Рутианская механика

Эдвард Джон Рут , 1831–1907 гг.

В классической механике процедура Рауса или механика Рута представляет собой гибридную формулировку механики Лагранжа и механики Гамильтона, разработанную Эдвардом Джоном Раутом. Соответственно, Рутиан - это функция , которая заменяет как функции Лагранжа , так и функции Гамильтона . Механика Рута эквивалентна механике Лагранжа и механике Гамильтона и не вводит никакой новой физики. Он предлагает альтернативный способ решения механических проблем.

Определения

Рутиан, как и гамильтониан, может быть получен из преобразования Лежандра лагранжиана и имеет математическую форму, аналогичную гамильтониану, но не совсем то же самое. Разница между функциями Лагранжа, Гамильтона и Рутиана заключается в их переменных. Для данного набора обобщенных координат , представляющих степени свободы в системе, лагранжиан является функцией координат и скоростей, а гамильтониан — функцией координат и импульсов.

Рутиан отличается от этих функций тем, что некоторые координаты выбираются так, чтобы иметь соответствующие обобщенные скорости, а остальные - чтобы иметь соответствующие обобщенные импульсы. Этот выбор произволен и может быть сделан для упрощения задачи. Это также приводит к тому, что уравнения Рутиана являются в точности уравнениями Гамильтона для некоторых координат и соответствующих импульсов и уравнениями Лагранжа для остальных координат и их скоростей. В каждом случае функции Лагранжа и Гамильтона заменяются одной функцией — рутианом. Таким образом, полный набор имеет преимущества обоих наборов уравнений, с удобством разделения одного набора координат на уравнения Гамильтона, а остальных на уравнения Лагранжа.

В случае лагранжевой механики обобщенные координаты q ₁ , q ₂ , ... и соответствующие скорости dq ₁ / dt , dq ₂ / dt , ... и, возможно, время t , введите лагранжиан,

$L(q_{1},q_{2},\ldots ,{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\ldots ,t)\,,\quad {\dot {q}}_{i}={\frac {dq_{i}}{dt}}\,,$

где многоточие обозначает производные по времени .

В гамильтоновой механике в гамильтониан входят обобщенные координаты q ₁ , q ₂ ,... и соответствующие им обобщенные импульсы p ₁ , p ₂ , ... и, возможно, время,

$H(q_{1},q_{2},\ldots ,p_{1},p_{2},\ldots ,t)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q_{1},q_{2},\ldots ,{\dot {q}}_{1}(p_{1}),{\dot {q}}_{2}(p_{2}),\ldots ,t)\,,\quad p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,,$

где второе уравнение представляет собой определение обобщенного импульса p _{i ,} соответствующего координате q _i ( частные производные обозначаются через ∂ ). Скорости dq _i / dt выражаются как функции соответствующих им импульсов путем обращения их определяющего соотношения. В этом контексте говорят, что pi _— это импульс, «канонически сопряженный» с q _i .

Рутиан занимает промежуточное положение между L и H ; некоторые координаты q ₁ , q ₂ , ..., q _n выбраны так, чтобы иметь соответствующие обобщенные импульсы p ₁ , p ₂ , ..., p _n , остальные координаты ζ ₁ , ζ ₂ , ..., ζ _s иметь обобщенные скорости dζ ₁ / dt , dζ ₂ / dt , ..., dζ _s / dt , а время может появиться явно;

Рутиан ( n + s степеней свободы)

$R(q_{1},\ldots ,q_{n},\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},p_{1},\ldots ,p_{n},{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}(p_{i})-L(q_{1},\ldots ,q_{n},\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},{\dot {q}}_{1}(p_{1}),\ldots ,{\dot {q}}_{n}(p_{n}),{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)\,,$

где снова обобщенная скорость dq _i / dt должна быть выражена как функция обобщенного импульса p _i через ее определяющее соотношение. Выбор того, какие n координат должны иметь соответствующие импульсы из n + s координат, произволен.

Вышеизложенное используют Ландау и Лифшиц , а также Гольдштейн . Некоторые авторы могут определить рутианцев как отрицание приведенного выше определения.

Учитывая длину общего определения, более компактным обозначением является использование жирного шрифта для кортежей (или векторов) переменных, таким образом, q = ( q ₁ , q ₂ , ..., q _n ) , ζ = ( ζ ₁ , ζ ₂ , ..., ζ _s ) , p знак равно ( p ₁ , p ₂ , ..., p _n ) , и d ζ / dt = ( dζ ₁ / dt , dζ ₂ / dt , ..., dζ _с / дт ) , так что

$R(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\zeta }},\mathbf {p} ,{\dot {\boldsymbol {\zeta }}},t)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\zeta }},{\dot {\mathbf {q} }},{\dot {\boldsymbol {\zeta }}},t)\,,$

где · — скалярное произведение , определенное в кортежах, для конкретного примера, представленного здесь:

$\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}\,.$

Уравнения движения

Для справки: уравнения Эйлера-Лагранжа для s степеней свободы представляют собой совокупность s связанных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в координатах

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\,,$

где j = 1, 2, ..., s , а уравнения Гамильтона для n степеней свободы представляют собой совокупность 2 n связанных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка по координатам и импульсам

${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,.$

Ниже уравнения движения Рутиана получены двумя способами, в процессе находятся и другие полезные производные, которые можно использовать в другом месте.

Две степени свободы

Рассмотрим случай системы с двумя степенями свободы , q и ζ , с обобщенными скоростями dq / dt и dζ / dt , а лагранжиан зависит от времени. (Обобщение на любое количество степеней свободы происходит точно так же, как и для двух). Лагранжиан системы будет иметь вид

$L(q,\zeta ,{\dot {q}},{\dot {\zeta }},t)$

Дифференциал ​ равен L ​

$dL={\frac {\partial L}{\partial q}}dq+{\frac {\partial L}{\partial \zeta }}d\zeta +{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}d{\dot {q}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.$

Теперь измените переменные с набора ( q , ζ , dq / dt , dζ / dt ) на ( q , ζ , p , dζ / dt ), просто переключив скорость dq / dt на импульс p . Эта замена переменных в дифференциалах и есть преобразование Лежандра . Дифференциал новой функции, заменяющей L, будет суммой дифференциалов в dq , dζ , dp , d ( dζ / dt ) и dt . Используя определение обобщенного импульса и уравнение Лагранжа для координаты q :

$p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\,,\quad {\dot {p}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}={\frac {\partial L}{\partial q}}$

у нас есть

$dL={\dot {p}}dq+{\frac {\partial L}{\partial \zeta }}d\zeta +pd{\dot {q}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt$

и чтобы заменить pd ( dq / dt ) на ( dq / dt ) dp , вспомните правило произведения для дифференциалов, и заменить

$pd{\dot {q}}=d({\dot {q}}p)-{\dot {q}}dp$

получить дифференциал новой функции через новый набор переменных:

$d(L-p{\dot {q}})={\dot {p}}dq+{\frac {\partial L}{\partial \zeta }}d\zeta -{\dot {q}}dp+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.$

Представляем Рутиана

$R(q,\zeta ,p,{\dot {\zeta }},t)=p{\dot {q}}(p)-L$

где снова скорость dq / dt является функцией импульса p , мы имеем

$dR=-{\dot {p}}dq-{\frac {\partial L}{\partial \zeta }}d\zeta +{\dot {q}}dp-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,,$

но из приведенного выше определения дифференциал рутиана равен

$dR={\frac {\partial R}{\partial q}}dq+{\frac {\partial R}{\partial \zeta }}d\zeta +{\frac {\partial R}{\partial p}}dp+{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}+{\frac {\partial R}{\partial t}}dt\,.$

Сравнивая коэффициенты дифференциалов dq , dζ , dp , d ( dζ / dt ) и dt , результаты представляют собой уравнения Гамильтона для координаты q :

${\dot {q}}={\frac {\partial R}{\partial p}}\,,\quad {\dot {p}}=-{\frac {\partial R}{\partial q}}\,,$

и уравнение Лагранжа для координаты ζ

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}}}={\frac {\partial R}{\partial \zeta }}$

которые следуют из

${\frac {\partial L}{\partial \zeta }}=-{\frac {\partial R}{\partial \zeta }}\,,\quad {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}=-{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}}}\,,$

и берём полную производную по времени второго уравнения и приравниваем к первому. Обратите внимание, что Рутиан заменяет гамильтониан и функции Лагранжа во всех уравнениях движения.

Оставшееся уравнение гласит, что частные производные по времени L и R отрицательны.

${\frac {\partial L}{\partial t}}=-{\frac {\partial R}{\partial t}}\,.$

Любое количество степеней свободы

Для координат n + s , как определено выше, с Рутианом

$R(q_{1},\ldots ,q_{n},\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},p_{1},\ldots ,p_{n},{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}(p_{i})-L$

уравнения движения могут быть получены с помощью преобразования Лежандра этого Рутиана, как в предыдущем разделе, но другой способ — просто взять частные производные R координатам q i _и ζ j _, импульсам pi _по и скоростям d ζ _j / dt , где i = 1, 2, ..., n и j = 1, 2, ..., s . Производные

${\frac {\partial R}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=-{\dot {p}}_{i}$

${\frac {\partial R}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}_{i}$

${\frac {\partial R}{\partial \zeta _{j}}}=-{\frac {\partial L}{\partial \zeta _{j}}}\,,$

${\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}=-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}\,,$

${\frac {\partial R}{\partial t}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,.$

Первые два являются тождественными уравнениями Гамильтона. Приравнивание полной производной по времени четвертого набора уравнений с третьим (для каждого значения j ) дает уравнения Лагранжа. Пятое — это то же самое соотношение между частными производными по времени, что и раньше. Обобщить

Уравнения движения Рута ( n + s степеней свободы)

${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial R}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial R}{\partial q_{i}}}\,,$

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}={\frac {\partial R}{\partial \zeta _{j}}}\,.$

Общее количество уравнений 2 n + s , имеется 2 n уравнений Гамильтона плюс s уравнений Лагранжа.

Энергия

Поскольку лагранжиан имеет те же единицы, что и энергия , единицы Рутиана также являются энергией. В единицах СИ это Джоуль .

Взятие полной производной лагранжиана по времени приводит к общему результату

${\frac {\partial L}{\partial t}}={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{s}{\dot {\zeta }}_{j}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}-L\right)\,.$

Если лагранжиан не зависит от времени, частная производная лагранжиана по времени равна нулю, ∂ L /∂ t = 0 , поэтому величина под полной производной по времени в скобках должна быть постоянной, это полная энергия системы

$E=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{s}{\dot {\zeta }}_{j}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}-L\,.$

(Если существуют внешние поля, взаимодействующие с составляющими системы, они могут изменяться в пространстве, но не во времени). Это выражение требует частных производных L по всем скоростям dq _i / dt и dζ _j / dt . При том же условии, что R не зависит от времени, энергия в терминах Рутиана немного проще, заменяя определение R и частные производные R по скоростям dζ _j / dt ,

$E=R-\sum _{j=1}^{s}{\dot {\zeta }}_{j}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}\,.$

только частные производные R по скоростям dζ _j / dt Обратите внимание , что нужны . В случае, когда s = 0 и рутиан явно не зависит от времени, тогда E = R , то есть рутиан равен энергии системы. То же выражение для R в случае s = 0 также является гамильтонианом, поэтому во всех случаях E = R = H .

Если Рутиан явно зависит от времени, полная энергия системы не является постоянной. Общий результат

${\frac {\partial R}{\partial t}}={\dfrac {d}{dt}}\left(R-\sum _{j=1}^{s}{\dot {\zeta }}_{j}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}\right)\,,$

которая может быть получена из полной производной R по времени так же, как и для L .

Циклические координаты

Часто подход Рута может не дать никаких преимуществ, но один примечательный случай, когда это полезно, - это когда система имеет циклические координаты (также называемые «игнорируемыми координатами»), по определению те координаты, которые не появляются в исходном лагранжиане. Уравнения Лагранжа представляют собой мощный результат, часто используемый в теории и на практике, поскольку уравнения движения в координатах легко составить. Однако, если встречаются циклические координаты, все равно придется решать уравнения для всех координат, включая циклические координаты, несмотря на их отсутствие в лагранжиане. Уравнения Гамильтона являются полезными теоретическими результатами, но менее полезными на практике, поскольку координаты и импульсы в решениях связаны друг с другом - после решения уравнений координаты и импульсы необходимо исключить друг из друга. Тем не менее, гамильтоновы уравнения идеально подходят для циклических координат, поскольку уравнения в циклических координатах тривиально исчезают, оставляя только уравнения в нециклических координатах.

Рутианский подход имеет лучшее из обоих подходов, поскольку циклические координаты можно разделить на гамильтоновы уравнения и исключить, оставив нециклические координаты, которые необходимо решать из уравнений Лагранжа. В целом необходимо решить меньше уравнений по сравнению с лагранжевым подходом.

Формулировка Рутиана полезна для систем с циклическими координатами , поскольку по определению эти координаты не входят в L и, следовательно, R. в Соответствующие частные производные L и R по этим координатам равны нулю, что соответствует приведению соответствующих обобщенных импульсов к константам. Чтобы конкретизировать это, если все q _i являются циклическими координатами, а все ζ _j не циклические, то

${\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial R}{\partial q_{i}}}=0\quad \Rightarrow \quad p_{i}=\alpha _{i}\,,$

где αi _— константы. Если эти константы подставить в рутиан, R станет функцией только нециклических координат и скоростей (и, в общем случае, также времени).

$R(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n},{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\dot {q}}_{i}(\alpha _{i})-L(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},{\dot {q}}_{1}(\alpha _{1}),\ldots ,{\dot {q}}_{n}(\alpha _{n}),{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)\,,$

Уравнение Гамильтона 2 n в циклических координатах автоматически обращается в нуль:

${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial R}{\partial \alpha _{i}}}=f_{i}(\zeta _{1}(t),\ldots ,\zeta _{s}(t),{\dot {\zeta }}_{1}(t),\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s}(t),\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n},t)\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial R}{\partial q_{i}}}=0\,,$

а s- уравнения Лагранжа находятся в нециклических координатах

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}={\frac {\partial R}{\partial \zeta _{j}}}\,.$

Таким образом, проблема свелась к решению уравнений Лагранжа в нециклических координатах, причем преимущество гамильтоновых уравнений полностью исключает циклические координаты. Используя эти решения, уравнения для ${\dot {q}}_{i}$можно интегрировать для вычисления $q_{i}(t)$.

Если нас интересует, как циклические координаты изменяются со временем, можно проинтегрировать уравнения для обобщенных скоростей, соответствующих циклическим координатам.

Примеры

Процедура Рауса не гарантирует, что уравнения движения будут простыми, однако она приведет к меньшему количеству уравнений.

Центральный потенциал в сферических координатах

Одним из общих классов механических систем с циклическими координатами являются системы с центральными потенциалами , поскольку потенциалы этой формы зависят только от радиальных расстояний и не зависят от углов.

Рассмотрим частицу массы m под действием центрального потенциала V ( r ) в сферических полярных координатах ( r , θ , φ )

$L(r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }},{\dot {\phi }})={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+{r}^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r)\,.$

Обратите внимание, что φ является циклической, поскольку она не входит в лагранжиан. Импульс, сопряженный с φ, — это константа

$p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}\,,$

в котором r и dφ / dt могут меняться со временем, но момент импульса pφ _{постоянен} . Рутиан можно считать

${\begin{aligned}R(r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }})&=p_{\phi }{\dot {\phi }}-L\\&=p_{\phi }{\dot {\phi }}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {m}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}+V(r)\\&={\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {m}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+V(r)\\&={\frac {p_{\phi }^{2}}{2mr^{2}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {m}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+V(r)\,.\end{aligned}}$

Мы можем найти решение для r и θ , используя уравнения Лагранжа, и нам не нужно решать для φ, поскольку оно исключается уравнениями Гамильтона. Уравнение r :

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial R}{\partial r}}\quad \Rightarrow \quad -m{\ddot {r}}=-{\frac {p_{\phi }^{2}}{mr^{3}\sin ^{2}\theta }}-mr{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {\partial V}{\partial r}}\,,$

и уравнение θ есть

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial R}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad -m(2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r^{2}{\ddot {\theta }})=-{\frac {p_{\phi }^{2}\cos \theta }{mr^{2}\sin ^{3}\theta }}\,.$

Подход Рута позволил получить два связанных нелинейных уравнения. Напротив, лагранжев подход приводит к трем нелинейным связанным уравнениям, смешивая во всех них первую и вторую производные по времени от φ , несмотря на ее отсутствие в лагранжиане.

Уравнение r :

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial L}{\partial r}}\quad \Rightarrow \quad m{\ddot {r}}=mr{\dot {\theta }}^{2}+mr\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}-{\frac {\partial V}{\partial r}}\,,$

θ ​ уравнение

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad 2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r^{2}{\ddot {\theta }}=r^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}\,,$

φ ​ уравнение

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \phi }}\quad \Rightarrow \quad 2r{\dot {r}}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}+2r^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\theta }}{\dot {\phi }}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\ddot {\phi }}=0\,.$

Симметричные механические системы

Сферический маятник

Сферический маятник: углы и скорости

Рассмотрим сферический маятник массы m (известный как «качалка маятника»), прикрепленный к жесткому стержню длиной l незначительной массы, находящийся под действием местного гравитационного поля g . Система вращается с угловой скоростью dφ / dt , которая не является постоянной. Угол между стержнем и вертикалью равен θ и не является постоянным.

Лагранжиан

$L(\theta ,{\dot {\theta }},{\dot {\phi }})={\frac {m\ell ^{2}}{2}}({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2})+mg\ell \cos \theta \,,$

φ — циклическая координата системы с постоянным импульсом

$p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}\,.$

что опять-таки физически является моментом импульса системы относительно вертикали. Угол θ и угловая скорость dφ / dt меняются со временем, но угловой момент остается постоянным. Рутианцы - это

${\begin{aligned}R(\theta ,{\dot {\theta }})&=p_{\phi }{\dot {\phi }}-L\\&=p_{\phi }{\dot {\phi }}-{\frac {m\ell ^{2}}{2}}{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}-mg\ell \cos \theta \\&={\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}-{\frac {m\ell ^{2}}{2}}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta \\&={\frac {p_{\phi }^{2}}{2m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {m\ell ^{2}}{2}}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta \end{aligned}}$

Уравнение θ находится из уравнений Лагранжа

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial R}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad -m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}=-{\frac {p_{\phi }^{2}\cos \theta }{m\ell ^{2}\sin ^{3}\theta }}+mg\ell \sin \theta \,,$

или упростив, введя константы

$a={\frac {p_{\phi }^{2}}{m^{2}\ell ^{4}}}\,,\quad b={\frac {g}{\ell }}\,,$

дает

${\ddot {\theta }}=a{\frac {\cos \theta }{\sin ^{3}\theta }}-b\sin \theta \,.$

Это уравнение напоминает простое нелинейное уравнение маятника , поскольку оно может качаться вокруг вертикальной оси, с дополнительным членом, учитывающим вращение вокруг вертикальной оси (константа a связана с угловым моментом p _φ ).

Применяя лагранжев подход, необходимо решить два нелинейных связанных уравнения.

Уравнение θ :

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}=m\ell ^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}-mg\ell \sin \theta \,,$

и уравнение φ имеет вид

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \phi }}\quad \Rightarrow \quad 2\sin \theta \cos \theta {\dot {\theta }}{\dot {\phi }}+\sin ^{2}\theta {\ddot {\phi }}=0\,.$

Тяжелый симметричный верх

Тяжелый симметричный волчок по углам Эйлера

Тяжелый симметричный волчок массы M имеет лагранжиан

$L(\theta ,{\dot {\theta }},{\dot {\psi }},{\dot {\phi }})={\frac {I_{1}}{2}}({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}\theta )+{\frac {I_{3}}{2}}({\dot {\psi }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\cos ^{2}\theta )+I_{3}{\dot {\psi }}{\dot {\phi }}\cos \theta -Mg\ell \cos \theta$

где ψ , φ , θ — углы Эйлера , θ — угол между вертикальной осью z и осью z ′ волчка, ψ – вращение волчка вокруг собственной оси z ′ , а φ — азимут волчка. вершины ось z ′ вокруг вертикальной оси z . Главные моменты инерции : I ₁ относительно собственной оси x ' волчка, I ₂ относительно собственной оси y ' волчка и I ₃ относительно собственной оси z ' волчка . Поскольку вершина симметрична относительно своей оси z ′ , I ₁ = I ₂ . простое соотношение для потенциальной энергии локального гравитационного поля V = Mgl cos θ Здесь используется , где g — ускорение силы тяжести, а центр масс волчка — это расстояние l от его вершины вдоль оси z ′ .

Углы ψ , φ циклические. Постоянные моменты — это угловые моменты волчка вокруг своей оси и его прецессия относительно вертикали соответственно:

$p_{\psi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi }}}}=I_{3}{\dot {\psi }}+I_{3}{\dot {\phi }}\cos \theta$

$p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\dot {\phi }}(I_{1}\sin ^{2}\theta +I_{3}\cos ^{2}\theta )+I_{3}{\dot {\psi }}\cos \theta$

Из них исключим dψ / dt :

$p_{\phi }-p_{\psi }\cos \theta =I_{1}{\dot {\phi }}\sin ^{2}\theta$

у нас есть

${\dot {\phi }}={\frac {p_{\phi }-p_{\psi }\cos \theta }{I_{1}\sin ^{2}\theta }}\,,$

и чтобы исключить dφ / dt , подставьте этот результат в pψ _, и решите dψ / dt чтобы найти

${\dot {\psi }}={\frac {p_{\psi }}{I_{3}}}-\cos \theta \left({\frac {p_{\phi }-p_{\psi }\cos \theta }{I_{1}\sin ^{2}\theta }}\right)\,.$

Рутиан можно считать

$R(\theta ,{\dot {\theta }})=p_{\psi }{\dot {\psi }}+p_{\phi }{\dot {\phi }}-L={\frac {1}{2}}(p_{\psi }{\dot {\psi }}+p_{\phi }{\dot {\phi }})-{\frac {I_{1}{\dot {\theta }}^{2}}{2}}+Mg\ell \cos \theta$

и с тех пор

${\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}={\frac {p_{\phi }^{2}}{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {p_{\psi }p_{\phi }\cos \theta }{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}\,,$

${\frac {p_{\psi }{\dot {\psi }}}{2}}={\frac {p_{\psi }^{2}}{2I_{3}}}-{\frac {p_{\psi }p_{\phi }\cos \theta }{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}+{\frac {p_{\psi }^{2}\cos ^{2}\theta }{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}$

у нас есть

$R={\frac {p_{\psi }^{2}}{2I_{3}}}+{\frac {p_{\psi }^{2}\cos ^{2}\theta }{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {p_{\psi }p_{\phi }\cos \theta }{I_{1}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {I_{1}{\dot {\theta }}^{2}}{2}}+Mg\ell \cos \theta \,.$

Первый член является постоянным, и его можно игнорировать, поскольку в только производные от R. уравнения движения войдут Таким образом, упрощенный русиан без потери информации

$R={\frac {1}{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}\left[p_{\psi }^{2}\cos ^{2}\theta +p_{\phi }^{2}-2p_{\psi }p_{\phi }\cos \theta \right]-{\frac {I_{1}{\dot {\theta }}^{2}}{2}}+Mg\ell \cos \theta$

Уравнение движения для θ , путем прямого расчета, имеет вид:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial R}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad$

$-I_{1}{\ddot {\theta }}=-{\frac {\cos \theta }{I_{1}\sin ^{3}\theta }}\left[p_{\psi }^{2}\cos ^{2}\theta +p_{\phi }^{2}-{\frac {p_{\psi }p_{\phi }}{2}}\cos \theta \right]+{\frac {1}{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}\left[-2p_{\psi }^{2}\cos \theta \sin \theta +{\frac {p_{\psi }p_{\phi }}{2}}\sin \theta \right]-Mg\ell \sin \theta \,,$

или введя константы

$a={\frac {p_{\psi }^{2}}{I_{1}^{2}}}\,,\quad b={\frac {p_{\phi }^{2}}{I_{1}^{2}}}\,,\quad c={\frac {p_{\psi }p_{\phi }}{2I_{1}^{2}}}\,,\quad k={\frac {Mg\ell }{I_{1}}}\,,$

получается более простая форма уравнения

${\ddot {\theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin ^{3}\theta }}(a\cos ^{2}\theta +b-c\cos \theta )+{\frac {1}{2\sin \theta }}(2a\cos \theta -c)+k\sin \theta \,.$

Хотя уравнение является сильно нелинейным, нужно решить только одно уравнение, оно было получено напрямую, и циклические координаты не задействованы.

Напротив, лагранжев подход приводит к решению трех нелинейных связанных уравнений, несмотря на отсутствие координат ψ и φ в лагранжиане.

Уравнение θ :

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad I_{1}{\ddot {\theta }}=(I_{1}-I_{3}){\dot {\phi }}^{2}\sin \theta \cos \theta -I_{3}{\dot {\psi }}{\dot {\phi }}\sin \theta +Mg\ell \sin \theta \,,$

ψ ​ уравнение

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \psi }}\quad \Rightarrow \quad {\ddot {\psi }}+{\ddot {\phi }}\cos \theta -{\dot {\phi }}{\dot {\theta }}\sin \theta =0\,,$

и уравнение φ имеет вид

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \phi }}\quad \Rightarrow \quad {\ddot {\phi }}(I_{1}\sin ^{2}\theta +I_{3}\cos ^{2}\theta )+{\dot {\phi }}(I_{1}-I_{3})2\sin \theta \cos \theta {\dot {\theta }}+I_{3}{\ddot {\psi }}\cos \theta -I_{3}{\dot {\psi }}\sin \theta {\dot {\theta }}=0\,,$

Потенциалы,

Классическая заряженная частица в однородном магнитном поле

Классическая заряженная частица в однородном поле B в цилиндрических координатах. Вверху: если радиальная координата r и угловая скорость dθ / dt меняются, траектория представляет собой геликоид с изменяющимся радиусом, но равномерным движением в направлении z . Внизу: постоянные r и dθ / dt означают геликоид постоянного радиуса.

Рассмотрим классическую заряженную частицу массы m и электрического заряда q в статическом (независящем от времени) однородном (постоянном во всем пространстве) магнитном B. поле Лагранжиан заряженной частицы в общем электромагнитном поле , определяемый магнитным потенциалом A и электрическим потенциалом. $\phi$ является

$L={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {r} }}^{2}-q\phi +q{\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} \,,$

Удобно использовать цилиндрические координаты ( r , θ , z ) , так что

${\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {v} =(v_{r},v_{\theta },v_{z})=({\dot {r}},r{\dot {\theta }},{\dot {z}})\,,$

$\mathbf {B} =(B_{r},B_{\theta },B_{z})=(0,0,B)\,.$

В случае отсутствия электрического поля электрический потенциал равен нулю. $\phi =0$, и мы можем выбрать осевой датчик магнитного потенциала

$\mathbf {A} ={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad \mathbf {A} =(A_{r},A_{\theta },A_{z})=(0,Br/2,0)\,,$

и лагранжиан

$L(r,{\dot {r}},{\dot {\theta }},{\dot {z}})={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {z}}^{2})+{\frac {qBr^{2}{\dot {\theta }}}{2}}\,.$

Обратите внимание, что этот потенциал имеет эффективно цилиндрическую симметрию (хотя он также имеет зависимость от угловой скорости), поскольку единственная пространственная зависимость зависит от радиальной длины от воображаемой оси цилиндра.

Есть две циклические координаты: θ и z . Канонические импульсы, сопряженные с θ и z, — это константы

$p_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}+{\frac {qBr^{2}}{2}}\,,\quad p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}=m{\dot {z}}\,,$

поэтому скорости

${\dot {\theta }}={\frac {1}{mr^{2}}}\left(p_{\theta }-{\frac {qBr^{2}}{2}}\right)\,,\quad {\dot {z}}={\frac {p_{z}}{m}}\,.$

Угловой момент вокруг оси z равен не p _θ , а величине mr ² dθ / dt , который не сохраняется из-за вклада магнитного поля. Канонический импульс p _θ является сохраняющейся величиной. По-прежнему верно, что p _z — это линейный или поступательный импульс вдоль оси z , который также сохраняется.

Радиальная составляющая r и угловая скорость dθ / dt могут меняться со временем, но pθ _pz постоянна, а поскольку что _dz постоянна, отсюда следует, / dt постоянна . Рутианцы могут принимать форму

${\begin{aligned}R(r,{\dot {r}})&=p_{\theta }{\dot {\theta }}+p_{z}{\dot {z}}-L\\&=p_{\theta }{\dot {\theta }}+p_{z}{\dot {z}}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {p_{\theta }{\dot {\theta }}}{2}}-{\frac {p_{z}{\dot {z}}}{2}}-{\frac {1}{2}}qBr^{2}{\dot {\theta }}\\[6pt]&=(p_{\theta }-qBr^{2}){\frac {\dot {\theta }}{2}}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}+{\frac {p_{z}{\dot {z}}}{2}}\\[6pt]&={\frac {1}{2mr^{2}}}\left(p_{\theta }-qBr^{2}\right)\left(p_{\theta }-{\frac {qBr^{2}}{2}}\right)-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}\\[6pt]&={\frac {1}{2mr^{2}}}\left(p_{\theta }^{2}-{\frac {3}{2}}qBr^{2}+{\frac {(qB)^{2}r^{4}}{2}}\right)-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}\end{aligned}}$

где в последней строке p _z ² Член /2 м является константой, и ее можно игнорировать без потери непрерывности. Уравнения Гамильтона для θ и z автоматически исчезают, и их не нужно решать. Уравнение Лагранжа в r

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial R}{\partial r}}$

это прямым расчетом

$-m{\ddot {r}}={\frac {1}{2m}}\left[{\frac {-2}{r^{3}}}\left(p_{\theta }^{2}-{\frac {3}{2}}qBr^{2}+{\frac {(qB)^{2}r^{4}}{2}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}(-3qBr+2(qB)^{2}r^{3})\right]\,,$

что после сбора условий

$m{\ddot {r}}={\frac {1}{2m}}\left[{\frac {2p_{\theta }^{2}}{r^{3}}}-(qB)^{2}r\right]\,,$

и далее упрощая, вводя константы

$a={\frac {p_{\theta }^{2}}{m^{2}}}\,,\quad b=-{\frac {(qB)^{2}}{2m^{2}}}\,,$

дифференциальное уравнение

${\ddot {r}}={\frac {a}{r^{3}}}+br$

Чтобы увидеть, как z меняется со временем, проинтегрируйте выражение импульса для p _z , приведенное выше.

$z={\frac {p_{z}}{m}}t+c_{z}\,,$

где c _z — произвольная константа, начальное значение z задается в начальных условиях .

Движение частицы в этой системе винтовое , с осевым движением однородным (постоянным), но радиальная и угловая составляющие изменяются по спирали в соответствии с уравнением движения, полученным выше. Начальные условия на r , dr / dt , θ , dθ / dt будут определять, имеет ли траектория частицы постоянное r или изменяющееся r . Если изначально r ненулевое, но dr / dt = 0 , а θ и dθ / dt произвольны, то начальная скорость частицы не имеет радиальной составляющей, r постоянна, поэтому движение будет по идеальной спирали. Если r постоянно, угловая скорость также постоянна в соответствии с сохраняющимся p _θ .

При использовании лагранжевого подхода уравнение для r будет включать dθ / dt , которое необходимо исключить, и будут уравнения для θ и z, которые нужно будет решить.

Уравнение r :

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial L}{\partial r}}\quad \Rightarrow \quad m{\ddot {r}}=mr{\dot {\theta }}^{2}+qBr{\dot {\theta }}\,,$

θ ​ уравнение

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad m(2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r^{2}{\ddot {\theta }})+qBr{\dot {r}}=0\,,$

и z уравнение

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}={\frac {\partial L}{\partial z}}\quad \Rightarrow \quad m{\ddot {z}}=0\,.$

Уравнение z тривиально интегрировать, а уравнения r и θ — нет, в любом случае производные по времени смешиваются во всех уравнениях и их необходимо исключить.

См. также

• Вариационное исчисление
• Фазовое пространство
• Конфигурационное пространство
• Задача многих тел
• Механика твердого тела

Ссылки

• Ландау, Л.Д .; Лифшиц, Э.М. (15 января 1976 г.). Механика (3-е изд.). Баттерворт Хайнеманн. п. 134. ИСБН  9780750628969 .
• Рука, Л.Н.; Финч, доктор юридических наук (13 ноября 1998 г.). Аналитическая механика (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 23. ISBN  9780521575720 .
• Киббл, TWB; Беркшир, FH (2004). Классическая механика (5-е изд.). Издательство Имперского колледжа. п. 236. ИСБН  9781860944352 .
• Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (2-е изд.). Сан-Франциско, Калифорния: Эддисон Уэсли. стр. 100-1 352–353. ISBN  0201029189 .
• Гольдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз П. младший. ; Сафко, Джон Л. (2002). Классическая механика (3-е изд.). Сан-Франциско, Калифорния: Эддисон Уэсли. стр. 100-1 347–349. ISBN  0-201-65702-3 .