Полупростая алгебра

В теории колец , разделе математики, полупростая алгебра — это ассоциативная артинова алгебра над полем , имеющая тривиальный радикал Джекобсона (только нулевой элемент алгебры находится в радикале Джекобсона). Если алгебра конечномерна, это равносильно утверждению, что ее можно выразить как декартово произведение простых подалгебр .

Определение

Радикал Джекобсона алгебры над полем — это идеал, состоящий из всех элементов, аннулирующих каждый простой левый модуль. Радикал содержит все нильпотентные идеалы , а если алгебра конечномерна, то сам радикал является нильпотентным идеалом. Конечномерную алгебру тогда называют полупростой , если ее радикал содержит только нулевой элемент.

Алгебра A называется простой, если она не имеет собственных идеалов и A ² = { аб | а , б € А } ≠ {0}. Как следует из терминологии, простые алгебры полупросты. Единственно возможные идеалы простой алгебры A — это A и {0}. Таким образом, если A простое, то A не нильпотентно. Потому что А ² является идеалом A и A прост, A ² = А. По индукции А ^н = A для любого натурального числа n , т. е. A не является нильпотентным.

Любая самосопряженная подалгебра A матриц размера n × n с комплексными элементами полупроста. Пусть Rad( A ) — радикал A . Предположим, что матрица M находится в Rad( A ). Тогда M*M лежит в некоторых нильпотентных идеалах A , поэтому ( M*M ) ^к = 0 для некоторого положительного целого числа k . Ввиду положительной полуопределенности M*M это означает, что M*M = 0. Таким образом, M x — нулевой вектор для всех x , т. е. M = 0.

Если { A _i } — конечный набор простых алгебр, то их декартово произведение A=Π A _i полупросто. Если ( a _i ) — элемент Rad( A ) и e ₁ — мультипликативное тождество в A ₁ (все простые алгебры обладают мультипликативным тождеством), то ( a ₁ , a ₂ , ...) · ( e ₁ , 0, ...) = ( a ₁ , 0..., 0) лежит в некотором нильпотентном идеале Π A _i . Отсюда следует, что для всех в A 1 _a b 1 _b нильпотентен в A ₁ , т. е. a ₁ ∈ Rad( A ₁ ). Итак, a ₁ = 0. Аналогично, a _i = 0 для всех остальных i .

Из определения менее очевидно, что обратное утверждение выше также верно, то есть любая конечномерная полупростая алгебра изоморфна декартову произведению конечного числа простых алгебр.

Характеристика

Пусть A — конечномерная полупростая алгебра и

\{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}\subset A

— композиционный ряд A изоморфен , то A следующему декартову произведению:

A\simeq J_{1}\times J_{2}/J_{1}\times J_{3}/J_{2}\times ...\times J_{n}/J_{n-1}\times A/J_{n}

где каждый

J_{i+1}/J_{i}\,

это простая алгебра.

Доказательство можно схематически представить следующим образом. Во-первых, прибегнув к предположению, что A полупроста, можно показать, что J ₁ — простая алгебра (следовательно, унитарная). Итак, J ₁ — подалгебра с единицей и идеал J ₂ . Следовательно, можно разложить

J_{2}\simeq J_{1}\times J_{2}/J_{1}.

В силу максимальности J ₁ как идеала в J ₂ , а также полупростоты A , алгебра

J_{2}/J_{1}\,

это просто. Аналогичные действия по индукции доказывают это утверждение. Например, J ₃ — декартово произведение простых алгебр

J_{3}\simeq J_{2}\times J_{3}/J_{2}\simeq J_{1}\times J_{2}/J_{1}\times J_{3}/J_{2}.

Приведенный выше результат можно переформулировать и по-другому. Для полупростой алгебры A = A ₁ ×...× An _, выраженной через простые множители, рассмотрим единицы e _i ∈ A _i . Элементы E _i = (0,..., e _i ,...,0) являются идемпотентными элементами в A и лежат в центре A . Кроме того, E _i A = A _i , E _i E _j = 0 для i ≠ j и Σ E _i = 1, мультипликативное тождество в A .

Следовательно, для каждой полупростой алгебры A существуют идемпотенты { E _i } в центре A такие, что

E _i E _j = 0 при i ≠ j (такой набор идемпотентов называется центральным ортогональным ),
Σ E _i = 1,
A изоморфна декартову произведению простых алгебр 1 _A × ...× En _A E .

Классификация

Теорема Джозефа Веддерберна полностью классифицирует конечномерные полупростые алгебры над полем. $k$ . Любая такая алгебра изоморфна конечному произведению $\prod M_{n_{i}}(D_{i})$ где $n_{i}$ являются натуральными числами, то $D_{i}$ являются алгебрами с делением над $k$ , и $M_{n_{i}}(D_{i})$ это алгебра $n_{i}\times n_{i}$ матрицы над $D_{i}$ . Это произведение уникально с точностью до перестановки факторов. ^[1]