Нильпотентный идеал

В математике , точнее в теории колец , идеал I кольца R если называется нильпотентным идеалом, существует натуральное число k такое, что I ^к = 0. Я ​ ^к , имеется в виду аддитивная подгруппа , порожденная множеством всех произведений k элементов в I . Следовательно, I нильпотентен тогда и только тогда, когда существует натуральное число k такое, что произведение любых k элементов I равно 0.

понятие нильпотентного идеала гораздо сильнее понятия нильпотентного идеала Во многих классах колец . Однако бывают случаи, когда эти два понятия совпадают — примером этого является теорема Левицкого . Понятие нильпотентного идеала, хотя и интересно в случае коммутативных колец , наиболее интересно в случае некоммутативных колец .

Отношение к нулевым идеалам

Понятие ниль-идеала глубоко связано с понятием нильпотентного идеала, и в некоторых классах колец эти два понятия совпадают. Если идеал нильпотентен, он, конечно, ноль, но нулевой идеал не обязательно должен быть нильпотентным по более чем одной причине. Во-первых, не обязательно должна быть глобальная верхняя граница показателя степени, необходимой для уничтожения различных элементов нулевого идеала, а во-вторых, нильпотентность каждого элемента не приводит к исчезновению произведений различных элементов.

В правом артиновом кольце любой нулевой идеал нильпотентен. Это доказывается наблюдением того, что любой нулевой идеал содержится в радикале Джекобсона кольца, а поскольку радикал Джекобсона является нильпотентным идеалом (в соответствии с гипотезой Артина), результат следует следующим образом. Фактически, это можно обобщить на нётеровы справа кольца ; этот результат известен как теорема Левицкого .

См. также

• Гипотеза Кете
• Нильпотентный элемент
• Нилрадикал
• радикал Джейкобсона

Ссылки

• Херштейн, Индиана (1968). Некоммутативные кольца (1-е изд.). Математическая ассоциация Америки. ISBN  0-88385-015-Х .
• Айзекс, И. Мартин (1993). Алгебра, аспирантура (1-е изд.). Издательская компания Брукса / Коула. ISBN  0-534-19002-2 .