Сопоставимость

См. Также: Сравнение (математика)

Диаграмма Хассе натуральных чисел , частично упорядоченных по принципу « x ≤ y, если x делит y ». Числа 4 и 6 несопоставимы, поскольку ни одно из них не делит другое.

В математике два элемента x и y множества P называются сравнимыми относительно бинарного отношения ≤, если хотя бы один из x ≤ y или y ≤ x истинен. Их называют несравнимыми, если они несравнимы.

Строгое определение

Бинарное отношение на множестве $P$ по определению является любым подмножеством $R$ из $P\times P.$ Данный $x,y\in P,$ $xRy$ пишется тогда и только тогда, когда $(x,y)\in R,$ в этом случае $x$ говорят, что это связано с $y$ к $R.$ Элемент $x\in P$ Говорят, что это $R$-сопоставимый , или сравнимый ( по отношению к $R$), к элементу $y\in P$ если $xRy$ или $yRx.$ Часто используется символ, обозначающий сравнение, например $\,<\,$ (или $\,\leq \,,$ $\,>,\,$ $\geq ,$ и многие другие) используется вместо $R,$ в этом случае $x<y$ пишется вместо $xRy,$ поэтому используется термин «сопоставимый».

Сопоставимость по $R$ индуцирует каноническое бинарное отношение на $P$; в частности, отношение сравнимости, индуцированное $R$ определяется как множество всех пар $(x,y)\in P\times P$ такой, что $x$ сравнимо с $y$; то есть такой, что хотя бы один из $xRy$ и $yRx$ это правда. Аналогично, соотношение несравнимости на $P$ вызванный $R$ определяется как множество всех пар $(x,y)\in P\times P$ такой, что $x$ несравнимо с $y;$ то есть такой, что ни $xRy$ ни $yRx$ это правда.

Если символ $\,<\,$ используется вместо $\,\leq \,$ тогда сравнимость по $\,<\,$ иногда обозначается символом ${\overset {<}{\underset {>}{=}}}$, а несравнимость – символом ${\cancel {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}\!$. Таким образом, для любых двух элементов $x$ и $y$ частично упорядоченного множества, ровно одно из $x\ {\overset {<}{\underset {>}{=}}}\ y$ и $x{\cancel {\overset {<}{\underset {>}{=}}}}y$ это правда.

Пример

множество Полностью упорядоченное — это частично упорядоченное множество , в котором любые два элемента сравнимы. Теорема о расширении Шпильрайна утверждает, что каждый частичный порядок содержится в полном порядке. Интуитивно, теорема гласит, что любой метод сравнения элементов, который оставляет некоторые пары несравнимыми, может быть расширен таким образом, чтобы каждая пара стала сравнимой.

Свойства

отношения сравнимости и несравнимости симметричны Оба , т.е. $x$ сравнимо с $y$ тогда и только тогда, когда $y$ сравнимо с $x,$ то же самое и о несравнимости.

Графики сопоставимости

Основная статья: График сопоставимости

Граф сравнимости частично упорядоченного множества $P$ имеет в качестве вершин элементы $P$ и имеет ребрами именно эти пары $\{x,y\}$ элементов, для которых $x\ {\overset {<}{\underset {>}{=}}}\ y$.

Классификация

При классификации математических объектов (например, топологических пространств ) два критерия называются сравнимыми, когда объекты, подчиняющиеся одному критерию, составляют подмножество объектов, подчиняющихся другому, то есть когда они сравнимы в частичном порядке ⊂. Например, критерии Т ₁ и Т ₂ сопоставимы, а критерии Т ₁ и трезвости — нет.

См. также

• Строгий слабый порядок — математическое ранжирование набора. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления , частичный порядок, в котором несравнимость является транзитивным отношением.

Внешние ссылки

• «ПланетаМатематика: частичный порядок» . Архивировано из оригинала 11 июля 2012 года . Проверено 6 апреля 2010 г.