Угловой момент

Угловой момент
Этот гироскоп остается в вертикальном положении во время вращения благодаря сохранению своего углового момента.
Общие символы	л
В базовых единицах СИ	kg⋅m 2 ⋅s −1
Сохранено ?	да
Выводы из другие количества	L = я ω = r × p
Измерение	${\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {T}}^{-1}$

В физике угловой момент (иногда называемый моментом импульса или вращательным моментом ) является вращательным аналогом линейного момента . Это важная физическая величина , поскольку она сохраняется – полный момент импульса замкнутой системы остается постоянным. Угловой момент имеет как направление , так и величину, и оба они сохраняются. Велосипеды и мотоциклы , летающие диски , нарезные пули и гироскопы своими полезными свойствами обязаны сохранению углового момента. Сохранение углового момента также является причиной возникновения ураганов. образуют спирали, а нейтронные звезды имеют высокие скорости вращения. В общем, сохранение ограничивает возможное движение системы, но не определяет его однозначно.

Трехмерный угловой момент точечной частицы классически представляется как псевдовектор r × p , векторное произведение частицы вектора положения r (относительно некоторого начала координат) и ее вектора импульса ; последнее p = mv равно в механике Ньютона . В отличие от линейного момента, угловой момент зависит от того, где выбрано это начало координат, поскольку от него отсчитывается положение частицы.

Угловой момент — это обширная величина ; то есть полный момент импульса любой сложной системы представляет собой сумму угловых моментов ее составных частей. Для непрерывного   твердого тела или жидкости полный угловой момент представляет собой объемный интеграл от плотности углового момента (угловой момент на единицу объема в пределе, когда объем сжимается до нуля) по всему телу.

Подобно сохранению линейного момента, где он сохраняется при отсутствии внешней силы, угловой момент сохраняется и при отсутствии внешнего крутящего момента . Крутящий момент можно определить как скорость изменения углового момента, аналогичную силе . Чистый внешний крутящий момент в любой системе всегда равен общему крутящему моменту в системе; другими словами, сумма всех внутренних моментов любой системы всегда равна 0 (это вращательный аналог третьего закона движения Ньютона ). Следовательно, для закрытой системы (где нет чистого внешнего крутящего момента) общий крутящий момент системы должен быть равен 0, что означает, что общий угловой момент системы постоянен.

Изменение углового момента при конкретном взаимодействии называют угловым импульсом , иногда вращением . Угловой импульс является угловым аналогом (линейного) импульса .

Примеры

Тривиальный случай углового момента $L$ тела на орбите определяется выражением

$$L=2\pi Mfr^{2}$$

где $M$ - масса вращающегося объекта, $f$ орбиты частота и $r$ это радиус орбиты.

Угловой момент $L$ вместо этого однородная твердая сфера, вращающаяся вокруг своей оси, определяется выражением

$$L={\frac {4}{5}}\pi Mfr^{2}$$

где $M$ - масса сферы, $f$ - частота вращения и $r$ это радиус сферы.

Так, например, орбитальный момент Земли относительно Солнца составляет около 2,66×10 ⁴⁰ kg⋅m ² ⋅s ⁻¹ , а его вращательный момент составляет около 7,05 × 10 ³³ kg⋅m ² ⋅s ⁻¹ .

В случае однородной твердой сферы, вращающейся вокруг своей оси, если вместо массы ее плотность , момент импульса известна $L$ дается

$$L={\frac {16}{15}}\pi ^{2}\rho fr^{5}$$

где $\rho$ сферы плотность , $f$ - частота вращения и $r$ это радиус сферы.

В простейшем случае вращающегося диска угловой момент $L$ дается

$$L=\pi Mfr^{2}$$

где $M$ это масса диска, $f$ - частота вращения и $r$ это радиус диска.

Если вместо этого диск вращается вокруг своего диаметра (например, при подбрасывании монеты), его угловой момент $L$ дается

$$L={\frac {1}{2}}\pi Mfr^{2}$$

Определение в классической механике

«Орбитальный угловой момент» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Орбитальный угловой момент (значения) .

«Спиновый угловой момент» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Угловой момент вращения (значения) .

Как и в случае с угловой скоростью , существует два особых типа углового момента объекта: спиновый угловой момент объекта — это угловой момент вокруг центра масс , а орбитальный угловой момент — это угловой момент вокруг выбранного центра вращения. Земля . имеет орбитальный угловой момент по природе вращения вокруг Солнца и вращательный угловой момент по природе своего суточного вращения вокруг полярной оси Полный угловой момент представляет собой сумму спинового и орбитального угловых моментов. В случае Земли основной сохраняющейся величиной является полный угловой момент Солнечной системы, поскольку угловой момент в небольшой, но важной степени обменивается между планетами и Солнцем. Вектор орбитального углового момента точечной частицы всегда параллелен и прямо пропорционален вектору ее орбитальной угловой ω скорости , где константа пропорциональности зависит как от массы частицы, так и от ее расстояния от начала координат. Вектор момента вращения твердого тела пропорционален, но не всегда параллелен вектору угловой скорости вращения. Ω второго ранга, , что делает константу пропорциональности тензором а не скаляром.

угловой момент в

Скорость частицы ) m относительно начала координат O можно разложить на компоненты, параллельные ( v _∥ и перпендикулярные ( v _⊥ ) радиусу-вектору r . Угловой момент m r пропорционален перпендикулярной составляющей v _⊥ скорости или, что то же самое, перпендикулярному расстоянию ⊥ _от начала координат.

Угловой момент — это векторная величина (точнее, псевдовектор ), которая представляет собой произведение инерции вращения тела и скорости вращения (в радианах/сек) вокруг определенной оси. Однако если траектория частицы лежит в одной плоскости , то достаточно отбросить векторную природу момента импульса и рассматривать его как скаляр (точнее, псевдоскаляр ). Угловой момент можно рассматривать как вращательный аналог линейного момента. Таким образом, где линейный импульс p пропорционален массе m и линейной скорости v ,

$$p=mv,$$

угловой момент L пропорционален моменту инерции I и угловой скорости ω, измеряемой в радианах в секунду.

$$L=I\omega .$$

В отличие от массы, которая зависит только от количества материи, момент инерции зависит еще и от положения оси вращения и распределения материи. В отличие от линейной скорости, которая не зависит от выбора начала координат, орбитальная угловая скорость всегда измеряется относительно фиксированного начала координат. Поэтому, строго говоря, L следует называть угловым моментом относительно этого центра .

В случае кругового движения отдельной частицы мы можем использовать $I=r^{2}m$ и $\omega ={v}/{r}$ расширить угловой момент как $L=r^{2}m\cdot {v}/{r},$ сокращение до:

$$L=rmv,$$

произведение радиуса вращения r на импульс частицы $p=mv$, где $v=r\omega$ – линейная (тангенциальная) скорость .

Этот простой анализ также можно применить к некруговому движению, если использовать компонент движения, перпендикулярный радиус -вектору :

$$L=rmv_{\perp },$$

где $v_{\perp }=v\sin(\theta )$ – перпендикулярная составляющая движения. Расширение, $L=rmv\sin(\theta ),$ перестановка, $L=r\sin(\theta )mv,$ и уменьшая, угловой момент также можно выразить,

$$L=r_{\perp }mv,$$

где $r_{\perp }=r\sin(\theta )$ — длина плеча момента , линии, опущенной перпендикулярно от начала координат на путь частицы. Именно к этому определению (длина плеча момента) × (линейный импульс) относится термин «момент импульса» .

угловой момент из

Другой подход состоит в том, чтобы определить угловой момент как сопряженный момент (также называемый каноническим моментом ) угловой координаты. $\phi$ выражается в лагранжиане механической системы. Рассмотрим механическую систему с массой $m$ вынужден двигаться по кругу радиуса $r$ при отсутствии внешнего силового поля. Кинетическая энергия системы равна

$$T={\tfrac {1}{2}}mr^{2}\omega ^{2}={\tfrac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\phi }}^{2}.$$

А потенциальная энергия

$$U=0.$$

Тогда лагранжиан

$${\mathcal {L}}\left(\phi ,{\dot {\phi }}\right)=T-U={\tfrac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\phi }}^{2}.$$

, Обобщенный импульс «канонически сопряженный» координате $\phi$ определяется

$$p_{\phi }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}=mr^{2}{\dot {\phi }}=I\omega =L.$$

угловой момент в

Связь между векторами силы ( F ), крутящего момента ( τ ), импульса ( p ) и углового момента ( L ) во вращающейся системе. r — вектор положения .

Чтобы полностью определить орбитальный угловой момент в трех измерениях , необходимо знать скорость, с которой вектор положения смещает угол, направление, перпендикулярное мгновенной плоскости углового смещения, и задействованную массу , а также то, как эта масса распределяется. в космосе. Сохраняя векторную природу углового момента, общий характер уравнений также сохраняется и может описывать любой вид трехмерного движения вокруг центра вращения – кругового , линейного или иного. В векторных обозначениях орбитальный угловой момент точечной частицы, движущейся вокруг начала координат, можно выразить как:

$$\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},$$

где

• $I=r^{2}m$ — момент инерции точечной массы ,
• ${\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}$ - орбитальная угловая скорость частицы относительно начала координат,
• $\mathbf {r}$ - вектор положения частицы относительно начала координат, а $r=\left\vert \mathbf {r} \right\vert$,
• $\mathbf {v}$ - линейная скорость частицы относительно начала координат, а
• $m$ это масса частицы.

Его можно расширить, сократить и по правилам векторной алгебры переставить:

$${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\left(r^{2}m\right)\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}\right)\\&=m\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\&=\mathbf {r} \times m\mathbf {v} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,\end{aligned}}$$

что является векторным произведением вектора положения $\mathbf {r}$ и линейный импульс $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ частицы. По определению векторного произведения, $\mathbf {L}$ вектор перпендикулярен обоим $\mathbf {r}$ и $\mathbf {p}$. Она направлена ​​перпендикулярно плоскости углового смещения, как указано правилом правой руки – так, чтобы угловая скорость рассматривалась как против часовой стрелки от головы вектора. И наоборот, $\mathbf {L}$ вектор определяет плоскость, в которой $\mathbf {r}$ и $\mathbf {p}$ ложь.

Определив единичный вектор $\mathbf {\hat {u}}$ перпендикулярно плоскости углового смещения, скалярная угловая скорость $\omega$ результаты, где

$$\omega \mathbf {\hat {u}} ={\boldsymbol {\omega }},$$

и

$$\omega ={\frac {v_{\perp }}{r}},$$

где $v_{\perp }$ – это перпендикулярная составляющая движения, как указано выше.

Таким образом, двумерным скалярным уравнениям из предыдущего раздела можно задать направление:

$${\begin{aligned}\mathbf {L} &=I{\boldsymbol {\omega }}\\&=I\omega \mathbf {\hat {u}} \\&=\left(r^{2}m\right)\omega \mathbf {\hat {u}} \\&=rmv_{\perp }\mathbf {\hat {u}} \\&=r_{\perp }mv\mathbf {\hat {u}} ,\end{aligned}}$$

и $\mathbf {L} =rmv\mathbf {\hat {u}}$ для кругового движения, где все движение перпендикулярно радиусу $r$.

В сферической системе координат вектор углового момента выражается как

$\mathbf {L} =m\mathbf {r} \times \mathbf {v} =mr^{2}\left({\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} \right).$

с

Угловой момент можно описать как вращательный аналог линейного момента . Подобно линейному импульсу, он включает в себя элементы массы и смещения . В отличие от линейного импульса, он также включает в себя элементы положения и формы .

Многие задачи в физике связаны с движением материи вокруг некоторой определенной точки пространства, будь то фактическое вращение вокруг нее или просто движение мимо нее, где желательно знать, какое влияние оказывает движущаяся материя на эту точку - может ли она оказывать энергию на или выполнить работу по этому поводу? Энергия , способность совершать работу , может сохраняться в материи, приводя ее в движение — сочетание ее инерции и смещения. Инерция измеряется его массой , а перемещение — его скоростью . Их продукт,

$${\begin{aligned}({\text{amount of inertia}})\times ({\text{amount of displacement}})&={\text{amount of (inertia⋅displacement)}}\\{\text{mass}}\times {\text{velocity}}&={\text{momentum}}\\m\times v&=p\\\end{aligned}}$$

дела это динамика . Отнесение этого импульса к центральной точке приводит к усложнению: импульс не прикладывается к этой точке напрямую. Например, частица материи на внешнем крае колеса фактически находится на конце рычага той же длины, что и радиус колеса, и ее импульс поворачивает рычаг вокруг центральной точки. Этот воображаемый рычаг известен как плечо момента . Он приводит к умножению усилия импульса пропорционально его длине, эффект, известный как момент . Следовательно, импульс частицы относится к определенной точке:

$${\begin{aligned}({\text{moment arm}})\times ({\text{amount of inertia}})\times ({\text{amount of displacement}})&={\text{moment of (inertia⋅displacement)}}\\{\text{length}}\times {\text{mass}}\times {\text{velocity}}&={\text{moment of momentum}}\\r\times m\times v&=L\\\end{aligned}}$$

— это угловой момент , иногда называемый, как здесь, моментом импульса частицы относительно этой конкретной центральной точки. Уравнение $L=rmv$ объединяет момент (массу $m$ рычаг поворотного момента $r$) с линейной (прямолинейной эквивалентной) скоростью $v$. Линейная скорость, отнесенная к центральной точке, представляет собой просто произведение расстояния. $r$ и угловая скорость $\omega$ против точки: $v=r\omega ,$ еще момент. Следовательно, угловой момент содержит двойной момент: $L=rmr\omega .$ Немного упрощая, $L=r^{2}m\omega ,$ количество $r^{2}m$ частицы — момент инерции , иногда называемый вторым моментом массы. Это мера инерции вращения.

Момент инерции (показанный здесь) и, следовательно, угловой момент различны для каждой показанной конфигурации массы и оси вращения .

Приведенную выше аналогию поступательного импульса и вращательного момента можно выразить в векторной форме:

• ${\textstyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$ для линейного движения
• $\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}$ для вращения

Направление импульса связано с направлением скорости линейного движения. Направление углового момента связано с угловой скоростью вращения.

Поскольку момент инерции является важной частью углового момента вращения, последний обязательно включает в себя все сложности первого, который рассчитывается путем умножения элементарных битов массы на квадраты их расстояний от центра вращения. Следовательно, общий момент инерции и угловой момент являются сложной функцией конфигурации материи относительно центра вращения и ориентации вращения для различных битов.

Для твердого тела , например колеса или астероида, ориентация вращения — это просто положение оси вращения относительно материи тела. Оно может проходить, а может и не проходить через центр масс , или может находиться полностью вне тела. Для одного и того же тела угловой момент может принимать разное значение для каждой возможной оси, вокруг которой может происходить вращение. Оно достигает минимума, когда ось проходит через центр масс.

Для совокупности объектов, вращающихся вокруг центра, например всех тел Солнечной системы , ориентация может быть в некоторой степени организована, как и в Солнечной системе, где большинство осей тел расположены близко к оси системы. Их ориентация также может быть совершенно случайной.

Короче говоря, чем больше масса и чем дальше она находится от центра вращения (чем длиннее плечо момента ), тем больше момент инерции и, следовательно, тем больше угловой момент для данной угловой скорости . Во многих случаях момент инерции и, следовательно, угловой момент можно упростить следующим образом:

$$I=k^{2}m,$$

где $k$ - радиус вращения , расстояние от оси, на котором вся масса $m$ можно считать концентрированным.

Аналогично для точечной массы $m$ момент инерции определяется как,

$$I=r^{2}m$$

где $r$ - радиус точечной массы от центра вращения,

и для любого набора частиц $m_{i}$ как сумма,

$$\sum _{i}I_{i}=\sum _{i}r_{i}^{2}m_{i}$$

Зависимость углового момента от положения и формы отражается в его единицах по сравнению с линейным моментом: кг⋅м. ² / с или Н⋅м⋅с для углового момента по сравнению с кг⋅м/с или Н⋅с для линейного момента. При расчете углового момента как произведения момента инерции на угловую скорость угловая скорость должна быть выражена в радианах в секунду, где радиан принимает безразмерное значение единицы. (При выполнении анализа размеров может быть продуктивно использовать ориентационный анализ , который рассматривает радианы как базовую единицу, но это не делается в Международной системе единиц ). Единицы измерения углового момента можно интерпретировать как крутящий момент ⋅время. Объект с угловым моментом L Н⋅м⋅с до нулевой угловой скорости угловым импульсом L может быть уменьшен Н⋅м⋅с .

Плоскость , перпендикулярная оси момента импульса и проходящая через центр масс иногда называют неизменной плоскостью , поскольку направление оси остается фиксированным, если рассматривать только взаимодействия тел внутри системы, свободные от внешних воздействий. Одной из таких плоскостей является неизменная плоскость Солнечной системы .

Угловой момент и крутящий момент

См. Также: Крутящий момент § Определение и связь с угловым моментом.

Второй закон движения Ньютона можно выразить математически:

$$\mathbf {F} =m\mathbf {a} ,$$

или сила = масса × ускорение . Вращательный эквивалент для точечных частиц можно получить следующим образом:

$$\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}$$

что означает, что крутящий момент (т.е. производная по времени углового момента) равен

$${\boldsymbol {\tau }}={\frac {dI}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}+I{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}.$$

Так как момент инерции $mr^{2}$, отсюда следует, что ${\frac {dI}{dt}}=2mr{\frac {dr}{dt}}=2rp_{||}$, и ${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=I{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }},$ что сводится к

$${\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }}.$$

Это вращательный аналог второго закона Ньютона. Обратите внимание, что крутящий момент не обязательно пропорционален или параллелен угловому ускорению (как можно было бы ожидать). Причина этого в том, что момент инерции частицы может меняться со временем, чего не может произойти с обычной массой.

Сохранение углового момента

Фигуристка за счет во вращении использует сохранение углового момента: уменьшение момента инерции стягивания рук и ног увеличивает скорость вращения .

Общие соображения

Вращательный аналог третьего закона движения Ньютона можно было бы записать: «В закрытой системе никакой крутящий момент не может быть приложен к какому-либо предмету без приложения к какому-либо другому предмету равного и противоположного крутящего момента вокруг той же оси». Следовательно, между объектами в замкнутой системе возможен обмен угловым моментом, но общий угловой момент до и после обмена остается постоянным (сохраняется).

С другой стороны, вращательный аналог первого закона движения Ньютона можно было бы записать: «Твердое тело продолжает находиться в состоянии равномерного вращения, пока на него не воздействует внешнее воздействие». Таким образом, без какого-либо внешнего воздействия на него первоначальный угловой момент системы остается постоянным .

Сохранение углового момента используется при анализе движения центральной силы . Если результирующая сила, действующая на какое-то тело, всегда направлена ​​к некоторой точке, центру , то крутящий момент на теле относительно центра отсутствует, поскольку вся сила направлена ​​вдоль радиус -вектора , и ни одна из них не перпендикулярна радиусу. . Математически крутящий момент ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {0} ,$ потому что в этом случае $\mathbf {r}$ и $\mathbf {F}$ являются параллельными векторами. Следовательно, момент импульса тела относительно центра постоянен. Так обстоит дело с гравитационным притяжением на орбитах планет . и спутников , где гравитационная сила всегда направлена ​​к основному телу, а вращающиеся тела сохраняют угловой момент за счет обмена расстоянием и скоростью при движении вокруг основного тела используется при анализе Бора модели атома Движение центральной силы также .

Для планеты угловой момент распределяется между вращением планеты и ее вращением по орбите, и они часто обмениваются различными механизмами. Сохранение углового момента в системе Земля-Луна приводит к передаче углового момента от Земли к Луне за счет приливного момента , который Луна оказывает на Землю. Это, в свою очередь, приводит к замедлению скорости вращения Земли примерно на 65,7 наносекунд в день. и в постепенном увеличении радиуса орбиты Луны примерно на 3,82 сантиметра в год.

Крутящий момент, вызванный двумя противоположными силами F _g и − F _g, вызывает изменение углового момента L в направлении этого крутящего момента (поскольку крутящий момент является производной по времени углового момента). Это приводит вершины к прецессии .

Сохранение углового момента объясняет угловое ускорение фигуриста , когда он приближает руки и ноги к вертикальной оси вращения. Приближая часть массы своего тела к оси, они уменьшают момент инерции своего тела. Поскольку угловой момент является произведением момента инерции и угловой скорости , если угловой момент остается постоянным (сохраняется), то угловая скорость (скорость вращения) фигуриста должна увеличиться.

Это же явление приводит к чрезвычайно быстрому вращению компактных звезд (таких как белые карлики , нейтронные звезды и черные дыры ), когда они формируются из гораздо более крупных и медленно вращающихся звезд.

Сохранение не всегда является полным объяснением динамики системы, но является ключевым ограничением. Например, на волчок действует гравитационный момент, заставляющий его наклоняться и изменять угловой момент вокруг оси нутации , но если пренебречь трением в точке контакта с вертушкой, он имеет сохраняющийся угловой момент вокруг своей оси вращения, а другой - относительно своей ось прецессии . Кроме того, в любой планетной системе планеты, звезды, кометы и астероиды могут двигаться множеством сложных способов, но только так, чтобы угловой момент системы сохранялся.

Теорема Нётер утверждает, что каждый закон сохранения связан с симметрией (инвариантом) базовой физики. Симметрия, связанная с сохранением углового момента, является вращательной инвариантностью . Тот факт, что физика системы не меняется, если ее повернуть на любой угол вокруг оси, означает, что угловой момент сохраняется.

Ньютона

Хотя сохранение полного углового момента можно понимать отдельно от законов движения Ньютона как вытекающее из теоремы Нётер в системах, симметричных относительно вращения, его также можно понимать просто как эффективный метод расчета результатов, которые также могут быть получены иным образом непосредственно из второго закона Ньютона. закон вместе с законами, управляющими силами природы (такими как третий закон Ньютона, уравнения Максвелла и сила Лоренца ). Действительно, учитывая начальные условия положения и скорости для каждой точки, а также силы в таких условиях, можно использовать второй закон Ньютона для расчета второй производной положения, и решение этого дает полную информацию о развитии физической системы с время. Обратите внимание, однако, что это уже не так в квантовой механике из-за существования спина частицы , который представляет собой угловой момент, который не может быть описан совокупным эффектом точечных движений в пространстве.

В качестве примера рассмотрим уменьшение момента инерции , например, когда фигурист тянет руки, ускоряя круговое движение. С точки зрения сохранения углового момента мы имеем для углового момента L , момента инерции I и угловой скорости ω :

$$0=dL=d(I\cdot \omega )=dI\cdot \omega +I\cdot d\omega$$

Используя это, мы видим, что для изменения требуется энергия:

$$dE=d\left({\tfrac {1}{2}}I\cdot \omega ^{2}\right)={\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}+I\cdot \omega \cdot d\omega =-{\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}$$

так что уменьшение момента инерции требует затрат энергии.

Это можно сравнить с работой, рассчитанной по законам Ньютона. Каждая точка вращающегося тела в каждый момент времени ускоряется с радиальным ускорением:

$$-r\cdot \omega ^{2}$$

Рассмотрим точку массы m , вектор положения которой относительно центра движения перпендикулярен оси z в данный момент времени и находится на расстоянии z . Центростремительная сила в этой точке, сохраняющая круговое движение, равна:

$$-m\cdot z\cdot \omega ^{2}$$

Таким образом, работа, необходимая для перемещения этой точки на расстояние dz дальше от центра движения, равна:

$$dW=-m\cdot z\cdot \omega ^{2}\cdot dz=-m\cdot \omega ^{2}\cdot d\left({\tfrac {1}{2}}z^{2}\right)$$

Для неточечных тел необходимо интегрировать это значение, заменяя m плотностью массы на единицу z . Это дает:

$$dW=-{\tfrac {1}{2}}dI\cdot \omega ^{2}$$

а это именно та энергия, которая необходима для сохранения углового момента.

Обратите внимание, что приведенный выше расчет также можно выполнить по массе, используя только кинематику . Таким образом, явление, когда фигурист ускоряет тангенциальную скорость при подтягивании рук, на простом языке можно понять следующим образом: Ладони фигуриста не движутся по прямой линии, поэтому они постоянно ускоряются внутрь, но не получают дополнительной скорости, потому что ускорение всегда происходит, когда их движение внутрь равно нулю. Однако при приближении ладоней к телу все по-другому: ускорение вследствие вращения теперь увеличивает скорость; но из-за вращения увеличение скорости приводит не к значительному увеличению скорости внутрь, а к увеличению скорости вращения.

Принцип стационарного действия

В классической механике можно показать, что вращательная инвариантность функционала действия предполагает сохранение углового момента. Действие определяется в классической физике как функционал позиций, $x_{i}(t)$ часто выражается использованием квадратных скобок, а также конечного и начального времени. В декартовых координатах он принимает следующий вид:

$$S\left([x_{i}];t_{1},t_{2}\right)\equiv \int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\left({\frac {1}{2}}m{\frac {dx_{i}}{dt}}\ {\frac {dx_{i}}{dt}}-V(x_{i})\right)$$

где повторяющиеся индексы указывают суммирование по индексу. Если действие инвариантно к бесконечно малому преобразованию, его можно математически сформулировать как: ${\textstyle \delta S=S\left([x_{i}+\delta x_{i}];t_{1},t_{2}\right)-S\left([x_{i}];t_{1},t_{2}\right)=0}$.

Под трансформацией, $x_{i}\rightarrow x_{i}+\delta x_{i}$, действие становится:

$$S\left([x_{i}+\delta x_{i}];t_{1},t_{2}\right)=\!\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\left({\frac {1}{2}}m{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}-V(x_{i}+\delta x_{i})\right)$$

где мы можем использовать разложение членов до первого порядка по ${\textstyle \delta x_{i}}$:

$${\begin{aligned}{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}{\frac {d(x_{i}+\delta x_{i})}{dt}}&\simeq {\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {dx_{i}}{dt}}-2{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\delta x_{i}+2{\frac {d}{dt}}\left(\delta x_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}\right)\\V(x_{i}+\delta x_{i})&\simeq V(x_{i})+\delta x_{i}{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}\\\end{aligned}}$$

давая следующее изменение в действии:

$$S[x_{i}+\delta x_{i}]\simeq S[x_{i}]+\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\,\delta x_{i}\left(-{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}-m{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}\right)+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt{\frac {d}{dt}}\left(\delta x_{i}{\frac {dx_{i}}{dt}}\right).$$

Поскольку все вращения можно выразить как матричную экспоненту кососимметричных матриц, т.е. как $R({\hat {n}},\theta )=e^{M\theta }$ где $M$ является кососимметричной матрицей и $\theta$ — угол поворота, мы можем выразить изменение координат из-за поворота $R({\hat {n}},\delta \theta )$, с точностью до первого порядка бесконечно малого угла поворота, $\delta \theta$ как:

$$\delta x_{i}=M_{ij}x_{j}\delta \theta .$$

Объединив уравнение движения и вращательную инвариантность действия , из приведенных выше уравнений получаем, что:

$$0=\delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt{\frac {d}{dt}}\left(m{\frac {dx_{i}}{dt}}\delta x_{i}\right)=M_{ij}\,\delta \theta \,m\,x_{j}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\Bigg \vert }_{t_{1}}^{t_{2}}$$

Поскольку это верно для любой матрицы $M_{ij}$ это удовлетворяет $M_{ij}=-M_{ji},$ это приводит к сохранению следующей величины:

$$\ell _{ij}(t):=m\left(x_{i}{\frac {dx_{j}}{dt}}-x_{j}{\frac {dx_{i}}{dt}}\right),$$

как $\ell _{ij}(t_{1})=\ell _{ij}(t_{2})$. Это соответствует сохранению момента количества движения на протяжении всего движения.

формализм

В лагранжевой механике угловой момент вращения вокруг данной оси представляет собой момент, сопряженный с обобщенной координатой угла вокруг той же оси. Например, $L_{z}$, угловой момент вокруг оси z:

$$L_{z}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}_{z}}}$$

где ${\cal {L}}$ является лагранжианом и $\theta _{z}$ — угол вокруг оси z.

Обратите внимание, что ${\dot {\theta }}_{z}$, производная угла по времени, представляет собой угловую скорость $\omega _{z}$. Обычно лагранжиан зависит от угловой скорости через кинетическую энергию: последнюю можно записать, разделив скорость на ее радиальную и тангенциальную части, причем тангенциальная часть в плоскости xy вокруг оси z равна:

$$\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m_{i}{v_{T}}_{i}^{2}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right){{\omega _{z}}_{i}}^{2}$$

где индекс i обозначает i-е тело, а m , v _T и ω _z обозначают массу, тангенциальную скорость вокруг оси z и угловую скорость вокруг этой оси соответственно.

Для тела, которое не является точечным, с плотностью ρ вместо этого имеем:

$${\frac {1}{2}}\int \rho (x,y,z)\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right){{\omega _{z}}_{i}}^{2}\,dx\,dy={\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z}}_{i}}^{2}$$

где интегрирование проводится по площади тела, I — _z момент инерции вокруг оси z.

Таким образом, полагая, что потенциальная энергия не зависит от ω _z (это предположение может не выполняться для электромагнитных систем), мы имеем момент импульса i-го объекта:

$${\begin{aligned}{L_{z}}_{i}&={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\omega _{z}}_{i}}}}={\frac {\partial E_{k}}{\partial {{\omega _{z}}_{i}}}}\\&={I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}\end{aligned}}$$

До сих пор мы поворачивали каждый объект на отдельный угол; мы также можем определить общий угол θ _z, на который мы вращаем всю систему, таким образом вращая каждый объект вокруг оси z, и имеем общий угловой момент:

$$L_{z}=\sum _{i}{I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}$$

Тогда из уравнений Эйлера–Лагранжа следует, что:

$$0={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{{\dot {\theta }}_{z}}_{i}}}}\right)={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}-{\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}$$

Поскольку лагранжиан зависит от углов объекта только через потенциал, мы имеем:

$${\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}={\frac {\partial {\cal {L}}}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}=-{\frac {\partial V}{\partial {{\theta _{z}}_{i}}}}$$

что является крутящим моментом на i -м объекте.

Предположим, что система инвариантна к вращениям, так что потенциал не зависит от общего поворота на угол θ _z (таким образом, он может зависеть от углов объектов только через их разности, в виде $V({\theta _{z}}_{i},{\theta _{z}}_{j})=V({\theta _{z}}_{i}-{\theta _{z}}_{j})$). Таким образом, для полного углового момента мы получаем:

$${\frac {dL_{z}}{dt}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\theta _{z}}}}=0$$

Таким образом, угловой момент вокруг оси Z сохраняется.

Этот анализ можно повторить отдельно для каждой оси, получив расчет вектора углового момента. Однако углы вокруг трех осей нельзя рассматривать одновременно как обобщенные координаты, поскольку они не являются независимыми; в частности, для определения ее положения достаточно двух углов на точку. Хотя верно, что в случае твердого тела полное его описание требует, помимо трех поступательных степеней свободы, еще и указания трех вращательных степеней свободы; однако их нельзя определить как вращение вокруг декартовых осей (см. Углы Эйлера ). Это предостережение отражено в квантовой механике в нетривиальных коммутационных соотношениях различных компонентов оператора углового момента .

Гамильтонов

Аналогично, в гамильтоновой механике гамильтониан можно описать как функцию углового момента. Как и раньше, часть кинетической энергии, связанная с вращением вокруг оси z для i- го объекта, равна:

$${\frac {1}{2}}{I_{z}}_{i}{{\omega _{z}}_{i}}^{2}={\frac {{{L_{z}}_{i}}^{2}}{2{I_{z}}_{i}}}$$

что аналогично зависимости энергии от импульса вдоль оси z: ${\frac {{{p_{z}}_{i}}^{2}}{{2m}_{i}}}$.

Уравнения Гамильтона связывают угол вокруг оси z с сопряженным ей моментом, угловым моментом вокруг той же оси:

$${\begin{aligned}{\frac {d{\theta _{z}}_{i}}{dt}}&={\frac {\partial {\cal {H}}}{\partial {L_{z}}_{i}}}={\frac {{L_{z}}_{i}}{{I_{z}}_{i}}}\\{\frac {d{L_{z}}_{i}}{dt}}&=-{\frac {\partial {\cal {H}}}{\partial {\theta _{z}}_{i}}}=-{\frac {\partial V}{\partial {\theta _{z}}_{i}}}\end{aligned}}$$

Первое уравнение дает

$${L_{z}}_{i}={I_{z}}_{i}\cdot {{{\dot {\theta }}_{z}}_{i}}={I_{z}}_{i}\cdot {\omega _{z}}_{i}$$

И таким образом мы получаем те же результаты, что и в лагранжевом формализме.

Обратите внимание, что для объединения всех осей мы записываем кинетическую энергию как:

$$E_{k}={\frac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {|{\bf {{p}_{i}|^{2}}}}{2m_{i}}}=\sum _{i}\left({\frac {{{p_{r}}_{i}}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {1}{2}}{\bf {{L}_{i}}}^{\textsf {T}}{I_{i}}^{-1}{\bf {{L}_{i}}}\right)$$

где р _р — импульс в радиальном направлении, а момент инерции — трёхмерная матрица ; жирные буквы обозначают трехмерные векторы.

Для точечных тел имеем:

$$E_{k}=\sum _{i}\left({\frac {{{p_{r}}_{i}}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {|{\bf {{L}_{i}}}|^{2}}{2m_{i}{r_{i}}^{2}}}\right)$$

Эта форма кинетической энергетической части гамильтониана полезна при анализе центральных потенциальных проблем и легко преобразуется в квантово-механическую структуру (например, в задаче об атоме водорода ).

Угловой момент в орбитальной механике

Основная статья: Удельный угловой момент

Хотя в классической механике язык углового момента можно заменить законами движения Ньютона, он особенно полезен для движения в центральном потенциале, такого как движение планет в Солнечной системе. Таким образом, орбита планеты Солнечной системы определяется ее энергией, моментом импульса и углами большой оси орбиты относительно системы координат.

В астродинамике и небесной механике величина, тесно связанная с угловым моментом, определяется как

$$\mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} ,$$

называется удельным угловым моментом . Обратите внимание, что $\mathbf {L} =m\mathbf {h} .$ Масса часто не имеет значения в расчетах орбитальной механики, поскольку движение тела определяется силой тяжести . Основное тело системы часто настолько больше любых тел, движущихся вокруг него, что гравитационным воздействием на него меньших тел можно пренебречь; по сути, он поддерживает постоянную скорость. На движение всех тел одинаково влияет его гравитация, независимо от массы, и поэтому все движутся примерно одинаково при одних и тех же условиях.

Твердые тела

Угловой момент также является чрезвычайно полезным понятием для описания вращающихся твердых тел, таких как гироскоп или каменистая планета.Для непрерывного распределения массы с плотности функцией ρ ( r ) дифференциальный элемент объёма dV с вектором положения r внутри массы имеет элемент массы dm = ρ ( r ) dV . Следовательно, бесконечно малый момент импульса этого элемента равен:

$$d\mathbf {L} =\mathbf {r} \times dm\mathbf {v} =\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r} )dV\mathbf {v} =dV\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r} )\mathbf {v}$$

и интегрирование этого дифференциала по объему всей массы дает ее полный угловой момент:

$$\mathbf {L} =\int _{V}dV\mathbf {r} \times \rho (\mathbf {r} )\mathbf {v}$$

В последующем выводе подобные интегралы могут заменить суммы для случая непрерывной массы.

Коллекция частиц

Угловой момент частиц i представляет собой сумму векторных произведений R × M V + Σ r _i × m _i v _i .

Для совокупности частиц, движущихся вокруг произвольного начала координат, полезно разработать уравнение углового момента, разложив их движение на компоненты относительно собственного центра масс и начала координат. Данный,

• $m_{i}$ это масса частицы $i$,
• $\mathbf {R} _{i}$ вектор положения частицы $i$ относительно происхождения,
• $\mathbf {V} _{i}$ скорость частицы $i$ относительно происхождения,
• $\mathbf {R}$ - вектор положения центра масс относительно начала координат,
• $\mathbf {V}$ - скорость центра масс относительно начала координат,
• $\mathbf {r} _{i}$ вектор положения частицы $i$ относительно центра масс,
• $\mathbf {v} _{i}$ скорость частицы $i$ относительно центра масс,

Общая масса частиц представляет собой просто их сумму:

$$M=\sum _{i}m_{i}.$$

Вектор положения центра масс определяется формулой:

$$M\mathbf {R} =\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}.$$

При осмотре,

$\mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}$ и $\mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}.$

Полный угловой момент совокупности частиц представляет собой сумму угловых моментов каждой частицы,

$\mathbf {L} =\sum _{i}\left(\mathbf {R} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right)$     ( 1 )

Расширение $\mathbf {R} _{i}$,

${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\left[\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}\right)\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right]\\&=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} _{i}\right]\end{aligned}}$

Расширение $\mathbf {V} _{i}$,

${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\left(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i}\right)+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{i})\right]\\&=\sum _{i}\left[\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} +\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\right]\\&=\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\end{aligned}}$

Можно показать, что (см. врезку),

Докажите, что $\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}=\mathbf {0}$ ${\begin{aligned}\mathbf {r} _{i}&=\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} \\m_{i}\mathbf {r} _{i}&=m_{i}\left(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} \right)\\\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}&=\sum _{i}m_{i}\left(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} \right)\\&=\sum _{i}(m_{i}\mathbf {R} _{i}-m_{i}\mathbf {R} )\\&=\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}-\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} \\&=\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}-\left(\sum _{i}m_{i}\right)\mathbf {R} \\&=\sum _{i}m_{i}\mathbf {R} _{i}-M\mathbf {R} \end{aligned}}$ который по определению центра масс есть $\mathbf {0} ,$ и аналогично для ${\textstyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}.}$

$\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}=\mathbf {0}$ и $\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} ,$

поэтому второй и третий члены исчезают,

$\mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}.$

Первое слагаемое можно переставить,

$\sum _{i}\mathbf {R} \times m_{i}\mathbf {V} =\mathbf {R} \times \sum _{i}m_{i}\mathbf {V} =\mathbf {R} \times M\mathbf {V} ,$

и полный угловой момент для совокупности частиц, наконец, равен

$\mathbf {L} =\mathbf {R} \times M\mathbf {V} +\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}$     ( 2 )

Первый член — это угловой момент центра масс относительно начала координат. Подобно § Одиночная частица ниже, это угловой момент одной частицы массы M в центре масс, движущейся со скоростью V . Второй член — это угловой момент частиц, движущихся относительно центра масс, аналогично § Фиксированный центр масс ниже. Результат общий: движение частиц не ограничивается вращением или вращением вокруг начала координат или центра масс. Частицы не обязательно должны представлять собой отдельные массы, но могут быть элементами непрерывного распределения, например твердого тела.

Переставляя уравнение ( 2 ) с помощью векторных тождеств, умножая оба члена на «единицу» и соответствующим образом группируя,

$${\begin{aligned}\mathbf {L} &=M(\mathbf {R} \times \mathbf {V} )+\sum _{i}\left[m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\right)\right],\\&={\frac {R^{2}}{R^{2}}}M\left(\mathbf {R} \times \mathbf {V} \right)+\sum _{i}\left[{\frac {r_{i}^{2}}{r_{i}^{2}}}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\right)\right],\\&=R^{2}M\left({\frac {\mathbf {R} \times \mathbf {V} }{R^{2}}}\right)+\sum _{i}\left[r_{i}^{2}m_{i}\left({\frac {\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}}{r_{i}^{2}}}\right)\right],\\\end{aligned}}$$

дает полный угловой момент системы частиц через момент инерции $I$ и угловая скорость ${\boldsymbol {\omega }}$,

$\mathbf {L} =I_{R}{\boldsymbol {\omega }}_{R}+\sum _{i}I_{i}{\boldsymbol {\omega }}_{i}.$     ( 3 )

Случай одной частицы

В случае одиночной частицы, движущейся вокруг произвольного начала координат,

$${\begin{aligned}\mathbf {r} _{i}&=\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} ,\\\mathbf {r} &=\mathbf {R} ,\\\mathbf {v} &=\mathbf {V} ,\\m&=M,\end{aligned}}$$

$$\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} ,$$

$$\sum _{i}I_{i}{\boldsymbol {\omega }}_{i}=\mathbf {0} ,$$

и уравнения ( 2 ) и ( 3 ) для полного углового момента сводятся к,

$$\mathbf {L} =\mathbf {R} \times m\mathbf {V} =I_{R}{\boldsymbol {\omega }}_{R}.$$

Случай фиксированного центра масс

Для случая центра масс, фиксированного в пространстве относительно начала координат,

$$\mathbf {V} =\mathbf {0} ,$$

$$\mathbf {R} \times M\mathbf {V} =\mathbf {0} ,$$

$$I_{R}{\boldsymbol {\omega }}_{R}=\mathbf {0} ,$$

и уравнения ( 2 ) и ( 3 ) для полного углового момента сводятся к,

$$\mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i}I_{i}{\boldsymbol {\omega }}_{i}.$$

Угловой момент в общей теории относительности

3-угловой момент как бивектор (плоский элемент) и аксиальный вектор частицы массы m с мгновенным 3-положением x и 3-импульсом p .

Основная статья: Релятивистский угловой момент

В современной теоретической физике (20-го века) угловой момент (не включая какой-либо собственный угловой момент - см. ниже ) описывается с использованием другого формализма вместо классического псевдовектора . В этом формализме угловой момент представляет собой 2-формы, нётеровский заряд связанный с вращательной инвариантностью. В результате угловой момент обычно не сохраняется локально для общего искривленного пространства-времени , если только они не обладают вращательной симметрией; тогда как в глобальном плане само понятие углового момента имеет смысл только в том случае, если пространство-время асимптотически плоское. Если пространство-время только осесимметрично, как в метрике Керра , полный угловой момент не сохраняется, но $p_{\phi }$ сохраняется, что связано с инвариантностью вращения вокруг оси симметрии, где заметим, что $p_{\phi }=g_{\mu \phi }p^{\phi }=mg_{\mu \phi }dX^{\mu }/d\tau$ где $g_{\mu \nu }$ это метрика , $m={\sqrt {|p_{\mu }p^{\mu }|}}$ это масса покоя , $dX^{\mu }/d\tau$ - четырехскоростная , и $X^{\mu }=(t,r,\theta ,\phi )$ — четырехпозиционная в сферических координатах.

В классической механике угловой момент частицы можно интерпретировать как плоский элемент:

$$\mathbf {L} =\mathbf {r} \wedge \mathbf {p} \,,$$

в котором внешний продукт (∧) заменяет векторное произведение (×) (эти продукты имеют схожие характеристики, но неэквивалентны). Преимущество этого подхода заключается в более четкой геометрической интерпретации как плоского элемента, определенного с помощью векторов x и p , и выражение истинно в любом количестве измерений. В декартовых координатах:

$${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\left(xp_{y}-yp_{x}\right)\mathbf {e} _{x}\wedge \mathbf {e} _{y}+\left(yp_{z}-zp_{y}\right)\mathbf {e} _{y}\wedge \mathbf {e} _{z}+\left(zp_{x}-xp_{z}\right)\mathbf {e} _{z}\wedge \mathbf {e} _{x}\\&=L_{xy}\mathbf {e} _{x}\wedge \mathbf {e} _{y}+L_{yz}\mathbf {e} _{y}\wedge \mathbf {e} _{z}+L_{zx}\mathbf {e} _{z}\wedge \mathbf {e} _{x}\,,\end{aligned}}$$

или более компактно в индексной записи:

$$L_{ij}=x_{i}p_{j}-x_{j}p_{i}\,.$$

Угловую скорость также можно определить как антисимметричный тензор второго порядка с компонентами ω _ij . Связь между двумя антисимметричными тензорами определяется моментом инерции, который теперь должен быть тензором четвертого порядка:

$$L_{ij}=I_{ijk\ell }\omega _{k\ell }\,.$$

Опять же, это уравнение в L и ω как тензорах верно в любом количестве измерений. Это уравнение также появляется в формализме геометрической алгебры , в котором L и ω являются бивекторами, а момент инерции является отображением между ними.

В релятивистской механике релятивистский угловой момент частицы выражается как антисимметричный тензор второго порядка:

$$M_{\alpha \beta }=X_{\alpha }P_{\beta }-X_{\beta }P_{\alpha }$$

в терминах четырех векторов , а именно четырех-положения X и четырех-импульса P , и поглощает вышеуказанный L вместе с моментом массы , т. е. произведением релятивистской массы частицы и ее центра масс , который можно рассматривать как описывающее движение его центра масс, поскольку масса-энергия сохраняется.

В каждом из вышеперечисленных случаев для системы частиц полный угловой момент представляет собой просто сумму угловых моментов отдельных частиц, а центр масс - для системы.

Угловой момент в квантовой механике

Основная статья: Оператор углового момента

В квантовой механике угловой момент (как и другие величины) выражается как оператор , а его одномерные проекции имеют квантованные собственные значения . Угловой момент подчиняется принципу неопределенности Гейзенберга , подразумевающему, что в любой момент только одна проекция (также называемая «компонентом») может быть измерена с определенной точностью; тогда два других остаются неопределенными. Из-за этого ось вращения квантовой частицы не определена. Квантовые частицы действительно обладают неорбитальным угловым моментом, называемым «спин», но этот угловой момент не соответствует вращательному движению. В релятивистской квантовой механике приведенное выше релятивистское определение становится тензорным оператором.

и полный

Основная статья: Спин (физика)

Угловые моменты классического объекта .

• Слева: «спиновый» угловой момент S на самом деле является орбитальным угловым моментом объекта в каждой точке.
• Справа: внешний орбитальный угловой момент L вокруг оси.
• Вверху: тензор момента инерции I и угловая скорость ω ( L не всегда параллельна ω ).
• Внизу: импульс p и его радиальное положение r от оси. Полный угловой момент (спин плюс орбиталь) равен J . Для квантовой частицы интерпретации иные; спин частицы не имеет приведенной выше интерпретации.

Классическое определение углового момента как $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ можно перенести в квантовую механику, интерпретируя r как квантовый оператор положения , а p как квантовый оператор импульса . L тогда является оператором , специально называемым оператором орбитального углового момента . Компоненты оператора углового момента удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли so(3). Действительно, эти операторы представляют собой в точности бесконечно малое действие группы вращений на квантовом гильбертовом пространстве . (См. также обсуждение ниже операторов углового момента как генераторов вращений.)

Однако в квантовой физике существует другой тип углового момента, называемый спиновым угловым моментом представленный оператором спина S. , Спин часто изображают как частицу, буквально вращающуюся вокруг оси, но это вводящая в заблуждение и неточная картина: спин — это внутреннее свойство частицы, не связанное с каким-либо движением в пространстве и фундаментально отличающееся от орбитального углового момента. Все элементарные частицы имеют характерный спин (возможно, нулевой), и почти все элементарные частицы имеют ненулевой спин. Например, электроны имеют «спин 1/2» (на самом деле это означает «спин ħ /2»), фотоны имеют «спин 1» (на самом деле это означает «спин ħ»), а пи-мезоны имеют спин 0.

Наконец, существует полный угловой момент J , который объединяет как спиновой, так и орбитальный угловой момент всех частиц и полей. (Для одной частицы J = L + S. ) Сохранение углового момента применимо к J , но не к L или S ; например, спин-орбитальное взаимодействие позволяет угловому моменту передаваться туда и обратно между L и S , при этом общее количество остается постоянным. Электроны и фотоны не обязательно должны иметь целочисленные значения полного углового момента, но также могут иметь полуцелые значения.

В молекулах полный угловой момент F представляет собой сумму ровибронного (орбитального) углового момента N углового момента спина электрона S и углового момента ядерного спина I. , Для электронных синглетных состояний ровибронный угловой момент обозначается J, не N. а Как объяснил Ван Флек, компоненты молекулярного ровибронного углового момента, отнесенные к неподвижным осям молекулы, имеют иные коммутационные соотношения, чем компоненты относительно неподвижных в пространстве осей.

Квантование

Дополнительная информация: Оператор углового момента.

В квантовой механике угловой момент квантуется – то есть он не может изменяться непрерывно, а только « квантовыми скачками » между определёнными допустимыми значениями. Для любой системы применяются следующие ограничения на результаты измерений, где $\hbar$ – приведенная постоянная Планка и ${\hat {n}}$ — это любой евклидов вектор, например x, y или z:

Если вы измерите ...	Результат может быть...
$L_{\hat {n}}$	$\ldots ,-2\hbar ,-\hbar ,0,\hbar ,2\hbar ,\ldots$
$S_{\hat {n}}$ или $J_{\hat {n}}$	$\ldots ,-{\frac {3}{2}}\hbar ,-\hbar ,-{\frac {1}{2}}\hbar ,0,{\frac {1}{2}}\hbar ,\hbar ,{\frac {3}{2}}\hbar ,\ldots$
${\begin{aligned}&L^{2}\\={}&L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}\end{aligned}}$	$\left[\hbar ^{2}n(n+1)\right]$, где $n=0,1,2,\ldots$
$S^{2}$ или $J^{2}$	$\left[\hbar ^{2}n(n+1)\right]$, где $n=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots$

В этой стоячей волне на круглой струне круг разбит ровно на 8 длин волн . Подобная стоячая волна может иметь 0,1,2 или любое целое число длин волн по окружности, но не может иметь нецелое число длин волн, например 8,3. В квантовой механике угловой момент квантуется по той же причине.

Планка Приведенная постоянная $\hbar$ крошечный по повседневным меркам, около 10 ⁻³⁴ J s , и поэтому это квантование не оказывает заметного влияния на угловой момент макроскопических объектов. Однако это очень важно в микроскопическом мире. Например, на структуру электронных оболочек и подоболочек в химии существенно влияет квантование углового момента.

Квантование углового момента было впервые постулировано Нильсом Бором в его модели атома и позже предсказано Эрвином Шредингером в его уравнении Шредингера .

Неопределенность

В определении $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$, задействованы шесть операторов: Операторы позиций $r_{x}$, $r_{y}$, $r_{z}$и операторы импульса $p_{x}$, $p_{y}$, $p_{z}$. Однако принцип неопределенности Гейзенберга говорит нам, что невозможно, чтобы все шесть этих величин были известны одновременно с произвольной точностью. Следовательно, существуют пределы того, что можно узнать или измерить об угловом моменте частицы. Оказывается, лучшее, что можно сделать, — это одновременно измерить и величину вектора момента импульса , и его составляющую вдоль одной оси.

Неопределенность тесно связана с тем фактом, что различные компоненты оператора углового момента не коммутируют , например $L_{x}L_{y}\neq L_{y}L_{x}$. (Точные коммутационные соотношения см. в разделе «Оператор углового момента ».)

Полный угловой момент как генератор вращений

Как упоминалось выше, орбитальный угловой момент L определяется как в классической механике: $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$, но полный угловой момент J определяется другим, более простым способом: J определяется как «генератор вращений». Точнее, J определен так, что оператор

$$R({\hat {n}},\phi )\equiv \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\phi \,\mathbf {J} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right)$$

это оператор вращения , который берет любую систему и поворачивает ее на угол $\phi$ относительно оси ${\hat {\mathbf {n} }}$. («Exp» в формуле относится к операторной экспоненте .) Другими словами, каким бы ни было наше квантовое гильбертово пространство, мы ожидаем, что группа вращения SO(3) на него будет действовать . Тогда существует ассоциированное действие алгебры Ли so(3) с SO(3); операторы, описывающие действие so(3) на наше гильбертово пространство, являются операторами (полного) момента количества движения.

Связь между оператором углового момента и операторами вращения такая же, как связь между алгебрами Ли и группами Ли в математике. Тесная связь между угловым моментом и вращением отражена в теореме Нётер , которая доказывает, что угловой момент сохраняется всякий раз, когда законы физики инвариантны относительно вращения.

Угловой момент в электродинамике

См. Также: Импульс (частица в поле)

При описании движения заряженной частицы в электромагнитном поле канонический импульс P (полученный из лагранжиана для этой системы) не является калибровочно-инвариантным . Как следствие, канонический угловой момент L = r × P также не является калибровочно-инвариантным. Вместо этого физический импульс, так называемый кинетический импульс (используемый в этой статье), равен (в единицах СИ )

$$\mathbf {p} =m\mathbf {v} =\mathbf {P} -e\mathbf {A}$$

где e — электрический заряд частицы, а A — векторный магнитный потенциал электромагнитного поля. Калибровочно-инвариантный угловой момент, то есть кинетический угловой момент , определяется выражением

$$\mathbf {K} =\mathbf {r} \times (\mathbf {P} -e\mathbf {A} )$$

Взаимодействие с квантовой механикой обсуждается далее в статье о канонических коммутационных соотношениях .

Угловой момент в оптике

В классической электродинамике Максвелла вектор Пойнтинга – линейная плотность импульса электромагнитного поля.

$$\mathbf {S} (\mathbf {r} ,t)=\epsilon _{0}c^{2}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t).$$

Вектор плотности углового момента $\mathbf {L} (\mathbf {r} ,t)$ задается векторным произведениемкак в классической механике:

$$\mathbf {l} (\mathbf {r} ,t)=\epsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {r} \times \mathbf {S} (\mathbf {r} ,t).$$

Приведенные выше тождества действительны локально , т.е. в каждой точке пространства. $\mathbf {r}$ в данный момент $t$.

Угловой момент в природе и космосе

Тропические циклоны и другие связанные с ними погодные явления предполагают сохранение углового момента, чтобы объяснить динамику. Ветры медленно вращаются вокруг систем низкого давления, главным образом из-за эффекта Кориолиса . Если низкое давление усиливается и медленно циркулирующий воздух притягивается к центру, молекулам приходится ускоряться, чтобы сохранить угловой момент. К тому времени, когда они достигают центра, скорости становятся разрушительными.

Иоганн Кеплер определил законы движения планет, не зная закона сохранения импульса. Однако вскоре после его открытия их вывод был определен из закона сохранения углового момента. Планеты движутся тем медленнее, чем дальше они находятся по своим эллиптическим орбитам, что интуитивно объясняется тем, что орбитальный угловой момент пропорционален радиусу орбиты. Поскольку масса не меняется и угловой момент сохраняется, скорость падает.

Приливное ускорение — это эффект приливных сил между орбитальным естественным спутником (например, Луной ) и основной планетой, вокруг которой он вращается (например, Землей). Гравитационный момент между Луной и приливной выпуклостью Земли приводит к тому, что Луна постоянно выводится на несколько более высокую орбиту (~ 3,8 см в год), а Земля замедляется ( на -25,858 ± 0,003 дюйма/сут²) в своем вращении ( продолжительность дня увеличивается на ~1,7 мс за столетие, +2,3 мс от приливного воздействия и на -0,6 мс от послеледникового отскока). Земля теряет угловой момент, который передается Луне, так что общий угловой момент сохраняется.

Угловой момент в технике и технологии

Видео: Гироскопический тренажер — это применение закона сохранения углового момента для укрепления мышц. Масса, быстро вращающаяся вокруг своей оси в шарообразном устройстве, определяет угловой момент. Когда человек, тренирующийся, наклоняет мяч, возникает сила, которая даже увеличивает скорость вращения, если на нее конкретно реагирует пользователь.

Примеров использования сохранения углового момента для практической выгоды множество. В таких двигателях, как паровые двигатели или двигатели внутреннего сгорания , необходим маховик для эффективного преобразования бокового движения поршней во вращательное движение.

Инерциальные навигационные системы явно используют тот факт, что угловой момент сохраняется по отношению к инерциальной системе отсчета пространства. Инерциальная навигация — это то, что позволяет подводным лодкам путешествовать под полярной шапкой, но она также имеет решающее значение для всех форм современной навигации.

Нарезные пули используют стабильность, обеспечиваемую сохранением углового момента, для более точной траектории. Изобретение нарезного огнестрельного оружия и пушек дало их пользователям значительное стратегическое преимущество в бою и, таким образом, стало технологическим поворотным моментом в истории.

История

Исаак Ньютон в « Началах» намекнул на угловой момент в своих примерах первого закона движения :

Волчок, части которого своим сцеплением постоянно отклоняются от прямолинейного движения, не прекращает своего вращения иначе, как потому, что его тормозит воздух. Более крупные тела планет и комет, встречая меньшее сопротивление в более свободных пространствах, сохраняют свое движение как поступательное, так и круговое в течение гораздо более длительного времени.

Он не стал далее исследовать угловой момент непосредственно в « Началах» , заявив:

Из такого рода отражений иногда возникают и круговые движения тел вокруг своих центров. Но это случаи, которые я не рассматриваю в дальнейшем; и было бы слишком утомительно демонстрировать все подробности, относящиеся к этому предмету.

Однако его геометрическое доказательство закона площадей является выдающимся примером гения Ньютона и косвенно доказывает сохранение углового момента в случае центральной силы .

Закон площадей

Основные статьи: Классическая задача центральной силы и площадная скорость.

Вывод Ньютона

Вывод Ньютоном закона площадей с использованием геометрических средств.

Когда планета вращается вокруг Солнца , линия между Солнцем и планетой охватывает равные площади за равные промежутки времени. Это было известно с тех пор, как Кеплер изложил свой второй закон движения планет . Ньютон получил уникальное геометрическое доказательство и показал, что сила притяжения Солнца была причиной всех законов Кеплера.

В течение первого промежутка времени объект движется из точки А в Б. точку Не потревоженный, он продолжит движение к точке c в течение второго интервала. Когда объект достигает точки B , он получает импульс, направленный в сторону S. точки Импульс придает ему небольшую добавленную скорость в направлении S , так что, если бы это была его единственная скорость, он переместился бы из B в V в течение второго интервала. По правилам композиции скоростей эти две скорости складываются, и точка C находится путем построения параллелограмма BcCV . Таким образом, путь объекта отклоняется импульсом так, что он достигает точки C в конце второго интервала. Поскольку треугольники SBc и SBC имеют одинаковое основание SB и высоту Bc или VC , они имеют одинаковую площадь. По симметрии треугольник SBc также имеет такую ​​же площадь, как и треугольник SAB вынес равные площади SAB и SBC , следовательно, объект за одинаковое время .

В точке C объект получает еще один импульс в сторону S , снова изменяя свой путь в течение третьего интервала d к D. от Таким образом, он продолжается до E и дальше, причем треугольники SAB , SBc , SBC , SCd , SCD , SDe , SDE имеют одинаковую площадь. Позволяя временным интервалам становиться все меньше, путь ABCDE бесконечно приближается к непрерывной кривой.

Обратите внимание: поскольку этот вывод является геометрическим и не применяется никакая конкретная сила, он доказывает более общий закон, чем второй закон движения планет Кеплера. Он показывает, что Закон площадей применим к любой центральной силе, притягивающей или отталкивающей, непрерывной или прерывистой или нулевой.

площадей

Пропорциональность углового момента площади, охватываемой движущимся объектом, можно понять, осознав, что основания треугольников, то есть линии, ведущие от S к объекту, эквивалентны радиусу r и что высоты треугольников треугольники пропорциональны перпендикулярной составляющей скорости v _⊥ . Следовательно, если площадь, охваченная за единицу времени, постоянна, то по формуле треугольной площади 1 / 2 (основание)(высота) произведение (основание)(высота) и, следовательно, произведение rv _⊥ постоянны: если r и длина основания уменьшаются, v _⊥ и высота должны пропорционально увеличиваться. Масса постоянна, поэтому угловой момент rmv _⊥ сохраняется при таком обмене расстоянием и скоростью.

В случае треугольника SBC площадь равна 1/2 ( ВК ( СБ ) ) . Где бы в конечном итоге ни оказался C из-за импульса, приложенного к B , произведение ( SB )( VC ) и, следовательно, rmv _⊥ остаются постоянными. Аналогично для каждого из треугольников.

Еще одно площадное доказательство сохранения углового момента для любой центральной силы использует теорему Мамикона о плавных касательных.

После Ньютона

Леонард Эйлер , Даниэль Бернулли и Патрик д'Арси понимали угловой момент с точки зрения сохранения пространственной скорости в результате анализа второго закона движения планет Кеплера. Маловероятно, что они осознавали последствия для обычной вращающейся материи.

В 1736 году Эйлер, как и Ньютон, затронул некоторые уравнения углового момента в своей «Механике», не развивая их дальше.

Бернулли написал в письме 1744 года о «моменте вращательного движения», возможно, первой концепции углового момента, как мы его теперь понимаем.

В 1799 году Пьер-Симон Лаплас впервые понял, что неподвижная плоскость связана с вращением — его неизменная плоскость .

Луи Пуансо в 1803 году начал представлять вращение как отрезок, перпендикулярный вращению, и подробно остановился на «сохранении моментов».

В 1852 году Леон Фуко использовал гироскоп в эксперименте, чтобы отобразить вращение Земли.

Уильяма Дж. М. Рэнкина 1858 года В Руководстве по прикладной механике впервые был определен угловой момент в современном смысле:

...линия, длина которой пропорциональна величине момента импульса и направление которой перпендикулярно плоскости движения тела и неподвижной точки, и такая, что при рассмотрении движения тела со стороны В конце линии радиус-вектор тела, по-видимому, имеет правостороннее вращение.

В издании той же книги 1872 года Рэнкин заявил, что «термин угловой момент был введен г-ном Хейвордом». вероятно, имеется в виду статья Р.Б. Хейворда « О прямом методе оценки скоростей, ускорений и всех подобных величин относительно осей, перемещаемых любым способом в пространстве с помощью приложений», который был введен в 1856 году и опубликован в 1864 году. Рэнкин ошибся, поскольку во многих публикациях этот термин упоминается начиная с конца 18 - начала 19 веков. Однако статья Хейворда, по-видимому, была первым использованием этого термина и концепции, увиденным большей частью англоязычного мира. До этого угловой момент на английском языке обычно назывался «импульсом вращения».

См. также

• Абсолютный угловой момент
• Муфта углового момента
• Угловой момент света
• Диаграммы углового момента (квантовая механика)
• Хаотическое вращение
• Коэффициенты Клебша – Гордана
• Линейно-вращательные аналоги
• Порядки величины (угловой момент)
• Псевдовектор Паули – Любанского
• Релятивистский угловой момент
• Жесткий ротор
• Энергия вращения
• Удельный относительный угловой момент
• Ираст

Дальнейшее чтение

• Коэн-Таннуджи, Клод; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (2006). Квантовая механика (2-томное изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-56952-7 .
• Кондон, ЕС; Шортли, GH (1935). «Глава III: Угловой момент» . Теория атомных спектров . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-09209-8 .
• Эдмондс, Арканзас (1957). Угловой момент в квантовой механике . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-07912-7 .
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H , ISBN  978-0-387-40122-5 .
• Джексон, Джон Дэвид (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-30932-1 .
• Сервей, Раймонд А.; Джуэтт, Джон В. (2004). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Брукс/Коул. ISBN  978-0-534-40842-8 .
• Томпсон, Уильям Дж. (1994). Угловой момент: иллюстрированное руководство по вращательной симметрии физических систем . Уайли. ISBN  978-0-471-55264-2 .
• Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: Механика, колебания и волны, Термодинамика (5-е изд.). У. Х. Фриман. ISBN  978-0-7167-0809-4 .
• Фейнман Р ; Лейтон Р ; Сэндс М (сентябрь 2013 г.). «19–4 Кинетическая энергия вращения» . Лекции Фейнмана по физике (онлайн-изд.) - через веб-сайт лекций Фейнмана.

Внешние ссылки

• «Что общего между подводной лодкой, ракетой и футбольным мячом? Почему вытянутый сфероид — это форма успеха» ( Scientific American , 8 ноября 2010 г.)
• Сохранение углового момента. Архивировано 7 декабря 2016 г. в Wayback Machine - глава из онлайн-учебника.
• Угловой момент в процессе столкновения – вывод трехмерного случая
• Угловой момент и вращательное движение – еще теория импульса