Противоречие

Чтобы узнать о других значениях, см. Противоречие (значения) .

На этой диаграмме показаны противоречивые отношения между категорическими суждениями в квадрате оппозиции аристотелевской логики .

В традиционной логике противоречие предложение возникает, когда конфликтует либо с самим собой, либо с установленным фактом . Его часто используют как инструмент для выявления неискренних убеждений и предубеждений . Иллюстрируя общую тенденцию в прикладной логике, Аристотеля гласит: «Невозможно , закон непротиворечия чтобы одна и та же вещь могла одновременно принадлежать и не принадлежать одному и тому же объекту и в одном и том же отношении».

В современной формальной логике и теории типов этот термин в основном используется для обозначения одного предложения, часто обозначаемого ложным символом . $\bot$; Предложение является противоречием, если из него можно вывести ложное , используя правила логики. Это суждение, которое является безусловно ложным (т. е. внутренне противоречивое суждение). Это можно обобщить на набор предложений, о котором тогда говорят, что он «содержит» противоречие.

История

Создавая парадокс , диалог Платона « Евтидем» демонстрирует необходимость понятия противоречия . В последующем диалоге Дионисодор отрицает существование «противоречия», в то время как Сократ ему противоречит:

... Я в изумлении сказал: Что ты имеешь в виду, Дионисодор? Я часто слышал и был поражен, услышав этот ваш тезис, который поддерживается и используется учениками Протагора и других до них и который мне кажется весьма удивительным, и самоубийственным, и разрушительным, и Я думаю, что, скорее всего, правду об этом я услышу от вас. Изречение состоит в том, что не существует такой вещи, как ложь; человек должен либо сказать то, что правда, либо ничего не сказать. Разве это не ваша позиция?

Действительно, Дионисодор соглашается с тем, что «не существует такого понятия, как ложное мнение… не существует такого понятия, как невежество», и требует от Сократа «Опровергнуть меня». Сократ отвечает: «Но как я могу опровергнуть тебя, если, как ты говоришь, сказать ложь невозможно?».

В формальной логике

Примечание. Символ $\bot$ ( falsum ) представляет собой произвольное противоречие с двойным тройника символом $\top$используется для обозначения произвольной тавтологии. Противоречие иногда обозначается буквой «O pq », а тавтология — буквой «V pq ». Символ турникета, $\vdash$ часто читается как «дает» или «доказывает».

В классической логике, особенно в логике высказываний и логике первого порядка , предложение $\varphi$ является противоречием тогда и только тогда, когда $\varphi \vdash \bot$. Поскольку для противоречивых $\varphi$ правда, что $\vdash \varphi \rightarrow \psi$ для всех $\psi$ (потому что $\bot \vdash \psi$), можно доказать любое предложение из набора аксиом, содержащего противоречия. Это называется « принципом взрыва », или «ex falso quodlibet» («из ложности следует все»).

В полной логике формула противоречива тогда и только тогда, когда она невыполнима .

Доказательство от противного

Основная статья: Доказательство от противного

Для множества непротиворечивых предпосылок $\Sigma$ и предложение $\varphi$ верно, , в классической логике что $\Sigma \vdash \varphi$ (т.е. $\Sigma$ доказывает $\varphi$) если и только если $\Sigma \cup \{\neg \varphi \}\vdash \bot$ (т.е. $\Sigma$ и $\neg \varphi$приводит к противоречию). Поэтому доказательство того , что $\Sigma \cup \{\neg \varphi \}\vdash \bot$ также доказывает, что $\varphi$ правда под помещением $\Sigma$. Использование этого факта лежит в основе метода доказательства , называемого доказательством от противного , который математики широко используют для установления справедливости широкого круга теорем. Это применимо только в логике, где действует закон исключенного третьего. $A\vee \neg A$ принимается как аксиома.

Используя минимальную логику , логику с аксиомами, аналогичными классической логике, но без ex falso quodlibet и доказательства от противного, мы можем исследовать аксиоматическую силу и свойства различных правил, рассматривающих противоречия, рассматривая теоремы классической логики, которые не являются теоремами минимальной логики. Каждое из этих расширений приводит к промежуточной логике :

1. Исключение двойного отрицания (DNE) — самый сильный принцип, аксиоматизированный. $\neg \neg A\implies A$, и когда он добавляется к минимальной логике, получается классическая логика.
2. От всякой лжи (EFQ), аксиоматизированной $\bot \implies A$, разрешает многие последствия отрицаний, но обычно не помогает вывести предложения, которые не содержат абсурдности, из последовательных предложений, которые содержат абсурдность. При добавлении к минимальной логике EFQ дает интуиционистскую логику . EFQ эквивалентен ex противоречивому кводлибету , аксиоматизированному $A\land \neg A\implies B$, по минимальной логике.
3. Правило Пирса (ПР) – аксиома $((A\implies B)\implies A)\implies A$который фиксирует доказательство от противного, не ссылаясь явно на абсурдность. Минимальная логика + PR + EFQ дает классическую логику.
4. Аксиома Гёделя-Даммета (ГД) $A\implies B\vee B\implies A$, наиболее простое прочтение которого заключается в том, что истинностные значения имеют линейный порядок. Минимальная логика + GD дает логику Гёделя-Даммета . Правило Пирса влечет за собой, но не вытекает из GD по минимальной логике.
5. Закон исключенного третьего (ЛЕМ), аксиоматизированный $A\vee \neg A$, является наиболее часто цитируемой формулировкой принципа бивалентности , но в отсутствие EFQ она не дает полной классической логики. Минимальная логика + LEM + EFQ дает классическую логику. PR влечет за собой, но не влечет за собой LEM в минимальной логике. Если формула Б в правиле Пирса доведена до абсурда, то схема аксиом $(\neg A\implies A)\implies A$, схема эквивалентна LEM над минимальной логикой.
6. Слабый закон исключенного третьего (WLEM) является аксиомой. $\neg A\vee \neg \neg A$и дает систему, в которой дизъюнкция ведет себя больше как в классической логике, чем в интуиционистской логике, т. е. свойства дизъюнкции и существования не выполняются, но где использование неинтуиционистских рассуждений отмечено появлением двойного отрицания в заключении. LEM влечет за собой, но не вытекает из WLEM в минимальной логике. WLEM эквивалентен примеру закона Де Моргана , который распределяет отрицание над соединением: $\neg (A\land B)\iff (\neg A)\vee (\neg B)$.

Символическое представление

В математике символы, используемые для обозначения противоречия в доказательстве, различаются. Некоторые символы, которые могут использоваться для обозначения противоречия, включают ↯, Opq, $\Rightarrow \Leftarrow$, ⊥, $\leftrightarrow \ \!\!\!\!\!\!\!$/ , и ※; в любом символизме истинностное значение « ложь » может быть заменено противоречием, которое символизируется, например, «0» (как это обычно бывает в булевой алгебре ). Нередко можно увидеть QED или некоторые его варианты сразу после символа противоречия. Фактически, это часто происходит при доказательстве от противного, чтобы указать, что исходное предположение оказалось ложным и, следовательно, его отрицание должно быть истинным.

Понятие противоречия в аксиоматической системе и доказательство ее непротиворечивости

В целом, доказательство непротиворечивости требует следующих двух вещей:

1. Аксиоматическая система
2. Демонстрация того, как формулу р, так и ее отрицание ~р . что в системе невозможно вывести

Но какой бы метод вы ни использовали, все доказательства непротиворечивости, по-видимому, предполагают необходимость примитивного понятия противоречия. Более того, кажется , что это понятие одновременно должно было бы находиться «вне» формальной системы определения тавтологии.

Когда Эмиль Пост в своем «Введении в общую теорию элементарных предложений» 1921 года расширил свое доказательство непротиворечивости исчисления высказываний (т. е. логики) за пределы доказательства Principia Mathematica (PM), он заметил, что по отношению к обобщенному набора постулатов (т. е. аксиом), он больше не сможет автоматически ссылаться на понятие «противоречие» — такое понятие может не содержаться в постулатах:

Главным требованием набора постулатов является их последовательность. Поскольку обычное понятие непротиворечивости включает в себя понятие противоречия, которое снова включает в себя отрицание, и поскольку эта функция вообще не появляется как примитивная в [обобщенном наборе постулатов], необходимо дать новое определение.

Решение Поста проблемы описано в демонстрации «Пример успешного абсолютного доказательства непротиворечивости», предложенной Эрнестом Нагелем и Джеймсом Р. Ньюманом в их Гёделя «Доказательстве » 1958 года . Они также заметили проблему, связанную с понятием «противоречие» с его обычными «истинными значениями» «истины» и «ложности». Они заметили, что:

Свойство быть тавтологией определено в понятиях истины и ложности. Однако эти понятия, очевидно, подразумевают отсылку к чему-то, находящемуся за пределами исчисления формул. Таким образом, процедура, упомянутая в тексте, по сути, предлагает интерпретацию исчисления, предоставляя модель системы. При этом авторы не сделали того, что обещали, а именно « определить свойство формул через чисто структурные особенности самих формул ». [Действительно] ... доказательства непротиворечивости, основанные на моделях и аргументирующие от истинности аксиом к их непротиворечивости, просто сдвигают проблему.

Учитывая некоторые «примитивные формулы», такие как примитивы ПМ S ₁ VS ₂ [включающее ИЛИ] и ~S (отрицание), приходится определять аксиомы в терминах этих примитивных понятий. Подробно Пост демонстрирует в ПМ и определяет (как это делают Нагель и Ньюман, см. ниже), что свойство тавтологичности – еще не определенное – «наследуется»: если начать с набора тавтологичных аксиом (постулатов ) и систему вывода , содержащую замену и modus ponens , то непротиворечивая система будет давать только тавтологичные формулы.

По теме определения тавтологичности Нагель и Ньюман создают два взаимоисключающих и исчерпывающих класса K ₁ и K ₂ , в которые попадают (результат) аксиомы, когда их переменные (например, S ₁ и S ₂ присваиваются из этих классов ). Это касается и примитивных формул. Например: «Формула, имеющая вид S1 _VS2 , _{помещается} в класс K2 _, если и S1 _, и S2 _{находятся} в K2 _; в противном случае она помещается в K1 _» , и «Формула, имеющая вид ~S помещается в К ₂ , если S находится в К ₁ , в противном случае он помещается в К ₁ ";

Следовательно, Нагель и Ньюман теперь могут определить понятие тавтологичности : «формула является тавтологией тогда и только тогда, когда она попадает в класс К ₁ , независимо от того, в каком из двух классов помещены ее элементы». Таким образом, описывается свойство «тавтологичности» — без ссылки на модель или интерпретацию.

Например, при наличии такой формулы, как ~S ₁ VS ₂ , и присвоении K ₁ S ₁ и K ₂ S ₂ можно оценить формулу и поместить ее результат в тот или иной класс. Присвоение K ₁ S ₁ помещает ~S ₁ в K ₂ , и теперь мы видим, что наше присвоение приводит к тому, что формула попадает в класс K ₂ . Таким образом, по определению наша формула не является тавтологией.

Пост заметил, что, если система несовместима, вывод в ней (то есть последняя формула в последовательности формул, полученных из тавтологий) может в конечном итоге привести к самому S. Поскольку присвоение переменной S может происходить как из класса K ₁ , так и из класса K ₂ , вывод нарушает характеристику наследования тавтологии (т. е. вывод должен давать оценку формулы, которая попадет в класс K ₁ ). Исходя из этого, Пост смог вывести следующее определение непоследовательности — без использования понятия противоречия :

Определение. Будем говорить, что система несовместна, если она допускает утверждение неизмененной переменной p [S в примерах Ньюмана и Нагеля].

Другими словами, от понятия «противоречие» можно отказаться при построении доказательства непротиворечивости; его заменяет понятие «взаимоисключающих и исчерпывающих» классов. Аксиоматическая система не обязательно должна включать понятие «противоречие».

Философия

Приверженцы эпистемологической теории когерентизма обычно утверждают, что в качестве необходимого условия обоснования убеждения оно должно составлять часть логически непротиворечивой системы убеждений. Некоторые диалетеисты , в том числе Грэм Прист , утверждают, что последовательность может и не требовать последовательности.

Прагматические противоречия

Прагматическое противоречие возникает, когда само утверждение аргумента противоречит утверждениям, которые он подразумевает. Непоследовательность в этом случае возникает потому, что сам акт высказывания, а не содержание сказанного, подрывает его заключение.

Диалектический материализм

В диалектическом материализме : Противоречие, происходящее от гегельянства , обычно относится к оппозиции, изначально существующей внутри одной сферы, одной единой силы или объекта. Это противоречие, в отличие от метафизического мышления, не является объективно невозможной вещью, ибо эти противоречащие силы существуют в объективной реальности, не отменяя друг друга, а фактически определяя существование друг друга. Согласно марксистской теории , такое противоречие можно найти, например, в том, что:

• (а) огромное богатство и производительные силы сосуществуют рядом с:
• (б) крайняя нищета и нищета;
• (c) существование (a) противоречит существованию (b).

Гегелевская и марксистская теории предполагают, что диалектическая природа истории приведет к снятию или синтезу ее противоречий. Поэтому Маркс постулировал, что история логически заставит капитализм эволюционировать в социалистическое общество, где средства производства будут в равной степени служить рабочему и производящему классу общества, тем самым разрешая предшествующее противоречие между (а) и (б).

Вне формальной логики

В разговорной речи действия или утверждения могут обозначаться как противоречащие друг другу, когда они обусловлены (или воспринимаются как обусловленные) предпосылками, которые противоречивы в логическом смысле.

Доказательство от противного используется в математике для построения доказательств .

Научный метод использует противоречие для фальсификации плохой теории.

См. также

• «Клиника аргументов» - скетч Монти Пайтона, в котором один из двух спорщиков неоднократно использует в своих аргументах только противоречия.
• Авто-антоним – слово, имеющее два противоположных значения. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Напротив (логика) — тип логической диаграммы. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Диалетеизм - мнение, что существуют утверждения, которые одновременно истинны и ложны.
• Двойные стандарты – непоследовательное применение принципов
• Двоемыслие – одновременное принятие двух взаимоисключающих убеждений как правильных.
• Иерархия разногласий Грэма
• Ирония – Риторический прием и литературная техника.
• Закон непротиворечия
• О противоречии - эссе Мао Цзэдуна 1937 года
• Оксюморон – Фигура речи
• Паранепротиворечивая логика - тип формальной логики без принципа взрыва.
• Парадокс – утверждение, которое явно противоречит само себе.
• Тавтология – в логике утверждение, которое всегда верно.
• ТРИЗ – Инструменты решения проблем

Библиография

• Юзеф Мария Боченский, 1960 Краткое изложение математической логики , перевод с французского и немецкого изданий Отто Берда, Д. Рейделя, Дордрехт, Южная Голландия.
• Жан ван Хейенорт, 1967. От Фреге до Гёделя: справочник по математической логике 1879–1931 , издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN   0-674-32449-8 (пбк.)
• Эрнест Нагель и Джеймс Р. Ньюман, 1958 г., «Доказательство Гёделя» , издательство Нью-Йоркского университета, номер каталога карточек: 58-5610.

Внешние ссылки

• «Противоречие (несогласованность)» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Противоречие, закон» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Хорн, Лоуренс Р. «Противоречие» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .