Сферический маятник

Сферический маятник: углы и скорости.

В физике сферический маятник является аналогом маятника более высокого измерения . Он состоит из массы m, движущейся без трения по поверхности сферы . Единственные силы, действующие на массу, — это реакция сферы и гравитация .

Ввиду сферической геометрии задачи сферические координаты . для описания положения массы в терминах используются $(r,\theta ,\phi )$, где r фиксировано так, что $r=l$.

Лагранжева механика

Основная статья: лагранжева механика

Обычно, чтобы записать кинетическую $T={\tfrac {1}{2}}mv^{2}$ и потенциал $V$ части лагранжиана $L=T-V$ в произвольных обобщенных координатах положение массы выражается вдоль декартовых осей. Здесь, следуя соглашениям, показанным на диаграмме,

$x=l\sin \theta \cos \phi$

$y=l\sin \theta \sin \phi$

$z=l(1-\cos \theta )$.

Далее берутся производные по времени от этих координат, чтобы получить скорости по осям

${\dot {x}}=l\cos \theta \cos \phi \,{\dot {\theta }}-l\sin \theta \sin \phi \,{\dot {\phi }}$

${\dot {y}}=l\cos \theta \sin \phi \,{\dot {\theta }}+l\sin \theta \cos \phi \,{\dot {\phi }}$

${\dot {z}}=l\sin \theta \,{\dot {\theta }}$.

Таким образом,

$v^{2}={\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}\right)$

и

$T={\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}\right)$

$V=mg\,z=mg\,l(1-\cos \theta )$

Лагранжиан с удаленными постоянными частями равен

$L={\frac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\phi }}^{2}\right)+mgl\cos \theta .$

Уравнение Эйлера – Лагранжа, включающее полярный угол $\theta$

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\theta }}}}L-{\frac {\partial }{\partial \theta }}L=0$

дает

${\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}{\dot {\theta }}\right)-ml^{2}\sin \theta \cdot \cos \theta \,{\dot {\phi }}^{2}+mgl\sin \theta =0$

и

${\ddot {\theta }}=\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}-{\frac {g}{l}}\sin \theta$

Когда ${\dot {\phi }}=0$ уравнение сводится к дифференциальному уравнению движения простого гравитационного маятника .

Аналогично, уравнение Эйлера – Лагранжа, включающее азимут $\phi$,

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\phi }}}}L-{\frac {\partial }{\partial \phi }}L=0$

дает

${\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}\sin ^{2}\theta \cdot {\dot {\phi }}\right)=0$.

Последнее уравнение показывает, что угловой момент вокруг вертикальной оси $|\mathbf {L} _{z}|=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}$ сохраняется. Фактор $ml^{2}\sin ^{2}\theta$ будет играть роль в формулировке гамильтониана ниже.

Дифференциальное уравнение второго порядка, определяющее эволюцию $\phi$ таким образом

${\ddot {\phi }}\,\sin \theta =-2\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\phi }}\,\cos \theta$.

Азимут $\phi$, отсутствуя в лагранжиане, является циклической координатой , из чего следует, что сопряженный ей импульс является константой движения .

Конический маятник относится к специальным решениям, где ${\dot {\theta }}=0$ и ${\dot {\phi }}$ является константой, не зависящей от времени.

гамильтонова механика

Основная статья: гамильтонова механика

Гамильтониан

$H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\phi }{\dot {\phi }}-L$

где сопряженные импульсы

$P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=ml^{2}\cdot {\dot {\theta }}$

и

$P_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \cdot {\dot {\phi }}$.

С точки зрения координат и импульсов это читается

$$H=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\bigg [}-mgl\cos \theta {\bigg ]}} _{V}={P_{\theta }^{2} \over 2ml^{2}}+{P_{\phi }^{2} \over 2ml^{2}\sin ^{2}\theta }-mgl\cos \theta$$

Уравнения Гамильтона дадут временную эволюцию координат и импульсов в четырех дифференциальных уравнениях первого порядка.

${\dot {\theta }}={P_{\theta } \over ml^{2}}$

${\dot {\phi }}={P_{\phi } \over ml^{2}\sin ^{2}\theta }$

${\dot {P_{\theta }}}={P_{\phi }^{2} \over ml^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mgl\sin \theta$

${\dot {P_{\phi }}}=0$

Импульс $P_{\phi }$ является константой движения. Это следствие вращательной симметрии системы вокруг вертикальной оси.

Траектория

Траектория сферического маятника.

Траекторию массы на сфере можно получить из выражения для полной энергии

$E=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\bigg [}-mgl\cos \theta {\bigg ]}} _{V}$

отметив, что горизонтальная составляющая углового момента $L_{z}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}$ является постоянной движения, не зависящей от времени. Это верно, поскольку ни гравитация, ни реакция сферы не действуют в направлениях, которые повлияли бы на эту составляющую момента количества движения.

Следовательно

$E={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta$

$\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}={\frac {2}{ml^{2}}}\left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]$

что приводит к эллиптическому интегралу первого рода для $\theta$

$t(\theta )={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}ml^{2}}}\int \left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]^{-{\frac {1}{2}}}\,d\theta$

и эллиптический интеграл третьего рода для $\phi$

$\phi (\theta )={\frac {L_{z}}{l{\sqrt {2m}}}}\int \sin ^{-2}\theta \left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]^{-{\frac {1}{2}}}\,d\theta$.

Угол $\theta$ лежит между двумя кругами широты, где

$E>{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta$.

См. также

• Маятник Фуко
• Конический маятник
• Три закона движения Ньютона
• Маятник
• Маятник (математика)
• Рутианская механика

Дальнейшее чтение

• Вайнштейн, Александр (1942). «Сферический маятник и комплексная интеграция». Американский математический ежемесячник . 49 (8): 521–523. дои : 10.1080/00029890.1942.11991275 .
• Кон, Уолтер (1946). «Контурное интегрирование в теории сферического маятника и тяжелого симметричного волчка» . Труды Американского математического общества . 59 (1): 107–131. дои : 10.2307/1990314 . JSTOR   1990314 .
• Олссон, МГ (1981). «Возвращение к сферическому маятнику». Американский журнал физики . 49 (6): 531–534. Бибкод : 1981AmJPh..49..531O . дои : 10.1119/1.12666 .
• Хорозов, Эмиль (1993). «Об изоэнергетической невырожденности сферического маятника». Буквы по физике А. 173 (3): 279–283. Бибкод : 1993PhLA..173..279H . дои : 10.1016/0375-9601(93)90279-9 .
• Рихтер, Питер Х.; Дуллин, Хольгер Р.; Ваалкенс, Хольгер; Вирсиг, Ян (1996). «Сферический маятник, действия и вращение» . Дж. Физ. Хим . 100 (49): 19124–19135. дои : 10.1021/jp9617128 . S2CID   18023607 .
• Ширяев А.С.; Людвигсен, Х.; Эгеланд, О. (2004). «Раскачивание сферического маятника путем стабилизации его первых интегралов». Автоматика . 40 : 73–85. дои : 10.1016/j.automatica.2003.07.009 .
• Эссен, Ханно; Апазидис, Николас (2009). «Поворотные точки сферического маятника и золотое сечение». Европейский журнал физики . 30 (2): 427–432. Бибкод : 2009EJPh...30..427E . дои : 10.1088/0143-0807/30/2/021 . S2CID   121216295 .
• Дуллин, Хольгер Р. (2013). «Полуглобальные симплектические инварианты сферического маятника» . Журнал дифференциальных уравнений . 254 (7): 2942–2963. arXiv : 1108.4962 . Бибкод : 2013JDE...254.2942D . дои : 10.1016/j.jde.2013.01.018 .