Линейность

В математике термин «линейный» используется в двух разных смыслах для двух разных свойств:

линейность функции ( или отображения );
линейность многочлена .

Примером линейной функции является функция, определяемая формулой $f(x)=(ax,bx)$ который отображает реальную линию на линию в евклидовой плоскости R ²который проходит через начало координат. Пример линейного многочлена от переменных $X,$ $Y$ и $Z$ является $aX+bY+cZ+d.$

Линейность отображения тесно связана с пропорциональностью . Примеры в физике включают линейную зависимость напряжения и тока в электрическом проводнике ( закон Ома ), а также зависимость массы и веса . Напротив, более сложные отношения, такие как между скоростью и кинетической энергией , являются нелинейными .

В обобщенном виде для функций в более чем одном измерении линейность означает свойство функции быть совместимой со сложением и масштабированием , также известное как принцип суперпозиции .

Линейность многочлена означает, что его степень меньше двух. Использование термина для полиномов связано с тем фактом, что график многочлена от одной переменной представляет собой прямую линию . В термине « линейное уравнение » это слово относится к линейности участвующих многочленов.

Поскольку такая функция, как $f(x)=ax+b$ определяется линейным полиномом в своем аргументе, ее иногда также называют «линейной функцией», а связь между аргументом и значением функции можно назвать «линейной связью». Это потенциально может сбить с толку, но обычно предполагаемое значение будет ясно из контекста.

Слово «линейный» происходит от латинского « linearis» , что означает «относящийся к линии или напоминающий ее».

По математике [ править ]

Линейные карты [ править ]

В математике линейная карта или линейная функция f ( x ) — это функция, которая удовлетворяет двум свойствам: ^[1]

Аддитивность : ж ( Икс + y ) знак равно ж ( Икс ) + ж ( y ) .
Однородность степени 1: f (α x ) = α f ( x ) для всех α.

Эти свойства известны как принцип суперпозиции . В этом определении x не обязательно является действительным числом , но вообще может быть элементом любого векторного пространства . В элементарной математике используется более специальное определение линейной функции , не совпадающее с определением линейного отображения (см. ниже).

Сама по себе аддитивность подразумевает однородность для рационального α, поскольку $f(x+x)=f(x)+f(x)$ подразумевает $f(nx)=nf(x)$ для любого натурального числа n по математической индукции , а затем $nf(x)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}x)$ подразумевает $f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)$ . Плотность непрерывная рациональных чисел в действительных числах означает, что любая аддитивная функция однородна для любого действительного числа α и, следовательно, линейна.

Понятие линейности можно распространить на линейные операторы . Важные примеры линейных операторов включают производную , рассматриваемую как дифференциальный оператор , и другие операторы, построенные на ее основе, такие как del и лапласиан . Когда дифференциальное уравнение можно выразить в линейной форме, его обычно можно решить, разбив уравнение на более мелкие части, решая каждую из этих частей и суммируя решения.

Линейные полиномы [ править ]

В другом использовании, чем приведенное выше определение, полином степени 1 называется линейным, потому что график функции такого вида представляет собой прямую линию. ^[2]

В действительных числах простой пример линейного уравнения имеет вид:

y=mx+b\

где m часто называют наклоном или градиентом , а b , - точкой пересечения оси y которая дает точку пересечения графика функции и оси y .

Обратите внимание, что использование термина «линейный» отличается от использования в разделе выше, поскольку линейные полиномы над действительными числами, как правило, не удовлетворяют ни аддитивности, ни однородности. Фактически, они делают это тогда и только тогда, когда постоянный член – b в примере – равен 0. Если b ≠ 0 , функция называется аффинной функцией (см. в более общем виде аффинное преобразование ).

Линейная алгебра — это раздел математики, изучающий системы линейных уравнений.

Булевы функции [ править ]

Диаграмма Хассе линейной булевой функции

В булевой алгебре линейная функция — это функция $f$ для чего существуют $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}$ такой, что

f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n})

, где

b_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.

Обратите внимание, что если $a_{0}=1$ , указанная выше функция считается аффинной в линейной алгебре (т.е. не линейной).

функции выполняется одно из следующих условий Булева функция является линейной, если для таблицы истинности :

В каждой строке, в которой истинностное значение функции равно T , аргументам присвоено нечетное количество T, а в каждой строке, в которой функция равна F , аргументам присвоено четное количество T. В частности, f (F, F, ..., F) = F , и эти функции соответствуют линейным отображениям в булевом векторном пространстве.
В каждой строке, в которой значением функции является T, аргументам функции присвоено четное количество T; и в каждой строке, в которой истинностное значение функции равно F, аргументам присвоено нечетное число T. В этом случае f (F, F, ..., F) = T .

Другой способ выразить это состоит в том, что каждая переменная всегда влияет на истинное значение операции или никогда не имеет значения.

Отрицание , логическое двуусловие , исключающее или , тавтология и противоречие являются линейными функциями.

Физика [ править ]

В физике , линейность — это свойство дифференциальных уравнений управляющих многими системами; например, уравнения Максвелла или уравнение диффузии . ^[3]

Линейность однородного дифференциального уравнения означает, что если две функции f и g являются решениями уравнения, то и любая линейная комбинация af + bg тоже.

В приборостроении линейность означает, что данное изменение входной переменной приводит к такому же изменению выходного сигнала измерительного устройства: это очень желательно в научной работе. В целом, инструменты близки к линейным в определенном диапазоне и наиболее полезны именно в этом диапазоне. Напротив, человеческие чувства очень нелинейны: например, мозг полностью игнорирует входящий свет, пока он не превысит определенное абсолютное пороговое количество фотонов.

Линейное движение следует по прямой траектории.

Электроника [ править ]

В электронике линейная рабочая область устройства, например транзистора , — это то место, где выходная зависимая переменная (например, ток коллектора транзистора ) прямо пропорциональна входной зависимой переменной (например, току базы). Это гарантирует, что аналоговый выходной сигнал является точным представлением входного сигнала, обычно с более высокой амплитудой (усиленным). Типичным примером линейного оборудования является высококачественный аудиоусилитель , который должен усиливать сигнал без изменения его формы. Другие — линейные фильтры и линейные усилители в целом.

В большинстве научных и технологических приложений, в отличие от математических, что-то можно назвать линейным, если характеристика представляет собой приблизительно, но не совсем прямую линию; и линейность может быть допустимой только в определенной рабочей области - например, усилитель высокой точности может искажать небольшой сигнал, но достаточно небольшой, чтобы быть приемлемым (приемлемая, но несовершенная линейность); и может очень сильно исказиться, если входные данные превысят определенное значение. ^[4]