Динамика жесткого тела

Движение каждого из компонентов паровой машины Бултона и Уатта (1784 г.) можно описать системой уравнений кинематики и кинетики.

В физической науке динамика динамика твердого тела изучает движение систем взаимосвязанных тел под действием внешних сил . Предположение о том, что тела являются жесткими (т.е. не деформируются под действием приложенных сил), упрощает анализ, сводя параметры, описывающие конфигурацию системы, к перемещению и вращению систем отсчета, прикрепленных к каждому телу. Сюда не входят тела, обладающие текучим , высокоэластичным и пластичным поведением .

Динамика системы твердого тела описывается законами кинематики и применением второго закона Ньютона ( кинетики ) или его производной формы — лагранжевой механики . Решение этих уравнений движения дает описание положения, движения и ускорения отдельных компонентов системы и всей системы в целом как функции времени . Формулировка и решение динамики твердого тела является важным инструментом компьютерного моделирования механических систем .

динамика

Если система частиц движется параллельно неподвижной плоскости, говорят, что система ограничена в плоском движении. В этом случае законы Ньютона (кинетика) для жесткой системы из N частиц Pi _, i = 1,..., N упрощаются, поскольку нет движения в направлении k . Определите результирующую силу и крутящий момент в контрольной точке R , чтобы получить

$$\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {A} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times m_{i}\mathbf {A} _{i},$$

где r _i обозначает плоскую траекторию каждой частицы.

Кинематика опорной частицы , твердого тела дает формулу ускорения частицы P _i через положение R и ускорение A а также вектор угловой скорости ω и вектор углового ускорения α твердой системы частиц как ,

$$\mathbf {A} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ))+\mathbf {A} .$$

Для систем, которые ограничены плоскостным движением, векторы угловой скорости и углового ускорения направлены вдоль k перпендикулярно плоскости движения, что упрощает это уравнение ускорения. В этом случае векторы ускорения можно упростить, введя единичные векторы e _i из опорной точки R в точку r _i и единичные векторы ${\textstyle \mathbf {t} _{i}=\mathbf {k} \times \mathbf {e} _{i}}$, так

$$\mathbf {A} _{i}=\alpha (\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i})-\omega ^{2}(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})+\mathbf {A} .$$

Это дает результирующую силу, действующую на систему, как

$$\mathbf {F} =\alpha \sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i}\right)-\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i}\right)+\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\right)\mathbf {A} ,$$

и крутящий момент как

$${\begin{aligned}\mathbf {T} ={}&\sum _{i=1}^{N}(m_{i}\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})\times \left(\alpha (\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i})-\omega ^{2}(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})+\mathbf {A} \right)\\{}={}&\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {k} +\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i}\right)\times \mathbf {A} ,\end{aligned}}$$

где ${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i}=0}$ и ${\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {t} _{i}=\mathbf {k} }$ — единичный вектор, перпендикулярный плоскости для всех частиц _Pi .

Используйте центр масс C в качестве опорной точки, чтобы эти уравнения законов Ньютона упростились до следующего вида:

$$\mathbf {F} =M\mathbf {A} ,\quad \mathbf {T} =I_{\textbf {C}}\alpha \mathbf {k} ,$$

где M — полная масса, а I _C — момент инерции относительно оси, перпендикулярной движению жесткой системы и проходящей через центр масс.

Твердое тело в трех измерениях

Описания ориентации или отношения

Основная статья: Формализмы вращения в трех измерениях

Было разработано несколько методов описания ориентации твердого тела в трех измерениях. Они обобщены в следующих разделах.

Углы Эйлера

Основная статья: углы Эйлера

Первая попытка изображения ориентации приписывается Леонарду Эйлеру . Он представил себе три системы отсчета, которые могли вращаться одна вокруг другой, и понял, что, начав с фиксированной системы отсчета и выполнив три вращения, он может получить любую другую систему отсчета в пространстве (используя два вращения для фиксации вертикальной оси и еще одно для фиксации вертикальной оси). зафиксируйте две другие оси). Значения этих трех поворотов называются углами Эйлера . Обычно, $\psi$ используется для обозначения прецессии, $\theta$ нутация, -и $\phi$ внутреннее вращение.

• 
  Схема углов Эйлера
• 
  Собственное вращение шара вокруг неподвижной оси.
• 
  Движение волчка по углам Эйлера.

Углы Тейта–Брайана

Основная статья: углы Эйлера § углы Тейта – Брайана

Углы Тейта – Брайана, еще один способ описания ориентации.

Это три угла, также известные как рыскание, тангаж и крен, углы навигации и углы кардана. Математически они представляют собой набор из шести возможностей внутри двенадцати возможных наборов углов Эйлера, причем этот порядок лучше всего использовать для описания ориентации транспортного средства, например самолета. В аэрокосмической технике их обычно называют углами Эйлера.

Вектор ориентации

Основная статья: Представление угла оси

Эйлер также понял, что композиция двух вращений эквивалентна одному вращению вокруг другой фиксированной оси ( теорема Эйлера о вращении ). Поэтому композиция первых трех углов должна быть равна всего лишь одному повороту, ось которого было сложно вычислить, пока не были разработаны матрицы.

На основании этого он ввел векторный способ описания любого вращения с вектором на оси вращения и модулем, равным значению угла. Следовательно, любую ориентацию можно представить вектором вращения (также называемым вектором Эйлера), ведущим к ней из системы отсчета. Когда вектор вращения используется для представления ориентации, его обычно называют вектором ориентации или вектором отношения.

Похожий метод, называемый представлением угла оси , описывает вращение или ориентацию с использованием единичного вектора , совмещенного с осью вращения, и отдельного значения для обозначения угла (см. рисунок).

Матрица ориентации

Основная статья: Матрица вращения

С введением матриц теоремы Эйлера были переписаны. Вращения описывались ортогональными матрицами , называемыми матрицами вращения или матрицами направленного косинуса. При использовании для представления ориентации матрицу вращения обычно называют матрицей ориентации или матрицей отношения.

Вышеупомянутый вектор Эйлера является собственным вектором матрицы вращения (матрица вращения имеет уникальное действительное собственное значение ). Произведение двух матриц вращения представляет собой композицию вращений. Поэтому, как и раньше, ориентацию можно задать как поворот от исходного кадра до достижения кадра, который мы хотим описать.

Конфигурационное пространство несимметричного -мерном объекта в n пространстве — это SO( n ) × R ^н . основу из касательных векторов Ориентацию можно визуализировать, прикрепив к объекту . Направление, в котором указывает каждый вектор, определяет его ориентацию.

Кватернион ориентации

Основная статья: Кватернионы и пространственное вращение

Другой способ описания вращения — использование кватернионов вращения , также называемых версорами. Они эквивалентны матрицам вращения и векторам вращения. Что касается векторов вращения, их легче преобразовывать в матрицы и обратно. При использовании для представления ориентации кватернионы вращения обычно называются кватернионами ориентации или кватернионами ориентации.

Второй закон Ньютона в трёх измерениях

Чтобы рассмотреть динамику твердого тела в трехмерном пространстве, второй закон Ньютона необходимо расширить, чтобы определить связь между движением твердого тела и системой сил и моментов, которые на него действуют.

Ньютон сформулировал свой второй закон для частицы следующим образом: «Изменение движения объекта пропорционально приложенной силе и происходит в направлении прямой линии, по которой действует сила». Поскольку Ньютон обычно называл массу, умноженную на скорость, «движением» частицы, фраза «изменение движения» относится к массе, умноженной на ускорение частицы, и поэтому этот закон обычно записывается как

$$\mathbf {F} =m\mathbf {a} ,$$

где под F понимается единственная внешняя сила, действующая на частицу, m — масса частицы, а — вектор ее ускорения. Распространение второго закона Ньютона на твердые тела достигается путем рассмотрения жесткой системы частиц.

Жесткая система частиц

Если система из N частиц Pi _, i=1,..., N собрана в твердое тело, то второй закон Ньютона можно применить к каждой из частиц в теле. Если F _i — внешняя сила, приложенная к частице Pi _с массой m _i , то

$$\mathbf {F} _{i}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{ij}=m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad i=1,\ldots ,N,$$

где F _ij — внутренняя сила частицы P _j, действующая на частицу P _i , которая поддерживает постоянное расстояние между этими частицами.

Тело человека моделируется как система твердых тел из геометрических тел. Для лучшей визуализации идущего человека были добавлены репрезентативные кости.

Важным упрощением этих уравнений сил является введение результирующей силы и крутящего момента, действующих на жесткую систему. Эта результирующая сила и крутящий момент получаются путем выбора одной из частиц в системе в качестве опорной точки R , где каждая из внешних сил применяется с добавлением соответствующего крутящего момента. Результирующая сила F и крутящий момент T определяются по формулам:

$$\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i},$$

где R _i — вектор, определяющий положение частицы _Pi .

Второй закон Ньютона для частицы сочетается с этими формулами для получения результирующей силы и крутящего момента:

$$\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i}),$$

где внутренние силы F _ij попарно сокращаются. Кинематика опорной частицы , твердого тела дает формулу ускорения частицы P _i через положение R и ускорение a а также вектор угловой скорости ω и вектор углового ускорения α твердой системы частиц как ,

$$\mathbf {a} _{i}=\alpha \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\omega \times (\omega \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} ))+\mathbf {a} .$$

Массовые свойства

Массовые свойства твердого тела представлены его центром масс и матрицей инерции . Выбрать опорную точку R так, чтобы она удовлетворяла условию

$$\sum _{i=1}^{N}m_{i}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )=0,$$

тогда он известен как центр масс системы.

Матрица инерции [I _R ] системы относительно опорной точки R определяется выражением

$$[I_{R}]=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\mathbf {I} \left(\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}\right)-\mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\right),$$

где $\mathbf {S} _{i}$ — вектор-столбец R _i − R ; $\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}$ это его транспонирование, и $\mathbf {I}$ представляет собой единичную матрицу размером 3 на 3.

$\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}$ является скалярным произведением $\mathbf {S} _{i}$ с собой, в то время как $\mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}$ является тензорным произведением $\mathbf {S} _{i}$ с самим собой.

Уравнения силы и момента

Используя центр масс и матрицу инерции, уравнения силы и крутящего момента для одного твердого тела принимают вид

$$\mathbf {F} =m\mathbf {a} ,\quad \mathbf {T} =[I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega ,$$

и известны как второй закон движения Ньютона для твердого тела.

Динамика взаимосвязанной системы твердых тел B _i , j = 1, ..., M формулируется путем изоляции каждого твердого тела и введения сил взаимодействия. Результирующая внешних сил и сил взаимодействия, действующих на каждое тело, дает уравнения силы и момента

$$\mathbf {F} _{j}=m_{j}\mathbf {a} _{j},\quad \mathbf {T} _{j}=[I_{R}]_{j}\alpha _{j}+\omega _{j}\times [I_{R}]_{j}\omega _{j},\quad j=1,\ldots ,M.$$

Формулировка Ньютона дает 6 M уравнений, которые определяют динамику системы M твердых тел.

Вращение в трех измерениях

Вращающийся объект, независимо от того, находится ли он под действием крутящих моментов или нет, может проявлять поведение прецессии и нутации . Фундаментальным уравнением, описывающим поведение вращающегося твердого тела, является уравнение движения Эйлера :

$${\boldsymbol {\tau }}={\frac {D\mathbf {L} }{Dt}}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} ={\frac {d(I{\boldsymbol {\omega }})}{dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}=I{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}$$

где псевдовекторы τ и L — соответственно крутящие моменты тела и его угловой момент , скаляр I — его момент инерции , вектор ω — его угловая скорость, вектор α — его угловое ускорение, D — дифференциал в инерциальная система отсчета, а d — дифференциал в относительной системе отсчета, фиксированной с телом.

Решение этого уравнения при отсутствии приложенного крутящего момента обсуждается в статьях Уравнение движения Эйлера и Эллипсоид Пуансо .

Из уравнения Эйлера следует, что крутящий момент , приложенный перпендикулярно оси вращения и, следовательно, перпендикулярно L , приводит к вращению вокруг оси, перпендикулярной как τ , так и L. τ Это движение называется прецессией . Угловая скорость прецессии Ω _P определяется векторным произведением :

$${\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\Omega }}_{\mathrm {P} }\times \mathbf {L} .$$

Прецессия гироскопа

Прецессию можно продемонстрировать, поместив волчок с горизонтальной осью и свободно поддерживая (без трения в сторону прецессии) на одном конце. Вместо того, чтобы падать, как можно было бы ожидать, вершина, кажется, бросает вызов гравитации, оставаясь с горизонтальной осью, когда другой конец оси остается без поддержки, а свободный конец оси медленно описывает круг в горизонтальной плоскости, в результате чего прецессионный поворот. Этот эффект объясняется приведенными выше уравнениями. Крутящий момент сверху создается за счет пары сил: силы тяжести, действующей вниз на центр массы устройства, и такой же силы, действующей вверх для поддержки одного конца устройства. Вращение, возникающее в результате этого крутящего момента, происходит не вниз, как можно было интуитивно ожидать, вызывая падение устройства, а перпендикулярно как гравитационному моменту (горизонтально и перпендикулярно оси вращения), так и оси вращения (горизонтально и наружу от точки опоры), т. е. вокруг вертикальной оси, заставляя устройство медленно вращаться вокруг точки опоры.

При постоянном крутящем моменте величины τ скорость прецессии Ω _P обратно пропорциональна L , величине его углового момента:

$$\tau ={\mathit {\Omega }}_{\mathrm {P} }L\sin \theta ,$$

где θ — угол между Ω _P и L. векторами Таким образом, если вращение волчка замедляется (например, из-за трения), его угловой момент уменьшается и скорость прецессии увеличивается. Это продолжается до тех пор, пока устройство не сможет вращаться достаточно быстро, чтобы выдержать собственный вес, когда оно перестанет прецессировать и упадет со своей опоры, главным образом потому, что трение против прецессии вызывает еще одну прецессию, которая вызывает падение.

По соглашению, эти три вектора — крутящий момент, вращение и прецессия — ориентированы друг относительно друга в соответствии с правилом правой руки .

Виртуальная работа сил, действующих на твердое тело

Альтернативная формулировка динамики твердого тела, имеющая ряд удобных особенностей, получается путем рассмотрения виртуальной работы сил, действующих на твердое тело.

Виртуальную работу сил, действующих в различных точках одного твердого тела, можно рассчитать, используя скорости их точек приложения и результирующие силу и крутящий момент . Чтобы убедиться в этом, пусть силы F ₁ , F ₂ ... F _n действуют на точки R ₁ , R ₂ ... R _n в твердом теле.

Траектории R _i , i = 1, ..., n определяются движением твердого тела. Скорость точек R _i вдоль их траекторий равна

$$\mathbf {V} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} ,$$

где ω — вектор угловой скорости тела.

Виртуальная работа

Работа вычисляется как скалярное произведение каждой силы со смещением точки ее контакта.

$$\delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}.$$

Если траектория твердого тела определяется набором обобщенных координат q _j , j = 1, ..., m , то виртуальные перемещения δ r _i определяются выражением

$$\delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}.$$

Виртуальная работа этой системы сил, действующих на тело в обобщенных координатах, становится

$$\delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{1}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)+\dots +\mathbf {F} _{n}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{n}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)$$

или собирая коэффициенты δq _j

$$\delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{1}}}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(\sum _{1=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)\delta q_{m}.$$

Генерализованные силы

Для простоты рассмотрим траекторию твердого тела, которая задается одной обобщенной координатой q, такой как угол поворота, тогда формула принимает вид

$$\delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} )}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.$$

Введем результирующую силу F и крутящий момент T , чтобы это уравнение приняло вид

$$\delta W=\left(\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.$$

Величина Q, определяемая формулой

$$Q=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}},$$

известна как обобщенная сила, связанная с виртуальным смещением δq. Эта формула обобщается на движение твердого тела, определяемое более чем одной обобщенной координатой, то есть

$$\delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},$$

где

$$Q_{j}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.$$

Полезно отметить, что консервативные силы, такие как сила тяжести и силы пружины, выводятся из потенциальной функции V ( q ₁ ,..., q _n ) , известной как потенциальная энергия . В этом случае обобщенные силы определяются выражением

$$Q_{j}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.$$

Форма принципа виртуальной работы Даламбера

Уравнения движения механической системы твердых тел можно определить, используя форму принципа виртуальной работы Даламбера. Принцип виртуальной работы используется для изучения статического равновесия системы твердых тел, однако за счет введения членов ускорения в законы Ньютона этот подход обобщается для определения динамического равновесия.

Статическое равновесие

Статическое равновесие твердых тел механической системы определяется условием, что виртуальная работа приложенных сил равна нулю при любом виртуальном перемещении системы. Это известно как принцип виртуальной работы. Это эквивалентно требованию, чтобы обобщенные силы для любого виртуального перемещения были равны нулю, то есть Q _i =0.

Пусть механическая система построена из n твердых тел B _i , i = 1, ..., n , и пусть результирующей приложенных сил к каждому телу являются пары сила- F _i и Ti _момент , i = 1, ..., н . Обратите внимание, что эти приложенные силы не включают силы реакции в местах соединения тел. что скорость Vi _i и угловые скорости ω _, Наконец, предположим , i = 1, ..., n для каждого твердого тела определяются одной обобщенной координатой q. Говорят, что такая система твердых тел имеет одну степень свободы .

Виртуальная работа сил и моментов и _{приложенная к этой системе с одной степенью свободы ,} Ti , _Fi определяется выражением

$$\delta W=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q=Q\delta q,$$

где

$$Q=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right),$$

— это обобщенная сила, действующая на эту систему с одной степенью свободы.

Если механическая система определяется m обобщенными координатами, q _j , j = 1, ..., m , то система имеет m степеней свободы, а виртуальная работа определяется выражением

$$\delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},$$

где

$$Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.$$

— обобщенная сила, связанная с обобщенной координатой q _j . Принцип виртуальной работы гласит, что статическое равновесие наступает, когда эти обобщенные силы, действующие на систему, равны нулю, то есть

$$Q_{j}=0,\quad j=1,\ldots ,m.$$

Эти m уравнений определяют статическое равновесие системы твердых тел.

инерции

Рассмотрим одно твердое тело, которое движется под действием равнодействующей силы F и крутящего момента T , с одной степенью свободы, определяемой обобщенной координатой q . Предположим, что точкой отсчета результирующей силы и крутящего момента является центр масс тела, тогда обобщенная сила инерции Q* , связанная с обобщенной координатой q , определяется выражением

$$Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-\left([I_{R}]{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.$$

Эту силу инерции можно вычислить по кинетической энергии твердого тела:

$$T={\tfrac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }},$$

используя формулу

$$Q^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q}}\right).$$

Система n твердых тел с m обобщенными координатами имеет кинетическую энергию

$$T=\sum _{i=1}^{n}\left({\tfrac {1}{2}}M\mathbf {V} _{i}\cdot \mathbf {V} _{i}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}_{i}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}_{i}\right),$$

который можно использовать для расчета m обобщенных сил инерции

$$Q_{j}^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.$$

Динамическое равновесие

Форма принципа виртуальной работы Даламбера гласит, что система твердых тел находится в динамическом равновесии, когда виртуальная работа суммы приложенных сил и сил инерции равна нулю при любом виртуальном перемещении системы. Таким образом, для динамического равновесия системы n твердых тел с m обобщенными координатами необходимо, чтобы

$$\delta W=\left(Q_{1}+Q_{1}^{*}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(Q_{m}+Q_{m}^{*}\right)\delta q_{m}=0,$$

для любого набора виртуальных перемещений δq _j . Это условие дает m уравнений:

$$Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,$$

что также можно записать как

$${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.$$

В результате получается набор из m уравнений движения, определяющих динамику системы твердого тела.

Уравнения Лагранжа

Если обобщенные силы Q _j выводятся из потенциальной энергии V ( q ₁ , ..., q _m ) , то эти уравнения движения принимают вид

$${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.$$

В этом случае введите лагранжиан = L − T вид V , чтобы эти уравнения движения приняли

$${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\quad j=1,\ldots ,m.$$

Они известны как уравнения движения Лагранжа .

Линейный и угловой момент

Система частиц

Линейный и угловой момент жесткой системы частиц формулируется путем измерения положения и скорости частиц относительно центра масс. Пусть система частиц P _i , i = 1, ..., n расположена в координатах r _i и скоростях v _i . Выберите опорную точку R и вычислите векторы относительного положения и скорости,

$$\mathbf {r} _{i}=\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} .$$

Полные векторы линейного и углового момента относительно опорной точки R равны

$$\mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} ,$$

и

$$\mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\times {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)\times \mathbf {V} .$$

Если R выбран в качестве центра масс, эти уравнения упрощаются до

$$\mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\times {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right).$$

Жесткая система частиц

частицы жестко связаны друг с другом, поэтому Pi _, i=1,...,n расположены по координатам r _i и скоростям vi _. Чтобы специализировать эти формулы для твердого тела, предположим, что Выберите опорную точку R и вычислите векторы относительного положения и скорости,

$$\mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}=\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} ,$$

где ω — угловая скорость системы.

Линейный момент и угловой момент этой твердой системы, измеренные относительно центра масс R , равны

$$\mathbf {p} =\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times (\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )).$$

Эти уравнения упрощаются и становятся

$$\mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =[I_{R}]\omega ,$$

где M — полная масса системы, а [IR _] — матрица момента инерции, определяемая формулой

$$[I_{R}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R],$$

где [r _i − R] — кососимметричная матрица, построенная из r _i − R. вектора

Приложения

• Для анализа робототехнических систем
• Для биомеханического анализа животных, людей или гуманоидных систем.
• Для анализа космических объектов
• Для понимания странных движений твердых тел.
• За проектирование и разработку датчиков, основанных на динамике, таких как гироскопические датчики.
• За проектирование и разработку различных приложений для повышения устойчивости автомобилей.
• Для улучшения графики видеоигр, в которых используются твердые тела.

См. также

• Аналитическая механика
• Аналитическая динамика
• Вариационное исчисление
• Классическая механика
• Динамика (механика)
• История классической механики
• Лагранжева механика
• лагранжиан
• гамильтонова механика
• Жесткое тело
• Жесткий ротор
• Динамика мягкого тела
• Многотельная система
• Полубросок
• Репольные головки
• Прецессия
• Эллипсоид Пуансо
• Гироскоп
• Физический движок
• Физический процессор
• Уровень абстракции физики – унифицированный симулятор многотельных тел.
• RigidChips — японский симулятор твердого тела.
• Уравнение Эйлера

Дальнейшее чтение

• Э. Лейманис (1965). Общая задача о движении связанных твердых тел вокруг неподвижной точки. ( Спрингер , Нью-Йорк).
• ВБ Херд (2006). Механика твердого тела: математика, физика и приложения. ( Вайли-ВЧ ).

Внешние ссылки

• Информация Криса Хекера о динамике твердого тела, заархивированная 12 марта 2007 г. в Wayback Machine.
• Физически обоснованное моделирование: принципы и практика
• База знаний DigitalRune. Архивировано 20 ноября 2008 г. на Wayback Machine. Содержит магистерскую диссертацию и коллекцию ресурсов по динамике твердого тела.
• Ф. Кляйн, «Заметка о связи линейной геометрии и механики твердых тел» (английский перевод)
• Ф. Кляйн, «О теории винтов сэра Роберта Болла» (английский перевод)
• Э. Коттон, «Применение геометрии Кэли к геометрическому исследованию смещения твердого тела вокруг фиксированной точки» (английский перевод)