Обычное кольцо фон Неймана

В математике — регулярное кольцо фон Неймана это кольцо R (ассоциативное, с 1, не обязательно коммутативное), такое, что для каждого элемента a в R существует x в R с a = axa . Можно думать о x как о «слабом обратном» элементе a; в общем случае x не определяется однозначно a . Регулярные кольца фон Неймана также называют абсолютно плоскими кольцами , поскольку эти кольца характеризуются тем, что каждый левый - модуль плоский R .

Регулярные кольца фон Неймана были введены фон Нейманом ( 1936 ) под названием «регулярные кольца» в ходе его изучения алгебр фон Неймана и непрерывной геометрии . Регулярные кольца фон Неймана не следует путать с несвязанными регулярными кольцами и регулярными локальными кольцами коммутативной алгебры .

Элемент a кольца называется регулярным элементом фон Неймана, если существует x такой, что a = axa . ^[1] Идеал ${\mathfrak {i}}$ называется регулярным идеалом (фон Неймана) , если для каждого элемента a из ${\mathfrak {i}}$ существует элемент x в ${\mathfrak {i}}$ такой, что а = акса . ^[2]

Примеры

Каждое поле (и каждое тело ) регулярно по фон Нейману: для a ≠ 0 мы можем взять x = a ⁻¹. ^[1] Область целостности является регулярной по фон Нейману тогда и только тогда, когда она является полем. Каждое прямое произведение регулярных колец фон Неймана снова регулярно по фон Нейману.

Другой важный класс примеров регулярных колец фон Неймана — это кольца Mn _K ) квадратных матриц n × n размером с элементами из некоторого поля K. ( Если r — ранг A ( ∈ _Mn метод K ) , исключения Гаусса дает обратимые матрицы U и V такие, что

A=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V

(где I _r — r на размером r единичная матрица ). Если мы положим X = V ⁻¹В ⁻¹, затем

AXA=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V=A.

В более общем смысле, кольцо матриц размера n × n над любым регулярным кольцом фон Неймана снова является регулярным по фон Нейману. ^[1]

Если V — векторное пространство над полем (или телом ) K , то кольцо эндоморфизмов End _K ( V ) регулярно по фон Нейману, даже если V не конечномерно. ^[3]

Обобщая приведенные выше примеры, предположим, что S некоторое кольцо и M — S -модуль такой, что каждый подмодуль M — является прямым слагаемым M (такие модули M называются полупростыми ). Тогда кольцо эндоморфизмов End _S ( M ) регулярно по фон Нейману. В частности, каждое полупростое кольцо регулярно по фон Нейману. Действительно, полупростые кольца представляют собой в точности нётеровы регулярные кольца фон Неймана.

Кольцо присоединенных операторов конечной алгебры фон Неймана регулярно по фон Нейману.

— Булево кольцо , в котором каждый элемент удовлетворяет это кольцо ² = а . Каждое булево кольцо регулярно по фон Нейману.

Факты

Следующие утверждения эквивалентны для кольца R :

R регулярен по фон Нейману
каждый главный левый идеал порождается идемпотентным элементом
каждый конечно порожденный левый идеал порождается идемпотентом
каждый главный левый идеал является прямым слагаемым левого R -модуля R
каждый конечно порожденный левый идеал является прямым слагаемым левого R -модуля R
конечно порожденный подмодуль проективного левого -модуля R каждый P является прямым слагаемым P
каждый левый R -модуль плоский : это также известно как R абсолютно плоский или R имеющий слабую размерность 0.
каждая короткая точная последовательность левых R -модулей чисто точна .

Соответствующие утверждения для правых модулей также эквивалентны тому, что R регулярен по фон Нейману.

Каждое регулярное кольцо фон Неймана имеет радикал Джекобсона {0} и, следовательно, является полупримитивным (также называемым «полупростым по Якобсону»).

В коммутативном регулярном кольце фон Неймана для каждого элемента x существует уникальный элемент y такой, что xyx = x и yxy = y , поэтому существует канонический способ выбора «слабого обратного» к x .

Следующие утверждения эквивалентны для коммутативного кольца R :

R регулярен по фон Нейману.
R имеет размерность Крулля 0 и уменьшена .
Любая локализация R является в максимальном идеале полем.
R — подкольцо произведения полей, замкнутых при взятии «слабых обратных» к x ∈ R (единственный элемент y такой, что xyx = x и yxy = y ).
R — V-образное кольцо . ^[4]
R обладает свойством поднятия вправо против гомоморфизма колец Z [ t ] → Z [ t ^±] × Z определяется t ↦ ( t , 0) или, говоря геометрически, каждая регулярная функция ${\textstyle \mathrm {Spec} (R)\to \mathbb {A} ^{1}}$ факторы через морфизм схем $\{0\}\sqcup \mathbb {G} _{m}\to \mathbb {A} ^{1}$ . ^[5]

Кроме того, следующие утверждения эквивалентны: для коммутативного кольца A

R = A / nil( A ) регулярен по фон Нейману.
Спектр топологии A . хаусдорфов (в Зарисского )
Конструктивная топология и топология Зарисского для Spec( A ) совпадают.

Обобщения и специализации

Специальные типы регулярных колец фон Неймана включают единичные регулярные кольца , сильно регулярные кольца фон Неймана и ранговые кольца .

Кольцо R называется единично регулярным , если для любого a из R существует единица u из R такая, что a = aua . Каждое полупростое кольцо единично регулярно, а единично регулярные кольца являются прямо конечными кольцами . Обычное регулярное кольцо фон Неймана не обязательно должно быть прямо конечным.

Кольцо R называется сильно регулярным по фон Нейману , если для каждого a в R существует некоторый x в R такой, что a = aax . Состояние лево-правосимметричное. Сильно регулярные кольца фон Неймана единично регулярны. Всякое сильно регулярное кольцо фон Неймана является подпрямым тел произведением . В некотором смысле это более точно имитирует свойства коммутативных регулярных колец фон Неймана, которые являются подпрямыми произведениями полей. Для коммутативных колец регулярные по фон Нейману и сильно регулярные по фон Нейману эквивалентны. эквивалентны следующие условия В общем случае для кольца R :

R сильно регулярен по фон Нейману.
R регулярен по фон Нейману и приведен
R регулярен по фон Нейману, и каждый идемпотент в R является центральным.
Каждый главный левый идеал кольца R порождается центральным идемпотентом

Обобщения регулярных колец фон Неймана включают π -регулярные кольца, левые/правые полунаследственные кольца , левые/правые неособые кольца и полупримитивные кольца .

См. также

Примечания

Ссылки

Бурклунд, Роберт; Слим, Томер М.; Юань, Аллен (20 июля 2022 г.). «Теорема хроматического нуля». п. 50. arXiv : 2207.09929 [ math.AT ].
Каплански, Ирвинг (1972), Поля и кольца , Чикагские лекции по математике (второе изд.), University of Chicago Press, ISBN 0-226-42451-0 , Збл 1001,16500
Михлер, ГО; Вилламайор, Огайо (апрель 1973 г.). «О кольцах, простые модули которых инъективны» . Журнал алгебры . 25 (1): 185–201. дои : 10.1016/0021-8693(73)90088-4 . hdl : 20.500.12110/paper_00218693_v25_n1_p185_Michler .
Скорняков, Л.А. (2001) [1994], "Регулярное кольцо (в смысле фон Неймана)" , Энциклопедия Математики , EMS Press
фон Нейман, Джон (1936), «О регулярных кольцах», Proc. Натл. акад. наук. США , 22 (12): 707–713, Bibcode : 1936PNAS...22..707V , doi : 10.1073/pnas.22.12.707 , JFM 62.1103.03 , PMC 1076849 , PMID 16577757 , Zbl 0015.38 802

Дальнейшее чтение

Гудирл, КР (1991), регулярные кольца фон Неймана (2-е изд.), Малабар, Флорида: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., стр. xviii+412, ISBN 0-89464-632-Х , МР 1150975 , Збл 0749.16001
фон Нейман, Джон (1960), Непрерывная геометрия , Princeton University Press , Zbl 0171.28003

[FOOTNOTEKaplansky1972110-1] Jump up to: ^а ^б ^с Капланский 1972 , с. 110

[FOOTNOTEKaplansky1972112-2] Капланский 1972 , с. 112

[FOOTNOTESkornyakov2001-3] Ошибка Скорнякова 2001

[FOOTNOTEMichlerVillamayor1973-4] Михлер и Вилламайор, 1973 г.

[FOOTNOTEBurklundSchlankYuan2022-5] Бурклунд, Шланк и Юань, 2022 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]