Подходящее время

В теории относительности собственное время (от латинского означает « собственное время ») вдоль времениподобной мировой линии определяется как время , измеряемое часами , следующими за этой линией. Собственный интервал времени между двумя событиями на мировой линии — это изменение собственного времени, которое не зависит от координат и является скаляром Лоренца . Интервал представляет собой величину, представляющую интерес, поскольку само время фиксируется только с точностью до произвольной аддитивной константы, а именно установки часов на какое-то событие на мировой линии.

Собственный временной интервал между двумя событиями зависит не только от самих событий, но и от соединяющей их мировой линии, а значит, и от хода часов между событиями. Он выражается как интеграл по мировой линии (аналог длины дуги в евклидовом пространстве ). Ускоренные часы будут измерять меньшее время, прошедшее между двумя событиями, чем время, измеренное неускоренными ( инерционными ) часами между теми же двумя событиями. Парадокс близнецов является примером этого эффекта.

измеряющего координатный интервал времени t между событиями E1 _{синяя вертикальная линия представляет инерционного наблюдателя ,} и E2 _{Темно -} . Красная кривая представляет собой часы, измеряющие собственный интервал времени τ между одними и теми же двумя событиями.

По соглашению собственное время обычно обозначается греческой буквой τ ( тау ), чтобы отличить его от координатного времени , представленного буквой t . Координатное время — это время между двумя событиями, измеренное наблюдателем с использованием собственного метода определения времени события. В частном случае инерционного наблюдателя в специальной теории относительности время измеряется с использованием часов наблюдателя и определения наблюдателя одновременности.

Понятие собственного времени было введено Германом Минковским в 1908 году. и является важной особенностью диаграмм Минковского .

формализм

Формальное определение собственного времени включает описание пути в пространстве-времени , которое представляет собой часы, наблюдателя или пробную частицу, а также метрическую структуру этого пространства-времени. Собственное время — это псевдориманова длина дуги мировых линий в четырёхмерном пространстве-времени. С математической точки зрения координатное время предполагается заранее заданным и требуется выражение для собственного времени как функции координатного времени. С другой стороны, собственное время измеряется экспериментально, а координатное время рассчитывается на основе собственного времени инерциальных часов.

Собственное время может быть определено только для времяподобных путей в пространстве-времени, которые позволяют построить сопутствующий набор физических линеек и часов. Тот же формализм для пространственноподобных путей приводит к измерению собственного расстояния , а не собственного времени. Для светоподобных путей не существует понятия собственного времени, и оно не определено, поскольку пространственно-временной интервал равен нулю. произвольный и физически нерелевантный аффинный параметр, не связанный со временем. Вместо этого необходимо ввести

В специальной теории относительности

Согласно временному соглашению о сигнатуре метрики , метрика Минковского определяется формулой

$$\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},$$

и координаты по

$$(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)$$

для произвольных систем Лоренца.

В любой такой системе отсчета бесконечно малый интервал, предполагаемый здесь временным, между двумя событиями выражается как

$$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu },$$

(1)

и разделяет точки на траектории частицы (вспомним часы). Тот же интервал можно выразить в таких координатах, что в каждый момент частица покоится . Такой кадр называется мгновенным кадром покоя и обозначается здесь координатами $(c\tau ,x_{\tau },y_{\tau },z_{\tau })$за каждое мгновение. Ввиду инвариантности интервала (мгновенные кадры покоя, снятые в разное время, связаны преобразованиями Лоренца) можно записать

$$ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}-dx_{\tau }^{2}-dy_{\tau }^{2}-dz_{\tau }^{2}=c^{2}d\tau ^{2},$$

поскольку в мгновенной системе покоя частица или сама система покоятся, т. е. $dx_{\tau }=dy_{\tau }=dz_{\tau }=0$. Поскольку интервал предполагается времениподобным (т. $ds^{2}>0$), извлекая квадратный корень из приведенных выше результатов

$$ds=cd\tau ,$$

или

$$d\tau ={\frac {ds}{c}}.$$

Учитывая это дифференциальное выражение для τ , собственный временной интервал определяется как

$\Delta \tau =\int _{P}d\tau =\int _{P}{\frac {ds}{c}}.$          (2)

Здесь P — мировая линия от некоторого начального события к некоторому конечному событию с порядком событий, фиксированным требованием, чтобы последнее событие произошло по часам позже, чем начальное событие.

Используя (1) и еще раз инвариантность интервала, можно написать

${\begin{aligned}\Delta \tau &=\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}}\\&=\int _{P}{\sqrt {dt^{2}-{dx^{2} \over c^{2}}-{dy^{2} \over c^{2}}-{dz^{2} \over c^{2}}}}\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right]}}dt\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1-{\frac {v(t)^{2}}{c^{2}}}}}dt\\&=\int _{a}^{b}{\frac {dt}{\gamma (t)}},\end{aligned}}$          (3)

где

$$(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}):[a,b]\rightarrow P$$

— произвольная биективная параметризация мировой линии P такой, что

$$(x^{0}(a),x^{1}(a),x^{2}(a),x^{3}(a))\quad {\text{and}}\quad (x^{0}(b),x^{1}(b),x^{2}(b),x^{3}(b))$$

укажите концы P и a < b; v ( t ) — координатная скорость в координатное время t ; и x ( t ) , y ( t ) и z ( t ) — пространственные координаты. Первое выражение явно лоренц-инвариантно. Все они лоренц-инвариантны, поскольку собственное время и собственные временные интервалы по определению не зависят от координат.

Если t , x , y , z параметризованы параметром λ , это можно записать как

$$\Delta \tau =\int {\sqrt {\left({\frac {dt}{d\lambda }}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}\right]}}\,d\lambda .$$

Если движение частицы постоянно, выражение упрощается до

$$\Delta \tau ={\sqrt {\left(\Delta t\right)^{2}-{\frac {\left(\Delta x\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta y\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta z\right)^{2}}{c^{2}}}}},$$

где Δ означает изменение координат между начальным и конечным событиями. Определение в специальной теории относительности напрямую обобщается на общую теорию относительности, как показано ниже.

В общей теории относительности

Собственное время определяется в общей теории относительности следующим образом: дано псевдориманово многообразие с локальными координатами x ^м и снабженный метрическим тензором g _µν , собственный интервал времени Δ τ между двумя событиями на времениподобном пути P определяется линейным интегралом

$\Delta \tau =\int _{P}\,d\tau =\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{\mu \nu }\;dx^{\mu }\;dx^{\nu }}}.$ (4)

Это выражение, как и должно быть, инвариантно относительно изменений координат. Оно сводится (в соответствующих координатах) к выражению специальной теории относительности в плоском пространстве-времени .

Точно так же координаты можно выбрать так, что x ¹ , Икс ² , Икс ³ = const в специальной теории относительности, это можно сделать и в общей теории относительности. Тогда в этих координатах

$$\Delta \tau =\int _{P}d\tau =\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{00}}}dx^{0}.$$

Это выражение обобщает определение (2) и может быть принято в качестве определения. Тогда, используя инвариантность отрезка, из него следует уравнение (4) точно так же, как (3) следует из (2) , с той лишь разницей, что здесь допускаются произвольные изменения координат.

Примеры из специальной теории относительности

Пример 1: «Парадокс» близнецов

Для сценария парадокса близнецов пусть существует наблюдатель A , который перемещается между A -координатами (0,0,0,0) и (10 лет, 0, 0, 0) по инерции. Это означает, что А остается в $x=y=z=0$за 10 лет А -координатного времени. Тогда правильный временной интервал для A между двумя событиями равен

$$\Delta \tau _{A}={\sqrt {(10{\text{ years}})^{2}}}=10{\text{ years}}.$$

Таким образом, пребывание в состоянии покоя в специальной системе координат относительности означает, что собственное время и координатное время совпадают.

Пусть теперь есть другой наблюдатель B , который путешествует в направлении x от (0,0,0,0) в течение 5 лет по координате A в точке 0,866 c до (5 лет, 4,33 световых лет, 0, 0). Оказавшись там, B ускоряется и движется в другом пространственном направлении еще 5 лет по координате A до (10 лет, 0, 0, 0). Для каждого этапа поездки правильный временной интервал можно рассчитать с помощью A -координат и определить по формуле:

$$\Delta \tau _{leg}={\sqrt {({\text{5 years}})^{2}-({\text{4.33 years}})^{2}}}={\sqrt {6.25\;\mathrm {years} ^{2}}}={\text{2.5 years}}.$$

Таким образом, полное собственное время, за которое наблюдатель B пройдет от (0,0,0,0) до (5 лет, 4,33 световых лет, 0, 0), а затем до (10 лет, 0, 0, 0), равно

$$\Delta \tau _{B}=2\Delta \tau _{leg}={\text{5 years}}.$$

Таким образом, показано, что уравнение собственного времени учитывает эффект замедления времени. Фактически, для объекта в СТО (специальной теории относительности) пространство-время движется со скоростью $v$ в течение времени $\Delta T$, соответствующий временной интервал равен

$$\Delta \tau ={\sqrt {\Delta T^{2}-\left({\frac {v_{x}\Delta T}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{y}\Delta T}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{z}\Delta T}{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},$$

это формула замедления времени SR.

Пример 2: Вращающийся диск

Наблюдатель, вращающийся вокруг другого инерциального наблюдателя, находится в ускоренной системе отсчета. Для такого наблюдателя приращение ( $d\tau$) необходима форма уравнения собственного времени, а также параметризованное описание пройденного пути, как показано ниже.

Пусть имеется наблюдатель C на диске, вращающемся в плоскости xy с координатной угловой скоростью $\omega$и кто находится на расстоянии r от центра диска с центром диска в точке x = y = z = 0 . Путь наблюдателя C определяется выражением $(T,\,r\cos(\omega T),\,r\sin(\omega T),\,0)$, где $T$это текущее координатное время. Когда р и $\omega$ постоянны, $dx=-r\omega \sin(\omega T)\,dT$ и $dy=r\omega \cos(\omega T)\,dT$. Тогда формула приращения собственного времени принимает вид

$$d\tau ={\sqrt {dT^{2}-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\sin ^{2}(\omega T)\;dT^{2}-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\cos ^{2}(\omega T)\;dT^{2}}}=dT{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}.$$

Таким образом, для наблюдателя, вращающегося на постоянном расстоянии r от данной точки пространства-времени с постоянной угловой скоростью ω между координатными моментами времени $T_{1}$ и $T_{2}$, подходящее время будет

$$\int _{T_{1}}^{T_{2}}d\tau =(T_{2}-T_{1}){\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},$$

как v = rω для вращающегося наблюдателя. Этот результат тот же, что и для примера линейного движения, и показывает общее применение интегральной формы формулы собственного времени.

Примеры из общей теории относительности

Разница между СТО и общей теорией относительности (ОТО) заключается в том, что в ОТО можно использовать любую метрику, являющуюся решением уравнений поля Эйнштейна , а не только метрику Минковского. Поскольку движение по инерции в искривленном пространстве-времени не имеет того простого выражения, которое оно имеет в СТО, всегда необходимо использовать линейную интегральную форму уравнения собственного времени.

Пример 3: Вращающийся диск (опять)

Соответствующее преобразование координат , выполняемое по метрике Минковского, создает координаты, в которых объект на вращающемся диске остается в той же позиции пространственных координат. Новые координаты

$$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$$

и

$$\theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\omega t.$$

Координаты t и z остаются неизменными. В этой новой системе координат уравнение приращения собственного времени имеет вид

$$d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{c^{2}}}-{\frac {r^{2}\,d\theta ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {dz^{2}}{c^{2}}}-2{\frac {r^{2}\omega \,dt\,d\theta }{c^{2}}}}}.$$

Поскольку r , θ и z постоянны во времени, это упрощается до

$$d\tau =dt{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}},$$

то же самое, что и в примере 2.

Пусть теперь существует объект вне вращающегося диска, находящийся в инерционном покое относительно центра диска и на расстоянии R от него. Этот объект имеет координатное движение, описываемое dθ = − ω dt , которое описывает инерционно находящийся в покое объект, вращающийся в противоположных направлениях с точки зрения вращающегося наблюдателя. Теперь уравнение собственного времени принимает вид

$$d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}+2\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}}}=dt.$$

Таким образом, для инерционно-покоящегося наблюдателя координатное и собственное время снова обнаруживаются с одинаковой скоростью, как и ожидалось и требовалось для внутренней самосогласованности теории относительности.

Пример 4: Решение Шварцшильда – время на Земле

имеет Решение Шварцшильда инкрементное уравнение собственного времени

$$d\tau ={\sqrt {\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)dt^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}d\phi ^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}(\phi )\,d\theta ^{2}}},$$

где

• t - время, откалиброванное с помощью часов, удаленных от Земли и находящихся в инерционном покое относительно Земли,
• r - радиальная координата (которая фактически представляет собой расстояние от центра Земли),
• ɸ — колширотная координата, угловое расстояние от северного полюса в радианах .
• θ — продольная координата, аналогичная долготе на поверхности Земли, но не зависящая от вращения Земли . Это значение также указывается в радианах.
• m — геометризированная масса Земли, m = GM / c ² ,
  • М – масса Земли,
  • G — гравитационная постоянная .

Чтобы продемонстрировать использование правильных временных отношений, здесь будет использовано несколько подпримеров, связанных с Землей.

Для Земли = M . 5,9742 × 10 ²⁴ кг , это означает, что m = 4,4354 × 10 ⁻³ м . Стоя на северном полюсе, мы можем предположить $dr=d\theta =d\phi =0$(это означает, что мы не движемся ни вверх, ни вниз, ни вдоль поверхности Земли). В этом случае уравнение собственного времени решения Шварцшильда принимает вид ${\textstyle d\tau =dt\,{\sqrt {1-2m/r}}}$. Затем, используя полярный радиус Земли в качестве радиальной координаты (или $r={\text{6,356,752 metres}}$), мы находим, что

$$d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)\;dt^{2}}}=\left(1-6.9540\times 10^{-10}\right)\,dt.$$

На экваторе радиус Земли равен r = 6 378 137 м . Кроме того, необходимо учитывать вращение Земли. Это сообщает наблюдателю угловую скорость $d\theta /dt$2 π , деленное на сидерический период вращения Земли, 86162,4 секунды. Так $d\theta =7.2923\times 10^{-5}\,dt$. Тогда уравнение собственного времени дает

$$d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)dt^{2}-2.4069\times 10^{-12}\,dt^{2}}}=\left(1-6.9660\times 10^{-10}\right)\,dt.$$

С нерелятивистской точки зрения это должно было быть таким же, как и предыдущий результат. Этот пример демонстрирует, как используется уравнение собственного времени, даже несмотря на то, что Земля вращается и, следовательно, не является сферически симметричной, как предполагает решение Шварцшильда. Для более точного описания эффектов вращения метрику Керра можно использовать .

См. также

• Преобразование Лоренца
• Пространство Минковского
• Правильная длина
• Правильное ускорение
• Правильная масса
• Правильная скорость
• Гипотеза часов
• Метрика Переса

Ссылки

• Кук, Р.Дж. (2004). «Физическое время и физическое пространство в общей теории относительности» . Являюсь. Дж. Физ . 72 (2): 214–219. Бибкод : 2004AmJPh..72..214C . дои : 10.1119/1.1607338 . ISSN   0002-9505 .
• Фостер, Дж.; Найтингейл, Джей Ди (1978). Краткий курс общей теории относительности . Эссекс: Научно-технический институт Лонгмана . ISBN  0-582-44194-3 .
• Клеппнер, Д .; Коленков, Р.Дж. (1978). Введение в механику . МакГроу-Хилл . ISBN  0-07-035048-5 .
• Копейкин, Сергей; Ефроимский, Михаил; Каплан, Джордж (2011). Релятивистская небесная механика Солнечной системы . Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-3-527-40856-6 .
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1975). Классическая теория полей . Курс теоретической физики. Том. 2 (4-е изд.). Оксфорд: Баттерворт – Хайнеманн . ISBN  0-7506-2768-9 .
• Лоуден, Дерек Ф. (2012). Введение в тензорное исчисление: теория относительности и космология . Курьерская компания. ISBN  978-0-486-13214-3 .
• Лавлок, Дэвид ; Рунд, Ханно (1989), Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN  0-486-65840-6
• Минковский, Герман (1908), «Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах» , новости Королевского общества наук и Геттингенского университета имени Георга-Августа , Геттинген, заархивировано из оригинала 8 июля 2012 г.
• Пуассон, Эрик (2004), Инструментарий релятивиста: математика механики черных дыр , Cambridge University Press , ISBN  978-0521537803
• Вайнберг, Стивен (1972), Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-92567-5
• Цвибах, Бартон (2004). Первый курс теории струн (первое изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-83143-1 .