Четырехимпульсный

В специальной теории относительности четырехимпульс ( также называемый импульсом-энергией или моэнергией) ) является обобщением классического трёхмерного импульса на четырёхмерное пространство-время . вектор Импульс — это трехмерный ; аналогично четыре импульса — это четыре вектора в пространстве-времени . Контравариантный фактор четырехимпульс частицы с релятивистской энергией E и трехимпульсом p = ( p _x , p _y , p _z ) = γm v , где v — трехскорость частицы, а γ — Лоренца , равен

$$p=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right).$$

Величина m v , указанная выше, представляет собой обычный нерелятивистский импульс частицы, а m — ее массу покоя . Четырехимпульс полезен в релятивистских расчетах, поскольку это ковариантный вектор Лоренца . Это значит, что легко проследить, как она преобразуется при преобразованиях Лоренца .

Норма Минковского

Вычисление квадрата нормы Минковского четырехимпульса дает лоренц-инвариантную величину, равную (с точностью до кратности скорости света c ) квадрату собственной массы частицы :

$$p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=-{E^{2} \over c^{2}}+|\mathbf {p} |^{2}=-m^{2}c^{2}$$

где

$$\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$$

— метрический тензор специальной теории относительности с метрической сигнатурой для определенности, выбранной равной (–1, 1, 1, 1) . Отрицательность нормы отражает то, что импульс представляет собой времениподобный четырехвектор для массивных частиц. Другой вариант подписи менял бы знаки в определенных формулах (как в случае с нормой здесь). Этот выбор не важен, но однажды сделанный, его необходимо соблюдать во всем.

Норма Минковского является лоренц-инвариантом, то есть ее значение не изменяется в результате преобразований/повышения Лоренца в разные системы отсчета. В более общем смысле, для любых двух четырехимпульсов p и q величина p ⋅ q инвариантна.

Отношение к четырехскоростному

Для массивной частицы четырехкратный импульс определяется инвариантной массой частицы m, частицы умноженной на четырехскоростную скорость :

$$p^{\mu }=mu^{\mu },$$

где четырехскоростная скорость u равна

$$u=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\gamma _{v}\left(c,v_{x},v_{y},v_{z}\right),$$

и

$$\gamma _{v}:={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$$

– фактор Лоренца (связанный со скоростью $v$), c — скорость света .

Вывод

Есть несколько способов прийти к правильному выражению для четырехимпульса. Один из способов состоит в том, чтобы сначала определить четырехскоростной вектор u = dx / dτ и просто определить p = mu , довольствуясь тем, что это четырех-вектор с правильными единицами измерения и правильным поведением. Другой, более удовлетворительный подход — начать с принципа наименьшего действия и использовать лагранжеву структуру для получения четырехимпульса, включая выражение для энергии. используя подробно изложенные ниже наблюдения, определить четырехимпульс по действию S. Можно сразу , Учитывая, что в общем случае для замкнутой системы с обобщенными координатами q _i и каноническими импульсами p _i ,

$$p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial S}{\partial x_{i}}},\quad E=-{\frac {\partial S}{\partial t}}=-c\cdot {\frac {\partial S}{\partial x_{0}}},$$

это немедленно (напоминая x ⁰ = ct , х ¹ = х , х ² = у , х ³ = z и x ₀ = − x ⁰ , х ₁ = х ¹ , х ₂ = х ² , х ₃ = х ³ в нынешней метрической конвенции), что

$$p_{\mu }=-{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}=\left({E \over c},-\mathbf {p} \right)$$

представляет собой ковариантный четырехвектор, трехвекторная часть которого представляет собой (отрицательный) канонический импульс.

показывать

Наблюдения

Consider initially a system of one degree of freedom q. In the derivation of the equations of motion from the action using Hamilton's principle, one finds (generally) in an intermediate stage for the variation of the action,

$$\delta S=\left.\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\right]\right|_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta qdt.$$

The assumption is then that the varied paths satisfy δq(t₁) = δq(t₂) = 0, from which Lagrange's equations follow at once. When the equations of motion are known (or simply assumed to be satisfied), one may let go of the requirement δq(t₂) = 0. In this case the path is assumed to satisfy the equations of motion, and the action is a function of the upper integration limit δq(t₂), but t₂ is still fixed. The above equation becomes with S = S(q), and defining δq(t₂) = δq, and letting in more degrees of freedom,

$$\delta S=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta q_{i}=\sum _{i}p_{i}\delta q_{i}.$$

Observing that

$$\delta S=\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial {q}_{i}}}\delta q_{i},$$

one concludes

$$p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}.$$

In a similar fashion, keep endpoints fixed, but let t₂ = t vary. This time, the system is allowed to move through configuration space at "arbitrary speed" or with "more or less energy", the field equations still assumed to hold and variation can be carried out on the integral, but instead observe

$${\frac {dS}{dt}}=L$$

by the fundamental theorem of calculus. Compute using the above expression for canonical momenta,

$${\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}=L.$$

Now using

$$H=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L,$$

where H is the Hamiltonian, leads to, since E = H in the present case,

$$E=H=-{\frac {\partial S}{\partial t}}.$$

Incidentally, using H = H(q, p, t) with p = ∂S/∂q in the above equation yields the Hamilton–Jacobi equations. In this context, S is called Hamilton's principal function.

---

Действие S определяется выражением

$$S=-mc\int ds=\int Ldt,\quad L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},$$

где L — релятивистский лагранжиан свободной частицы. Из этого,

показывать

замалчивая эти детали,

The variation of the action is

$$\delta S=-mc\int \delta ds.$$

To calculate δds, observe first that δds² = 2dsδds and that

$$\delta ds^{2}=\delta \eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\left(\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }+dx^{\mu }\delta \left(dx^{\nu }\right)\right)=2\eta _{\mu \nu }\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }.$$

So

$$\delta ds=\eta _{\mu \nu }\delta dx^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=\eta _{\mu \nu }d\delta x^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}},$$

or

$$\delta ds=\eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{cd\tau }}d\tau ,$$

and thus

$$\delta S=-m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}d\tau =-m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}u^{\nu }d\tau =-m\int \eta _{\mu \nu }\left[{\frac {d}{d\tau }}\left(\delta x^{\mu }u^{\nu }\right)-\delta x^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}u^{\nu }\right]d\tau$$

which is just

$$\delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds$$

---

$$\delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds=-mu_{\mu }\delta x^{\mu }={\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}\delta x^{\mu }=-p_{\mu }\delta x^{\mu },$$

где на втором этапе используются уравнения поля du ^м / ds = 0 , ( δx ^м ) _{t 1} = 0 и ( δx ^м ) _{t 2} ≡ δx ^м как и в наблюдениях выше. Теперь сравните последние три выражения и найдите

$$p^{\mu }=-\partial ^{\mu }[S]=-{\frac {\partial S}{\partial x_{\mu }}}=mu^{\mu }=m\left({\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{x}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{y}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{z}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right),$$

с нормой − м ² с ² и знаменитый результат для релятивистской энергии,

$E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=m_{r}c^{2},$

где m _r — вышедшая из моды релятивистская масса , следует. Сравнивая выражения для импульса и энергии напрямую, получаем

$\mathbf {p} =E{\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}},$

это справедливо и для безмассовых частиц. Возведение в квадрат выражений для энергии и трёхимпульса и их связь дают соотношение энергия-импульс :

${\frac {E^{2}}{c^{2}}}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +m^{2}c^{2}.$

Замена

$$p_{\mu }\leftrightarrow -{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}$$

в уравнении для нормы дает релятивистское уравнение Гамильтона–Якоби ,

$\eta ^{\mu \nu }{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\nu }}}=-m^{2}c^{2}.$

Также возможно получить результаты непосредственно из лагранжиана. По определению,

$${\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}=\left({\partial L \over \partial {\dot {x}}},{\partial L \over \partial {\dot {y}}},{\partial L \over \partial {\dot {z}}}\right)=m(\gamma v_{x},\gamma v_{y},\gamma v_{z})=m\gamma \mathbf {v} =m\mathbf {u} ,\\[3pt]E&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} -L={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\end{aligned}}$$

которые представляют собой стандартные формулы для канонического импульса и энергии замкнутой (независимой от времени лагранжевой) системы. При таком подходе менее ясно, что энергия и импульс являются частями четырехвектора.

Энергия и трехимпульс являются отдельно сохраняющимися величинами для изолированных систем в лагранжевой системе. Следовательно, четырехимпульс также сохраняется. Подробнее об этом ниже.

Более скучные подходы включают ожидаемое поведение в электродинамике. В этом подходе отправной точкой является применение закона сил Лоренца и второго закона Ньютона в системе покоя частицы. Свойства преобразования тензора электромагнитного поля, включая инвариантность электрического заряда , затем используются для преобразования в лабораторную систему координат, а полученное выражение (снова закон силы Лоренца) интерпретируется в духе второго закона Ньютона, что приводит к правильному выражению для релятивистского трехимпульса. Недостаток, конечно, в том, что не сразу ясно, применим ли результат ко всем частицам, независимо от того, заряжены они или нет, и что он не дает полного четырехвектора.

Также возможно избежать электромагнетизма и использовать хорошо организованные мыслительные эксперименты с участием хорошо обученных физиков, бросающих бильярдные шары, используя знание формулы сложения скоростей и предполагая сохранение импульса. Это тоже дает только трехвекторную часть.

четырехимпульса

Как было показано выше, существуют три закона сохранения (не независимые, из двух последних следует первый и наоборот):

• Четырехимпульс ( ковариантный p или контравариантный) сохраняется.
• Полная энергия E = p ⁰ c сохраняется.
• Трехмерный ​ импульс $\mathbf {p} =\left(p^{1},p^{2},p^{3}\right)$ сохраняется (не путать с классическим нерелятивистским импульсом $m\mathbf {v}$).

Обратите внимание, что инвариантная масса системы частиц может быть больше, чем сумма масс покоя частиц, поскольку кинетическая энергия в системе центра масс системы и потенциальная энергия сил между частицами вносят вклад в инвариантную массу. Например, две частицы с четырьмя импульсами (5 ГэВ/ с , 4 ГэВ/ с , 0, 0) и (5 ГэВ/ с , −4 ГэВ/ с , 0, 0) каждая имеют массу (покоя) 3   ГэВ. / с ² по отдельности, но их общая масса (масса системы) равна 10   ГэВ/ с. ² . Если бы эти частицы столкнулись и слиплись, масса составного объекта составила бы 10   ГэВ/ с. ² .

Одно из практических применений в физике элементарных частиц сохранения инвариантной массы включает объединение четырехимпульсов p _A и p _B двух дочерних частиц, образующихся при распаде более тяжелой частицы, с четырехимпульсом p _C , чтобы найти массу более тяжелой частицы. . Сохранение четырехимпульса дает p _C ^м = п _А ^м + п _Б ^м , а масса M более тяжелой частицы определяется выражением − P _C ⋅ P _C = M ² с ² . Измеряя энергии и трехимпульсы дочерних частиц, можно восстановить инвариантную массу двухчастичной системы, которая должна быть равна M . Этот метод используется, например, при экспериментальном поиске Z'-бозонов частиц высоких энергий на коллайдерах , где Z'-бозон проявляется как выступ в инвариантном спектре масс пар электрон - позитрон или мюон -антимюон.

Если масса объекта не меняется, внутреннее произведение Минковского его четырехимпульса и соответствующего четырехкратного ускорения A ^м просто равен нулю. Четырехкратное ускорение пропорционально собственной производной по времени четырехимпульса, деленной на массу частицы, поэтому

$$p^{\mu }A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }A^{\nu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}{\frac {p^{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}p\cdot p={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}\left(-m^{2}c^{2}\right)=0.$$

Канонический импульс при наличии электромагнитного потенциала

Для заряженной частицы с зарядом q , движущейся в электромагнитном поле, заданном электромагнитным четырехпотенциалом :

$$A=\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)=\left({\phi \over c},A_{x},A_{y},A_{z}\right)$$

где φ — скалярный потенциал , а A = ( A _x , A _y , A _z ) — векторный потенциал , компоненты (не калибровочно-инвариантного ) канонического четырехвектора импульса P равны

$$P^{\mu }=p^{\mu }+qA^{\mu }.$$

потенциальную энергию заряженной частицы в электростатический потенциал и силу Лоренца Это, в свою очередь, позволяет компактно включить , действующую на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, в релятивистской квантовой механике .

См. также

• Четыре силы
• Четырехградиентный
• Псевдовектор Паули – Любанского

Ссылки

• Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Паб Addison – Wesley. компании ISBN  978-0201029185 .
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1975) [1939]. Механика . Перевод с русского Дж. Б. Сайкса и Дж. С. Белла . (3-е изд.). Амстердам: Эльзевир. ISBN  978-0-7506-28969 .
• Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М. (2000). Классическая теория полей . 4-е изд. Английское издание, перепечатанное с исправлениями; перевод с русского Мортона Хамермеша. Оксфорд: Баттерворт Хайнеманн. ISBN  9780750627689 .
• Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-853952-0 .
• Сард, Р.Д. (1970). Релятивистская механика - Специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: WA Бенджамин. ISBN  978-0805384918 .
• Льюис, Дж.Н .; Толман, Р. (1909). «Принцип относительности и неньютоновская механика ». Фил. Мэг 6. 18 (106): 510–523. дои : 10.1080/14786441008636725 . Версия вики-ресурса