Решетка Юнга

Диаграмма Хассе решетки Юнга

В математике — решетка Юнга это решетка , состоящая из всех целочисленных разбиений . Назван в честь Альфреда Янга , который в серии статей « О количественном анализе замещения» развил теорию представлений симметричной группы . В теории Юнга объекты, называемые теперь диаграммами Юнга , и частичный порядок на них играли ключевую, даже решающую роль. Решетка Юнга занимает видное место в алгебраической комбинаторике , образуя простейший пример дифференциального ЧУМ в смысле Стэнли (1988) . Оно также тесно связано с кристаллическими базисами аффинных алгебр Ли .

Определение

Решетка Юнга — это решетка (а значит, и частично упорядоченное множество ) Y , образованная всеми целочисленными разбиениями, упорядоченными включением в них диаграмм Юнга (или диаграмм Феррера ).

Значение

Юнга - это описание неприводимых представлений симметрических групп Sn _n для всех Традиционное применение решетки вместе с их свойствами ветвления в характеристике нулевой . Классы эквивалентности неприводимых представлений могут быть параметризованы разбиениями или диаграммами Юнга, ограничение от Sn _{+1 до} Sn _не имеет кратности, а представление Sn _с разбиением p содержится в представлении _{Sn +1} с разбиение q тогда и только тогда, когда q покрывает p в решетке Юнга. Повторяя эту процедуру, можно прийти к полуканоническому базису Юнга в неприводимом представлении Sn _с разбиением p , которое индексируется стандартными таблицами Юнга формы p .

Характеристики

• ЧУ множество Y градуировано - : минимальный элемент равен ∅, уникальное разбиение равно нулю, а разбиения n имеют ранг n . Это означает, что для данных двух разбиений, сравнимых в решетке, их ранги упорядочены в том же смысле, что и разбиения, и существует хотя бы одно промежуточное разбиение каждого промежуточного ранга.
• ЧУ-множество Y представляет собой решетку. Встреча и соединение двух разбиений задаются пересечением и объединением соответствующих диаграмм Юнга. Поскольку это решетка, в которой операции встречи и соединения представлены пересечениями и объединениями, она является дистрибутивной решеткой .
• Если разбиение p покрывает k элементов решетки Юнга для некоторого k , то оно покрывается k + 1 элементом. Все разбиения, покрытые p, можно найти, удалив один из «углов» диаграммы Юнга (клетки в конце как строки, так и столбца). Все разбиения, покрывающие p, можно найти, добавив к его диаграмме Юнга один из «двойных углов» (блоки вне диаграммы, которые являются первыми такими блоками как в своей строке, так и в своем столбце). В первом ряду всегда имеется двойной угол, а для каждого второго двойного угла существует угол в предыдущем ряду, откуда и указанное свойство.
• Если различные разделы p и q покрывают k элементов Y, то k равно 0 или 1, а p и q покрыты k элементами. Говоря простым языком: два раздела могут иметь не более одного (третьего) раздела, охватываемого обоими (тогда на их соответствующих диаграммах один блок не принадлежит другому), и в этом случае существует также один (четвертый) раздел, охватывающий их оба (чей диаграмма есть объединение их диаграмм).
• Насыщенные цепи между ∅ и p находятся в естественной биекции со стандартными таблицами Юнга формы p : диаграммы в цепочке добавляют ячейки диаграммы стандартной таблицы Юнга в порядке их нумерации. В более общем смысле, насыщенные цепи между q и p находятся в естественной биекции с косыми стандартными таблицами косой формы p / q .
• Функция Мёбиуса решетки Юнга принимает значения 0, ±1. Оно определяется формулой

$\mu (q,p)={\begin{cases}(-1)^{|p|-|q|}&{\text{if the skew diagram }}p/q{\text{ is a disconnected union of squares}}\\&{\text{(no common edges);}}\\[10pt]0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

Двугранная симметрия

Часть решетки Юнга, лежащая ниже 1 + 1 + 1 + 1, 2 + 2 + 2, 3 + 3 и 4.

Условная схема с перегородками одного ранга на одной высоте

Диаграмма, показывающая двугранную симметрию

Обычно решетка Юнга изображается в виде диаграммы Хассе , где все элементы одного ранга показаны на одной высоте над нижним краем. Сутер (2002) показал, что другой способ изображения некоторых подмножеств решетки Янга демонстрирует некоторые неожиданные симметрии.

Раздел

$n+\cdots +3+2+1$

треугольного n -го числа имеет диаграмму Феррера , похожую на лестницу. Самые крупные элементы, диаграммы Феррера которых имеют прямоугольную форму и лежат под лестницей, таковы:

${\begin{array}{c}\underbrace {1+\cdots \cdots \cdots +1} _{n{\text{ terms}}}\\\underbrace {2+\cdots \cdots +2} _{n-1{\text{ terms}}}\\\underbrace {3+\cdots +3} _{n-2{\text{ terms}}}\\\vdots \\\underbrace {{}\quad n\quad {}} _{1{\text{ term}}}\end{array}}$

Перегородки этой формы — единственные, у которых в решетке Юнга есть только один элемент непосредственно под ними. Сутер показал, что набор всех элементов, меньших или равных этим конкретным разбиениям, обладает не только двусторонней симметрией, которую можно ожидать от решетки Юнга, но и вращательной симметрией: группа вращения порядка n + 1 действует на этом частично упорядоченном множестве. Поскольку этот набор обладает как двусторонней симметрией, так и вращательной симметрией, он должен иметь двугранную симметрию: ( n + 1)-я группа диэдра действует точно на этом наборе. Размер этого набора 2. ^н .

Например, когда n = 4, то максимальный элемент под «лестницей», имеющей прямоугольные диаграммы Феррера, равен

1 + 1 + 1 + 1

2 + 2 + 2

3 + 3

4

Подмножество решетки Юнга, лежащее под этими перегородками, обладает как двусторонней симметрией, так и 5-кратной вращательной симметрией. Следовательно, группа диэдра D ₅ действует точно на этом подмножестве решетки Юнга.

См. также

• Решетка Янга – Фибоначчи
• Диаграмма Браттели

Ссылки

• Мисра, Кайлаш К.; Мива, Тецудзи (1990). «Кристаллическая основа для базового представления $U_{q}({\widehat {\mathfrak {sl}}}(n))$". Коммуникации в математической физике . 134 (1): 79–88. Бибкод : 1990CMaPh.134...79M . doi : 10.1007/BF02102090 . S2CID   120298905 .
• Саган, Брюс (2000). Симметричная группа . Берлин: Шпрингер. ISBN  0-387-95067-2 .
• Стэнли, Ричард П. (1988). «Дифференциальные посеты» . Журнал Американского математического общества . 1 (4): 919–961. дои : 10.2307/1990995 . JSTOR   1990995 .
• Сутер, Руди (2002). «Решетка Юнга и двугранные симметрии» . Европейский журнал комбинаторики . 23 (2): 233–238. дои : 10.1006/eujc.2001.0541 .