Правильная длина

Чтобы узнать о космологическом понятии собственного расстояния, см. Сопутствующее расстояние .

Правильная длина или длина отдыха длина объекта в кадре покоя объекта .

Измерение длин в теории относительности более сложное , чем в классической механике . В классической механике длины измеряются исходя из предположения, что положения всех задействованных точек измеряются одновременно. Но в теории относительности понятие одновременности зависит от наблюдателя.

Другой термин, собственное расстояние , обеспечивает инвариантную меру, значение которой одинаково для всех наблюдателей.

Правильное расстояние аналогично собственному времени . Разница в том, что правильное расстояние определяется между двумя пространственно-подобными событиями (или вдоль пространственно-подобного пути), а собственное время определяется между двумя времяподобными событиями, разделенными (или вдоль времениподобного пути).

Правильная длина или длина отдыха

Правильная длина или длина отдыха длины объекта — длина объекта, измеренная покоящимся относительно него наблюдателем путем приложения к объекту эталонных измерительных стержней. Измерение конечных точек объекта не обязательно должно быть одновременным, поскольку конечные точки постоянно находятся в одних и тех же положениях в системе покоя объекта, поэтому оно не зависит от Δ t . Таким образом, эта длина определяется выражением:

$L_{0}=\Delta x.$

Однако в относительно движущихся кадрах конечные точки объекта приходится измерять одновременно, поскольку они постоянно меняют свое положение. Результирующая длина короче остальной длины и определяется формулой сокращения длины (где γ является фактором Лоренца ):

$L={\frac {L_{0}}{\gamma }}.$

Для сравнения, инвариантное правильное расстояние между двумя произвольными событиями, происходящими в конечных точках одного и того же объекта, определяется формулой:

$\Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}-c^{2}\Delta t^{2}}}.$

Таким образом, Δ σ зависит от Δ t , тогда как (как объяснялось выше) длина покоя объекта L ₀ может быть измерена независимо от Δ t . Отсюда следует, что Δ σ и L ₀ , измеренные в конечных точках одного и того же объекта, согласуются друг с другом только тогда, когда события измерения были одновременными в системе покоя объекта, так что Δ t равно нулю. Как объяснил Файнгольд:

п. 407: «Обратите внимание, что правильное расстояние между двумя событиями обычно не совпадает с правильной длиной объекта, конечные точки которого соответственно совпадают с этими событиями. Рассмотрим сплошной стержень постоянной собственной длины l ₀ . Если вы находитесь в оставшуюся часть стержня К ₀ , и вы хотите измерить его длину, вы можете сделать это, предварительно отметив его концы. И не обязательно отмечать их одновременно в К _0. Вы можете отметить один конец сейчас (в точке а. момент t ₁ ), а другой конец позже (в момент t ₂ ) в K ₀ , а затем спокойно измерить расстояние между метками. Мы можем даже рассматривать такое измерение как возможное оперативное определение собственной длины. В экспериментальной физике требование одновременного нанесения меток является излишним для неподвижного объекта постоянной формы и размера и в этом случае может быть исключено из такого определения. Поскольку стержень неподвижен в K ₀ , расстоянием между метками является расстояние. правильную длину стержня независимо от промежутка времени между двумя отметками. С другой стороны, это не тот надлежащее расстояние между событиями маркировки, если маркировки не производятся одновременно в K ₀ ».

Правильное расстояние между двумя событиями на плоском пространстве

В специальной теории относительности правильное расстояние между двумя пространственно-подобными событиями — это расстояние между двумя событиями, измеренное в инерциальной системе отсчета , в которой события происходят одновременно. В таком конкретном кадре расстояние определяется выражением

$$\Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}},$$

где

• Δ x , Δ y и Δ z это разности линейных , ортогональных — пространственных координат двух событий.

Определение может быть дано эквивалентно по отношению к любой инерциальной системе отсчета (без требования одновременности событий в этой системе отсчета) следующим образом:

$$\Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}-c^{2}\Delta t^{2}}},$$

где

• Δ t — разница во временных координатах двух событий, а
• с — скорость света .

Эти две формулы эквивалентны из-за инвариантности пространственно-временных интервалов и поскольку ∆t = 0 именно тогда, когда события одновременны в данном кадре.

Два события разделены пространственноподобно тогда и только тогда, когда приведенная выше формула дает действительное, ненулевое значение для Δ σ .

Правильное расстояние вдоль пути

Приведенная выше формула для определения правильного расстояния между двумя событиями предполагает, что пространство-время, в котором происходят эти два события, плоское. Следовательно, приведенную выше формулу вообще нельзя использовать в общей теории относительности , в которой рассматриваются искривленные пространства-времени. Однако можно определить правильное расстояние по пути в любом пространстве-времени, искривленном или плоском. В плоском пространстве-времени правильное расстояние между двумя событиями — это правильное расстояние по прямой траектории между двумя событиями. В искривленном пространстве-времени между двумя событиями может быть более одного прямого пути ( геодезического ), поэтому правильное расстояние по прямому пути между двумя событиями не будет однозначно определять правильное расстояние между двумя событиями.

Вдоль произвольного пространственноподобного пути P задается правильное расстояние в тензорном синтаксисе линейным интегралом

$$L=c\int _{P}{\sqrt {-g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}},$$

где

• g _µν — метрический тензор для текущего отображения пространства-времени и координат , а
• дх ^м — координатам между соседними событиями на пути P. расстояние по

В приведенном выше уравнении предполагается, что метрический тензор использует +−−− метрическая подпись и предполагается, что она нормализована и возвращает время вместо расстояния. Знак – в уравнении следует опустить при использовании метрического тензора, который вместо этого использует −+++ метрическая подпись. Кроме того, $c$ следует отбросить с помощью метрического тензора, нормализованного по расстоянию или использующего геометрические единицы .

См. также

• Инвариантный интервал
• подходящее время
• Расстояние перемещения
• Относительность одновременности