Булева алгебра (структура)

В абстрактной алгебре или булева алгебра булева решетка является дополняемой дистрибутивной решеткой . Этот тип алгебраической структуры отражает основные свойства как над множествами операций , так и логических операций. Булеву алгебру можно рассматривать как обобщение степенной алгебры множеств или поля множеств , а ее элементы можно рассматривать как обобщенные значения истинности . Это также частный случай алгебры Де Моргана и алгебры Клини (с инволюцией) .

Каждая булева алгебра порождает и булево кольцо наоборот, при этом умножение колец соответствует конъюнкции или встрече ∧, а добавление колец — исключительной дизъюнкции или симметричной разности (не дизъюнкции ∨). Однако теории булевых колец присуща асимметрия между двумя операторами, в то время как аксиомы и теоремы булевой алгебры выражают симметрию теории, описываемую принципом двойственности . ^[1]

История [ править ]

Термин «булева алгебра» назван в честь Джорджа Буля (1815–1864), английского математика-самоучки. Он представил алгебраическую систему сначала в небольшой брошюре « Математический анализ логики» , опубликованной в 1847 году в ответ на продолжающуюся общественную полемику между Огастесом Де Морганом и Уильямом Гамильтоном , а затем в более существенной книге « Законы мышления» , опубликованной в 1847 году. 1854. Формулировка Буля отличается от описанной выше в некоторых важных отношениях. Например, конъюнкция и дизъюнкция в булевском языке не были двойной парой операций. Булева алгебра возникла в 1860-х годах в статьях Уильяма Джевонса и Чарльза Сандерса Пирса . Первое систематическое представление булевой алгебры и дистрибутивных решеток принадлежит Vorlesungen 1890 года Эрнста Шредера . Первым обширным исследованием булевой алгебры на английском языке является А.Н. Уайтхеда 1898 года « Универсальная алгебра» . Булева алгебра как аксиоматическая алгебраическая структура в современном аксиоматическом смысле начинается со статьи 1904 года. Эдвард В. Хантингтон . Булева алгебра достигла зрелости как серьезная математика благодаря работам Маршалла Стоуна в 1930-х годах и благодаря » Гаррета Биркгофа 1940 года « Теории решеток . В 1960-х годах Пол Коэн , Дана Скотт и другие нашли глубокие новые результаты в математической логике и теории аксиоматических множеств, используя ответвления булевой алгебры, а именно модели принуждения и булевозначные модели .

Определение [ править ]

— Булева алгебра это множество $A$ , снабженное двумя бинарными операциями $\land$ (называемыми «встретиться» или «и»), $\lor$ (называемыми «присоединиться» или «или»), унарной операцией $\neg$ (называемой «дополнением» или «не»). ) и два элемента $0$ и $1$ из $A$ (называемые «нижним» и «верхним» или «наименьшим» и «наибольшим» элементом, также обозначаемые символами $⊥$ и $⊤$ соответственно), такие, что для всех элементов $a$ , $b$ и $c$ of $A$ справедливы следующие аксиомы : ^[2]

$а \lor (б \lor c) знак равно (а \lor б) \lor c$	$а \land (б \land c) знак равно (а \land б) \land c$	ассоциативность
$а \lor б = б \lor а$	$а \land б = б \land а$	коммутативность
$а \lor (а \land б) знак равно а$	$а \land (а \lor б) знак равно а$	поглощение
$а \lor 0 = а$	$а \land 1 = а$	личность
$а \lor (б \land c) знак равно (а \lor б) \land (а \lor c)$	$а \land (б \lor c) знак равно (а \land б) \lor (а \land c)$	распределительность
$а \lor \neg а = 1$	$а \land \neg а = 0$	дополняет

Однако заметим, что закон поглощения и даже закон ассоциативности можно исключить из набора аксиом, поскольку они могут быть выведены из других аксиом (см. Доказанные свойства ).

Булева алгебра, состоящая только из одного элемента, называется тривиальной булевой алгеброй или вырожденной булевой алгеброй . (В более старых работах некоторые авторы требовали, $чтобы 0$ и $1$ были разными элементами, чтобы исключить этот случай.) ^{[ нужна цитата ]}

Из последних трех пар аксиом, приведенных выше (тождество, дистрибутивность и дополнение), или из аксиомы поглощения, следует, что

a = b \land a

тогда и только тогда, когда

a \lor b = b

.

Отношение $\leq,$ определяемое $a \leq b$ , если выполняются эти эквивалентные условия, является частичным порядком с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1. Встреча $a \land b$ и соединение $a \lor b$ двух элементов совпадают с их нижней и верхней гранями соответственно, относительно ≤.

Первые четыре пары аксиом составляют определение ограниченной решетки .

Из первых пяти пар аксиом следует, что любое дополнение единственно.

Набор аксиом самодуален в том смысле, что если в аксиоме заменить $\lor$ на $\land$ и $0$ на $1$ , результат снова станет аксиомой. Следовательно, применяя эту операцию к булевой алгебре (или булевой решетке), получается другая булева алгебра с теми же элементами; это называется его двойственным . ^[3]

Примеры [ править ]

Простейшая нетривиальная булева алгебра, двухэлементная булева алгебра , имеет только два элемента, $0$ и $1$ , и определяется правилами:

$\land$	$0$	$1$
$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$

$\lor$	$0$	$1$
$0$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

$а$	$0$	$1$
$\neg a$	$1$	$0$

Он имеет приложения в логике , интерпретируя $0$ как ложь , $1$ как истину , $\land$ как и , $\lor$ как или и $\neg$ как нет . Выражения, включающие переменные и логические операции, представляют собой формы операторов, и с помощью приведенных выше аксиом можно показать, что два таких выражения равны, тогда и только тогда, когда соответствующие формы операторов логически эквивалентны .

Двухэлементная булева алгебра также используется для проектирования схем в электротехнике ; ^{[примечание 1]}здесь 0 и 1 представляют два разных состояния одного бита в цифровой схеме , обычно высокого и низкого напряжения . Схемы описываются выражениями, содержащими переменные, и два таких выражения равны для всех значений переменных тогда и только тогда, когда соответствующие схемы имеют одинаковое поведение ввода-вывода. Более того, любое возможное поведение ввода-вывода можно смоделировать с помощью подходящего логического выражения.

Двухэлементная булева алгебра также важна в общей теории булевых алгебр, поскольку уравнение с несколькими переменными обычно истинно во всех булевых алгебрах тогда и только тогда, когда оно истинно в двухэлементной булевой алгебре (что можно проверить с помощью тривиальный алгоритм перебора для малого числа переменных). Это можно, например, использовать, чтобы показать, что следующие законы ( теоремы консенсуса ) обычно справедливы во всех булевых алгебрах:
- $(а \lor б) \land (\neg а \lor c) \land (б \lor c) \equiv (а \lor б) \land (\neg а \lor c)$
- $(а \land б) \lor (\neg а \land c) \lor (б \land c) \equiv (а \land б) \lor (\neg а \land c)$

Набор степеней (множество всех подмножеств) любого данного непустого множества $S$ образует булеву алгебру, алгебру множеств с двумя операциями $\lor := \cup$ (объединение) и $\land := \cap$ (пересечение). Наименьший элемент 0 — это пустое множество , а самый большой элемент $1$ множество $S.$ — это само

После двухэлементной булевой алгебры простейшей булевой алгеброй является та, которая определяется набором степеней двух атомов:

$\land$	$0$	$а$	$б$	$1$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$а$	$0$	$а$	$0$	$а$
$б$	$0$	$0$	$б$	$б$
$1$	$0$	$а$	$б$	$1$

$\lor$	$0$	$а$	$б$	$1$
$0$	$0$	$а$	$б$	$1$
$а$	$а$	$а$	$1$	$1$
$б$	$б$	$1$	$б$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$

$Икс$	$0$	$а$	$б$	$1$
$\neg x$	$1$	$б$	$а$	$0$

Множество $A$ всех подмножеств $S$ , которые либо конечны, либо коконечны, является булевой алгеброй и алгеброй множеств, называемой конечно-коконитной алгеброй . Если $S$ то множество всех коконитных подмножеств $S$ , называемое фильтром Фреше , является свободным ультрафильтром на $A.$ бесконечно , Однако фильтр Фреше не является ультрафильтром на наборе $S.$ мощности
Начиная с исчисления высказываний с $κ$ символами предложений, сформируйте алгебру Линденбаума (то есть множество предложений в исчислении высказываний по модулю логической эквивалентности ). Эта конструкция дает булеву алгебру. Фактически это свободная булева алгебра на $κ$ образующих. Тогда присваивание истинности в исчислении высказываний представляет собой гомоморфизм булевой алгебры из этой алгебры в двухэлементную булеву алгебру.
Для любого линейно упорядоченного множества $L$ с наименьшим элементом интервальная алгебра — это наименьшая булева алгебра подмножеств $L$ , содержащая все полуоткрытые интервалы $[a, b)$ такие, что $a$ находится в $L$ , а $b$ либо находится в $L$ , либо равен до $\infty$ . Интервальные алгебры полезны при изучении алгебр Линденбаума – Тарского ; каждая счетная булева алгебра изоморфна интервальной алгебре.

Для любого натурального числа $n$ набор всех положительных делителей n $,$ , определяющих $a \leq b$ если $a$ делит $b$ , образует дистрибутивную решетку . Эта решетка является булевой алгеброй тогда и только тогда, когда $n$ свободно от квадратов . Нижний и верхний элементы этой булевой алгебры — натуральные числа $1$ и $n$ соответственно. Дополнение $a$ задается $n / a$ . Встреча и соединение $a$ и $b$ задаются наибольшим общим делителем ( $НОД$ ) и наименьшим общим кратным ( $lcm$ ) $a$ и $b$ соответственно. Кольцевое сложение $a + b$ задается формулой $lcm(a, b)/gcd(a, b)$ . На рисунке показан пример для $n = 30$ . В качестве контрпримера, учитывая несвободное от квадратов число $n = 60$ , наибольший общий делитель числа 30 и его дополнения 2 будет равен 2, а нижний элемент должен быть равен 1.
Другие примеры булевых алгебр возникают из топологических пространств : если $X$ — топологическое пространство, то совокупность всех подмножеств $X$ , которые являются как открытыми, так и замкнутыми, образует булеву алгебру с операциями $\lor := \cup$ (объединение) и $\land := \cap$ (перекресток).
Если $R$ — произвольное кольцо, то его набор центральных идемпотентов , который представляет собой множество

A=\left\{e\in R:e^{2}=e{\text{ and }}ex=xe\;{\text{ for all }}\;x\in R\right\},

становится булевой алгеброй, если ее операции определяются формулами

e \lor f := e + f - ef

и

e \land f := ef

.

Гомоморфизмы и изоморфизмы [ править ]

Гомоморфизм всех между двумя булевыми алгебрами $A$ и $B$ — это функция $f : A \to B$ такая, что для $a$ , $b$ в $A$ :

ж (а \lor б) знак равно ж (а) \lor ж (б)

,

ж (а \land б) знак равно ж (а) \land ж (б)

,

ж (0) = 0

,

ж (1) знак равно 1

.

Отсюда следует, что $(\nega) = \negf (a) для$ всех $a$ в $A.$ f Класс всех булевых алгебр вместе с этим понятием морфизма образует полную подкатегорию категории решеток .

Изоморфизмом f между двумя булевыми алгебрами $A$ и $B$ называется гомоморфизм $: A \to B с$ обратным гомоморфизмом, то есть гомоморфизм $g : B \to A$ такой, что композиция $g \circ f : A \to A$ является тождественной функцией на $A$ , и композиция $f \circ g : B \to B$ является тождественной функцией на $B$ . Гомоморфизм булевых алгебр является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен .

Булевы кольца [ править ]

Каждая булева алгебра $(A, \land, \lor)$ порождает кольцо ( $A, +, \cdot)$ путем определения $a + b := (a \land \neg b) \lor (b \land \neg a) = (a \lor b) \land \neg (a \land b)$ (эта операция называется симметричной разностью в случае множеств и XOR в случае логики) и $a \cdot b := a \land b$ . Нулевой элемент этого кольца совпадает с 0 булевой алгебры; мультипликативный единичный элемент кольца — это $единица$ булевой алгебры. Это кольцо обладает тем свойством, что $a \cdot a = a$ для всех $a$ из $A$ ; кольца, обладающие этим свойством, называются булевыми кольцами .

И наоборот, если дано булево кольцо $A$ , мы можем превратить его в булевую алгебру, определив $x \lor y := x + y + (x \cdot y)$ и $x \land y := x \cdot y$ . ^[4]^[5]Поскольку эти две конструкции являются обратными друг другу, мы можем сказать, что каждое булево кольцо возникает из булевой алгебры, и наоборот. Более того, отображение $f : A \to B$ является гомоморфизмом булевых алгебр тогда и только тогда, когда оно является гомоморфизмом булевых колец. Категории алгебр булевых колец и булевых эквивалентны ; ^[6] на самом деле категории изоморфны .

Сян (1985) предложил алгоритм, основанный на правилах, для проверки того, обозначают ли два произвольных выражения одно и то же значение в каждом булевом кольце. В более общем плане Буде, Жуанно и Шмидт-Шаус (1989) предложили алгоритм для решения уравнений между произвольными выражениями в виде булевых колец. Оба алгоритма, основанные на сходстве булевых колец и булевых алгебр, находят применение в автоматизированном доказательстве теорем .

Идеалы и фильтры [ править ]

Идеал такое , булевой алгебры $A$ непустое подмножество $I$ что для всех $x$ , $y$ в $I$ имеем $x \lor y$ в $I$ и для всех $a$ в $A$ имеем $a \land x$ в $I.$ — это Это понятие идеала совпадает с понятием идеала кольца в булевом кольце $A$ . Идеал $I$ из $A$ называется простым, если $I \neq A$ и если $a \land b$ в $I$ всегда влечет за собой $a$ в $I$ или $b$ в $I$ . Более того, для каждого $a \in A$ имеем $a \land - a = 0 \in I$ , и тогда, если $I$ простое число, мы имеем $\in I или$ − $a \in I для$ каждого $a \in A.$ a Идеал $I$ из $A$ называется максимальным , если $I \neq A$ и если единственным идеалом, правильно содержащим $I$ , является $A.$ сам Для идеала $I$ , если $a \notin I$ и $- a \notin I$ , то $I \cup {a}$ или $I \cup {- a}$ содержится в другом собственном идеале $J$ . Следовательно, такое $I$ не является максимальным, и поэтому понятия простого идеала и максимального идеала эквивалентны в булевых алгебрах. Более того, эти понятия совпадают с теоретико-кольцевыми понятиями простого идеала и максимального идеала в булевом кольце $A$ .

Двойник идеала – это фильтр . Фильтр x булевой алгебры $A$ — это непустое подмножество $p$ такое, что для всех $,$ y $в$ p $имеем$ x $\land y в$ p $и$ для всех $a$ в $A$ имеем $a \lor x$ в $p$ . Двойственным максимальному ( или простому ) идеалу в булевой алгебре является ультрафильтр . Альтернативно ультрафильтры можно описать как двузначные морфизмы из $A$ в двухэлементную булеву алгебру. Утверждение, каждый фильтр в булевой алгебре может быть расширен до ультрафильтра, называется леммой об ультрафильтре и не может быть доказано в теории множеств Цермело – Френкеля (ZF), если ZF непротиворечив что . В ZF лемма об ультрафильтре строго слабее аксиомы выбора . Лемма об ультрафильтре имеет множество эквивалентных формулировок: каждая булева алгебра имеет ультрафильтр , каждый идеал в булевой алгебре можно расширить до простого идеала и т. д.

Представления [ править ]

Можно показать, что каждая конечная булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех подмножеств конечного множества. Следовательно, число элементов каждой конечной булевой алгебры является степенью двойки .

теорема Стоуна Знаменитая о представлении булевых алгебр утверждает, что каждая булева алгебра $A$ изоморфна булевой алгебре всех открыто-замкнутых множеств в некотором ( компактном , полностью несвязном хаусдорфовом ) топологическом пространстве.

Аксиоматика [ править ]

Проверенные свойства

Хантингтон 1904 г. Аксиомы булевой алгебры

Первую аксиоматизацию булевых решеток/алгебр вообще дал английский философ и математик Альфред Норт Уайтхед в 1898 году. ^[7]^[8]Он включал вышеуказанные аксиомы , а также $x \lor 1 = 1$ и $x \land 0 = 0$ . В 1904 году американский математик Эдвард В. Хантингтон (1874–1952) дал, вероятно, самую экономную аксиоматизацию, основанную на $\land$ , $\lor$ , $\neg$ , и даже доказал законы ассоциативности (см. Вставку). ^[9] Он также доказал, что эти аксиомы независимы друг от друга. ^[10] В 1933 году Хантингтон сформулировал следующую элегантную аксиоматизацию булевой алгебры. ^[11] Для его чтения как «дополнения» требуется всего одна бинарная операция $+$ и унарный функциональный символ $n$ , которые удовлетворяют следующим законам:

Коммутативность : $x + y = y + x$ .
Ассоциативность : $(x + y) + z знак равно x + (y + z)$ .
Уравнение Хантингтона : $n (n (x) + y) + n (n (x) + n (y)) = x$ .

Герберт Роббинс тут же спросил: Если уравнение Хантингтона заменить двойственным ему, а именно:

Уравнение Роббинса : $n (n (x + y) + n (x + n (y))) = x$ ,

составляют ли (1), (2) и (4) основу булевой алгебры? Называя (1), (2) и (4) алгеброй Роббинса , возникает вопрос: является ли каждая алгебра Роббинса булевой алгеброй? Этот вопрос (который стал известен как гипотеза Роббинса ) оставался открытым на протяжении десятилетий и стал любимым вопросом Альфреда Тарского и его учеников. В 1996 году Уильям МакКьюн из Аргоннской национальной лаборатории , опираясь на более ранние работы Ларри Воса, Стива Уинкера и Боба Вероффа, утвердительно ответил на вопрос Роббинса: каждая алгебра Роббинса является булевой алгеброй. Решающее значение для доказательства МакКьюна имела разработанная им компьютерная программа EQP . Упрощение доказательства МакКьюна см. в Dahn (1998).

Дальнейшая работа была проделана по сокращению количества аксиом; см. Минимальные аксиомы булевой алгебры .

Обобщения [ править ]

Удаление требования существования единицы из аксиом булевой алгебры дает «обобщенные булевы алгебры». Формально дистрибутивная решетка $B$ является обобщенной булевой решеткой, если она имеет наименьший элемент $0$ и для любых элементов $a$ и $b$ в $B$ таких, что $a \leq b$ , существует элемент $x$ такой, что $a \land x = 0$ и $a \lor x = б$ . Определив $a \ b$ как единственный $x$ такой, что $(a \land b) \lor x = a$ и $(a \land b) \land x = 0$ , мы говорим, что структура $( B , ∧, ∨, \, 0)$ является обобщенной логической величиной. алгебра , а $(B, \lor, 0)$ — обобщенная булева полурешетка . Обобщенные булевы решетки — это в точности идеалы булевых решеток.

Структура, которая удовлетворяет всем аксиомам булевых алгебр, за исключением двух аксиом дистрибутивности, называется решеткой с ортодополнениями . Решетки с ортодополнениями естественным образом возникают в квантовой логике как решетки замкнутых линейных подпространств для сепарабельных гильбертовых пространств .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Строго говоря, инженеры-электрики склонны использовать дополнительные состояния для представления других состояний цепи, таких как высокое сопротивление — см. IEEE 1164 или IEEE 1364 .

Ссылки [ править ]

^ Гивант и Халмос 2009 , с. 20.
^ Дэйви и Пристли 1990 , стр. 109, 131, 144.
^ Гудштейн 2012 , с. 21 и след.
^ Стоун 1936 .
^ Сян 1985 , с. 260.
^ Кон 2003 , с. 81 .
^ Падманабхан и Рудеану 2008 , стр. 73 .
^ Уайтхед 1898 , с. 37.
^ Хантингтон 1904 , стр. 292–293.
^ Хантингтон 1904 , с. 296.
^ Хантингтон 1933а .

Цитируемые работы [ править ]

Дэйви, бакалавр; Пристли, ХА (1990). Введение в решетки и порядок . Кембриджские математические учебники. Издательство Кембриджского университета.
Кон, Пол М. (2003), Основная алгебра: группы, кольца и поля , Springer, стр. 51, 70–81, ISBN 9781852335878
Живант, Стивен; Халмош, Пол (2009), Введение в булеву алгебру , Тексты для студентов по математике , Springer , ISBN 978-0-387-40293-2 .
Гудштейн, Р.Л. (2012), «Глава 2: Самодуальная система аксиом» , Булева алгебра , Courier Dover Publications, стр. 21 и далее, ISBN 9780486154978
Сян, Цзе (1985). «Доказательство опровержений теорем с использованием систем переписывания терминов» . Искусственный интеллект . 25 (3): 255–300. дои : 10.1016/0004-3702(85)90074-8 .
Хантингтон, Эдвард В. (1904). «Наборы независимых постулатов алгебры логики» . Труды Американского математического общества . 5 (3): 288–309. дои : 10.1090/s0002-9947-1904-1500675-4 . JSTOR 1986459 .
Падманабхан, Ранганатан; Рудяну, Серджиу (2008), Аксиомы для решеток и булевых алгебр , World Scientific, ISBN 978-981-283-454-6 .
Стоун, Маршалл Х. (1936). «Теория представлений булевой алгебры» . Труды Американского математического общества . 40 : 37–111. дои : 10.1090/s0002-9947-1936-1501865-8 .
Уайтхед, А.Н. (1898). Трактат по универсальной алгебре . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-4297-0032-0 .

Общие ссылки [ править ]

Браун, Стивен; Вранешич, Звонко (2002), Основы цифровой логики с дизайном VHDL (2-е изд.), McGraw – Hill , ISBN 978-0-07-249938-4 . См. раздел 2.5.
Буде, А.; Жуанно, JP; Шмидт-Шаус, М. (1989). «Объединение в булевых кольцах и абелевых группах» . Журнал символических вычислений . 8 (5): 449–477. дои : 10.1016/s0747-7171(89)80054-9 .
Кори, Рене; Ласкар, Дэниел (2000), Математическая логика: курс с упражнениями , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850048-3 . См. главу 2.
Дан, Б.И. (1998), «Алгебры Роббинса являются логическими: пересмотр компьютерного решения проблемы Роббинса МакКьюна», Journal of Algebra , 208 (2): 526–532, doi : 10.1006/jabr.1998.7467 .

Халмос, Пол (1963), Лекции по булевой алгебре , Ван Ностранд, ISBN 978-0-387-90094-0 .
Халмос, Пол ; Гивант, Стивен (1998), Логика как алгебра , Математические экспозиции Дольчиани, том. 21, Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-327-6 .
Хантингтон, EV (1933a), «Новые наборы независимых постулатов для алгебры логики» (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 35 (1), American Mathematical Society: 274–304, doi : 10.2307/1989325 , JSTOR 1989325 .
Хантингтон, Э.В. (1933b), «Булева алгебра: исправление», Труды Американского математического общества , 35 (2): 557–558, doi : 10.2307/1989783 , JSTOR 1989783
Мендельсон, Эллиотт (1970), Булева алгебра и коммутационные схемы , Серия набросков Шаума по математике, МакГроу – Хилл , ISBN 978-0-07-041460-0
Монк, Дж. Дональд; Бонне, Р., ред. (1989), Справочник по булевой алгебре , Северная Голландия , ISBN 978-0-444-87291-3 . В 3-х томах. (Том 1: ISBN 978-0-444-70261-6 , Том 2: ISBN 978-0-444-87152-7 , Том 3: ISBN 978-0-444-87153-4 )
Сикорский, Роман (1966), Булевы алгебры , результаты математики и ее границы, Springer Verlag .
Столл, Р.Р. (1963), Теория множеств и логика , WH Freeman, ISBN 978-0-486-63829-4 . Перепечатано Dover Publications , 1979.

Внешние ссылки [ править ]

«Булева алгебра» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Стэнфордская энциклопедия философии : « Математика булевой алгебры », Дж. Дональд Монк.
МакКьюн В., 1997. Алгебры Роббинса являются логическими JAR 19(3), 263–276.
«Булева алгебра» Эрика В. Вайсштейна , Демонстрационный проект Wolfram , 2007.
Беррис, Стэнли Н.; Санкаппанавар, Х.П., 1981. Курс универсальной алгебры. Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-90578-2 .
Вайсштейн, Эрик В. «Булева алгебра» . Математический мир .

[4] Строго говоря, инженеры-электрики склонны использовать дополнительные состояния для представления других состояний цепи, таких как высокое сопротивление — см. IEEE 1164 или IEEE 1364 .

[FOOTNOTEGivantHalmos200920-1] Гивант и Халмос 2009 , с. 20.

[FOOTNOTEDaveyPriestley1990109,_131,_144-2] Дэйви и Пристли 1990 , стр. 109, 131, 144.

[FOOTNOTEGoodstein201221ff-3] Гудштейн 2012 , с. 21 и след.

[FOOTNOTEStone1936-5] Стоун 1936 .

[FOOTNOTEHsiang1985260-6] Сян 1985 , с. 260.

[FOOTNOTECohn2003[httpsbooksgooglecombooksidVESm0MJOiDQCpgPA81_81]-7] Кон 2003 , с. 81 .

[FOOTNOTEPadmanabhanRudeanu2008[httpsbooksgooglecombooksidJlXSlpmlSv4CpgPA73_73]-8] Падманабхан и Рудеану 2008 , стр. 73 .

[FOOTNOTEWhitehead189837-9] Уайтхед 1898 , с. 37.

[FOOTNOTEHuntington1904292–293-10] Хантингтон 1904 , стр. 292–293.

[FOOTNOTEHuntington1904296-11] Хантингтон 1904 , с. 296.

[FOOTNOTEHuntington1933a-12] Хантингтон 1933а .

[1]

[2]

[3]

[примечание 1]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

v т Это Теория порядка
Topics Glossary Category
Key concepts	Binary relation Boolean algebra Cyclic order Lattice Partial order Preorder Total order Weak ordering
Results	Boolean prime ideal theorem Cantor–Bernstein theorem Cantor's isomorphism theorem Dilworth's theorem Dushnik–Miller theorem Hausdorff maximal principle Knaster–Tarski theorem Kruskal's tree theorem Laver's theorem Mirsky's theorem Szpilrajn extension theorem Zorn's lemma
Properties & Types (list)	Antisymmetric Asymmetric Boolean algebra topics Completeness Connected Covering Dense Directed (Partial) Equivalence Foundational Heyting algebra Homogeneous Idempotent Lattice Bounded Complemented Complete Distributive Join and meet Reflexive Partial order Chain-complete Graded Eulerian Strict Prefix order Preorder Total Semilattice Semiorder Symmetric Total Tolerance Transitive Well-founded Well-quasi-ordering (Better) (Pre) Well-order
Constructions	Composition Converse/Transpose Lexicographic order Linear extension Product order Reflexive closure Series-parallel partial order Star product Symmetric closure Transitive closure
Topology & Orders	Alexandrov topology & Specialization preorder Ordered topological vector space Normal cone Order topology Order topology Topological vector lattice Banach Fréchet Locally convex Normed
Related	Antichain Cofinal Cofinality Comparability Graph Duality Filter Hasse diagram Ideal Net Subnet Order morphism Embedding Isomorphism Order type Ordered field Positive cone of an ordered field Ordered vector space Partially ordered Positive cone of an ordered vector space Riesz space Partially ordered group Positive cone of a partially ordered group Upper set Young's lattice