Простое кольцо

В абстрактной алгебре , разделе математики , простое кольцо — это ненулевое кольцо , которое не имеет двустороннего идеала , кроме нулевого идеала и самого себя. В частности, коммутативное кольцо является простым тогда и только тогда, когда оно является полем .

Центр . простого кольца обязательно является полем Отсюда следует, что простое кольцо является ассоциативной алгеброй над этим полем. Тогда ее называют простой алгеброй над этим полем.

Некоторые ссылки (например, Ланг (2002) или Бурбаки (2012) ), кроме того, требуют, чтобы простое кольцо было артиновым слева или справа (или, что эквивалентно, полупростым ). В такой терминологии ненулевое кольцо, не имеющее нетривиальных двусторонних идеалов, называется квазипростым .

Кольца, простые как кольца, но не являющиеся простым модулем над собой, существуют: полное матричное кольцо над полем не имеет нетривиальных двусторонних идеалов (поскольку любой идеал $M_{n}(R)$ имеет форму $M_{n}(I)$ с $I$ идеал $R$ ), но имеет нетривиальные левые идеалы (например, множества матриц, имеющие фиксированные нулевые столбцы).

Непосредственным примером простого кольца является тело , где каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный элемент, например, кватернионы . Также для любого $n\geq 1$ , алгебра $n\times n$ Матрицы с элементами в теле просты.

Джозеф Веддерберн доказал, что если кольцо $R$ — конечномерная простая алгебра над полем $k$ , она изоморфна матричной алгебре над некоторым делением над $k$ . В частности, единственные простые кольца, которые являются конечномерными алгебрами над действительными числами, — это кольца матриц над действительными числами, комплексными числами или кватернионами .

Уэддерберн доказал эти результаты в 1907 году в своей докторской диссертации « О гиперкомплексных числах» , опубликованной в «Трудах Лондонского математического общества» . Его диссертация классифицировала конечномерные простые, а также полупростые алгебры над полями. Простые алгебры являются строительными блоками полупростых алгебр: любая конечномерная полупростая алгебра является декартовым произведением в смысле алгебр конечномерных простых алгебр.

Следует быть осторожным с терминологией: не всякое простое кольцо является полупростым кольцом , и не всякая простая алгебра является полупростой алгеброй. Однако каждая конечномерная простая алгебра является полупростой алгеброй, а каждое простое кольцо, артиново слева или справа , является полупростым кольцом.

Примером простого кольца, которое не является полупростым, является алгебра Вейля . Алгебра Вейля также дает пример простой алгебры, которая не является матричной алгеброй над алгеброй с телом над ее центром: алгебра Вейля бесконечномерна, поэтому теорема Веддерберна неприменима.

Результат Веддерберна был позже обобщен на полупростые кольца в теореме Веддерберна-Артина : она говорит, что каждое полупростое кольцо является конечным произведением матричных колец над телами. Как следствие этого обобщения, каждое простое кольцо, артиново слева или справа , является матричным кольцом над телом.

Примеры [ править ]

Позволять $\mathbb {R}$ быть полем действительных чисел, $\mathbb {C}$ быть полем комплексных чисел, и $\mathbb {H}$ кватернионы .

Центральная простая алгебра (иногда называемая алгеброй Брауэра) — это простая конечномерная алгебра над полем. $F$ чей центр $F$ .
Любая конечномерная простая алгебра над $\mathbb {R}$ изоморфна алгебре $n\times n$ матрицы с записями в $\mathbb {R}$ , $\mathbb {C}$ , или $\mathbb {H}$ . Каждая центральная простая алгебра над $\mathbb {R}$ изоморфна алгебре $n\times n$ матрицы с записями $\mathbb {R}$ или $\mathbb {H}$ . Эти результаты следуют из теоремы Фробениуса .
Любая конечномерная простая алгебра над $\mathbb {C}$ является центральной простой алгеброй и изоморфна кольцу матриц над $\mathbb {C}$ .
Любая конечномерная центральная простая алгебра над конечным полем изоморфна кольцу матриц над этим полем.
Алгебра всех линейных преобразований бесконечномерного векторного пространства над полем $k$ — простое кольцо, не являющееся полупростым кольцом . Это также простая алгебра над $k$ это не полупростая алгебра.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Альберт, А.А. (2003). Структура алгебр . Публикации коллоквиума. Том. 24. Американское математическое общество . п. 37. ИСБН 0-8218-1024-3 .
Бурбаки, Николя (2012), Algèbre Ch 8 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-3-540-35315-7
Николсон, Уильям К. (1993). «Краткое доказательство теоремы Веддерберна-Артина» (PDF) . Новая Зеландия Дж. Математика . 22 : 83–86.
Хендерсон, Д.В. (1965). «Краткое доказательство теоремы Веддерберна». амер. Математика. Ежемесячно . 72 : 385–386. дои : 10.2307/2313499 .
Лам, Цит-Юэн (2001), Первый курс некоммутативных колец (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4419-8616-0 , ISBN 978-0-387-95325-0 , МР 1838439
Ланг, Серж (2002), Алгебра (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0387953854
Джейкобсон, Натан (1989), Основная алгебра II (2-е изд.), WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5