Операторная алгебра

В функциональном анализе разделе математики , операторная алгебра — это алгебра непрерывных , линейных операторов в топологическом векторном пространстве с умножением, заданным композицией отображений .

Результаты, полученные при изучении операторных алгебр, часто формулируются в алгебраических терминах, а используемые методы часто носят высокоаналитический характер . ^[1] Хотя изучение операторных алгебр обычно классифицируется как раздел функционального анализа, оно имеет прямые приложения к теории представлений , дифференциальной геометрии , квантовой статистической механике , квантовой информации и квантовой теории поля .

Обзор [ править ]

Операторные алгебры можно использовать для одновременного изучения произвольных наборов операторов с небольшими алгебраическими связями . С этой точки зрения операторные алгебры можно рассматривать как обобщение спектральной теории одного оператора. В общем случае операторные алгебры являются некоммутативными кольцами .

Обычно требуется, чтобы операторная алгебра была замкнута в заданной операторной топологии внутри всей алгебры непрерывных линейных операторов. В частности, это набор операторов, обладающих как алгебраическими, так и топологическими свойствами замыкания. В некоторых дисциплинах такие свойства аксиомизируются и предметом исследования становятся алгебры с определенной топологической структурой.

Хотя алгебры операторов изучаются в различных контекстах (например, алгебры псевдодифференциальных операторов, действующих в пространствах распределений ), термин «операторная алгебра» обычно используется по отношению к алгебрам ограниченных операторов в банаховом пространстве или, что еще более конкретно, в ссылка на алгебры операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве , наделенные топологией операторной нормы .

В случае операторов в гильбертовом пространстве эрмитово сопряженное отображение операторов дает естественную инволюцию , которая обеспечивает дополнительную алгебраическую структуру, которая может быть наложена на алгебру. В этом контексте наиболее изученными примерами являются самосопряженные операторные алгебры, то есть они замкнуты относительно сопряженных. К ним относятся C*-алгебры , алгебры фон Неймана и AW*-алгебры . С*-алгебры легко абстрактно охарактеризовать условием, связывающим норму, инволюцию и умножение. Такие абстрактно определенные С*-алгебры можно отождествить с некоторой замкнутой подалгеброй алгебры непрерывных линейных операторов на подходящем гильбертовом пространстве. Аналогичный результат справедлив и для алгебр фон Неймана.

Коммутативные самосопряженные операторные алгебры можно рассматривать как алгебру комплекснозначных непрерывных функций на локально компактном пространстве или алгебру измеримых функций на стандартном измеримом пространстве . Таким образом, общие операторные алгебры часто рассматриваются как некоммутативные обобщения этих алгебр или структуры базового пространства , на котором определены функции. Эта точка зрения разрабатывается как философия некоммутативной геометрии , которая пытается изучать различные неклассические и/или патологические объекты с помощью некоммутативных операторных алгебр.

Примеры операторных алгебр, которые не являются самосопряженными, включают:

гнездовые алгебры ,
многие коммутативные решетчатые алгебры подпространств ,
многие предельные алгебры .

См. также [ править ]

Банахова алгебра - особый вид алгебраической структуры.
Матричная механика - Формулировка квантовой механики.
Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве
Алгебра вершинных операторов - алгебра, используемая в двумерных конформных теориях поля и теории струн.

Ссылки [ править ]

^ Теория операторных алгебр I Масамичи Такесаки , Springer 2012, стр. vi

Дальнейшее чтение [ править ]

Блэкадар, Брюс (2005). Операторные алгебры: теория C*-алгебр и алгебр фон Неймана . Энциклопедия математических наук. Спрингер-Верлаг . ISBN 3-540-28486-9 .
М. Такесаки, Теория операторных алгебр I , Springer, 2001.

[1] Теория операторных алгебр I Масамичи Такесаки , Springer 2012, стр. vi

[1]

v т и Спектральная теория и ^*-алгебры
Basic concepts	Involution/-algebra Banach algebra B-algebra C-algebra Noncommutative topology Projection-valued measure Spectrum Spectrum of a C-algebra Spectral radius Operator space
Main results	Gelfand–Mazur theorem Gelfand–Naimark theorem Gelfand representation Polar decomposition Singular value decomposition Spectral theorem Spectral theory of normal C*-algebras
Special Elements/Operators	Isospectral Normal operator Hermitian/Self-adjoint operator Unitary operator Unit
Spectrum	Krein–Rutman theorem Normal eigenvalue Spectrum of a C*-algebra Spectral radius Spectral asymmetry Spectral gap
Decomposition	Decomposition of a spectrum Continuous Point Residual Approximate point Compression Direct integral Discrete Spectral abscissa
Spectral Theorem	Borel functional calculus Min-max theorem Positive operator-valued measure Projection-valued measure Riesz projector Rigged Hilbert space Spectral theorem Spectral theory of compact operators Spectral theory of normal C*-algebras
Special algebras	Amenable Banach algebra With an Approximate identity Banach function algebra Disk algebra Nuclear C*-algebra Uniform algebra Von Neumann algebra Tomita–Takesaki theory
Finite-Dimensional	Alon–Boppana bound Bauer–Fike theorem Numerical range Schur–Horn theorem
Generalizations	Dirac spectrum Essential spectrum Pseudospectrum Structure space (Shilov boundary)
Miscellaneous	Abstract index group Banach algebra cohomology Cohen–Hewitt factorization theorem Extensions of symmetric operators Fredholm theory Limiting absorption principle Schröder–Bernstein theorems for operator algebras Sherman–Takeda theorem Unbounded operator
Examples	Wiener algebra
Applications	Almost Mathieu operator Corona theorem Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue) Heat kernel Kuznetsov trace formula Lax pair Proto-value function Ramanujan graph Rayleigh–Faber–Krahn inequality Spectral geometry Spectral method Spectral theory of ordinary differential equations Sturm–Liouville theory Superstrong approximation Transfer operator Transform theory Weyl law Wiener–Khinchin theorem

v т и банахового пространства Темы
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Banach–Mazur compactum Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics