радикал Джейкобсона

В математике , а точнее в теории колец , радикал Джекобсона кольца R R — это идеал , состоящий из тех элементов кольца , которые аннулируют все простые правые R - модули . Бывает, что замена «левого» вместо «правого» в определении дает тот же идеал, и поэтому понятие симметрично слева и справа. Радикал Джекобсона кольца часто обозначается J( R ) или rad( R ); в этой статье будет предпочтительнее первое обозначение, поскольку оно позволяет избежать путаницы с другими радикалами кольца . Радикал Джекобсона назван в честь Натана Джейкобсона , который первым изучил его для произвольных колец в Джекобсоне в 1945 году .

Радикал Якобсона кольца имеет множество внутренних характеристик, включая несколько определений, которые успешно распространяют это понятие на неединичные кольца . Радикал модуля расширяет определение радикала Джекобсона, включив в него модули. Радикал Джекобсона играет заметную роль во многих результатах теории колец и модулей, таких как лемма Накаямы .

Определения [ править ]

Существует множество эквивалентных определений и характеристик радикала Джекобсона, но полезно рассмотреть определения, основанные на том, является ли кольцо коммутативным или нет.

Коммутативный падеж [ править ]

В коммутативном случае радикал Джекобсона коммутативного кольца R определяется как ^[1] пересечение всех максимальных идеалов ${\mathfrak {m}}$ . Если мы обозначим Specm R как множество всех максимальных идеалов в R , то

$\mathrm {J} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {m}}\,\in \,\operatorname {Specm} R}{\mathfrak {m}}$

Это определение можно использовать для явных вычислений в ряде простых случаев, например для локальных колец ( R , ${\mathfrak {p}}$ ) , которые имеют единственный максимальный идеал, артиновы кольца и их произведения . См. раздел примеров для явных вычислений.

Некоммутативный/общий случай [ править ]

Для общего кольца с единицей R радикал Джекобсона J( R ) определяется как идеал всех элементов r ∈ R таких, что rM = 0 , если M — простой R -модуль. То есть,

\mathrm {J} (R)=\{r\in R\mid rM=0{\text{ where }}M{\text{ is simple}}\}.

Это эквивалентно определению в коммутативном случае для коммутативного кольца R, поскольку простые модули над коммутативным кольцом имеют вид R /

{\mathfrak {m}}

для некоторого максимального идеала

{\mathfrak {m}}

R и аннигиляторы R / ,

{\mathfrak {m}}

в R являются в точности элементами

{\mathfrak {m}}

, т.е. Ann _R ( R /

{\mathfrak {m}}

) =

{\mathfrak {m}}

.

Мотивация [ править ]

Понимание радикала Джекобсона заключается в нескольких различных случаях: а именно в его приложениях и вытекающих из них геометрических интерпретациях, а также в их алгебраических интерпретациях.

Геометрические приложения [ править ]

Хотя Джекобсон первоначально представил свой радикал как метод построения теории радикалов для произвольных колец, одна из причин, по которой радикал Джекобсона рассматривается в коммутативном случае, связана с его появлением в лемме Накаямы . Эта лемма представляет собой технический инструмент для изучения конечно порожденных модулей над коммутативными кольцами, который имеет простую геометрическую интерпретацию: если у нас есть векторное расслоение E → X над топологическим пространством X и выбрана точка p ∈ X , то любой базис E | _p можно расширить до базиса сечений E | _U → U для окрестности p ∈ U ⊆ X. некоторой

Другое применение - в случае конечно порожденных коммутативных колец вида ${\textstyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,/\,I}$ для некоторого базового кольца k (например , поля или кольца целых чисел ). В этом случае нильрадикал и радикал Джекобсона совпадают. Это означает, что мы могли бы интерпретировать радикал Джекобсона как меру того, насколько далек идеал I , определяющий кольцо R , от определения кольца функций на алгебраическом многообразии из-за теоремы Гильберта о Нуллстеллензатце . Это связано с тем, что алгебраические многообразия не могут иметь кольца функций с бесконечно малыми: это структура, которая рассматривается только в теории схем .

Эквивалентные характеристики

Радикал Якобсона кольца имеет различные внутренние и внешние характеристики. Следующие эквивалентности встречаются во многих по некоммутативной алгебре текстах , таких как Anderson & Fuller 1992 , §15, Isaacs 1994 , §13B и Lam 2001 , Ch 2.

Ниже приведены эквивалентные характеристики радикала Джекобсона в кольцах с единицей (характеристики для колец без единицы даются сразу после этого):

J( R ) равно пересечению всех максимальных правых идеалов кольца. Эквивалентность исходит из того факта, что для всех максимальных правых идеалов R M / M является простым правым R -модулем и что на самом деле все простые правые R -модули изоморфны одному из этого типа посредством отображения из R в S , заданного по r ↦ xr для любого генератора x из S . Верно также, что J( R ) равно пересечению всех максимальных левых идеалов внутри кольца. ^[2]Эти характеристики являются внутренними по отношению к кольцу, поскольку нужно найти только максимальные правые идеалы кольца. Например, если кольцо локально и имеет единственный максимальный правый идеал , то этот единственный максимальный правый идеал есть в точности J( R ). Максимальные идеалы в некотором смысле легче искать, чем аннигиляторы модулей. Однако эта характеристика недостаточна, поскольку она не оказывается полезной при вычислительной работе с J( R ). Лево-правая симметрия этих двух определений примечательна и имеет множество интересных последствий. ^[2]^[3]Эта симметрия контрастирует с отсутствием симметрии в цоколе R ) , поскольку может случиться так, что soc( не _RR равно soc( _RR . ) Если R некоммутативное кольцо , J( R ) не обязательно равно пересечению всех максимальных двусторонних идеалов R . Например, если V — счетная прямая сумма копий поля k и R = End( V ) ( кольцо эндоморфизмов V поскольку как k -модуля), то J( R ) = 0, известно R , что фон Неймана регулярен , но существует ровно один максимальный двусторонний идеал в R , состоящий из эндоморфизмов с конечномерным образом . ^[4]
J( R ) равен сумме всех лишних правых идеалов (или, симметрично, сумме всех лишних левых идеалов) кольца R . Сравнивая это с предыдущим определением, сумма лишних правых идеалов равна пересечению максимальных правых идеалов. Это явление отражается двояко для правого цоколя R ; soc( RR ₎ является одновременно суммой минимальных правых идеалов и пересечением существенных правых идеалов . Фактически, эти два соотношения справедливы для радикалов и цоколей модулей в целом.
Как определено во введении, J( R ) равно пересечению всех аннуляторов простых правых . R -модулей, однако верно также и то, что это пересечение аннуляторов простых левых модулей Идеал, который является аннулятором простого модуля, известен как примитивный идеал , и поэтому его переформулировка гласит, что радикал Джекобсона является пересечением всех примитивных идеалов. Эта характеристика полезна при изучении модулей над кольцами. Например, если U — правый R -модуль, а V — максимальный подмодуль U U , ( · J( R ) содержится в V , где U · J( R ) обозначает все произведения элементов J( R ) «скаляры») с элементами из U справа. Это следует из того, что фактор-модуль U / V прост и, следовательно, аннулируется J( R ).
J( R ) — единственный максимальный правый идеал кольца R , обладающий тем свойством, что каждый элемент является квазирегулярным справа. ^[5]^[6] (или, что то же самое, левоквазирегулярный ^[2]). Эта характеристика радикала Джекобсона полезна как для вычислений, так и для интуиции. Кроме того, эта характеристика полезна при изучении модулей над кольцом. Лемма Накаямы , пожалуй, самый известный пример этого. Хотя каждый элемент J( R ) обязательно является квазирегулярным , не каждый квазирегулярный элемент обязательно является членом J( R ). ^[6]
Хотя не каждый квазирегулярный элемент находится в J( R ), можно показать, что y находится в J( R ) тогда и только тогда, когда xy является квазирегулярным слева для всех x в R . ^[7]
J( R ) — множество элементов x в R таких, что каждый элемент из 1 + RxR является единицей: J( R ) = { x ∈ R | 1 + RxR ⊂ R ^×} . Фактически, y ∈ R находится в радикале Джекобсона тогда и только тогда, когда 1 + xy обратима для любого x ∈ R , тогда и только тогда, когда + yx обратима для любого x ∈ R. 1 Это означает , что xy и yx ведут себя аналогично нильпотентному элементу z с z ^{п +1} = 0 и (1 + z ) ⁻¹ = 1 - г + г ² − ... ± z ^н.

Для колец без единицы возможно R = J( R ) ; однако уравнение J( R / J( R )) = {0} все еще остается в силе. Ниже приведены эквивалентные характеристики J( R ) для колец без единицы: ^[8]

Понятие левой квазирегулярности можно обобщить следующим образом. Назовем элемент a в R левообобщенным квазирегулярным, если существует элемент c в R такой, что c + a − ca = 0 . Тогда J( R ) состоит из каждого элемента a, для которого ra является обобщенно квазирегулярным слева для всех r из R . Можно проверить, что это определение совпадает с предыдущим квазирегулярным определением колец с единицей.
Для кольца без единицы определение левого простого модуля M дополняется добавлением условия R ⋅ M ≠ 0 . При таком понимании J( R ) можно определить как пересечение всех аннуляторов простых левых R модулей или просто R модулей нет , если простых левых R . Кольца без единицы и без простых модулей действительно существуют, и в этом случае R = J( R ) , и кольцо называется радикальным . Используя обобщенную квазирегулярную характеристику радикала, становится ясно, что если найти кольцо с ненулевым J( R ), то J( R ) является радикальным кольцом, если рассматривать его как кольцо без единицы.

Примеры [ править ]

Коммутативные примеры [ править ]

Для кольца целых чисел Z его радикал Джекобсона является нулевым идеалом , поэтому J( Z ) = (0) , поскольку он задается пересечением каждого идеала, порожденного простым числом ( p ). Поскольку ( p ₁ ) ∩ ( p ₂ ) = ( p ₁ ⋅ p ₂ ) и мы берем бесконечное пересечение без каких-либо общих элементов, кроме 0, между всеми максимальными идеалами, у нас есть вычисление.
Для локального кольца ( R , ${\mathfrak {p}}$ ) радикал Джекобсона — это просто J( R ) = ${\mathfrak {p}}$ . Это важный случай, поскольку он используется при применении леммы Накаямы. В частности, это означает, что у нас есть алгебраическое векторное расслоение E → X над схемой или алгебраическим многообразием X и мы фиксируем базис E | _p для некоторой точки p ∈ X , то этот базис поднимается до набора образующих для всех сечений E для некоторой окрестности U точки p .
Если k — поле и R = k [[ X ₁ , ..., X _n ]] — кольцо формальных степенных рядов , то J( R ) состоит из тех степенных рядов , постоянный член которых равен нулю, т. е. степенного ряда в идеале ( Икс ₁ , ..., Икс _п ) .
В случае артиновых колец , таких как C [ t ₁ , t ₂ ]/( t ₁⁴, т ₁²т ₂², т ₂⁹) радикал Джекобсона равен ( t ₁ , t ₂ ) .
Предыдущий пример можно распространить на кольцо R = C [ t ₂ , t ₃ , ...]/( t ₂², _т3³, ...) , что дает J( R ) = ( т ₂ , т ₃ , ...) .
Радикал Джекобсона кольца Z /12 Z 6 Z /12 Z , что является пересечением максимальных идеалов 2 Z /12 Z и 3 Z /12 Z. равен
Рассмотрим кольцо C [ t ] ⊗ _C C [ x ₁ , x ₂ ] _{x ₁²+ _х2²−1} , где второе — это C [ x x 1 _, ] 2 _{простым} локализация идеалом ${\mathfrak {p}}$ = ( х ₁² + _х2²− 1) . Тогда радикал Джекобсона тривиален, поскольку максимальные идеалы порождены элементом вида ( t − z ) ⊗ ( x ₁² + _х2² − 1) для z ∈ C .

Некоммутативные примеры [ править ]

Кольца, для которых J( R ) равно {0}, называются полупримитивными кольцами или иногда «полупростыми кольцами Джейкобсона». Радикал Джекобсона любого поля, любого регулярного кольца фон Неймана и любого левого или правого примитивного кольца равен {0}. Радикал Джекобсона целых чисел равен {0}.
Если K — поле, а R — кольцо всех верхнетреугольных n размера на n матриц с элементами из K , то J( R ) состоит из всех верхнетреугольных матриц с нулями на главной диагонали.
Начните с конечного ациклического колчана Γ и поля K и рассмотрим алгебру колчана K Γ (как описано в статье Quiver ). Радикал Джекобсона этого кольца порождается всеми путями из Γ длины ≥ 1.
Радикал Джекобсона C*-алгебры равен {0}. Это следует из теоремы Гельфанда–Наймарка и того факта, что для C*-алгебры топологически неприводимое *-представление в гильбертовом пространстве алгебраически неприводимо, так что его ядро является примитивным идеалом в чисто алгебраическом смысле (см. Спектр C*-алгебра ).

Свойства [ править ]

Если R единично и не является тривиальным кольцом {0}, радикал Джекобсона всегда отличен от R , поскольку кольца с единицей всегда имеют максимальные правые идеалы . Однако некоторые важные теоремы и гипотезы в теории колец рассматривают случай, когда J( R ) = R : «Если R — ниль-кольцо (то есть каждый из его элементов нильпотентен ), является ли кольцо многочленов R [ x ] равным это радикал Джейкобсона?» эквивалентно открытой гипотезе Кёте . ^[9]
Для любого идеала I, содержащегося в J( R ), J( R / I ) = J( R )/ I .
В частности, радикал Джекобсона кольца R /J( R ) равен нулю. Кольца с нулевым радикалом Джекобсона называются полупримитивными кольцами .
Кольцо является полупростым тогда и только тогда, когда оно артиново и его радикал Джекобсона равен нулю.
Если f : R → S — сюръективный кольцевой гомоморфизм , то f (J( R )) ⊆ J( S ) .
Если R — кольцо с единицей и M — конечно порожденный левый R -модуль с J( R ) M = M , то M = 0 ( лемма Накаямы ).
J( R ) содержит все центральные нильпотентные элементы, но не содержит идемпотентных элементов, кроме 0.
J( R ) содержит все идеалы R ниль - . Если R — левый или правый артинов , то J( R ) — нильпотентный идеал .
На самом деле это можно сделать сильнее: если
{0} = Т ₀ ⊆ Т ₁ ⊆ ⋅⋅⋅ ⊆ Т _k = R
является композиционным рядом для правого R -модуля R (такой ряд обязательно существует, если R артинов справа, и существует аналогичный левый композиционный ряд, если R артинов слева), то (J( R )) ^к = 0 . ^[а]
Однако заметим, что радикал Джекобсона в общем случае не обязательно должен состоять только из нильпотентных элементов кольца.
Если R коммутативна и конечно порождена как алгебра либо над полем либо над , то J( R ) равна нильрадикалу R. Z ,
Радикал Джекобсона (единичного) кольца — это его наибольший лишний правый (эквивалентный левый) идеал.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Доказательство: поскольку факторы T _u / T _{u −1} являются простыми правыми R -модулями, умножение справа на любой элемент J( R ) аннулирует эти факторы.
Другими словами, ( T _u / T _{u −1} ) ⋅ J( R ) = 0 , откуда T _u · J( R ) ⊆ T _{u −1} . Следовательно, индукция по i показывает, что все неотрицательные целые числа i и u (для которых имеет смысл следующее) удовлетворяют условиям T _u ⋅ (J( R )) ^я⊆ Т _{ты - я} . Применение этого к u = i = k дает результат.

Цитаты [ править ]

^ «Раздел 10.18 (0AMD): Радикал кольца Джейкобсона — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 декабря 2020 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Айзекс 1994 , с. 182
^ Айзекс 1994 , с. 173, Задача 12.5
^ Лам 2001 , с. 46, упр. 3.15
^ Айзекс 1994 , с. 180, следствие 13.4.
^ Перейти обратно: ^а ^б Айзекс 1994 , с. 181
^ Лам 2001 , с. 50.
^ Лам 2001 , с. 63
^ Смоктунович 2006 , стр. 260, §5.

Ссылки [ править ]

Андерсон, Фрэнк В.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для аспирантов по математике , том. 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+376, doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9 , ISBN 0-387-97845-3 , МР 1245487
Атья, Миссури ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley Publishing Co., стр. ix+128, MR 0242802
Бурбаки, Н. Элементы математики .
Херштейн, И.Н. (1994) [1968], Некоммутативные кольца , Математические монографии Каруса, том. 15, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки , стр. xii+202, ISBN. 0-88385-015-Х , MR 1449137 Перепечатка оригинала 1968 года; С послесловием Лэнса В. Смолла.
Айзекс, IM (1994), Алгебра: аспирантура (1-е изд.), Brooks/Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
Джейкобсон, Натан (1945), «Радикал и полупростота произвольных колец», American Journal of Mathematics , 67 (2): 300–320, doi : 10.2307/2371731 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2371731 , MR 0012271
Лам, Тай (2001), Первый курс некоммутативных колец , Тексты для аспирантов по математике, том. 131 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. xx+385, doi : 10.1007/978-1-4419-8616-0 , ISBN 0-387-95183-0 , МР 1838439
Пирс, Ричард С. (1982), Ассоциативные алгебры , Тексты для выпускников по математике, том. 88, Springer-Verlag, стр. xii+436 , ISBN 0-387-90693-2 , МР 0674652 Исследования по истории современной науки, 9
Смоктунович, Агата (2006), «Некоторые результаты в некоммутативной теории колец», Международный конгресс математиков, Vol. II (PDF) , Европейское математическое общество , стр. 259–269, ISBN. 978-3-03719-022-7 , MR 2275597 , заархивировано из оригинала (PDF) 9 августа 2017 г. , получено 31 декабря 2014 г.

Внешние ссылки [ править ]

Интуитивный пример радикала Джейкобсона

[10] Доказательство: поскольку факторы T _u / T _{u −1} являются простыми правыми R -модулями, умножение справа на любой элемент J( R ) аннулирует эти факторы.
Другими словами, ( T _u / T _{u −1} ) ⋅ J( R ) = 0 , откуда T _u · J( R ) ⊆ T _{u −1} . Следовательно, индукция по i показывает, что все неотрицательные целые числа i и u (для которых имеет смысл следующее) удовлетворяют условиям T _u ⋅ (J( R )) ^я⊆ Т _{ты - я} . Применение этого к u = i = k дает результат.

[1] «Раздел 10.18 (0AMD): Радикал кольца Джейкобсона — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 декабря 2020 г.

[FOOTNOTEIsaacs1994182-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Айзекс 1994 , с. 182

[FOOTNOTEIsaacs1994173Problem_12.5-3] Айзекс 1994 , с. 173, Задача 12.5

[FOOTNOTELam200146Ex._3.15-4] Лам 2001 , с. 46, упр. 3.15

[FOOTNOTEIsaacs1994180Corollary_13.4-5] Айзекс 1994 , с. 180, следствие 13.4.

[FOOTNOTEIsaacs1994181-6] Перейти обратно: ^а ^б Айзекс 1994 , с. 181

[FOOTNOTELam200150-7] Лам 2001 , с. 50.

[FOOTNOTELam200163-8] Лам 2001 , с. 63

[FOOTNOTESmoktunowicz2006260§5-9] Смоктунович 2006 , стр. 260, §5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[а]