Конический маятник

Монументальные конические маятниковые часы работы Фаркота, 1878 г.

Конический маятник состоит из груза (или боба ), закрепленного на конце веревки или стержня, подвешенного на оси. Его конструкция аналогична обычному маятнику ; однако вместо того, чтобы раскачиваться вперед и назад по дуге окружности, качание конического маятника движется с постоянной скоростью по кругу или эллипсу , при этом нить (или стержень) очерчивает конус . Конический маятник впервые изучил английский учёный Роберт Гук около 1660 года. как модель движения планет . орбитального В 1673 году голландский учёный Христиан Гюйгенс рассчитал его период, используя свою новую концепцию центробежной силы в своей книге «Horologium Oscillatorium» . Позже он использовался в качестве элемента измерения времени в нескольких механических часах и других часовых устройствах для измерения времени.

Использование

В 1800-х годах конические маятники использовались в качестве элемента измерения времени в нескольких часовых механизмах, где требовалось плавное движение, в отличие от неизбежно рывкового движения, обеспечиваемого обычными маятниками. Двумя примерами являются механизмы поворота линз маяков , чтобы их лучи пересекали море, и локационные приводы с экваториальной монтировкой телескопов , позволяющие телескопу плавно следовать за звездой по небу при вращении Земли.

Одним из наиболее важных применений конического маятника был регулятор флайбола ( центробежный регулятор ), изобретенный Джеймсом Уоттом в 1788 году, который регулировал скорость паровых двигателей в эпоху пара в 1800-х годах.

В некоторых играх на игровых площадках, включая тотемный теннис и тетербол , используется мяч, прикрепленный к шесту с помощью шнура, который действует как конический маятник, хотя в тетерболе маятник становится короче, когда шнур наматывается на шест. Некоторые аттракционы в парках развлечений также действуют как конические маятники.

Анализ

Рассмотрим конический маятник, состоящий из шарика массы m, вращающегося без трения по кругу с постоянной скоростью v на нити длиной L под углом θ к вертикали.

На брус действуют две силы:

• натяжение Т в струне, действующее вдоль линии струны и действующее в направлении точки подвеса.
• груза, направленного вниз, вес mg , где m — масса шарика, а g — местное ускорение силы тяжести .

Силу, действующую на струну, можно разделить на горизонтальную составляющую T sin( θ ), направленную к центру круга, и вертикальную составляющую T cos( θ ), направленную вверх. Согласно второму закону Ньютона , горизонтальная составляющая натяжения струны придает грузу центростремительное ускорение по направлению к центру круга:

$T\sin \theta ={\frac {mv^{2}}{r}}\,$

Конический маятник, качание которого движется по горизонтальному кругу радиуса r . Боб имеет массу m и подвешен на веревке L. длиной Сила натяжения струны, действующая на боб, равна вектору T , а вес боба — вектору mg .

Поскольку ускорения в вертикальном направлении нет, вертикальная составляющая натяжения струны равна и противоположна весу боба:

$T\cos \theta =mg\,$

Эти два уравнения можно решить относительно T / m и приравнять, тем самым исключив T и m. и давая центростремительное ускорение:

${g\tan \theta }={\frac {v^{2}}{r}}$

Небольшая перестановка дает:

${\frac {g}{\cos \theta }}={\frac {v^{2}}{r\sin \theta }}$

Поскольку скорость качания маятника постоянна, ее можно выразить как длину окружности 2 πr, деленную на время t, необходимое для одного оборота качания:

$v={\frac {2\pi r}{t}}$

Подставив правую часть этого уравнения на v в предыдущее уравнение, мы найдем:

${\frac {g}{\cos \theta }}={\frac {({\frac {2\pi r}{t}})^{2}}{r\sin \theta }}={\frac {(2\pi )^{2}r}{t^{2}\sin \theta }}$

Используя тригонометрическое тождество tan( θ ) = sin( θ ) / cos( θ ) и находя решение для t , время, необходимое бобу для совершения одного оборота, равно

$t=2\pi {\sqrt {\frac {r}{g\tan \theta }}}$

В практическом эксперименте r меняется, и его не так легко измерить, как постоянную длину L. струны r можно исключить из уравнения, заметив, что r , h и L образуют прямоугольный треугольник, где θ — это угол между катетом h и гипотенузой L (см. диаграмму). Поэтому,

$r=L\sin \theta \,$

Подстановка этого значения вместо r дает формулу, единственным изменяющимся параметром которой является угол подвески θ :

$\,t=2\pi {\sqrt {\frac {L\cos \theta }{g}}}\,$

Для малых углов θ cos( θ ) ≈ 1; в этом случае

$t\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$

так что для малых углов период t конического маятника равен периоду обычного маятника той же длины. Также период для малых углов примерно не зависит от изменения угла θ . Это означает, что период вращения приблизительно не зависит от силы, приложенной для поддержания вращения. Это свойство, называемое изохронизмом , присуще обычным маятникам и делает оба типа маятников полезными для измерения времени.

См. также

• Три закона движения Ньютона
• Маятник
• Маятник (математика)

Внешние ссылки

• Интерактивное Java-моделирование конического маятника.