Тензорное произведение алгебр

В математике тензорное произведение двух алгебр над коммутативным кольцом R также является R -алгеброй. Это дает тензорное произведение алгебр . Когда кольцо является полем , наиболее распространенным применением таких произведений является описание произведения представлений алгебры .

Определение

Пусть R — коммутативное кольцо и пусть A и B — R -алгебры . Поскольку A и B можно рассматривать как R -модули , их тензорное произведение

$A\otimes _{R}B$

также является R -модулем. Тензорному произведению можно придать структуру кольца, определив произведение на элементах формы a ⊗ b формулой

$(a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}$

и затем распространяется по линейности на все A ⊗ _R B . Это кольцо является R -алгеброй, ассоциативной и единой с единицей, заданной формулой 1 _A ⊗ 1 _B . где 1 _A и 1 _B — тождественные A и B. элементы Если A и B коммутативны, то тензорное произведение также коммутативно.

Тензорное произведение превращает категорию R - алгебр в симметричную моноидальную категорию .

Дальнейшие свойства

Существуют естественные гомоморфизмы A и B в A ⊗ _RB   , заданные формулой

$a\mapsto a\otimes 1_{B}$

$b\mapsto 1_{A}\otimes b$

Эти отображения делают тензорное произведение копроизведением в категории коммутативных R -алгебр . Тензорное произведение не является копроизведением в категории всех R -алгебр. Там копроизведение задается более общим свободным произведением алгебр . Тем не менее, тензорное произведение некоммутативных алгебр можно описать универсальным свойством , аналогичным свойству копроизведения:

${\text{Hom}}(A\otimes B,X)\cong \lbrace (f,g)\in {\text{Hom}}(A,X)\times {\text{Hom}}(B,X)\mid \forall a\in A,b\in B:[f(a),g(b)]=0\rbrace ,$

где [-, -] обозначает коммутатор . Естественный изоморфизм задается путем идентификации морфизма $\phi :A\otimes B\to X$ в левой части с парой морфизмов $(f,g)$ с правой стороны, где $f(a):=\phi (a\otimes 1)$ и аналогично $g(b):=\phi (1\otimes b)$.

Приложения

Тензорное произведение коммутативных алгебр часто используется в алгебраической геометрии . Для аффинных схем X , Y , Z с морфизмами из X и Z в Y , поэтому X = Spec( A ), Y = Spec( R ) и Z = Spec( B ) для некоторых коммутативных колец A , R , B , Схема расслоенного произведения — это аффинная схема, соответствующая тензорному произведению алгебр:

$X\times _{Y}Z=\operatorname {Spec} (A\otimes _{R}B).$

В более общем смысле, волокнистый продукт схем определяется путем склеивания аффинных волокнистых продуктов этой формы.

Примеры

См. также: тензорное произведение модулей § Примеры.

• Тензорное произведение можно использовать как средство пересечения двух подсхем в схеме : рассмотрим $\mathbb {C} [x,y]$-алгебры $\mathbb {C} [x,y]/f$, $\mathbb {C} [x,y]/g$, то их тензорное произведение равно $\mathbb {C} [x,y]/(f)\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}\mathbb {C} [x,y]/(g)\cong \mathbb {C} [x,y]/(f,g)$, описывающее пересечение алгебраических кривых f = 0 и g = 0 в аффинной плоскости над C .
• В более общем смысле, если $A$ является коммутативным кольцом и $I,J\subseteq A$ являются идеалами, то ${\frac {A}{I}}\otimes _{A}{\frac {A}{J}}\cong {\frac {A}{I+J}}$, с уникальным изоморфизмом, отправляющим $(a+I)\otimes (b+J)$ к $(ab+I+J)$.
• Тензорные произведения можно использовать как средство изменения коэффициентов. Например, $\mathbb {Z} [x,y]/(x^{3}+5x^{2}+x-1)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /5\cong \mathbb {Z} /5[x,y]/(x^{3}+x-1)$ и $\mathbb {Z} [x,y]/(f)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \cong \mathbb {C} [x,y]/(f)$.
• Тензорные произведения также можно использовать для взятия произведений аффинных схем по полю. Например, $\mathbb {C} [x_{1},x_{2}]/(f(x))\otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} [y_{1},y_{2}]/(g(y))$ изоморфна ​ алгебре $\mathbb {C} [x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}]/(f(x),g(y))$ что соответствует аффинной поверхности в $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{4}$ если f и g не равны нулю.
• Данный $R$-алгебры $A$ и $B$ базовые кольца которых являются градуированными коммутативными кольцами , тензорное произведение $A\otimes _{R}B$ становится градуированным коммутативным кольцом, определяя $(a\otimes b)(a'\otimes b')=(-1)^{|b||a'|}aa'\otimes bb'$ для однородного $a$, $a'$, $b$, и $b'$.

См. также

• Расширение скаляров
• Тензорное произведение модулей
• Тензорное произведение полей
• Линейно непересекающийся
• Мультилинейное обучение подпространству

Ссылки

• Кассель, Кристиан (1995), Квантовые группы , Тексты для аспирантов по математике, том. 155, Спрингер, ISBN  978-0-387-94370-1 .
• Ланг, Серж (2002) [впервые опубликовано в 1993 году]. Алгебра . Тексты для аспирантов по математике. Том. 21. Спрингер. ISBN  0-387-95385-Х .