Диаграмма Браттели

В математике диаграмма Браттели представляет собой комбинаторную структуру: граф , состоящий из вершин, помеченных положительными целыми числами («уровень»), и неориентированных ребер между вершинами, уровни которых отличаются на единицу. Это понятие было предложено Олой Браттели. ^[1] в 1972 году в теории операторных алгебр для описания направленных последовательностей конечномерных алгебр: он сыграл важную роль в классификации Эллиотта AF-алгебр и теории подфакторов . Впоследствии Анатолий Вершик связал динамические системы с бесконечными путями. с такими графами ^[2]

Определение

Диаграмма Браттели задается следующими объектами:

Последовательность множеств V _n («вершины на уровне n »), помеченных набором положительных целых N. чисел В некоторой литературе каждый элемент v из V _n сопровождается положительным целым числом b _v > 0.
Последовательность множеств En _и («ребра от уровня до n + , помеченных N , наделенных отображениями s : En _: → V _n r n : En _→ 1» ) V _{n +1} , такими, что
- Для каждого v в V _n количество элементов в En с _e s ( e ) = v конечно.
- То же самое относится и к числу e ∈ En _{с −1} r ( e ) = v .
- Когда вершины имеют маркировку положительными целыми числами b _v , количество a _{v , v '} ребер с s ( e ) = v и r ( e ) = v ' для v ∈ V _n и v' ∈ V _{n +1} удовлетворяет условию б _v а _{v, v'} ≤ б _v' .

Обычный способ графического представления диаграмм Браттели — это выровнять вершины в соответствии с их уровнями и поместить число b _v рядом с вершиной v или использовать это число вместо v , как в

Упорядоченная диаграмма Браттели — это диаграмма Браттели вместе с частичным порядком на E _n такая, что для любого v ∈ V _n множество { e ∈ E _{n −1} : r ( e ) = v } полностью упорядочено. Ребра, не имеющие общей вершины диапазона, несравнимы. Этот частичный порядок позволяет нам определить набор всех максимальных ребер E _max и набор всех минимальных ребер E _min . Диаграмма Браттели с единственным бесконечно длинным путем в E _max и E _min называется существенно простой . ^[3]

Последовательность конечномерных алгебр

Любая полупростая алгебра над комплексными числами C конечной размерности может быть выражена в виде прямой суммы ⊕ _k M _{n _k} ( C ) матричных алгебр , причем гомоморфизмы C -алгебр между двумя такими алгебрами с точностью до внутренних автоморфизмов с обеих сторон полностью определены. по числу кратностей между компонентами «матричной алгебры». Таким образом, инъективный гомоморфизм ⊕ _{k =1}^я M _{n _k} ( C ) в ⊕ _{l =1}^дж M _{m _l} ( C ) может быть представлено набором положительных чисел a _{k , l} удовлетворяющих условиям Σ n _k a _{k , l} ≤ m _l . (Равенство выполняется тогда и только тогда, когда гомоморфизм унитален; мы можем допустить неинъективные гомоморфизмы, допуская, что некоторые a _{k , l} равны нулю.) Это можно проиллюстрировать как двудольный граф с вершинами, отмеченными числами ( n _k ) _k с одной стороны и те, которые отмечены ( m _l ) _l с другой стороны, и имеющие a _{k , l} ребер между вершиной nk _{вершиной} и m _l .

Таким образом, когда у нас есть последовательность конечномерных полупростых алгебр An _φ и инъективные гомоморфизмы n _: An ' _→ An +1 _{полагая :} между ними, мы получаем диаграмму Браттели,

V _n = множество простых An _{компонент}

(каждая из которых изоморфна матричной алгебре), отмечена размером матриц.

( En _, An r , s : число ребер между n _{k ₍} C ) ⊂ An _равно и M _{m _l} ( C ) ⊂ +1 _{M )} кратности M _{n _k} ( C ) в M _{м _л} ( C ) под φ _п .

Последовательность расщепляемых полупростых алгебр

Любая полупростая алгебра (возможно, бесконечной размерности) — это такая алгебра, модули которой вполне приводимы, т. е. разлагаются в прямую сумму простых модулей . Позволять $A_{0}\subseteq A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots$ — цепочка расщепляемых полупростых алгебр, и пусть ${\hat {A}}_{i}$ быть набором индексации для неприводимых представлений $A_{i}$ . Обозначим через $A_{i}^{\lambda }$ неприводимый модуль, индексированный $\lambda \in {\hat {A}}_{i}$ . Из-за включения $A_{i}\subseteq A_{i+1}$ , любой $A_{i+1}$ -модуль $M$ ограничивается $A_{i}$ -модуль. Позволять $g_{\lambda ,\mu }$ обозначим числа разложения

A_{i+1}^{\mu }\downarrow _{A_{i}}^{A_{i+1}}=\bigoplus _{\lambda \in {\hat {A}}_{i}}g_{\lambda ,\mu }A_{i}^{\lambda }.

Схема Браттели для цепи $A_{0}\subseteq A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots$ получается размещением одной вершины для каждого элемента ${\hat {A}}_{i}$ на уровне $i$ и соединяем вершину $\lambda$ на уровне $i$ в вершину $\mu$ на уровне $i+1$ с $g_{\lambda ,\mu }$ края.

Примеры

Диаграмма Браттели для алгебр Брауэра и БМВ на i=0,1,2,3 и 4 нитях.

(1) Если $A_{i}=S_{i}$ , i-я симметрическая группа , соответствующая диаграмма Браттели такая же, как решетка Юнга . ^[4]

(2) Если $A_{i}$ является алгеброй Брауэра или алгеброй Бирмана–Венцля на i нитях, то результирующая диаграмма Браттели имеет разбиения i –2 k (при $k=0,1,2,\ldots ,\lfloor i/2\rfloor$ ) с одним краем между перегородками на соседних уровнях, если одно можно получить из другого путем прибавления или вычитания 1 из одной части.

(3) Если $A_{i}$ — алгебра Темперли–Либа на i нитях, результирующий Браттели имеет целые числа i –2 k (для $k=0,1,2,\ldots ,\lfloor i/2\rfloor$ ) с одним ребром между целыми числами на соседних уровнях, если одно можно получить из другого добавлением или вычитанием 1.

См. также

Bratteli–Vershik diagram

Ссылки

^ Браттели, Ола (1972). «Индуктивные пределы конечномерного C ^*-алгебры» . Труды Американского математического общества . 171 : 195–234. doi : 10.1090/s0002-9947-1972-0312282-2 . Zbl 0264.46057 .
^ Вершик, А.М. (1985). «Теорема о марковском периодическом приближении в эргодической теории» . Журнал советской математики . 28 : 667–674. дои : 10.1007/bf02112330 . Збл 0559.47006 .
^ Герман, Ричард Х.; Патнэм, Ян Ф.; Скау, Кристиан Ф. (1992). «Упорядоченные диаграммы Браттели, группы размерностей и топологическая динамика». Международный журнал математики . 3 (6): 827–864. дои : 10.1142/S0129167X92000382 .
^ Алкок-Цайлингер, Джудит М. «Симметричная группа, ее представления и комбинаторика» (PDF) . Математический факультет Тюбингенского университета . Т.е. 4.5.

Халверсон, Том; Рам, Арун (1995). «Характеры алгебр, содержащих базовую конструкцию Джонса: алгебры Темперли-Либа, Окада, Брауэра и Бирмана – Венцля» . Достижения в математике . 116 (2): 263–321. дои : 10.1006/aima.1995.1068 . ISSN 0001-8708 . Збл 0856.16038 .
Дэвидсон, Кеннет Р. (1996). C*-алгебры на примере . Монографии Филдсовского института. Том. 6. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0599-1 . Збл 0958.46029 .
Рёрдам, Микаэль; Ларсен, Флемминг; Лаустсен, Нильс (2000). Введение в K-теорию C*-алгебр . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том 49. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-78334-8 . Збл 0967.19001 .
Дюран, Фабьен (2010). «6. Комбинаторика на диаграммах Браттели и динамических системах». В Берте, Валери ; Риго, Майкл (ред.). Комбинаторика, автоматы и теория чисел . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 135. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 324–372. ISBN 978-0-521-51597-9 . Збл 1272.37006 .

[1] Браттели, Ола (1972). «Индуктивные пределы конечномерного C ^*-алгебры» . Труды Американского математического общества . 171 : 195–234. doi : 10.1090/s0002-9947-1972-0312282-2 . Zbl 0264.46057 .

[2] Вершик, А.М. (1985). «Теорема о марковском периодическом приближении в эргодической теории» . Журнал советской математики . 28 : 667–674. дои : 10.1007/bf02112330 . Збл 0559.47006 .

[3] Герман, Ричард Х.; Патнэм, Ян Ф.; Скау, Кристиан Ф. (1992). «Упорядоченные диаграммы Браттели, группы размерностей и топологическая динамика». Международный журнал математики . 3 (6): 827–864. дои : 10.1142/S0129167X92000382 .

[4] Алкок-Цайлингер, Джудит М. «Симметричная группа, ее представления и комбинаторика» (PDF) . Математический факультет Тюбингенского университета . Т.е. 4.5.

[1]

[2]

[3]

[4]