }}\sin \beta \sin \gamma +{\dot {\beta }}\cos \gamma ){\hat {\mathbf {i} }}+({\dot {\alpha }}\sin \beta \cos \gamma -{\dot {\beta }}\sin \gamma ){\hat {\mathbf {j} }}+({\dot {\alpha }}\cos \beta +{\dot {\gamma }}){\hat {\mathbf {k} }}$

где ${\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}$ – единичные векторы системы отсчета, закрепленной в движущемся теле. Этот пример был создан с использованием соглашения ZXZ для углов Эйлера.

Тензор

Этот раздел представляет собой отрывок из Тензора угловой скорости . [ редактировать ]

Тензор угловой скорости представляет собой кососимметричную матрицу, определяемую формулой:

$\Omega ={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\\\end{pmatrix}}$

Приведенные выше скалярные элементы соответствуют вектора угловой скорости. компонентам ${\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})$.

Это бесконечно малая матрица вращения .Линейное отображение Ω действует как векторное произведение $({\boldsymbol {\omega }}\times )$:

${\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}=\Omega {\boldsymbol {r}}$

где ${\boldsymbol {r}}$ является вектором положения .

При умножении на разницу во времени получается тензор углового смещения .

См. также

• Угловое ускорение
• Угловая частота
• Угловой момент
• Скорость по площади
• Изометрия
• Ортогональная группа
• Динамика жесткого тела
• завихренность

Ссылки

• Саймон, Кейт (1971). Механика . Аддисон-Уэсли, Ридинг, Массачусетс. ISBN  978-0-201-07392-8 .
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1997). Механика . Баттерворт-Хайнеманн. ISBN  978-0-7506-2896-9 .

Внешние ссылки

• Учебник физики для колледжа Артура Лаланна Кимбалла ( Угловая скорость частицы )
• Пикеринг, Стив (2009). «ω Скорость вращения [Угловая скорость]» . Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .